艾薛爾鑲嵌藝術之數學教學設計—以四邊形為例

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：許志農博士. 艾薛爾幾何鑲嵌藝術之數學教學設計－以四邊形為例. 研究生：蕭瑞甫. 中華民國一百零二年六月.

(2) 摘要關鍵詞：艾薛爾（M. C. Escher）版畫、鑲嵌圖案、幾何圖形、中學數學、Flash 教學動畫鑒於平面幾何在數學上屬於重要單元，然而學生在學習上常會遭遇許多困難，使得學生常對數學失去興趣、對幾何單元望之卻步。為了提升學生的學習興趣，並促進其理解，本研究將結合數學與藝術的艾薛爾鑲嵌圖案版畫，透過Flash CS6 軟體，開發 16 款四邊形之鑲嵌圖案動畫教材，以及與之搭配的著色畫、拼圖、工作單，以期能夠提供教師生動的教學工具，透過數位教材的多媒體效果，讓學生親身體會幾何數學之美，更進一步藉由網路分享，提升國人的數學素養。. II.

(3) 目錄口試委員通過簽名表 ........................................................................................ I 摘要 .................................................................................................................... II 目錄 ................................................................................................................... III 第一章、緒論 ..................................................................................................... 1 第一節、研究背景與動機 ............................................................................. 1 第二節、研究目的 ......................................................................................... 2 第三節、研究範圍與後續 ............................................................................. 2 第二章、文獻探討............................................................................................. 3 第一節、鑲嵌圖案 ......................................................................................... 3 第二節、艾薛爾的創作背景 ......................................................................... 5 第三節、艾薛爾的平面鑲嵌版畫 ................................................................. 6 第三章、從數學觀點看艾薛爾平面鑲嵌版畫 .............................................. 10 第一節、尋找數學骨架 ............................................................................... 10 第二節、如何密鋪整個平面 ....................................................................... 17 第四章、教材發展........................................................................................... 21 第一節、數位教材 ....................................................................................... 21 第二節、工作單 ........................................................................................... 25 參考文獻........................................................................................................ 106. III.

(4) 第一章第一節. 緒論. 研究背景與動機. 根據教育部（2003、2008），平面幾何對於中學數學的學習來說，屬於十分重要的主題。目前我國學生在學習此領域的方式，小學生是透過操作，將簡單圖形切割並重組成另一已知簡單圖形，進而描述物體的相對位置、理解旋轉角的意義以及平面圖形線對稱的關係等；在國中則用切割重組來計算面積或理解線對稱圖形的幾何性質並應用於解題與推理；在高中，使用矩陣將幾何中的平移、旋轉及鏡射用代數的方法表示。然而幾何的學習對於學生來說並不容易（張景中，1995），再加上中學生大多是以升學考試為由來學習平面幾何（許斯琪，2001），內在動機並不強烈（戴寶蓮，1991），中學畢業後的學生或是一般社會大眾再學習幾何的機會更是微乎其微。為了要提升學生學習幾何領域的興趣，並降低其挫折感， Fuys 和 Geddes （1984）的研究指出，以視覺化的方式來呈現對學生來說還陌生而抽象的概念，有助於促進學生理解。而利用電腦多媒體呈現視覺化教材，更能使學習更加生動，彌補傳統教學的不足（董家莒，2000）。在現今網路發達的社會，利用網路平台的上傳及分享功能，可以即時發佈或取得資訊，對於學習來說是一個非常便利的資源，因此若能夠開發出此領域相關的數位教材，並透過網路平台將所開發的數位教材上傳、分享，能讓更多的學子及民眾受惠。. 1.

(5) 第二節研究目的為了提升國人平面幾何素養，擬將幾何知識與藝術結合，讓學生、社會大眾甚至是學齡前孩童以及銀髮族能夠欣賞幾何數學之美，同時體會到幾何數學在日常生活中的廣泛應用。而要將幾何知識與跨領域的藝術相連結，荷蘭的版畫家艾薛爾（M. C. Escher, 1898-1972）是把平面幾何與鑲嵌藝術密切結合的靈魂人物，本研究將透過艾薛爾的平面鑲嵌版畫開發數位教材，以期達到提升國人平面幾何素養的目的。. 第三節研究範圍與後續本研究著重於開發艾薛爾 16 幅四邊形之鑲嵌版畫的數位教材及工作單，往後擬將數位教材及工作單設立專屬網站，提供各年齡層學子及社會大眾進行數位學習之用。屆時可由使用者在工作單之回饋，迅速瞭解其學習狀況，以及對數位教材或工作單所提出的建議。除了遠距數位學習，位於教學現場的數學教師亦可運用本研究所開發的數位教材，在課堂上搭配工作單引導學生學習；課堂後可透過網路留言板或電子郵件，分享自己的教學方式、心得與建議。. 2.

(6) 第二章. 文獻探討. 第一節鑲嵌圖案鑲嵌或密鋪（Tessellation）是指「將具有獨立封閉外形的圖形以連續、反覆且不重疊，也不留空隙的形式在平面上展開」的意思。荷蘭版畫家艾薛爾（Maurits Cornelius Escher）1958 年在他的論文〈The Regular Division of the Plane〉中，將鑲嵌圖案或密鋪平面稱為「平面規則分割」，並解釋為「一塊平面或龐加萊圓盤，它應是被想成有無限的邊際，可將之填滿或被分割成無數類似的幾何圖案，不留任何虛的空間。」鑲嵌圖案可以是多邊形也可以是非多邊形，所以鑲嵌圖案可以簡單分類成這兩大類，在多邊形這一類我們又可以分成兩類：單一種多邊形及兩種以上多邊形。下面三張圖是取自日常生活中由單一種多邊形所組成的牆壁、地板及天花板，這些磁磚的形狀分別為矩形、正三角形、菱形：. 圖 2.1.1. 臺灣師大校本部外牆. 圖 2.1.2. 圖 2.1.3. 地磚 3. 大英博物館天花板.

(7) 下面一張圖是由兩種以上多邊形所組成的磁磚，圖 2.1.4 的牆壁包含了三角形、正方形及矩形：. 圖 2.1.4. 紅毛城英領事住宅入口. 圖 2.1.5 的地板是由非多邊形的形狀所組成的，因為非多邊形鑲嵌圖案是由多邊形為數學骨架（lattice）發展而來，故不加以細分，如下圖：. 圖 2.1.5. 臺北市政府前廣場地磚. 4.

(8) 第二節艾薛爾創作背景艾薛爾 1922 年在西班牙旅行時，對格拉納達的阿爾罕布拉宮（Alhambra Palace and Garden）印象深刻，尤其是摩爾式的棋盤形嵌石飾（tessellation），這宮殿是十四世紀的穆斯林建築，宮殿裡的地板、牆壁、天花板都用許多的複雜幾何圖案以及反覆性圖案來裝飾，其圖案之豐富，令人嘆為觀止。. 圖 2.2.1. 阿爾罕布拉宮的磁磚. 圖 2.2.2. 艾薛爾模擬的素描. 1936 年艾薛爾第二次造訪阿爾罕布拉，研究的過程中發現他們與數學、結晶學的關連，於是開始研讀雜誌上此類主題的文章。此後艾薛爾運用了以數學為基礎的方法創作了多幅鑲嵌藝術作品，其中最有名的平面鑲嵌版畫在他一生中共創作了 137 幅。. 5.

(9) 第三節艾薛爾的平面鑲嵌版畫艾薛爾在平面規則分割裡有提到主題元素（motif）、平移單位（sliding cell）及數學骨架（lattice）等概念。一、主題元素（motif）在鑲嵌版畫上所看到的圖案，如：鳥、甲蟲、蜥蜴等，皆為主題元素，而數學家則稱之為磁磚（tile）。二、平移單位（sliding cell）一個圖案能夠以重複排列的方式密鋪整個平面，稱為平移單位。我們以艾薛爾編號《E105 飛馬》（圖 2.3.1）為例，其平移單位是一匹飛馬，但根據主題元素設計的不同，平移單位可能不只一種。. 圖 2.3.1. E105 飛馬. 三、數學骨架（lattice）一個多邊形如果恰好包含一個平移單位且能夠以重複的排列方式密鋪整個平面，稱為數學骨架，在此以《E088 海馬》（圖 2.3.2）、《E015 蜥蜴》（圖 2.3.3）、《E006 駱駝》（圖 2.3.4）及《E003 舉重者》（圖 2.3.5）為例。. 6.

