第三章、 從數學觀點看艾薛爾平面鑲嵌版畫
第二節、 如何密鋪整個平面
由數學骨架的定義可以知道數學骨架的面積與平移單位的面積相同，也 就是一個多邊形的數學骨架可以經由裁切與拼貼，變成一個看似更有趣的平 移單位，但要如何裁切與拼貼才能密鋪又能不失生動活潑呢？接下來延續上 一節的例子繼續往下探究。
一、 平移
以《E105 飛馬》為例：圖 3.2.1 的黑色正方形為飛馬的數學骨架，也 就是此正方形可以經由裁貼變成飛馬的鑲嵌圖案。圖 3.2.2 為正方形裡的 裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉七小塊，再拼貼至正確的位置，
以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。
在拼貼的過程中可以發現規律：裁左邊拼貼至右邊、裁右邊拼貼至左邊、
裁上面拼貼至下面、裁下面拼貼至上面。這與密鋪的方式有這很大的關係，
這也是為什麼如此裁貼出的飛馬可以密鋪平面。
圖 3.2.1 黑色正方形數學骨架 圖 3.2.2 切割、拼貼後的輪廓線
先將正方形密鋪於平面，並留下裁切線，如圖 3.2.3。將裁切線以及 輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於 搬動整塊正方形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便 能裁貼出可以密鋪平面的鑲嵌圖案。將一個正方形的裁貼經由想像擴大
圖 3.2.3 密鋪於平面的正方形及其輪廓
二、 旋轉
以《E020 年年有魚》為例：圖 3.2.4 的黑色正方形為年年有魚的數學 骨架，也就是此正方形可以經由裁貼變成年年有魚的鑲嵌圖案。圖 3.2.5 為正方形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉四小塊，再拼 貼至正確的位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表 示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B 以 O 點為旋轉點拼 貼至 a、b，C 以 P 點為旋轉點拼貼至 c，D 以 Q 點為旋轉點拼貼至 d。這 與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的年 年有魚可以密鋪平面。
圖 3.2.4 黑色正方形數學骨架 圖 3.2.5 切割、拼貼後的輪廓線
先將正方形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.6。將裁切線及 輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於 搬動整塊正方形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便 能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個正方形的裁貼經由想像擴 大到無窮多的正方形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。
圖 3.2.6 密鋪於平面的正方形及其輪廓
三、 鏡射
以《E017 老鷹》為例：圖 3.2.7 的綠色矩形為老鷹的數學骨架，也就 是此矩形可以經由裁貼變成老鷹的鑲嵌圖案。圖 3.2.8 為矩形裡的裁切線 及拼貼後的 輪廓線，裁切部分需剪掉六小塊，再拼貼至正確位置，以大 寫英文字母表示需裁 切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在 拼貼的過程中可以發現：A、B、C、D 都是以鉛直線為鏡射軸鏡射拼貼 至 a、b、c、d，而 E、F 為左右平移拼貼至 e、f。這與平移單位的密鋪方 式有這很大的關係， 這也是為什麼如此裁貼出的老鷹可以密鋪平面。
圖 3.2.7 綠色矩形數學骨架 圖 3.2.8 切割、拼貼後的輪廓線
先將矩形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.9。將裁切線及輪 廓線畫至與其相鄰的矩形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動 整塊矩形，而搬動 的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼 出可以密鋪於平面的鑲嵌圖 案。將一個矩形的裁貼經由想像擴大到無窮 多的矩形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。
圖 3.2.9 密鋪於平面的矩形及其輪廓
第四章 教材內容說明
第一節 數位教材
數位教材不僅讓內容更加活潑，還能讓更多人欣賞到鑲嵌藝術，進而欣 賞經由數學的平移、旋轉、鏡射所形成的美麗世界。本研究將艾薛爾鑲嵌版 畫開發成數位教材，開發出的數位教材包含：鑲嵌教學影片、鑲嵌圖型著色，
以及鑲嵌圖型拼圖，在此以編號《E051 青蛙》、《E010 魚貫》一一介紹所 開發出的三種數位教材：
一、 鑲嵌教學影片
為讓使用者欣賞鑲嵌圖案的形成過程及鋪滿方式，研究並開發教學 影片並分為四段，第一段將數個數學骨架依重複的平鋪方式密鋪於整個 平面（圖 4.1.1）即為數學舞台，由數學舞台中左上角的深藍色矩形為密 鋪平面的起始，以矩形下邊的藍色點為旋轉點旋轉 180 度，旋轉後的淺 藍色矩形變成深藍色，再次以矩形下邊的旋轉點旋轉 180 度，接著回到左 上角矩形，淺藍色矩形以深藍矩形右邊的旋轉點旋轉 180 度，之後依上述 的密鋪方式構成數學舞台，觀察《E051 青蛙》的密鋪方式（圖 4.1.2）可 以發現第一段數學骨架的密鋪方式就是青蛙鑲嵌圖案的密鋪方式。
