Karhunen-Loève 展開法

Karhunen-Loève 展開法(KLE)亦稱為 Karhunen-Loève 分解(Karhunen-Loève decomposition, KLD)或是特徵正交分解(Proper Orthogonal Decomposition, POD)，在 實際應用時其本質和前節所述之經驗正交函數類似，主要皆為將資料降階(order reduction) 處 理 並 提 取 (extraction) 隱 藏 其 中 的 特 徵 來 表 現 資 料 以 及 進 行 分 析 (Preisendorfer, 1988; Kerschen et al., 2005)。這種方法最早是用在圖像辨識(pattern recognition)領域(Fukunaga, 1990)，之後則被應用到地球物理(Tiampo et al., 2004)以 及紊流(turbulent flow) (Holmes et al., 1996)研究等方面。KLE 法和 EOF 法雖然概念 相似，但兩者仍有差異，主要是EOF 法使用共變異數矩陣，而 KLE 法則是使用相 關矩陣(correlation matrix)計算特徵模組。

使用 KLE 法分析 SCONET 觀測區海流資料時，其主要步驟與前節之實向量 EOF 法相似，第一步亦是使用(1)式之變動流速(u,v)計算出(2)式之共變異數矩陣R， 其矩陣大小亦為140×140，接著將共變異數矩陣除以變動流速之標準差予以標準化 成為相關矩陣 C ，即：

( ) ( )

( ) ( )

( )

(a)

(b)

圖 3-7 KLE 分析法重建流場之振幅平方和分佈圖與累積變異數分佈圖：(a)全部 140 個模組；(b)前 20 個模組。

取前20 個模組以重建合成變動流速資料，再分別計算各資料點所能還原的可 解釋之變異數大小(圖 3-8)，並依(11)式計算重建流場變異數與原始觀測流場總變異 數之百分比稱為還原度，可發現觀測區內大部分區域的還原度可達 96%以上，僅 少數資料點小於90%。細觀圖 3-8，可知還原度較差的資料點幾乎都分佈在觀測區 外圍，也就是在這些資料點上高階之第21~140 模組對總變異數的貢獻度較大，因 此造成還原度較小。

圖3-8 KLE 法前 20 個模組重建流場與變動流場之變異數百分比空間分佈圖。

圖3-9~圖 3-11 顯示 KLE 法最主要的三個模組向量之水平分佈(因篇幅關係，

其餘模組未列入)，各圖中(a)是各模組向量的空間分佈，(b)圖則是該模組相對應之 振幅時間序列，將振幅時間序列與空間分佈相乘後，即是各模組所代表的流場向 量隨時間的變化情形。在此三個模組中，第1 模組特徵值(即其振幅之變異數)佔所

有變動流速資料總變異數的 35.81%，其模組向量之分佈態勢如圖 3-9(a)，流場向 量的主要方向為東北方向，與平均流場類似，不過在蘇澳附近流向較偏北；再由 圖3-9(b)來看，振幅為負值，即代表圖 3-9(a)之流向是相反的西南向海流，此情形 之發生時間約在10~2 月之間，可能與此段時間為東北季風盛行期有關，故此模組 與實向量EOF 第 1 模相似，亦應是反映出平均流場的消長效應。其次，第 2 模組 特徵值佔變動流速資料總變異數的14.15%，根據圖 3-10(a)的模組向量分佈，顯示 似乎是一股從北方來且沿著宜蘭海岸的海流與另一股從南方來的沿岸流，於 24.25^oN 處附近交會後往東流出之情形；觀察相對應之振幅時間序列(圖 3-10b)，此 現象在春、夏二季(振幅多為正)似乎較明顯，秋、冬季(振幅多為負)大部分是反向，

即有一股海流自東方沿 24.25^oN 處附近在接近臺灣海岸後再分別轉向北方與南方 流。至於第3 模組之特徵值則佔變動流速資料總變異數的 10.43%，觀察圖 3-11(a)、

圖3-11(b)，顯示應為一股沿岸流向東流後逐漸轉向南方的情形。

(a)

(b)

圖3-9 KLE 分析法求出之第 1 模組：(a)模向量空間分佈；(b)模振幅之時間序列。

(a)

(b)

圖3-10 KLE 分析法求出之第 2 模組：(a)模向量空間分佈；(b)模振幅之時間序列。

(a)

(b)

圖3-11 KLE 分析法求出之第 3 模組：(a)模向量空間分佈；(b)模振幅之時間序列。

使用KLE 法分析亦可以找出影響流場的主要因素，以及利用不同階模組反映 出不同尺度之運動成份(高階模組成份與尺度小的變化有關)。當以有限模組數利用 (11)式重建變動流場時，由於變動流速在各資料點上所能解釋之總變異數並不相同，

其中若某資料點的還原度不好，則可能是因雜訊干擾影響較明顯所致，因此利用 模組重組亦能檢查資料品質並濾除掉小尺度運動之影響。接下來我們亦使用前 20 個模組來重建流場，並利用(7)式計算重建流場與原始觀測流場之間流速偏差的均 方根(RMS)，藉以觀察前 20 個模組所重建出的流場與原始觀測流場之間的偏差程 度。

KLE 法前 20 個模組重建流場與原始觀測流場之間的偏差均方根其數據詳如表 3-2(表中第一行為資料點位編號，對應位置參照圖 2-5)。整體而言 KLE 法之偏差 均方根範圍介於3.79~11.38 cm/s，全部 70 個資料點偏差均方根之平均為 6.39 cm/s。

圖3-12 為 KLE 法偏差均方根之水平分佈情形，由該圖可看出大部分資料點的偏差 均方根皆小於7 cm/s，離雷達站較遠或分佈在 SCONET 海域外圍之資料點其偏差 均方根較大，還原程度較差，而離雷達站較近處的偏差均方根則較小，還原程度 較佳。

圖3-12 原始觀測流場與 KLE 法前 20 個模組重建流場之偏差均方根空間分佈圖。

表3-2 原始觀測流場與 KLE 法前 20 個模組重建流場之偏差均方根數值。

資料點 編號

RMS (cm/s)

資料點 編號

RMS (cm/s)

資料點 編號

RMS (cm/s)

資料點 編號

RMS (cm/s)

資料點 編號

RMS (cm/s) 1 11.38 15 4.02 29 5.29 43 8.27 57 6.22 2 7.88 16 6.57 30 4.94 44 6.15 58 6.48 3 7.61 17 9.54 31 5.75 45 5.31 59 9.72 4 5.01 18 6.35 32 6.73 46 4.94 60 8.44 5 4.21 19 5.68 33 6.45 47 4.71 61 6.74 6 4.27 20 5.71 34 7.23 48 5.18 62 6.64 7 5.82 21 5.29 35 6.61 49 5.58 63 6.13 8 10.67 22 5.43 36 5.75 50 6.32 64 6.07 9 5.99 23 6.04 37 5.12 51 6.92 65 6.66 10 5.22 24 5.10 38 4.61 52 7.49 66 9.65 11 5.55 25 6.24 39 5.36 53 5.59 67 7.32 12 7.05 26 7.66 40 5.77 54 5.57 68 8.67 13 3.79 27 5.56 41 6.64 55 6.27 69 7.46 14 4.47 28 5.13 42 6.07 56 6.69 70 10.32