(10) 圖 2.3.2. E088 海馬. 圖 2.3.3. E015 蜥蜴. 圖 2.3.4. E006 駱駝. 圖 2.3.5. E091 甲蟲. 圖 2.3.2 的綠框三角形為海馬的數學骨架，仔細觀察可以看出三角形裡的區塊能拼成海馬，也就是此三角形內恰包含一個平移單位─海馬，由圖 2.3.6 可以看出此三角形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.3.3 的綠框正方形為蜥蜴的數學骨架，可以觀察出正方形裡的區塊能拼成蜥蜴，由圖 2.3.7 可以看出此正方形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.3.4 駱駝的數學骨架為綠框平行四邊形，此平行四邊形裡的區塊能拼成駱駝，由圖 2.3.8 可以看出此平行四邊形能以重複的排列方式密鋪整個平面；而圖 2.3.5 甲蟲的數學骨架為綠框菱形，此菱形裡的區塊可以拼成一隻甲蟲，由圖 2.3.9 可以看出此菱形能以重複的排列方式密鋪整個平面。由上述可知，數學骨架的面積等於一個平移單位的面積。. 7.

(11) 圖 2.3.6. E088 海馬. 圖 2.3.7. E015 蜥蜴. 圖 2.3.8. E006 駱駝. 圖 2.3.9. E091 甲蟲. 艾薛爾將數學骨架主要分成兩大類：三角形及四邊形，其中三角形包含正三角形、銳角三角形及由六個正三角形組成的正六邊形，四邊形包含正方形、矩形、菱形、平行四邊形及鳶形（箏形），為更清楚區分，本研究將正六邊形歸類在六邊形，為求分類的完整性亦增加五邊形這一類。對於如何密鋪平面的問題，艾薛爾整理出三種規則：平移（translation）、軸向（axes）及滑行鏡射（glide reflection），軸向為以一個點為軸心發展圖案，滑行鏡射為平移與鏡射的合成，本研究用旋轉表示軸向，並用以下三種規則平移、旋轉及鏡射來說明如何密鋪平面。我們以艾薛爾的五幅版畫為例，分別說明其數學骨架為哪一個多邊形以及此數學骨架鋪滿整個平面的方式。《E088 海馬》（圖 2.3.6）的數學骨架為銳角三角形，其密鋪方式為：分別是以海馬的背部為旋轉點旋轉 180 度，和以海馬的下巴為旋轉點旋轉 180 度，最後是以海馬的尾巴為旋轉點旋轉 180 度，用上述三種方法 8.

(12) 鋪滿方式密鋪於平面。《E015 蜥蜴》（圖 2.3.7）的數學骨架為正方形，其密鋪方式為：以蜥蜴右前腳為旋轉點一次旋轉 90 度，共四次，圍繞旋轉點的四個正方形視為一組，再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密鋪於平面。《E006 駱駝》（圖 2.3.8）的數學骨架為平行四邊形，其密鋪方式為：以駱駝的下巴為旋轉點旋轉 180 度後，再以駱駝的背部為旋轉點旋轉 180 度，三個平行四邊形視為一組，再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密鋪於平面。《E091 甲蟲》（圖 2.3.9）的數學骨架為菱形，其密鋪方式為：將一菱形與另一菱形的邊平移密合後，重複此排列方法密鋪於平面。《E017 老鷹》（圖 2.3.10）的數學骨架為矩形，其密鋪方式為：將老鷹以鉛直線為鏡射軸鏡往下貼齊後視為一組，再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密鋪於整個平面。. 圖 2.3.10. E017 老鷹. 9.

(13) 第三章. 從數學觀點看. 艾薛爾平面鑲嵌版畫第一節尋找數學骨架數學骨架可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，但要如何判斷一個鑲嵌圖案的數學骨架是什麼形狀的多邊形，我們就要由密鋪平面的三種方式平移、旋轉及鏡射來尋找線索。下面依平移、旋轉及鏡射分別說明如何由密鋪方式尋找其數學骨架。一、平移以《E105 飛馬》為例：先觀察圖 3.1.1 的平移單位是什麼？一隻飛馬，我們以綠框的飛馬（圖 3.1.2）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找飛馬的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面？觀察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，藍框為綠框左右的平移，而黃框為綠框的上下平移，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形或平行四邊形。. 圖 3.1.1. E105 飛馬. 圖 3.1.2. 中央為綠框飛馬. 這數學骨架除須滿足兩對邊互相平行，還須滿足一個數學骨架只能有一個平移單位。如圖 3.1.3 當畫了下面那一條黑色的邊時，對邊必須是 10.

(14) 紅色的線之一，另一對邊則將黑線與紅線端點相連。此正方形即為飛馬的數學骨架（圖 3.1.4），檢查是否只包含一個平移單位並仔細觀察此正方形的四個頂點有什麼特點，可以發現此正方形不僅只包含一個平移單位且四個頂點“皆為”飛馬下巴尖端（或大腿背後尖端）。. 圖 3.1.3. 與黑邊對應之紅邊. 圖 3.1.4. 相連後的數學骨架. 圖 3.1.5 的正方形也是飛馬的數學骨架，不僅只包含一個平移單位，且其四個頂點皆為飛馬鼻子（或前腳後部）。除了尋找共同點，還需探索有無其他可能性，將黑色正方形的底邊往垂直方向平移一些距離，如圖 3.1.6 的紅色平行四邊形，再檢查是否滿足數學骨架的定義。. 圖 3.1.5. 頂點不同的正方形. 圖 3.1.6. 其它數學骨架可能性. 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為平移的數學骨架時，依平移單位可以選四個共同點相連，如《E127 鳥》（圖 3.1.7）的平移單位是鳥，選其鳥的左臉為共同點，則此紅色正方形即為鳥的數學骨架。將紅色正方形的某條邊向平行自己的方向平移仍是鳥的數學骨架（圖 11.

(15) 3.1.8）。因此根據每個人所選的頂點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 圖 3.1.7. 正方形數學骨架. 圖 3.1.8. 平行四邊形數學骨架. 二、旋轉以《E020 年年有魚》為例：先觀察圖 3.1.9 的平移單位是什麼？一個年年有魚，我們以綠框的年年有魚（圖 3.1.10）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找年年有魚的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面? 觀察圖綠框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為綠框以背鰭以及尾巴尖點為旋轉點，逆時針旋轉 90 度，黃框是綠框同樣是以背鰭和尾巴尖點為旋轉點，順時針旋轉 90 度。可進一步觀察到如果將綠框及藍框視為一個鑲嵌圖案，即可密鋪平面。另外兩種顏色框同理。由此可以推測這兩個旋轉點為數學骨架的其中兩個頂點，再仔細觀察還可以發現魚下巴也是一個旋轉點，那滿足這種特性的數學骨架會是哪個多邊形呢？. 圖 3.1.9. E020 年年有魚. 圖 3.1.10 12. 中央為綠框年年有魚.

