第四章 以電腦模擬量化專家意見
第二節 專家意見服從均勻分配
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本節的最後，以 bias、variance、MSE 和涵蓋率等不同角度分析各種情境下 對最適合的量化方式。總體而言，資料型態為單一預測值，以 MME 或 LSE 的 估計效果較無母數方法(trimean)好；資料型態為預測區間，模型 1 的情況下與單 一預測值相同，模型 2 的情況下，估計量會受到區間長度越長而產生越大的偏誤，
其中 LSE 估計量會比 MME 估計量好。理論原理是 MME 容易受離群值影響，模 擬的結果符合這個理論。但兩種方法均較無母數方法好；資料型態為願付卡，若 專家意見的中心點與區間中位數差不多時，仍然是 MME 和 LSE 法有較好的估 計結果，但當區間中位數與專家意見的中心點有差異時，無母數方法 trimean 提 供了相對可靠的推估結果；資料型態為願付價格，只要專家人數超過 15，最後 的詢問值都會收斂，取最後五個詢問值平均為較好的估計方法
第二節 專家意見服從均勻分配
本節中假設專家意見為來自獨立且同態的均勻分配隨機變數，為了計算方便 我們假設專家人數為 10 人，均勻分配的最小值為 1，最大值為 2，亦即
~Uniform(min 1, max 2),i 1, 2,...,10
iid
Xi (4-2)
則我們可以由數學方式推導實際的平均數和變異數值，分別為
(X) 1.5 2
E a b
，
2 2
(b a) (2 1)
(X) 0.289
12 12
Var (4-3)
情境一：單一預測值
Method1-1：以動差估計量(MME)來估計 , 。 Method1-2：以最小平方估計量(LSE)來估計 。 Method1-3：以無母數 trimean 方法估計。
‧
估計參數 Method1-1 Method1-2 Method1-3
ˆ
MSE Method1-1 Method1-2 Method1-3 MSE(ˆ) 0.00847 0.00828 0.01442 MSE(ˆ) 0.00221 0.00204 0.00489
表 22、情境一三種估計方法的涵蓋率（均勻分配）
估計參數 Method1-1 Method1-2 Method1-3
0.951 0.941 0.965
Method2-3.2：取區間資料中位數視為樣本，以無母數 trimean 方法估計，以全
‧
估計參數 Method2-1.2 Method2-2.2 Method2-3.2
1, 2 ~ (a, b)
‧
MSE Method2-1.2 Method2-2.2 Method2-3.2
1, 2 ~ (a, b)
Method2-1.2 Method2-2.2 Method2-3.2
1, 2 ~ (a, b)
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圖 10、情境二模型 2 三種估計量的 MSE(ˆ)和 MSE(ˆ)（均勻分配）
情境三：願付卡
假設專家意見服從均勻分配 ~Uniform(min 1, max 2),i 1, 2,...,10
iid
Xi ，模擬
10 位專家選擇的區間。
Method3-1：捨去區間外的樣本後計算動差估計量 (MME)。
Method3-2.1：直接將離群值捨去，找最小平方估計量(LSE)。
Method3-2.2：將離群值取一個為代表對應到更低(或更高)的 percentile，再找最小 平方估計量(LSE)。
Method3-3：對區間的樣本取其 trimean 後與區間外樣本進行合併估計，以全距 除以某個常數(constant, c )和四分位距除以另外一個常數(constant, 1 c )的加權平2 均估計量估計 。進行電腦模擬時，我們設定專家人數為 10 人(n=10)，由附錄
0.2 0.6 1.0 1.4
0.0000.0050.0100.015
mu的 MSE(均 勻 分 配 )
區間長度(b-a)
MSE(mu)
M2-1.2 M2-2.2 M2-3.2
0.2 0.6 1.0 1.4
0.0000.0050.0100.015
sigma的 MSE(均 勻 分 配 )
區間長度(b-a) MSE(sigma) M2-1.2M2-2.2
M2-3.2
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估計參數 Method3-1 Method3-2.1 Method3-2.2 Method3-3
ˆ
MSE Method3-1 Method3-2.1 Method3-2.2 Method3-3 MSE(ˆ) 0.00706 0.01145 0.00701 0.01061 MSE(ˆ) 0.00695 0.00592 0.00554 0.00819
表 28、情境三的三種估計方法涵蓋率（均勻分配）
估計參數 Method3-1 Method3-2.1 Method3-2.2 Method3-3
0.960 0.936 0.862 0.950
