導電度與含水特性關係

Sauer（1955）提出電流在非均質的多孔隙介質中傳導時，其傳 導的路徑可分為下列三種，如圖 2 - 1所示；路徑 1 為顆粒與孔隙水 所組成，路徑 2 為孔隙液體所組成，路徑 3 則為顆粒與顆粒所組成。

Arulanandan與Smith（1973）提出因為土壤顆粒之間的接觸面積太小，

對於整體的導電度影響很小，因此路徑3 通常忽略不計；而以路徑 1 與路徑2 為電流的傳導路徑。至於無細粒料的砂土與礫石的傳導路徑 則以孔隙水為主（Jackson, 1973）。含細粒料的岩石與砂土，還有黏 土土壤，其導電路徑則是以孔隙水以及黏土礦物的表面電荷為主

（Rhodes et. Al, 1976；Urish, 1981 ）。

導電度除了受傳導路徑影響外，亦受孔隙率、飽和度、孔隙液體 導電度、土壤種類、土壤電雙層、土壤乾密度及溫度等其他因子所影 響，當孔隙率越小、飽和度、溫度、孔隙液體導電度越大時導電度越 大，當土壤種類為黏土時，會產生電雙層因此導電度較砂土大。

圖 2 - 1 電流於多孔隙介質中三種主要傳導路徑（修改自 Sauer, 1955）

Archie（1942）對於飽和狀態下的岩石與砂礫石的電阻率與孔隙 率、孔隙水電阻率之間的關係，提出一簡單的經驗公式如下：

ρ=aρ_wn^-m （2 - 2）

ρ為總體電阻率（ohm-m），ρw為孔隙液體電阻率，n 為孔隙率，a、

m 則為待定係數，和孔隙形狀與內含的細粒料含量及膠結程度有關；

至於非飽和狀態的電阻率ρ，與飽和的電阻率ρsat 之間的關係式為

（Keller and Frischknecht, 1966;McNeill, 1990）：

ρ/ρ_sat=S^-n1；S>S_cr （2 – 3a）

ρ/ρ_sat=a_sS^-n2；S<S_cr （2 - 3b）

其中 S 為飽和度，Scr為臨界飽和度，n1、n2 則為經驗係數；當飽和 度大於臨界飽和度，n1≈2；若小於臨界飽和度，則 n2=4~5。as 取決 於岩性，由砂岩到火成岩，as分別為0.05~0.5。

電阻率的倒數即為導電度（S/m），Shan 與 Singh（2005）以導 電度的觀點，提出了較為廣義的Archie’s law（generalized Archie’s law）

如式：

σ=cσwθ^m （2 - 3a）

σ/σw=1/F=cθ^m ， θ=ω(γ^d/γ^w) （2 - 3b）

式中c、m為待定參數，與土壤種類有關，F為結構因數（Formation Factor），體積含水量θ為重量含水量ω乘上土壤乾單位重γ^d與水單位 重γ^w之比值。而由式(2 -3a)中可知導電度σ與體積含水量θ約略呈正 比關係。此外Shan 與Singh（2005）為探討（generalized Archie’s law）

的適用性，整理過去文獻中所使用多種土樣的實驗結果，並配合四種 截然不同特性的土壤樣本，進行夯實試驗，求取不同重量含水量下的 導電度變化如圖 2 - 2。Shan 與Singh並進一步標定圖 2 - 2中σmax左 側之 1/F與θ的變化關係，以率定不同土壤特性下的c、m值，其結果 如圖 2 - 3所示。結果中指出，在砂土與礫石的土壤中，c值約等於 1；

而m值約介於 1.5~2.0；在靈敏性的黏土中，c值通常大於 1，而m值則 介於1.36~3.5 左右。此外，文中引述相關文獻（Williams and Hoey, 1987;

Rhoades, 1989;Durlesser and Stanjek, 1997; Worthington, 1993;