(16) 可以知道每個旋轉點的角度皆為 90 度，因此數學骨架可能為正方形，因為正方形的每個角度為 90 度，如圖 3.1.11 的正方形，檢查其是否滿足數學骨架定義？年年有魚的數學骨架還有可能是哪個多邊形呢？圖 3.1.12 的同心圓為平移單位鄰近的旋轉點，若選擇四個同心圓作為數學骨架的其中三個頂點，剩下的同心圓在三同心圓形成的三角形之一邊上，則此數學骨架為等腰直角三角形，檢查此等腰直角三角形是否滿足數學骨架定義？. 圖 3.1.11. 圖 3.1.12. 正方形數學骨架. 等腰直角三角形骨架. 由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在（圖 3.1.13）的平移單位是一隻平移單位上挑出旋轉點，如《E015 蜥蜴》蜥蜴，圖中的點為平移單位的旋轉點，選擇其中三個旋轉點為數學骨架的三個頂點，再依密鋪方式選擇正確的數學骨架。圖 3.1.14 的同心圓為平移單位鄰近的旋轉點之其中一點，圖中的等腰直角三角形是蜥蜴另一種數學骨架。因此每個人選的旋轉點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 13.

(17) 圖 3.1.13. 正方形數學骨架. 圖 3.1.14. 等腰直角三角形骨架. 三、鏡射以《E017 老鷹》為例：先觀察圖 3.1.15 的平移單位是什麼？一隻老鷹，我們以綠框的老鷹（圖 3.1.16）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋找老鷹的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面呢？觀察綠框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，藍框為綠框左右平移，紫框為綠框先以鉛直線為鏡射軸鏡射，再上下貼齊，黃框為紫框左右平移。. 圖 3.1.15. E017 老鷹. 圖 3.1.16. 中央為綠框老鷹. 可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形中的正方形、矩形、平行四邊形或鳶形，因為左右為平移，試著依平移密鋪的結論，先選共同點如選老鷹的鳥嘴（圖 3.1.17），檢查所選的數學骨架是否滿足其定義，檢查後可以知道此平行四邊形即為老鷹的數學骨架。在鏡射情況使用平移密鋪的結論時，必須留意上下天老鷹有對鉛直線鏡射的關係，如圖 3.1.18，經檢查後發現藍色平行四邊形不是老鷹的數學骨架，因為藍色平 14.

(18) 行四邊形對鉛直線鏡射後，無法與原藍色平行四邊形上下密合。. 圖 3.1.17. 平行四邊形數學骨架. 圖 3.1.18. 錯誤的數學骨架. 如果選的共同點同樣為老鷹的頭，如圖 3.1.19，數學骨架變為矩形，檢查後可以發現其滿足數學骨架的定義，也能依老鷹密鋪方式密鋪平面。. 圖 3.1.19. 矩形數學骨架. 由上述可以得到下面的結論：尋找密鋪方式為鏡射的數學骨架時，在平移單位上挑出四個共同點相連，如《E066 飛獅》（圖 3.1.20）的平移單位是一隻飛獅，並挑飛獅的下巴為共同點，所以圖 3.1.20 的數學骨架為平行四邊形；圖 3.1.21 的共同點一樣取的是飛獅下巴，卻有不同形狀的數學骨架。因此每個人選的共同點不同，就會有不同的數學骨架，由此可知數學骨架不唯一。. 15.

(19) 圖 3.1.20. 平行四邊形數學骨架. 16. 圖 3.1.21. 鳶形數學骨架.

(20) 第二節如何密鋪整個平面由數學骨架的定義可以知道數學骨架的面積與平移單位的面積相同，也就是一個多邊形的數學骨架可以經由裁切與拼貼，變成一個看似更有趣的平移單位，但要如何裁切與拼貼才能密鋪又能不失生動活潑呢？接下來延續上一節的例子繼續往下探究。一、平移以《E105 飛馬》為例：圖 3.2.1 的黑色正方形為飛馬的數學骨架，也就是此正方形可以經由裁貼變成飛馬的鑲嵌圖案。圖 3.2.2 為正方形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉七小塊，再拼貼至正確的位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現規律：裁左邊拼貼至右邊、裁右邊拼貼至左邊、裁上面拼貼至下面、裁下面拼貼至上面。這與密鋪的方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的飛馬可以密鋪平面。. 圖 3.2.1. 黑色正方形數學骨架. 圖 3.2.2 切割、拼貼後的輪廓線. 先將正方形密鋪於平面，並留下裁切線，如圖 3.2.3。將裁切線以及輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊正方形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪平面的鑲嵌圖案。將一個正方形的裁貼經由想像擴大到無窮多的正方形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。 17.

(21) 圖 3.2.3. 密鋪於平面的正方形及其輪廓. 二、旋轉以《E020 年年有魚》為例：圖 3.2.4 的黑色正方形為年年有魚的數學骨架，也就是此正方形可以經由裁貼變成年年有魚的鑲嵌圖案。圖 3.2.5 為正方形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉四小塊，再拼貼至正確的位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B 以 O 點為旋轉點拼貼至 a、b，C 以 P 點為旋轉點拼貼至 c，D 以 Q 點為旋轉點拼貼至 d。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的年年有魚可以密鋪平面。. 圖 3.2.4. 黑色正方形數學骨架. 18. 圖 3.2.5 切割、拼貼後的輪廓線.

(22) 先將正方形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.6。將裁切線及輪廓線畫至與其相鄰的正方形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊正方形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個正方形的裁貼經由想像擴大到無窮多的正方形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖 3.2.6. 密鋪於平面的正方形及其輪廓. 三、鏡射以《E017 老鷹》為例：圖 3.2.7 的綠色矩形為老鷹的數學骨架，也就是此矩形可以經由裁貼變成老鷹的鑲嵌圖案。圖 3.2.8 為矩形裡的裁切線及拼貼後的輪廓線，裁切部分需剪掉六小塊，再拼貼至正確位置，以大寫英文字母表示需裁切的部分，小寫英文字母表示拼貼的正確位置。在拼貼的過程中可以發現：A、B、C、D 都是以鉛直線為鏡射軸鏡射拼貼至 a、b、c、d，而 E、F 為左右平移拼貼至 e、f。這與平移單位的密鋪方式有這很大的關係，這也是為什麼如此裁貼出的老鷹可以密鋪平面。. 19.

(23) 圖 3.2.7. 綠色矩形數學骨架. 圖 3.2.8 切割、拼貼後的輪廓線. 先將矩形密鋪於平面，並且留下裁切線，如圖 3.2.9。將裁切線及輪廓線畫至與其相鄰的矩形，仔細觀察可以發現搬動裁切區塊相當於搬動整塊矩形，而搬動的方式就是平移單位密鋪平面的方式，如此便能裁貼出可以密鋪於平面的鑲嵌圖案。將一個矩形的裁貼經由想像擴大到無窮多的矩形一起裁貼，便更能意會鑲嵌圖形的藝術。. 圖 3.2.9. 密鋪於平面的矩形及其輪廓. 20.

(24) 第四章. 教材內容說明. 第一節數位教材數位教材不僅讓內容更加活潑，還能讓更多人欣賞到鑲嵌藝術，進而欣賞經由數學的平移、旋轉、鏡射所形成的美麗世界。本研究將艾薛爾鑲嵌版畫開發成數位教材，開發出的數位教材包含：鑲嵌教學影片、鑲嵌圖型著色，以及鑲嵌圖型拼圖，在此以編號《E051 青蛙》、《E010 魚貫》一一介紹所開發出的三種數位教材：一、鑲嵌教學影片為讓使用者欣賞鑲嵌圖案的形成過程及鋪滿方式，研究並開發教學影片並分為四段，第一段將數個數學骨架依重複的平鋪方式密鋪於整個平面（圖 4.1.1）即為數學舞台，由數學舞台中左上角的深藍色矩形為密鋪平面的起始，以矩形下邊的藍色點為旋轉點旋轉 180 度，旋轉後的淺藍色矩形變成深藍色，再次以矩形下邊的旋轉點旋轉 180 度，接著回到左上角矩形，淺藍色矩形以深藍矩形右邊的旋轉點旋轉 180 度，之後依上述的密鋪方式構成數學舞台，觀察《E051 青蛙》的密鋪方式（圖 4.1.2）可以發現第一段數學骨架的密鋪方式就是青蛙鑲嵌圖案的密鋪方式。. 圖 4.1.1. 密鋪平面的矩形. 圖 4.1.2. 密鋪平面的青蛙. 第二段由第一段數學舞台的一個矩形形變大拉開序幕，此變大的矩形即為青蛙的一個數學骨架，這裡依圖 4.1.2 綠色青蛙的數學骨架為例， 21.

