尋找數學骨架

數學骨架可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，但要如何判斷一個 鑲嵌圖案的數學骨架是什麼形狀的多邊形，我們就要由密鋪平面的三種方式 平移、 旋轉及鏡射來尋找線索。下面依平移、旋轉及鏡射分別說明如何由密 鋪方式尋找其數學骨架。

一、 平移

以《E105 飛馬》為例：先觀察圖 3.1.1 的平移單位是什麼？一隻飛馬，

我們以綠框的飛馬（圖 3.1.2）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋 找飛馬的 數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面？觀 察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，藍框為綠框左右的平移，而 黃 框為綠框的上下平移，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形 中的正方形、矩形或平行四邊形。

圖 3.1.1 E105 飛馬 圖 3.1.2 中央為綠框飛馬

這數學骨架除須滿足兩對邊互相平行，還須滿足一個數學骨架只能 有一個平移單位。如圖 3.1.3 當畫了下面那一條黑色的邊時，對邊必須是

紅色的線之一，另 一對邊則將黑線與紅線端點相連。此正方形即為飛馬的 數學骨架（圖 3.1.4）， 檢查是否只包含一個平移單位並仔細觀察此正方形 的四個頂點有什麼特點，可以發現此正方形不僅只包含一個平移單位且 四個頂點“皆為”飛馬下巴尖端（或大腿背後尖端）。

圖 3.1.3 與黑邊對應之紅邊 圖 3.1.4 相連後的數學骨架

圖 3.1.5 的正方形也是飛馬的數學骨架，不僅只包含一個平移單位，

且其四個頂點皆為飛馬鼻子（或前腳後部）。除了尋找共同點，還需探 索有無其他可能性，將黑色正方形的底邊往垂直方向平移一些距離，如 圖 3.1.6 的紅色平行四邊形， 再檢查是否滿足數學骨架的定義。

圖 3.1.5 頂點不同的正方形 圖 3.1.6 其它數學骨架可能性

由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為平移的數學骨架時，依 平移單位可以選四個共同點相連，如《E127 鳥》（圖 3.1.7）的平移單 位是鳥，選其鳥的左臉為共同點，則此紅色正方形即為鳥的數學骨架。

將紅色正方形的某條邊向平行自己的方向平移仍是鳥的數學骨架（圖

3.1.8）。因此根據每個人所選的頂點不同，就會有不同的數學骨架，由 此可知數學骨架不唯一。

圖 3.1.7 正方形數學骨架 圖 3.1.8 平行四邊形數學骨架

二、 旋轉

以《E020 年年有魚》為例：先觀察圖 3.1.9 的平移單位是什麼？一個 年年有魚，我們以綠框的年年有魚（圖 3.1.10）作為此鑲嵌版畫的平移單 位並說明如何尋找年年有魚的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單 位密鋪整個平面? 觀察圖綠框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，藍 框為綠框以背鰭以及尾巴尖點為旋轉點，逆時針旋轉 90 度，黃框是綠框 同樣是以背鰭和尾巴尖點為旋轉點，順時針旋轉 90 度。可進一步觀察到 如果將綠框及藍框視為一個鑲嵌圖案，即可密鋪平面。另外兩種顏色框 同理。由此可以推測這兩個旋轉點為數學骨架的其中兩個頂點，再仔細 觀察還可以發現魚下巴也是一個旋轉點，那滿足這種特性的數學骨架會 是哪個多邊形呢？

圖 3.1.9 E020 年年有魚 圖 3.1.10 中央為綠框年年有魚

可以知道每個旋轉點的角度皆為 90 度，因此數學骨架可能為正方形，

因為正方形的每個角度為 90 度，如圖 3.1.11 的正方形，檢查其是否滿足 數學骨架定義？年年有魚的數學骨架還有可能是哪個多邊形呢？圖 3.1.12 的同心圓為平移單位鄰近的旋轉點，若選擇四個同心圓作為數學骨架的 其中三個頂點，剩下的同心圓在三同心圓形成的三角形之一邊上，則此 數學骨架為等腰直角三角形，檢查此等腰直角三角形是否滿足數學骨架 定義？

圖 3.1.11 正方形數學骨架 圖 3.1.12 等腰直角三角形骨架

由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在 平移單位上挑出旋轉點，如《E015 蜥蜴》（圖 3.1.13）的平移單位是一隻 蜥蜴，圖中的點為平移單位的旋轉點，選擇其中三個旋轉點為數學骨架的 三個頂點，再依密鋪方 式選擇正確的數學骨架。圖 3.1.14 的同心圓為平移 單位鄰近的旋轉點之其中一點， 圖中的等腰直角三角形是蜥蜴另一種數 學骨架。因此每個人選的旋轉點不同，就會有不同 的數學骨架，由此可 知數學骨架不唯一。

圖 3.1.13 正方形數學骨架 圖 3.1.14 等腰直角三角形骨架

三、 鏡射

以《E017 老鷹》為例：先觀察圖 3.1.15 的平移單位是什麼？一隻老鷹，

我們以綠框的老鷹（圖 3.1.16）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋 找老鷹的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面呢？

觀察綠框的平移單 位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為綠框左右平移，

紫框為綠框先以鉛直線為 鏡射軸鏡射，再上下貼齊，黃框為紫框左右平 移。

圖 3.1.15 E017 老鷹 圖 3.1.16 中央為綠框老鷹

可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形、

平行四邊形或鳶形，因為左右為平移，試著依平移密鋪的結論，先選共 同點如選老鷹的鳥嘴（圖 3.1.17），檢查所選的數學骨架是否滿足其定義，

檢查後可以知道此平行四邊形即為老鷹的數學骨架。在鏡射情況使用平 移密鋪的結論時，必須留意上下天老鷹有對鉛直線鏡射的關係，如圖 3.1.18，經檢查後發現藍色平行四邊形不是老鷹的數學骨架，因為藍色平

行四邊形對鉛直線鏡射後，無法與原藍色平行四邊形上下密合。

圖 3.1.17 平行四邊形數學骨架 圖 3.1.18 錯誤的數學骨架

如果選的共同點同樣為老鷹的頭，如圖 3.1.19，數學骨架變為矩形，

檢查後可以發現其滿足數學骨架的定義，也能依老鷹密鋪方式密鋪平面。

圖 3.1.19 矩形數學骨架

由上述可以得到下面的結論：尋找密鋪方式為鏡射的數學骨架時，

在平移單位上挑出四個共同點相連，如《E066 飛獅》（圖 3.1.20）的平移 單位是一隻飛獅，並挑飛獅的下巴為共同點，所以圖 3.1.20 的數學骨架為 平行四邊形；圖 3.1.21 的共同點一樣取的是飛獅下巴，卻有不同形狀的數 學骨架。因此每個人選的共同點不同，就會有不同的數學骨架，由此可 知數學骨架不唯一。

圖 3.1.20 平行四邊形數學骨架 圖 3.1.21 鳶形數學骨架