Auerswald et al., 2001），認為粘土含量（CL）與c 、m值有某種程度 的相關性，當CL≥5%，c=0.6CL^0.55，m=0.92CL^0.2；當CL＜5%，c≈1.45，

m≈1.25。因此可知c、m值隨不同種類土壤有某種程度的變異性存在。

圖 2 - 2 土樣 white clay（WC）之 與σ w變化圖（Shan and Singh, 2005）

圖 2 - 3 不同特性土樣之 1/F 與θ變化圖（Shan and Singh, 2005）

Klein和Santamarina（2003）將土壤組構簡化，假設土壤組構是 由飽合狀態無限長平板顆粒相互平行所組成，如圖 2 - 4所示， 為 孔隙水厚度，

tw

tp_{為土壤顆粒厚度，ϑ}為土壤電雙層厚度，並且考慮土 壤中電雙層的導電度，提出了總體導電度為土壤顆粒導電度､土壤孔 隙溶液導電度和土壤電雙層導電度所組成，如式(2 - 4)所示。

^//

(

_mix

)

^{p p el w}

2

^ddl

w p

t t

t t

σ σ λ

σ = ^{+ +}

+

^{(2 - 4)}

σ

為土壤顆粒導電度，

σ

為土壤孔隙液體導電度，λ 則為電雙層

導電度，其中tw為孔隙水厚度，t_{p為土壤顆粒厚度。又}t_{p可表示為}

( ) ddl est

λ

為預估的電雙層導電度， 為陽離子的流動能力。所預估的 電雙層導電度又必須乘上一修正係數如式(2 - 9)

u

cat

( ) ddl ddl est

λ =αλ (2 - 9)

圖 2 - 4 土壤組構模型 (Klein 和 Santamarina，2003)

Rhoades、Raats和 Prather（1976）假設土壤模型如圖 2 - 5所示，

假設此模型為飽和狀態，淺藍色部分為滲流路徑，X₂*l_e為土壤中的

1 1 _e 2

圖 2 - 5 土壤組構模型 (Rhoades、Raats 和 Prather，1976）

Mojid、Rose和Wyseure（2007）認為土壤的組成如圖 2 - 6所示，

主要是由土壤顆粒、空氣、孔隙中自由的水體和黏土的吸附水層所組 成，將土壤組構假設為如圖 2 - 7所示。電阻等於電阻率乘上土體長 度除上土體截面積

/

R =ρl A (2 - 21)

又電阻率為導電度的倒數，因此可將式(2 - 21)改寫為

/

R l AE= (2 - 22)

，

可將自由水體和黏土電雙層導電度為表示成

w e / w

R =l A E_w (2 - 23)

d d / d

R =l A E_d (2 - 24)

又總體導電度等於孔隙水導電度加上黏土的電雙層導電度

1 1

R⁻ = Rw⁻ +R_d⁻¹ (2 - 25)

將式(2 - 22)、(2 - 23)、(2 - 24)代入(2 - 25)可得 (2 - 26) 移項可得

( ^w _w ^d )

e

a a

E l E

l A A

= + E_d (2 - 26)

可將

e

l

l 表示成T，T 為傳輸係數與孔隙中之滲流路徑相關因此可將式 (2 - 26)改寫為

( _{w w d d})

E T= θ E +θ E (2 - 27)

圖 2 - 6 實際土壤組構圖

圖 2 - 7 假設土壤組構模型(Mojid、Rose 和 Wyseure，2007)

Lin(1999)亦以導電度的觀點，提出導電度與含水量之關係如式

c b a

K_a = ρ_d + θ + (2 - 28)

[

_es

]

_d

dc c a A bw ρ

σ = + ( )+ (2 - 29)

式中a、b、c為待定參數，a與土壤表面積及土壤單位重有關；b與含 水量與土壤單位重相關；c與含水量及土壤種類有關。而由式(2 - 28)