(25) 將綠色青蛙數學骨架內非綠色身體身體一部份的五個區塊編號 A , B , C , D , E 剪下，並將這五小塊依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置（圖 4.1.3），即裁貼出綠色青蛙。. 圖 4.1.3. 切割、拼貼流程圖. 第三段先將第二段所裁貼出的青蛙著上顏色，並將著色好的青蛙進行藝術表演，表演內容分為兩部分，第一部份青蛙展示出其主要的密合方式，因為青蛙有三種顏色，所以由兩隻蜥蜴表演主要的三種密合方式，如圖 4.1.4；第二部分為青蛙根據青蛙的生物特性，進行跳躍、爬行等即興演出。 (1)右邊腳的密合. (2) 左邊腳的密合. 圖 4.1.4. (3)蛙下巴的密合. 各種密合方式. 第四段銜接第一段的數學舞台，並留下數學舞台的虛線邊，將青蛙依第一段數學骨架的密鋪方式一隻隻放到數學骨架上（圖 4.1.5），放的時候除了需注意青蛙在數學骨架上的正確位置外，仍須依照第三段第一部分的表演，也就是主要的三種密合方式，這樣才能與相鄰的青蛙互相貼合，如圖 4.1.6。. 22.

(26) 圖 4.1.5. 圖 4.1.6. 在數學骨架上的位置. 三種方式密鋪平面. 教學影片還搭配了背景音樂，除了讓使用者帶著舒適的心情欣賞鑲嵌藝術外，部分教學影片還會配合主題撥放適合的音樂。在播放影片時的左邊有一個小標題：艾薛爾鑲嵌藝術─青蛙，此標題除了讓大家知道這一幅鑲嵌版畫的名字是青蛙外，其實此標題還是一個暫停按鈕，是為了方便讓使用者停下來欣賞或思考。在未開始播放影片的封面除了一開始看到的封面圖外，還隱藏了兩個畫面，第一張封面圖也是艾薛爾的鑲嵌版畫，且部分影片封面圖是與該鑲嵌版畫相關的，例如編號《E051 青蛙》影片的封面圖是艾薛爾的一幅版畫《魚與青蛙》（圖 4.1.7），封面圖的下方即為青蛙，詳細封面圖的介紹會在本研究的第四章第二節的《E051 青蛙》工作單上說明；按一下影片右上角的隱藏按鈕會進入第二張圖片，此圖片為當年艾薛爾畫《E051 青蛙》鑲嵌版畫的原圖，再按一次右上角的隱藏按鈕會在第二張的原圖上畫上數學骨架（圖 4.1.8）。. 圖 4.1.7. 青蛙封面圖. 圖 4.1.8. 23. 畫上數學骨架的原圖.

(27) 二、鑲嵌圖形著色為讓學齡前的兒童能親身感受鑲嵌藝術的趣味性，本研究依鑲嵌圖案的特性選擇了部分鑲嵌版畫開發了著色遊戲，以編號《E010 魚貫》為例（圖 4.1.7），每一隻空白魚貫是一個按鈕，點擊第一次呈現紅色魚貫，第二次是黃色魚貫，第三次為藍色魚貫，再點一次回紅色魚貫以此類推，遊戲規則為：相鄰兩隻魚貫顏色不相同即完成著色，圖 4.1.8 為部分已著色的魚貫。. 圖 4.1.7. 圖 4.1.8. 上色前的空白魚貫. 上色後的有色魚貫. 著色畫面上也有兩個隱藏按鈕，左上角按鈕為重新著色，而右上方按鈕是將著色範圍改變（畫框變寬或變窄），初學者可以先從著色範圍較窄的關卡進行遊戲。三、鑲嵌圖形拼圖對於廣大的使用者我們亦開發了拼圖，以《E051 青蛙》拼圖為例（圖 4.1.9），除了增加趣味性外，也可以讓使用者更了解青蛙鑲嵌，遊戲規則為：相鄰兩隻青蛙顏色不相同且所有青蛙必須在紅色框內（不可重疊），即完成拼圖；在拼圖畫面的左邊隱藏了兩個按鈕，按下「艾薛爾鑲嵌拼圖」按鈕回到主畫面，按下「青蛙」按鈕會在紅框內增加數學骨架，讓初學者可以按青蛙在數學骨架上的正確位置協助完成拼圖；此外，按下主畫面右上方的隱藏按鈕會出現解答畫面（圖 4.1.10）。 24.

(28) 圖 4.1.9. 青蛙拼圖畫面. 圖 4.1.10. 拼圖解答畫面. 第二節工作單為讓使用者更有效率的使用這三種數位教材，本研究亦開發出工作單，希望藉由工作單能讓數位教材的使用者更清楚了解鑲嵌圖形中的數學。工作單內容包含：引言之鑲嵌版畫創作背景與封面圖說明、影片總回顧之數學與藝術、細說影片第二段之如何由數學骨架裁貼出鑲嵌圖案、表演欣賞之主要密合方式、密鋪平面之形成鑲嵌圖，以及回饋單。其中第一部分艾薛爾版畫之創作背景主要參考自 D. Schattschneider (2004)，並以中學生能接受的口吻，加以摘要編寫。本研究共為 16 幅版畫製作工作單，並依鑲嵌版畫編號由小到大一一排序，版畫之編號及名稱如下述：《E003 舉重者》、《E005 鐵腕人物》、《E006 駱駝》、《E007 松鼠》、《E009 鳥》、《E010 魚貫》、《E015 蜥蜴》、《E017 老鷹》、《E020 年年有魚》、《E036 蛇》、《E051 青蛙》、《E066 飛獅》、《E088 海馬》、《E091 甲蟲》、《E105 飛馬》、《E127 鳥》。. 25.

(29) E003 舉重者工作單撰稿：蕭瑞甫引言：《E003 舉重者》是荷蘭版畫家艾薛爾在1936年10月畫的一幅版畫，每個舉重者的身體為單一顏色─橘色、藍色以及白色，主要繪圖工具為鉛筆與水彩，而我們影片裡的封面圖是艾薛爾在早期設計舉重者時所畫的圖：. 由上圖我們可以看到舉重者身體的線條雖然尚未流暢，不過已可見其雛形，人物的對稱性、明顯的四肢，讓我們一目了然。雖然這張圖是由四個顏色來完成，但是艾薛爾最後完成的作品是用了最少的三種顏色完成《E003 舉重者》的版畫。最後就讓我們一起來欣賞，艾薛爾是如何改善這張草圖進而表現出更強而有力的舉重者吧！請在電腦上點選《E003 舉重者.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、舉重者的數學與藝術我們可以把舉重者的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由正方形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這正方形正是舉重者的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下六小塊後，依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出舉重者。第三幕：將舉重者外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的舉重者們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將舉重者一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 菱形 □ 正六邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的舉重者？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的舉重者們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣二、如何從數學骨架裁貼出舉重者綜合下面兩個方式即可裁貼出舉重者，方式如下：甲、將正方形剪下六個小區塊，並將這六個小區塊貼到正確的位置上，由於這六 26.

(30) 個小區塊兩兩成對，在此只標示兩兩成對中的其中三塊 A , B , C，即 A → a；B → b；C → c. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的旋轉與平移： (1) A → a ：將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 a (2) B → b ：先將 B 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 b (3) C → c ：先將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 c 裁貼出舉重者後可以發現：正方形的其中三個頂點分別在舉重者的左手手肘、右手手肘及頭頂中點（回顧C → c），這就是舉重者在數學骨架上的正確位置。三、真的是舉重者磁磚嗎由藝術表演可以知道經過數學原理形成的舉重者可以互相密合，其密合方式有兩種： (1) 頭、足之間的密合 (2) 手肘之間的密合. 有了這兩種密合方式，就可以將舉重者密鋪在平面上了。四、舉重者的鑲嵌圖甲、舉重者鑲嵌圖透過了解舉重者在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出舉重者鑲嵌圖，左下圖是先將舉重者放在數學骨架上的正確位置，其他舉重者除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪(如圖一)。. 圖一關於艾薛爾的舉重者版畫原圖，如下圖所示：. 27.