圖 4.1.1 密鋪平面的矩形
圖 4.1.2 密鋪平面的青蛙
第二段由第一段數學舞台的一個矩形形變大拉開序幕，此變大的矩
將綠色青蛙 數學骨架內非綠色身體身體一部份的五個區塊編號 A , B , C , D , E 剪下，並將這五小塊依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置（圖 4.1.3），即裁貼出綠色青蛙。
圖 4.1.3 切割、拼貼流程圖
第三段先將第二段所裁貼出的青蛙著上顏色，並將著色好的青蛙進 行藝術表演，表演內容分為兩部分，第一部份青蛙展示出其主要的密合 方式，因為青蛙有三種顏色，所以由兩隻蜥蜴表演主要的三種密合方式，
如圖 4.1.4；第二部分為青蛙根據青蛙的生物特性，進行跳躍、爬行等即 興演出。
(1)右邊腳的密合 (2) 左邊腳的密合 (3)蛙下巴的密合
圖 4.1.4 各種密合方式
第四段銜接第一段的數學舞台，並留下數學舞台的虛線邊，將青蛙依 第一段 數學骨架的密鋪方式一隻隻放到數學骨架上（圖 4.1.5），放的時候 除了需注意青蛙在數學骨架上的正確位置外，仍須依照第三段第一部分的 表演，也就是主要的三 種密合方式，這樣才能與相鄰的青蛙互相貼合，
如圖 4.1.6。
圖 4.1.5 在數學骨架上的位置 圖 4.1.6 三種方式密鋪平面
教學影片還搭配了背景音樂，除了讓使用者帶著舒適的心情欣賞鑲嵌 藝術外，部分教學影片還會配合主題撥放適合的音樂。
在播放影片時的左邊有一個小標題：艾薛爾鑲嵌藝術─青蛙，此標題 除了讓 大家知道這一幅鑲嵌版畫的名字是青蛙外，其實此標題還是一個 暫停按鈕，是為 了方便讓使用者停下來欣賞或思考。
在未開始播放影片的封面除了一開始看到的封面圖外，還隱藏了兩個 畫面， 第一張封面圖也是艾薛爾的鑲嵌版畫，且部分影片封面圖是與該鑲 嵌版畫相關的， 例如編號《E051 青蛙》影片的封面圖是艾薛爾的一幅版 畫《魚與青蛙》（圖 4.1.7），封面圖的下方即為青蛙，詳細封面圖的介 紹 會在本研究的第四章第二節的《E051 青蛙》工作單上說明；按一下影片 右上角 的隱藏按鈕會進入第二張圖片，此圖片為當年艾薛爾畫《E051 青 蛙》鑲嵌版畫的原圖，再按一次右上角的隱藏按鈕會在第二張的原圖上畫 上數學骨架（圖 4.1.8）。
圖 4.1.7 青蛙封面圖 圖 4.1.8 畫上數學骨架的原圖
二、 鑲嵌圖形著色
為讓學齡前的兒童能親身感受鑲嵌藝術的趣味性，本研究依鑲嵌圖 案的特性選擇了部分鑲嵌版畫開發了著色遊戲，以編號《E010 魚貫》為 例（圖 4.1.7），每一隻空白魚貫是一個按鈕，點擊第一次呈現紅色魚貫，
第二次是黃色魚貫，第三次為藍色魚貫，再點一次回紅色魚貫以此類推，
遊戲規則為：相鄰兩隻魚貫顏色不 相同即完成著色，圖 4.1.8 為部分已著 色的魚貫。
圖 4.1.7 上色前的空白魚貫
圖 4.1.8 上色後的有色魚貫
著色畫面上也有兩個隱藏按鈕，左上角按鈕為重新著色，而右上方按 鈕是將著色範圍改變（畫框變寬或變窄），初學者可以先從著色範圍較窄 的關卡進行遊戲。
三、 鑲嵌圖形拼圖
對於廣大的使用者我們亦開發了拼圖，以《E051 青蛙》拼圖為例（圖 4.1.9），除了增加趣味性外，也可以讓使用者更了解青蛙鑲嵌，遊戲規則 為：相鄰兩隻青蛙顏色不相同且所有青蛙必須在紅色框內（不可重疊），
即完成拼圖；在拼圖畫面 的左邊隱藏了兩個按鈕，按下「艾薛爾鑲嵌拼圖」
按鈕回到主畫面，按下「青蛙」按鈕會在紅框內增加數學骨架，讓初學者 可以按青蛙在數學骨架上的正確位置協助完成拼圖；此外，按下主畫面右 上方的隱藏按鈕會出現解答畫面（圖 4.1.10）。
圖 4.1.9 青蛙拼圖畫面 圖 4.1.10 拼圖解答畫面
第二節 工作單
為讓使用者更有效率的使用這三種數位教材，本研究亦開發出工作單，
希望 藉由工作單能讓數位教材的使用者更清楚了解鑲嵌圖形中的數學。
工作單內容包含：引言之鑲嵌版畫創作背景與封面圖說明、影片總回顧 之數學與藝術、細說影片第二段之如何由數學骨架裁貼出鑲嵌圖案、表演欣 賞之主要密合方式、密鋪平面之形成鑲嵌圖，以及回饋單。其中第一部分艾 薛爾版畫之創作背景主要參考自 D. Schattschneider (2004)，並以中學生能接受 的口吻，加以摘要編寫。
本研究共為 16 幅版畫製作工作單，並依鑲嵌版畫編號由小到大一一排序，
版畫之編號及名稱如下述：《E003 舉重者》、《E005 鐵腕人物》、《E006 駱駝》、
《E007 松鼠》、《E009 鳥》、《E010 魚貫》、《E015 蜥蜴》、《E017 老鷹》、《E020 年年有魚》、《E036 蛇》、《E051 青蛙》、《E066 飛獅》、《E088 海馬》、《E091 甲 蟲》、《E105 飛馬》、《E127 鳥》。
E003 舉重者工作單
個小區塊兩兩成對，在此只標示兩兩成對中的其中三塊 A , B , C，即 A → a；B → b；C → c
乙、 如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的旋轉與平移：
(1) A → a ：將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 a
(2) B → b ：先將 B 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 b (3) C → c ：先將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 c
(2) B → b ：先將 B 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 b (3) C → c ：先將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 c