由表 29 可以看出，Method3-1 產生的偏差最大；Method3-2.2 雖然較 Method3-2.1 有較小的標準誤，但有產生更多偏誤的風險；Method3-3 的的估 計是偏誤較小的， 的估計值卻有很大的估計誤差，這是因為當專家意見的分配 屬於均勻分配時，應該重新用電腦模擬找出新的不偏估計量。由表 30 的 MSE 和表 31 的涵蓋率可以看出 Method3-2.1 為最好的估計方法。
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表 29、情境三固定人數(n=10)改變上下界 ~Uniform(min, max)
iid
Xi 的估計值（均勻分配）
參數 Method3-1 Method3-2.1 Method3-2.2 Method3-3 min=0.6
表 30、情境三固定人數(n=10)改變上下界 ~Uniform(min, max)
iid
Xi 的 MSE（均勻分配）
MSE Method3-1 Method3-2.1 Method3-2.2 Method3-3 min=0.6
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表 31、情境三固定人數(n=10)改變上下界 ~Uniform(min, max)
iid
Xi 的涵蓋率（均勻分配）
估計參數 Method3-1 Method3-2.1 Method3-2.2 Method3-3 min=0.6
max=1.6
0.005 0.126 0.004 0.144
0.006 0.238 0.029 0.052 min=0.8
max=1.8
0.494 0.792 0.486 0.923
0.534 0.784 0.510 0.651 min=1.0
max=2.0
0.960 0.936 0.862 0.950
0.688 0.933 0.739 0.836 min=1.2
max=2.2
0.493 0.791 0.513 0.925
0.535 0.787 0.539 0.675 min=1.4
max=2.4
0.016 0.143 0.003 0.391
0.014 0.240 0.045 0.125
情境四：願付價值
Method4-1：取最後一個詢問值。
Method4-2：取最後三個詢問值的平均。
Method4-3：取最後五個詢問值的平均。
由表 32 可以看出專家人數只有五人時，三種估計方法都會有偏誤，其中 Method 4-3 會產生較多的偏誤，而 Method 4-1 偏誤最小，但估計標準誤是 Method 4-1 最大，Method 4-3 最小；當專家人數較少時，Method 4-1 雖然有較大的標準 誤，但估計值較為不偏，隨著專家人數提高，三種估計量越來越不偏，其中 Method 4-1 收斂的速度最快，Method 4-3 最慢，但估計標準誤仍是 Method 4-3 最小，
Method 4-1 最大。
表 33 可以看出三種估計方法的 MSE 大小順序依然為 Method4-1 最大，
Method4-3 最小；表 34 可以看出涵蓋機率都很高，可能是因為第一次詢問值也 屬於均勻分配的緣故。
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圖 11、一次模擬的第 k 次詢問值分佈（均勻分配）
圖 12、第 k 次詢問值盒鬚圖(Boxplot) （均勻分配）
0 5 10 15 20 25 30
1.01.21.41.61.8
順 序 提 問 法 的 詢 問 值 變 化 情 形 (均 勻 分 配 )
k-th inquiry
TFR
各 詢 問 值 盒 鬚 圖 (均 勻 分 配 )
k-th inquiry
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圖 13、第 k 次詢問值預測區間的涵蓋率（均勻分配）
最後，以 bias、variance、MSE 和涵蓋率等不同角度分析各種情境下對最適合 的量化方式。總體而言，資料型態為單一預測值或預測區間，以 MME 或 LSE 的估計效果較無母數方法(trimean)好；資料型態為願付卡，當區間中位數與專家 意見的中心點有差異時，以 LSE 法或無母數法有較好的估計結果；資料型態為 願付價格，只要專家人數超過 15，最後的詢問值都會收斂，取最後五個詢問值 平均為較好的估計方法。
本章使用常態分配和均勻分配的假設進行專家意見的電腦模擬，模擬結果發 現專家意見為常態分配與均勻分配的假設下各情境所適合的估計方法大致沒有 差異，當擁有已數量化的樣本資訊（單一預測值、一預測區間）時 MME 與 LSE 是較好的估計方法，當樣本資訊較為模糊（願付卡）使用 LSE 法或無母數方法 可以降低過大偏誤的風險。當樣本資訊為順序提問法的詢問值，當專家人數超過 15 時，詢問值趨近收斂，以最後五個詢問值的平均為估計值有最小的標準誤。
0 5 10 15 20 25 30
0.00.20.40.60.81.0
涵 蓋 機 率 (均 勻 分 配 )
k-th inquiry
Coverage Probability
M4-1 M4-2 M4-3
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