(31) 圖一圖二艾薛爾在畫（圖一）的左下方寫了一句話“see nos. 14, 20”，這兩個數字是艾薛爾137幅版畫的編號，而這一句話說明了舉重者與編號 14, 20 這兩個版畫有著相同的密鋪方式。圖二則是艾薛爾筆記中的幾何圖形，同時也是舉重者這幅版畫的靈感來源。乙、舉重者著色遊戲把舉重者當磁磚，讓相鄰兩個舉重者顏色不相同，不但好分辨又具美觀效果，就讓我們動手著色看看吧！請在電腦上點選《E003 舉重者著色.exe》進入著色的畫面開始遊戲。. 丙、舉重者拼圖遊戲看到這裡是否對舉重者鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的舉重者拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一舉重者的排列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E003 舉重者拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. E003 舉重者回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過正方形磁磚鋪設的地板？. 2. 請你回想一下，每一個舉重者周遭圍繞著幾個舉重者呢？ □ 3個 □ 4個 □ 5個 □ 6個 3. 舉重者的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 如下圖，右邊舉重者是左邊舉重者旋轉幾度後的結果呢？. 5. 右下圖為艾薛爾的一幅版畫《E020 年年有魚》，與舉重者有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨 28.

(32) 架說明如何剪貼出年年有魚。. 6. 關於影片(含拼圖與著色遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話：. 學校班級. □ 老師. □ 學生. _____________. _____________ _____________. 29. □ 社會人士.

(33) E003 舉重者工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ ■ 正方形 □ 菱形 □ 正六邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的舉重者？ □ 兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的舉重者們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣. E003 舉重者回饋單 1.仔細想想，你在那個地方見過正方型磁磚鋪設的地板？ 2.請你回想一下，每一個舉重者周遭圍繞著幾個舉重者呢？ □ 3個 □ 4個 ■ 5個 □ 6個 3.舉重者的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4.如下圖，右邊舉重者是左邊舉重者旋轉幾度後的結果呢？ 90度 5. 右下圖為艾薛爾的一幅版畫《E020 年年有魚》，與舉重者有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正方形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出年年有魚。. 30.

(34) E005 鐵腕人物工作單撰稿：蕭瑞甫引言：《E005 鐵腕人物》是荷蘭版畫家艾薛爾在1937-1938年冬天畫的一幅版畫，每隻鐵腕人物的身體為單一顏色─紅色、藍色及白色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水與水彩，而我們影片裡的封面圖是這幅版畫用修圖軟體修改後的作品：. 這幅版畫屬於艾薛爾早期的作品，也是艾薛爾第三次的〝人物〞鑲嵌版畫，雖然人物的比例較不符合現實，但是外表線條的辨認度非常的高，我們一看就可以知道是一位強壯的男人。到底這位〝鐵腕人物〞有著什麼與眾不同的地方呢？讓我們來一探究竟《E005 鐵腕人物》！請在電腦上點選《E005 鐵腕人物.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、鐵腕人物的數學與藝術我們可以把鐵腕人物的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這平行四邊形正是鐵腕人物的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下八小塊後，依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出鐵腕人物。第三幕：將鐵腕人物外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的鐵腕人物們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將鐵腕人物一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 矩形 □ 平行四邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鐵腕人物？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的鐵腕人物有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 二、如何從數學骨架裁貼出鐵腕人物綜合下面兩個方式即可裁貼出鐵腕人物，方式如下： 31.

(35) 甲、將平行四邊形剪下八個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這八個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f； G → g；H → h. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉： (1) A → a ：先將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉再往下平移到 a (2) B → b ：將 B 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 b (3) C → c ：將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 c (4) D → d ：將 D 區塊往上平移到 d (5) E → e ：將 E 區塊往下平移到 e (6) F → f ：先將 F 區塊以頂點為旋轉點旋轉再往下平移到 f (7) G → g ：將 G 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 g (8) H → h ：先將 H 區塊以頂點為旋轉點旋轉再往下平移到 h 裁貼出鐵腕人物後可以發現：平行四邊形的兩個頂點分別在兩腳的膝蓋以及腳踝附近，而鐵腕人物雙手的對稱點(回顧B → b、G → g)也剛好在平行四邊形的左右兩邊上，這就是鐵腕人物在數學骨架上的正確位置。三、真的是鐵腕人物磁磚嗎經由數學原理裁貼後的鐵腕人物有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的鐵腕人物可以彼此互相密合，有以下兩種密合方式： (1) 左側與上下的密合 (2) 上下與右側的密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的鐵腕人物圖案，我們稱之為鐵腕人物磁磚。有了這兩種密合方式後，就可以用這兩種方式將很多隻鐵腕人物磁磚密鋪在平面上了。四、鐵腕人物的鑲嵌圖 32.

(36) 鐵腕人物鑲嵌圖. 透過了解鐵腕人物在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出鐵腕人物鑲嵌圖，左下圖是先將鐵腕人物放在數學骨架上的正確位置，其他的鐵腕人物除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。. 關於《E005 鐵腕人物》原圖，如下圖：. 艾薛爾在畫的左下方寫的一句話“see no. 1, 6, 7, 8, 11”，這是我們艾薛爾137幅鑲嵌版畫的編號，意思即為鐵腕人物與編號1, 6, 7, 8, 11的版畫有著相同的密鋪方式。. E005 鐵腕人物回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鐵腕人物周遭圍繞著幾隻鐵腕人物呢？ □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 □ 7隻 2. 鐵腕人物的表面積與其數學骨架平行四邊形的表面積是否一樣？ □ 是 □ 否 3. 如下圖，上面的鐵腕人物和下面的鐵腕人物是什麼樣的關係呢？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面. 4. 右下圖為艾薛爾的另一幅版畫《E009 鳥》，這版畫也利用了平行四邊形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正確的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鳥。 33.

(37) 5. 鐵腕人物的數學骨架除了是平行四邊形外，三角形也是鐵腕人物的數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出鐵腕人物的三角形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鐵腕人物。（提示：觀察兩個相連的平行四邊形數學骨架的頂點。）. 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話：. 學校班級. □ 老師. □ 學生. _____________. _____________ _____________. 34. □ 社會人士.

(38) E005 鐵腕人物工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 矩形 ■ 平行四邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鐵腕人物？ □ 兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的鐵腕人物有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣. E005 鐵腕人物回饋單 1. 請你回想一下，每一隻鐵腕人物周遭圍繞著幾隻鐵腕人物呢？ □ 4隻 □ 5隻 ■ 6隻 □ 7隻 2. 鐵腕人物的表面積與其數學骨架平行四邊形的表面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 3. 如下圖，上面的鐵腕人物和下面的鐵腕人物是什麼樣的關係呢？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 4. 右下圖為艾薛爾的另一幅版畫《E009 鳥》，這版畫也利用了平行四邊形當作數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出正確的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鳥。. 5. 鐵腕人物的數學骨架除了是平行四邊形外，三角形也是鐵腕人物的數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出鐵腕人物的三角形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出鐵腕人物。（提示：觀察兩個相連的平行四邊形數學骨架的頂點。）. 35.