中可知導電度σ與含水量ω呈正比關係。此外Lin（1999）為探討式(2 - 29)的適用性，整理過去文獻中所使用多種土樣的試驗結果(ρd = 1.32

~ 1.44 g/cm³)，圖 2 - 8所示，其迴歸所得之參數如表 2 - 1所示。

由得到之迴歸參數可知 c 值隨土壤種類不同而有某種程度之變 異性；a 與 B 值則隨土壤單位重不同而有一定範圍之差異，另其迴歸 值R²皆大於 0.95 顯示出良好的迴歸關係。

表 2 - 1 不同特性土樣迴歸參數結果(Lin,1999) Soil Type c a B R²

M1 -0.1102 0.0746 0.7932 0.979 M2 -0.1235 0.0955 0.7778 0.952 M3 -0.1595 0.1340 0.6281 0.954 M4 -0.2169 0.1514 0.8873 0.949 M5 -0.1317 0.1310 0.7234 0.976

0.1 sqrt(σdc-c)ρw/ρd

M1 M2 M3 M4 M5

Linear (M1) Linear (M2) Linear (M3) Linear (M4) Linear (M5)

圖 2 - 8 不同土壤種類其(√σdc-c)ρw/ρd 與 w 之關係(Lin,1999) 係整合則可將 Archie（1942）、Shan and Singh (2005) 、Klein and Santamarina (2003)表示為(2-30)，Rhoades et al. (1976) 、Lin(1999) 、

和式(2-30)表示相同，Archie（1942）因假設為飽和狀態下的岩石與 砂礫石的電阻率因此需將式(2-30)中體積含水量表示為飽和狀態下，

Klein and Santamarina (2003)經過簡化過後則 a、m 皆等於 1，體積含 水量為飽和狀態，Rhoades et al. (1976)因未考慮土壤電雙層導電度，

因此使用參數為式(2-31)中 a、b、e，其中 Ecw 為 a、b 變數，e 則為 土壤顆粒導電度，Mojid , Rose and Wyseure(2007)將土壤電雙層導電 度考慮進去，因此使用參數為式(2-31)中 a、b、c、d、e，其中 ECw 為 a、b 變數，ECd 為 d、e 變數，e 為一常數為土壤顆粒導電度，Lin(1999) 將土壤乾密度考慮進去，使用參數為式(2-31)中 a、b、e，ρ^d為a 、 b 變數， e 為常數，表 2-2、2-3 為此二通式使用參數及說明。

m

a

w

σ = σ θ

(2 - 30)

2 2

w w d d

EC a=

θ

+b

θ

+c

θ

+d

θ

+e (2 - 31)

以上經驗式和模型推導公式皆是由重模試體做試驗而得到，因此 所到的導電度與含水量關係皆為單一線性關係，Knight(1991)則是針 對岩體進行乾溼循環試驗，試驗方式主要是將試體放入壓力鍋內，利 用高壓蒸氣方式使試體內含水量增加，而乾側段則是採用自然乾燥方 式進行，試體的含水量估計則是利用秤重法進行，由試驗結果中發現

孔隙內水分分佈於乾溼循環過程中分部並不一致所造成，如，在剛開 始飽和過程中，試體表面會先產生一薄膜，隨著飽和度的增加，薄膜 逐漸增厚，並使得孔隙變的不連續，於自然乾燥階段，部分水份則會 先流失，與飽和階段並不相同。

表 2 - 2 通式(2-30)說明

使用參數 說明

Archie (1942) a、m θ 為飽和 Shan and Singh

(2005)

a、m 和通式相同

Klein and Santamarina (2003)

a、m a=1，m=1，θ 為飽和

表 2 - 3 通式(2-31)說明

使用參數 說明

Rhoades et al. (1976) a 、b 、 e ECw 為 a 、b 變數，

e 為常數 Mojid , Rose and

Wyseure(2007)

a 、b 、c 、 d 、 e

ECw 為 a 、b 變數，

ECd 為 c、d 變數，

e 為常數

Lin(1999) a 、b 、 e ρd為 a 、b 變數，

e 為常數

圖 2 - 9 砂岩乾溼循環試驗飽和度對應電阻率關係圖

圖 2 - 10 孔隙內水分分佈示意圖 2.2 土壤電阻性質量測：時域反射法(TDR)

