鑲嵌圖案

鑲嵌或密鋪（Tessellation）是指「將具有獨立封閉外形的圖形以連續、

反覆且不重疊，也不留空隙的形式在平面上展開」的意思。荷蘭版畫家艾薛 爾（Maurits Cornelius Escher）1958 年在他的論文〈The Regular Division of the Plane〉中，將鑲嵌圖案或密鋪平面稱為「平面規則分割」，並解釋為「一塊平 面或龐加萊圓盤，它應是被想成有無限的邊際，可將之填滿或被分割成 無數 類似的幾何圖案，不留任何虛的空間。」

鑲嵌圖案可以是多邊形也可以是非多邊形，所以鑲嵌圖案可以簡單分類 成這 兩大類，在多邊形這一類我們又可以分成兩類：單一種多邊形及兩種以 上多邊形。下面三張圖是取自日常生活中由單一種多邊形所組成的牆壁、地 板及天花板，這些磁磚的形狀分別為矩形、正三角形、菱形：

圖 2.1.1 臺灣師大校本部外牆

圖 2.1.2 大英博物館天花板

下面一張圖是由兩種以上多邊形所組成的磁磚，圖 2.1.4 的牆壁包含了三 角形、正方形及矩形：

圖 2.1.4 紅毛城英領事住宅入口

圖 2.1.5 的地板是由非多邊形的形狀所組成的，因為非多邊形鑲嵌圖案是 由多邊形為數學骨架（lattice）發展而來，故不加以細分，如下圖：

圖 2.1.5 臺北市政府前廣場地磚

第二節 艾薛爾創作背景

艾薛爾 1922 年在西班牙旅行時，對格拉納達的阿爾罕布拉宮（Alhambra Palace and Garden）印象深刻，尤其是摩爾式的棋盤形嵌石飾（tessellation）， 這宮殿是十 四世紀的穆斯林建築，宮殿裡的地板、牆壁、天花板都用許多的 複雜幾何圖案以及反覆性圖案來裝飾，其圖案之豐富，令人嘆為觀止。

圖 2.2.1 阿爾罕布拉宮的磁磚 圖 2.2.2 艾薛爾模擬的素描

1936 年艾薛爾第二次造訪阿爾罕布拉，研究的過程中發現他們與數學、

結晶學的關連，於是開始研讀雜誌上此類主題的文章。此後艾薛爾運用了以 數學為基礎的方法創作了多幅鑲嵌藝術作品，其中最有名的平面鑲嵌版畫在 他一生中共創作了 137 幅。

第三節 艾薛爾的平面鑲嵌版畫

艾薛爾在平面規則分割裡有提到主題元素（motif）、平移單位（sliding cell） 及數學骨架（lattice）等概念。

一、 主題元素（motif）

在鑲嵌版畫上所看到的圖案，如：鳥、甲蟲、蜥蜴等，皆為主題元 素，而數學家則稱之為磁磚（tile）。

二、 平移單位（sliding cell）

一個圖案能夠以重複排列的方式密鋪整個平面，稱為平移單位。我 們以艾薛 爾編號《E105 飛馬》（圖 2.3.1）為例，其平移單位是一匹飛 馬，但根據主題元素設計的不同，平移單位可能不只一種。

圖 2.3.1 E105 飛馬

三、 數學骨架（lattice）

一個多邊形如果恰好包含一個平移單位且能夠以重複的排列方式密 鋪整個平面，稱為數學骨架，在此以《E088 海馬》（圖 2.3.2）、《E015 蜥蜴》（圖 2.3.3）、《E006 駱駝》（圖 2.3.4）及《E003 舉重者》（圖 2.3.5） 為例。

圖 2.3.2 E088 海馬 圖 2.3.3 E015 蜥蜴

圖 2.3.4 E006 駱駝 圖 2.3.5 E091 甲蟲

圖 2.3.2 的綠框三角形為海馬的數學骨架，仔細觀察可以看出三角形 裡的區塊能拼成海馬，也就是此三角形內恰包含一個平移單位─海馬，由 圖 2.3.6 可 以看出此三角形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.3.3 的綠框正方形為蜥蜴的數學骨架，可以觀察出正方形裡的區塊能拼成蜥蜴，