(39) E006 駱駝工作單撰稿：蕭瑞甫引言：《E006 駱駝》是荷蘭版畫家艾薛爾在1937-1938年冬天畫的一幅版畫，每隻駱駝的身體為單一顏色─藍色、紅色及白色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水與水彩，而我們影片裡的封面圖《Plane Filling II》是艾薛爾在1957年所創作版畫的一隅：. 雖然外表怪異，但是由他的駝峰以及脖子的比例，我們不難看出他是一隻駱駝，而我們的《E006 駱駝》則是雙峰駱駝，外型也較簡單明確，講到這裡大家一定很想趕快看看到底長什麼樣子吧？就讓我們來收看有著〝沙漠之舟〞之稱駱駝的誕生！請在電腦上點選《E006 駱駝.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、駱駝的數學與藝術我們可以把駱駝的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這平行四邊形正是駱駝的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下九小塊後，依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出駱駝。第三幕：將駱駝外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的駱駝們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將駱駝一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 菱形 □ 正方形 □平行四邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的駱駝？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的駱駝們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 二、如何從數學骨架裁貼出駱駝綜合下面兩個方式即可裁貼出駱駝，方式如下： 36.

(40) 甲、將平行四邊形剪下九個小區塊 A , B , C , D , E , F , G , H , I，並將這九個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e； F → f；G → g；H → h；I → i. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉： (1) A → a ：將 A 區塊往右上平移到 a (2) B → b ：將 B 區塊往左下平移到 b (3) C → c ：先將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉再往右平移到 c (4) D → d ：先將 D 區塊以頂點為旋轉點旋轉再往左平移到 d (5) E → e ：將 E 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 e (6) F → f ：將 F 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 f (7) G → g ：先將 G 區塊以頂點為旋轉點旋轉再往左平移到 g (8) H → h ：將 H 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 h (9) I → i ：先將 I 區塊以頂點為旋轉點旋轉再往右下平移到 i 裁貼出駱駝後可以發現：平行四邊形的兩個頂點分別在駱駝的臉部以及後腳膝蓋上，這就是駱駝在數學骨架上的正確位置。三、真的是駱駝磁磚嗎經由數學原理裁貼後的駱駝有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的駱駝可以彼此互相密合，有以下三種密合方式： (1) 後腿與頭部的密合 (2) 背對背和下巴的密合 (2) 腿部以及頭頂的密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的駱駝圖案，我們稱之為駱駝磁磚。有了這三種密合方式後，就可以用這三種方式將很多隻駱駝磁磚密鋪在平面上了。四、駱駝的鑲嵌圖駱駝鑲嵌圖透過了解駱駝在數學骨架上的正確位置及三種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出駱駝鑲嵌圖，左下圖是先將駱駝放在數學骨架上的正確位置，其他的駱駝除 37.

(41) 了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪。. 關於《E006 駱駝》原圖，如下圖：. 艾薛爾在畫的左下方寫的一句話“see no. 1, 5, 7, 8, 11”，這是我們艾薛爾137幅鑲嵌版畫的編號，意思即為駱駝與編號1, 5, 7, 8, 11的版畫有著相同的密鋪方式。. E006 駱駝回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過平行四邊形磁磚鋪設的地板？. 2. 請你回想一下，每一隻駱駝周遭圍繞著幾隻駱駝呢？ □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 駱駝的表面積與其數學骨架平行四邊形的表面積是否一樣？ □ 是 □ 否 4. 如下圖，左邊的駱駝和右邊的駱駝是什麼樣的關係呢？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面. 5. 駱駝的數學骨架除了是平行四邊形外，三角形也是鳥駱駝的數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出駱駝的三角形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出駱駝。（提示：觀察左下圖兩個相連的平行四邊形數學骨架。）. 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 38.

(42) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話：. 學校班級. □ 老師. □ 學生. _____________. _____________ _____________. 39. □ 社會人士.

(43) E006 駱駝工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 菱形 □ 正方形 ■ 平行四邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的駱駝？ □ 兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的駱駝們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣. E006 駱駝回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過平行四邊形磁磚鋪設的地板？ 2. 請你回想一下，每一隻駱駝周遭圍繞著幾隻駱駝呢？ □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 ■ 6隻 3. 駱駝的表面積與其數學骨架平行四邊形的表面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4. 如下圖，左邊的駱駝和右邊的駱駝是什麼樣的關係呢？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 5. 駱駝的數學骨架除了是平行四邊形外，三角形也是鳥駱駝的數學骨架，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出駱駝的三角形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出駱駝。（提示：觀察左下圖兩個相連的平行四邊形數學骨架。）. 40.

(44) E007 松鼠工作單撰稿：蕭瑞甫引言：《E007 松鼠》是荷蘭版畫家艾薛爾在1936年10月畫的一幅版畫，每隻松鼠的身體為單一顏色─紅色、藍色以及白色，主要繪圖工具為鉛筆與水彩，而我們影片裡的封面圖是艾薛爾在1931年時畫的一幅版畫《松鼠》(圖一)：. 圖一圖二圖二則是艾薛爾在1953年所畫的一幅版畫《Squirrels, Birds and Trees》，可以看到不論是在松鼠、鳥與樹甚至到整幅畫，都是以對稱的方式呈現；我們再仔細來看圖一右上方的松鼠以及圖二，都會發現松鼠都有著大大的尾巴、小巧的耳朵和那可愛逗人的神情，究竟艾薛爾是怎麼把松鼠的特徵，利用鑲嵌圖的設計讓它們表現出來呢？我們馬上來觀賞吧！請在電腦上點選《E007 松鼠.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、松鼠的數學與藝術我們可以把松鼠的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這平行四邊正是松鼠的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下七小塊後，依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出松鼠。第三幕：將松鼠外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的魚兒們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將松鼠一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 平行四邊形 □ 正六邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的松鼠？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的松鼠們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣二、如何從數學骨架裁貼出松鼠 41.

(45) 綜合下面兩個方式即可裁貼出松鼠，方式如下：甲、將平行四邊形剪下七個小區塊 A , B , C , D , E , F , G，並將這七個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f； G→g. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉： (1) A → a ：先將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 a (2) B → b ：先將 B 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 b (3) C → c ：將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 c (4) D → d ：先將 D 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 d (5) E → e ：將 E 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 e (6) F → f ：將 F 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 f (7) G → g ：先將 G 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 g 裁貼出松鼠後可以發現：平行四邊形的其中兩個頂點分別在松鼠的右耳、尾巴與臀部的交接處（回顧C → c），進一步地觀察松鼠的左耳與後腳的端點也剛好落在邊上，這就是松鼠在數學骨架上的正確位置。三、真的是松鼠磁磚嗎由藝術表演可以知道經過數學原理形成的松鼠可以互相密合，其密合方式有兩種： (1) 手腳與尾巴的密合 (2) 耳朵與臀部的密合. 有了這兩種密合方式，就可以將松鼠密鋪在平面上了。四、松鼠的鑲嵌圖甲、松鼠鑲嵌圖透過了解松鼠在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出松鼠鑲嵌圖，左下圖是先將松鼠放在數學骨架上的正確位置，其他 42.

(46) 松鼠除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪 (如圖一)。. 圖一關於艾薛爾的松鼠版畫原圖，如下圖所示：. 艾薛爾在畫的左下方寫了一句話“see nos. 1, 5, 6, 8, 11”，這些數字是艾薛爾137幅版畫的編號，而這一句話是說明松鼠與編號 1, 5, 6, 8, 11 這五個版畫有著相同的密鋪方式。乙、松鼠著色遊戲把松鼠當磁磚，讓相鄰兩個松鼠顏色不相同，不但好分辨又具美觀效果，就讓我們動手著色看看吧！請在電腦上點選《E007 松鼠著色.exe》進入著色的畫面開始遊戲。. 丙、松鼠拼圖遊戲看到這裡是否對松鼠鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的松鼠拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一松鼠的排列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E007 松鼠拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. E007 松鼠回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過平行四邊形磁磚鋪設的地板？. 2. 請你回想一下，每一個松鼠周遭圍繞著幾個松鼠呢？ □ 3個 □ 4個 □ 5個 □ 6個 3. 松鼠的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 43.