時域反射法（Time Domain Reflectometry），簡稱 TDR，是一種 使用電磁波進行監測、探查的方法。其基本原理類似於雷達，由脈衝 電磁波製造器產生一脈衝電磁波進入同軸電纜，再由示波器紀錄因電 纜阻抗不連續所造成電磁波反射的訊號。電纜阻抗則是由電纜之斷面 幾何與電纜正、負極間絕緣介質所決定，因此，時域反射法利用傳輸

錄傳輸通路上之介質電學性質變化，或其通路之斷面幾何變形。

2.2.1 TDR 量測系統

圖 2 - 11為時域反射法之設備簡圖，包含階躍脈衝電壓產生器（Step Generator）、訊號採樣器(Sampler) 與示波器 ( Oscilloscope)，以及傳 輸系統，包含同軸纜線（coaxial cable）與量測探頭（measurement probe）。脈衝產生器產生電壓脈衝傳至同軸纜線，訊號採樣器擷取並 Step Generator

Coaxial Cable

Measurement Probe

TDR Device

L

Topp et al.（1980）所定義視介電常數 (apparent dielectric constant,

Ka)，可以由圖 2 - 12兩反射點a、b間之走時差（t）決定之： 議使用Heimovaara’s (1993) method，量測空氣中及純水中的波形，求 取感測器波形起始點以及感測器走時，如式(2 - 33)：

圖 2 - 12 TDR 於土壤中量測之波形示意圖

而由前述文獻回顧指出。由於水之介電常數與土壤顆粒或空氣之 介電常數差異甚大，些微含水量之變化即可使此空氣—土壤顆粒—水 其整體介電常數有明顯的變化，因此在高頻時之介電性質受土壤體積 含水量所控制（Topp et al., 1980, Lin et al., 2000）。許多學者透過實驗 建立此一視介電常數與土壤體積含水量的經驗公式或半經驗公式，其 中以Topp et al.（1980）所發表之經驗公式廣被採納。土壤之體積含 水量與介電常數之平方根成正比，其關係可簡單表示為

θ b a

K_a = + （2 - 34）

2.2.3 TDR 導電度量測率定

但該方法未能考慮纜線電阻的影響，Lin et al.（2007）則考慮纜線電 阻的DC 串聯電阻電路，重新推導導電度，如式(2 - 36)：

⎟⎟

corrected −

+ (electrical resistivity tomography, ERT)，是將一維的垂直與橫向探測結 果綜合組成電阻率剖面，適用於大範圍的地表下地層電阻率分佈情 形，而影響電阻率的變化因數包含了地質材料的導電特性、顆粒排列 方向、孔隙率、含水量、飽和度、地層構造、地層所含離子濃度等等。

由於地層內部常由粉土、砂土、黏土、礫石層、母岩以及含水層等組 合成不同層次，各層次有其特有之電阻率，便可利用不同電阻率厚度 和層次，進而推定各層之水文地質狀態。

地電阻影像探測的量測原理，乃藉由外加低頻交流電經由圖 2 - 13中電流極C1、C2 流入地層中，再利用電位極P1、P2 量測地層所反 應的電位差，由所量測的電位差與電流值，經靜電學理論計算可得到 受測土層之視電阻率（apparent resistivity）；再藉由不斷改變施測電極 之間距及位置，即可得到不同範圍之視電阻率，最後將視電阻率分佈 經反算分析後，即可推估地層實際電阻率分佈情況。

視地電阻量測空間影響範圍視電極間距而定，間距越大其探測深 度越深，不過相對地解析能力便會有所降低，所以必須根據探測目

視地電阻量測空間影響範圍視電極間距而定，間距越大其探測深 度越深，不過相對地解析能力便會有所降低，所以必須根據探測目

在文檔中 土壤電阻率與含水特性關係之探討 (頁 23-0)