由圖 2.3.7 可以看出 此正方形能以重複的排列方式密鋪整個平面；圖 2.3.4 駱駝的數學骨架為綠框平行四邊形，此平行四邊形裡的區塊能拼成駱駝，

由圖 2.3.8 可以看出此平行四邊形能以重複的排列方式密鋪整個平面；而 圖 2.3.5 甲蟲的數學骨架為綠框菱形，此菱形裡的區塊可以拼成一隻甲蟲，

由圖 2.3.9 可以看出此菱形能以重複的排列方式密鋪整個平面。由上述可 知，數學骨架的面積等於一個平移單位的面積。

圖 2.3.6 E088 海馬 圖 2.3.7 E015 蜥蜴

圖 2.3.8 E006 駱駝 圖 2.3.9 E091 甲蟲

艾薛爾將數學骨架主要分成兩大類：三角形及四邊形，其中三角形 包含正三角形、銳角三角形及由六個正三角形組成的正六邊形，四邊形 包含正方形、矩形、菱形、平行 四邊形及鳶形（箏形），為更清楚區分，

本研究將正六邊形歸類在六邊形，為求分類的完整性亦增加五邊形這一 類。

對於如何密鋪平面的問題，艾薛爾整理出三種規則：平移

（translation）、軸向（axes）及滑行鏡射（glide reflection），軸向為以 一個點為軸心發展圖案，滑行鏡 射為平移與鏡射的合成，本研究用旋轉 表示軸向，並用以下三種規則平移、旋轉 及鏡射來說明如何密鋪平面。

我們以艾薛爾的五幅版畫為例，分別說明其數學骨架為哪一個多邊形以 及此數學骨架鋪滿整個平面的方式。

《E088 海馬》（圖 2.3.6）的數學骨架為銳角三角形，其密鋪方式為：

分別是以海馬的背部為旋轉點旋轉 180 度，和以海馬的下巴為旋轉點旋 轉 180 度，最後是以海馬的尾巴為旋轉點旋轉 180 度，用上述三種方法

鋪滿方式密鋪於平面。

《E015 蜥蜴》（圖 2.3.7）的數學骨架為正方形，其密鋪方式為：以 蜥蜴右前腳為旋轉點一次旋轉 90 度，共四次，圍繞旋轉點的四個正方形 視為一組， 再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密鋪於平面。

《E006 駱駝》（圖 2.3.8）的數學骨架為平行四邊形，其密鋪方式為：

以駱駝的下巴為旋轉點旋轉 180 度後，再以駱駝的背部為旋轉點旋轉 180 度，三個平行四邊形視為一組，再以一組為一個單位以平移鋪滿方式密 鋪於平面。

《E091 甲蟲》（圖 2.3.9）的數學骨架為菱形，其密鋪方式為：將一 菱形與另一菱形的邊平移密合後，重複此排列方法密鋪於平面。

《E017 老鷹》（圖 2.3.10）的數學骨架為矩形，其密鋪方式為：將 老鷹以鉛直線為鏡射軸鏡往下貼齊後視為一組，再以一組為一個單位以 平移鋪滿方式密鋪於整個平面。

圖 2.3.10 E017 老鷹

第三章 從數學觀點看 艾薛爾平面鑲嵌版畫

第一節 尋找數學骨架

數學骨架可以是三角形、四邊形、五邊形或六邊形，但要如何判斷一個 鑲嵌圖案的數學骨架是什麼形狀的多邊形，我們就要由密鋪平面的三種方式 平移、 旋轉及鏡射來尋找線索。下面依平移、旋轉及鏡射分別說明如何由密 鋪方式尋找其數學骨架。

一、 平移

以《E105 飛馬》為例：先觀察圖 3.1.1 的平移單位是什麼？一隻飛馬，

我們以綠框的飛馬（圖 3.1.2）作為此鑲嵌版畫的平移單位並說明如何尋 找飛馬的 數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單位密鋪整個平面？觀 察此平移單位與其相鄰平移單位的關係，藍框為綠框左右的平移，而 黃 框為綠框的上下平移，可以用此密鋪方式來密鋪平面的多邊形為四邊形 中的正方形、矩形或平行四邊形。