(47) 4. 如下圖，左邊的松鼠和右邊的松鼠是什麼樣的關係呢？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面. 5. 右下圖為艾薛爾的一幅版畫《E011 海馬》，與松鼠有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出海馬。. 6. 關於影片(含拼圖與著色遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話：. 學校班級. □ 老師. □ 學生. _____________. _____________ _____________. 44. □ 社會人士.

(48) E007 松鼠工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 ■ 平行四邊形 □ 正六邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的松鼠？ □ 兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的松鼠們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣. E007 松鼠回饋單 1.仔細想想，你在那個地方見過平行四邊形磁磚鋪設的地板？ 2.請你回想一下，每一個松鼠周遭圍繞著幾個松鼠呢？ □ 3個 □ 4個 □ 5個 ■ 6個 3.松鼠的表面積與其數學骨架平行四邊形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4.如下圖，左邊的松鼠和右邊的松鼠是什麼樣的關係呢？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 5. 右下圖為艾薛爾的一幅版畫《E011 海馬》，與松鼠有著相同的密鋪方式，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出平行四邊形的數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出海馬。. 45.

(49) E009 鳥工作單撰稿：蕭瑞甫引言：《E009 鳥》是荷蘭版畫家艾薛爾在1937-1938年冬天所畫的一幅版畫，每隻鳥的身體為單一顏色─紅色及白色，主要繪圖工具為墨水、鉛筆與水彩，而我們影片裡的封面圖《Regular Division of the Plane with Bird》是艾薛爾在1949年所創作的一幅版畫：. 由上圖我們可以看到展開雙翼飛翔在空中的鳥兒們，每一隻鳥的身體都有著優美的曲線，再仔細看看白色的鳥，他的腹部呈現出非常流暢的S型的線條，這種線條在我們的《E009 鳥》更是處處可見，那我們就趕快來看看《E009 鳥》到底如何形成的吧！請在電腦上點選《E009 鳥.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、鳥的數學與藝術我們可以把鳥的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由平行四邊形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這平行四邊形正是鳥的數學骨架。第二幕：將數學舞台的兩個平行四邊形放大，從這平行四邊形剪下六小塊後，依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出鳥第三幕：將鳥外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的鳥兒們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將鳥一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 菱形 □ 平行四邊形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ □ 一種 □ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的鳥兒們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣. 二、如何從數學骨架裁貼出鳥綜合下面兩個方式即可裁貼出鳥，方式如下：甲、將兩個平行四邊形剪下六個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這六個小區塊 46.

(50) 貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉： (1) A → a ：將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 a (2) B → b ：將 B 區塊向右下平移到 b (3) C → c ：將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 c (4) D → d ：將 D 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 d (5) E → e ：先將 E 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 e (6) F → f ：將 F 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 f 裁貼出鳥後可以發現：鳥腹部的中點剛好在平行四邊形一邊的中點上（回顧 D → d），這就是鳥在數學骨架上的正確位置。三、真的是鳥磁磚嗎經由數學原理裁貼後的鳥有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的鳥可以彼此互相密合，而且有以下四種密合方式： (1) 腹部的密合： (2) 尾部的密合：. (4) 頭部的密合：. (3) 翅膀上方的密合：. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的鳥圖案，我們稱之為鳥磁磚。有了這四種密合方式後，就可以用這四種方式將很多隻鳥磁磚密鋪在平面上了。 47.

(51) 四、鳥的鑲嵌圖鳥鑲嵌圖透過了解鳥在數學骨架上的正確位置及四種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出鳥鑲嵌圖，左下圖是先將鳥放在數學骨架上的正確位置，其他的鳥除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照四種密合方式密鋪。. 下圖為艾薛爾《E009 鳥》的原圖. 這是艾薛爾第一次只使用了兩種顏色的鑲嵌圖，也是密合方式較顯而易見的一幅畫，我們還可以看到每一隻鳥與相鄰的鳥之間都是旋轉180度的關係，其中鳥的每邊都有對稱的S型曲線，曲線的中心點都有小小的圓圈做標記。. E009 鳥回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過平行四邊形磁磚鋪設的地板？. 2. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻鳥呢？(相鄰才算，只接觸一點不算) □ 3隻 □ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 如下圖，左邊的鳥和右面的鳥是什麼樣的關係呢？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面. 4. 鳥的表面積與其數學骨架平行四邊形面積的是否一樣？ □ 是 □ 否 5. 右下圖為艾薛爾的一幅版畫《E066 飛獅》，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出飛獅的平行四邊形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出飛獅。 48.

(52) 6. 關於影片與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話：. 學校班級. □ 老師. □ 學生. _____________. _____________ _____________. 49. □ 社會人士.

(53) E009 鳥工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 菱形 ■ 平行四邊形形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的鳥？ □ 一種 ■ 兩種 □ 三種 4. 鋪滿數學舞台的鳥兒們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣. E009 鳥回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過平行四邊形磁磚鋪設的地板？ 2. 請你回想一下，每一隻鳥周遭圍繞著幾隻鳥呢？ □ 3隻 ■ 4隻 □ 5隻 □ 6隻 3. 如下圖，左邊的鳥和右面的鳥是什麼樣的關係呢？ □ 平移 ■ 旋轉 □ 翻面 4. 鳥的表面積與其數學骨架平行四邊形面積的是否一樣？ ■ 是 □ 否 5. 右下圖為艾薛爾的一幅版畫《E066 飛獅》，請參考左下圖所畫的數學骨架，在右下圖畫出飛獅的平行四邊形數學骨架，並用找到的數學骨架說明如何剪貼出飛獅。. 50.

(54) E010 魚貫工作單撰稿：蕭瑞甫引言：《E010 魚貫》是荷蘭版畫家艾薛爾在1937-1938年的冬天畫的一幅版畫，每隻魚的身體為單一顏色─紅色、藍色及白色，主要繪圖工具為鉛筆、墨水及水彩，而我們影片裡的封面圖是摩拉維亞學院數學退休榮譽教授 Doris Schattschneider 在其書《Visions of Symmetry》提供的一張圖片：. 這裡我們仔細來看這兩張圖片，下面是艾薛爾早期畫這張鑲嵌圖時候的設計，不論是同一排相鄰的兩條魚、或是不同排相鄰的兩條魚，都是藉由其中一隻旋轉180度而產生的；而上方這張則是不同排相鄰的兩條魚，是經由翻面過後再平移所形成的。最後艾薛爾是選擇了上方的設計來完成這幅的作品，究竟《E010 魚貫》到底是如何形成的呢？讓我們一起來解開這道神秘的問題吧！請在電腦上點選《E010 魚貫.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、魚貫的數學與藝術我們可以把魚貫的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由長方形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這長方形正是魚貫的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個長方形放大，從這長方形剪下五小塊後，依數學原理的平移、旋轉及翻面貼到正確的位置，即裁貼出魚貫。第三幕：將魚貫外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的魚兒們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將魚貫一個一個放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 菱形 □ 長方形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的魚貫？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 51.

(55) 4. 鋪滿數學舞台的魚貫們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣二、如何從數學骨架裁貼出魚貫綜合下面兩個方式即可裁貼出魚貫，方式如下：甲、將長方形剪下五個小區塊 A , B , C , D , E，並將這四個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移、旋轉與翻面： (1) A → a ：先將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉再平移到 a (2) B → b ：將 B 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 b (3) C → c ：將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 c (4) D → d ：將 D 區塊向右平移到 d (5) E → e ：先將 E 區塊翻面後再平移到 e 裁貼出魚貫後可以發現：長方形的其中兩個頂點分別在魚貫的尾鰭後端、魚尾巴下方（回顧A → a），這就是魚貫在數學骨架上的正確位置。三、真的是魚貫磁磚嗎由藝術表演可以知道經過數學原理形成的魚貫可以互相密合，其密合方式有兩種： (1) 魚並排的密合 (2) 魚尾巴的密合. 有了這兩種密合方式，就可以將魚貫密鋪在平面上了。四、魚貫的鑲嵌圖甲、魚貫鑲嵌圖透過了解魚貫在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨架上密鋪出魚貫鑲嵌圖，左下圖是先將魚貫放在數學骨架上的正確位置，其他魚貫除了要放在數學骨架上的正確位置外，還須一一按照兩種密合方式密鋪 (如圖一)。 52.