圖 3.1.1 E105 飛馬 圖 3.1.2 中央為綠框飛馬

這數學骨架除須滿足兩對邊互相平行，還須滿足一個數學骨架只能 有一個平移單位。如圖 3.1.3 當畫了下面那一條黑色的邊時，對邊必須是

紅色的線之一，另 一對邊則將黑線與紅線端點相連。此正方形即為飛馬的 數學骨架（圖 3.1.4）， 檢查是否只包含一個平移單位並仔細觀察此正方形 的四個頂點有什麼特點，可以發現此正方形不僅只包含一個平移單位且 四個頂點“皆為”飛馬下巴尖端（或大腿背後尖端）。

圖 3.1.3 與黑邊對應之紅邊 圖 3.1.4 相連後的數學骨架

圖 3.1.5 的正方形也是飛馬的數學骨架，不僅只包含一個平移單位，

且其四個頂點皆為飛馬鼻子（或前腳後部）。除了尋找共同點，還需探 索有無其他可能性，將黑色正方形的底邊往垂直方向平移一些距離，如 圖 3.1.6 的紅色平行四邊形， 再檢查是否滿足數學骨架的定義。

圖 3.1.5 頂點不同的正方形 圖 3.1.6 其它數學骨架可能性

由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為平移的數學骨架時，依 平移單位可以選四個共同點相連，如《E127 鳥》（圖 3.1.7）的平移單 位是鳥，選其鳥的左臉為共同點，則此紅色正方形即為鳥的數學骨架。

將紅色正方形的某條邊向平行自己的方向平移仍是鳥的數學骨架（圖

3.1.8）。因此根據每個人所選的頂點不同，就會有不同的數學骨架，由 此可知數學骨架不唯一。

圖 3.1.7 正方形數學骨架 圖 3.1.8 平行四邊形數學骨架

二、 旋轉

以《E020 年年有魚》為例：先觀察圖 3.1.9 的平移單位是什麼？一個 年年有魚，我們以綠框的年年有魚（圖 3.1.10）作為此鑲嵌版畫的平移單 位並說明如何尋找年年有魚的數學骨架。此鑲嵌版畫是如何以此平移單 位密鋪整個平面? 觀察圖綠框的平移單位與其相鄰的平移單位的關係，藍 框為綠框以背鰭以及尾巴尖點為旋轉點，逆時針旋轉 90 度，黃框是綠框 同樣是以背鰭和尾巴尖點為旋轉點，順時針旋轉 90 度。可進一步觀察到 如果將綠框及藍框視為一個鑲嵌圖案，即可密鋪平面。另外兩種顏色框 同理。由此可以推測這兩個旋轉點為數學骨架的其中兩個頂點，再仔細 觀察還可以發現魚下巴也是一個旋轉點，那滿足這種特性的數學骨架會 是哪個多邊形呢？

圖 3.1.9 E020 年年有魚 圖 3.1.10 中央為綠框年年有魚

可以知道每個旋轉點的角度皆為 90 度，因此數學骨架可能為正方形，

因為正方形的每個角度為 90 度，如圖 3.1.11 的正方形，檢查其是否滿足 數學骨架定義？年年有魚的數學骨架還有可能是哪個多邊形呢？圖 3.1.12 的同心圓為平移單位鄰近的旋轉點，若選擇四個同心圓作為數學骨架的 其中三個頂點，剩下的同心圓在三同心圓形成的三角形之一邊上，則此 數學骨架為等腰直角三角形，檢查此等腰直角三角形是否滿足數學骨架 定義？

圖 3.1.11 正方形數學骨架 圖 3.1.12 等腰直角三角形骨架

由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在 平移單位上挑出旋轉點，如《E015 蜥蜴》（圖 3.1.13）的平移單位是一隻 蜥蜴，圖中的點為平移單位的旋轉點，選擇其中三個旋轉點為數學骨架的 三個頂點，再依密鋪方 式選擇正確的數學骨架。圖 3.1.14 的同心圓為平移

由上述可以得到下面結論：尋找密鋪方式為旋轉的數學骨架時，在 平移單位上挑出旋轉點，如《E015 蜥蜴》（圖 3.1.13）的平移單位是一隻 蜥蜴，圖中的點為平移單位的旋轉點，選擇其中三個旋轉點為數學骨架的 三個頂點，再依密鋪方 式選擇正確的數學骨架。圖 3.1.14 的同心圓為平移