(56) 圖一關於艾薛爾的魚貫版畫原圖，如下圖所示：. 一開始我們提到艾薛爾對這幅畫作有兩種設計，一種是全部的魚貫皆為單一方向，另一種則會有兩種方向的魚貫出現，會有這兩種拼湊方式，主要是在於切割圖形時候的差異所產生。這裡我們回顧 E → e 可以發現一件事，假如我們不是利用翻面再平移，而是直接以旋轉點來旋轉，那就變成了艾薛爾早期的設計了；不過 E 部分其實為一個對稱的圖形，不管我們利用這兩種的其中哪一種方法，最後都會是一樣的魚。乙、魚貫著色遊戲把魚貫當磁磚，讓相鄰兩個魚貫顏色不相同，不但好分辨又具美觀效果，就讓我們動手著色看看吧！請在電腦上點選《E010 魚貫著色.exe》進入著色的畫面開始遊戲。. 丙、魚貫拼圖遊戲看到這裡是否對魚貫鑲嵌有了更進一步的了解，下面是為大家精心準備好玩且有趣的魚貫拼圖遊戲，請再仔細觀察圖一魚貫的排列方式，遊戲開始囉！請在電腦上點選《E010 魚貫拼圖.exe》進入拼圖的首頁，並按左上角的Q版圖開始遊戲。. E010 魚貫回饋單 1. 仔細想想，你在那個地方見過長方形磁磚鋪設的地板？. 2. 請你回想一下，每一個魚貫周遭圍繞著幾個魚貫呢？ □ 3個 □ 4個 □ 5個 □ 6個 3. 魚貫的表面積與其數學骨架長方形的面積是否一樣？ □ 是 □ 否 53.

(57) 4. 如下圖，左邊的魚貫和右邊的魚貫是什麼樣的關係呢？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面. 5. 如下圖，右邊魚貫是左邊魚貫旋轉幾度後的結果呢？ □ 90度 □ 120度 □ 180度 □ 360度. 6. 關於影片(含拼圖與著色遊戲)與本工作單的教材，你給予幾分(最多10分，最少0分) 10 9 又有何建議：. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 0. ……………………………………………………………………………….................. 填單日期：____年____月____日. 填單人姓名：_____________ e-mail：電話：. 學校班級. □ 老師. □ 學生. _____________. _____________ _____________. 54. □ 社會人士.

(58) E010 魚貫工作單 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 正方形 □ 菱形 ■ 長方形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ ■ 平移 ■ 旋轉 ■ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的魚貫？ □ 兩種 ■ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的魚貫們有哪些特色？ ■ 不重疊 ■ 無空隙 ■ 外形都一樣. E010 魚貫回饋單 1.仔細想想，你在那個地方見過長方形磁磚鋪設的地板？ 2.請你回想一下，每一個魚貫周遭圍繞著幾個魚貫呢？ □ 3個 □ 4個 □ 5個 ■ 6個 3.魚貫的表面積與其數學骨架正方形的面積是否一樣？ ■ 是 □ 否 4. 如下圖，左邊的魚貫和右邊的魚貫是什麼樣的關係呢？ □ 平移 □ 旋轉 ■ 翻面. 5. 如下圖，右邊魚貫是左邊魚貫旋轉幾度後的結果呢？ □ 90度 □ 120度 ■ 180度 □ 360度. 55.

(59) E015 蜥蜴工作單撰稿：蕭瑞甫引言：《E015 蜥蜴》是荷蘭版畫家艾薛爾在1937年十一月創作，而在1963年四月改善完成的一幅版畫，顏色有兩個版本，在1937年為─橘色及白色，而在1963年蜥蜴的身體為─棕色及橘色，主要繪圖工具為墨水與水彩，我們影片裡的封面圖《Development I》(圖一)是艾薛爾在1937 年所創作的一幅版畫：. 圖一. 圖二. 我們可以看到旁邊的正方形，一層又一層往內變化，最終逐漸形成黑白相間交錯的蜥蜴；從一個幾何圖形演化成為一個生物，也就是版畫名稱“Development”的由來。圖二則是艾薛爾的另一幅鑲嵌版畫《E014 蜥蜴》，也是我們《E015 蜥蜴》的來源，經過收縮蜥蜴的膝蓋、嘴巴修改成微微打開，最後調整成為只需兩色的《E015 蜥蜴》鑲嵌版畫。現在，就讓我們來進入蜥蜴的神秘世界吧！請在電腦上點選《E015 蜥蜴.exe》進入影片的首頁，並按左上角的Q版圖開始撥放。. 一、蜥蜴的數學與藝術我們可以把蜥蜴的影片分成如下的四幕：第一幕：影片由正方形鋪滿構成數學舞台拉開序幕，而這正方形正是蜥蜴的數學骨架。第二幕：將數學舞台的一個正方形放大，從這正方形剪下六小塊後，依數學原理的平移及旋轉貼到正確的位置，即裁貼出蜥蜴。第三幕：將蜥蜴外框的內部著上顏色成為藝術品並進行藝術表演，表演過程依各種適當角度將表演的蜥蜴們互相密合。第四幕：銜接第一幕的數學舞台並留下數學骨架的虛線邊，將蜥蜴一隻一隻放到數學骨架上的正確位置進而鋪滿數學舞台，而這種不互相重疊、無空隙、反覆且連續的鋪滿稱作鑲嵌或密鋪。 1. 第一幕的數學骨架是哪一個多邊形呢？ □ 矩形 □ 正方形 □ 鳶形 2. 第二幕裁貼的過程中，用到了哪些數學方法？ □ 平移 □ 旋轉 □ 翻面 3. 影片中有幾種顏色的蜥蜴？ □ 兩種 □ 三種 □ 四種 4. 鋪滿數學舞台的蜥蜴們有哪些特色？ □ 不重疊 □ 無空隙 □ 外形都一樣 56.

(60) 二、如何從數學骨架裁貼出蜥蜴綜合下面兩個方式即可裁貼出蜥蜴，方式如下：甲、將正方形剪下六個小區塊 A , B , C , D , E , F，並將這六個小區塊貼到正確的位置上，即 A → a；B → b；C → c；D → d；E → e；F → f. 乙、如何貼到正確的位置呢？我們根據數學原理的平移與旋轉： (1) A → a ：先將 A 區塊以頂點為旋轉點旋轉再往左平移到 a (2) B → b ：先將 B 區塊往下平移再以頂點為旋轉點旋轉到 b (3) C → c ：將 C 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 c (4) D → d ：將 D 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 d (5) E → e ：將 E 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 e (6) F → f ：將 F 區塊以頂點為旋轉點旋轉到 f 裁貼出蜥蜴後可以發現：正方形的三個頂點分別在蜥蜴的下巴、右腳端點以及左後腳端點，而蜥蜴的右後腳也剛好貼齊在正方形的右邊上，這就是蜥蜴在數學骨架上的正確位置。三、真的是蜥蜴磁磚嗎經由數學原理裁貼後的蜥蜴有什麼令人驚艷的地方呢？我們可以由第三幕的藝術表演觀察到經數學原理形成的蜥蜴可以彼此互相密合，有以下兩種密合方式： (1) 身體與頭部的密合 (2) 身體與尾巴的密合. 這種可以互相密合、無交疊且無空隙的蜥蜴圖案，我們稱之為蜥蜴磁磚。有了這兩種密合方式後，就可以用這兩種方式將很多隻蜥蜴磁磚密鋪在平面上了。四、蜥蜴的鑲嵌圖甲、蜥蜴鑲嵌圖透過了解鳥與魚在數學骨架上的正確位置及兩種密合方式後，即可在數學骨 57.