2.2 土壤電阻性質量測：時域反射法(TDR)
2.2.1 TDR量測系統
圖 2 - 11為時域反射法之設備簡圖，包含階躍脈衝電壓產生器（Step Generator）、訊號採樣器(Sampler) 與示波器 ( Oscilloscope)，以及傳 輸系統，包含同軸纜線（coaxial cable）與量測探頭（measurement probe）。脈衝產生器產生電壓脈衝傳至同軸纜線，訊號採樣器擷取並 Step Generator
Coaxial Cable
Measurement Probe
TDR Device
L
Topp et al.（1980）所定義視介電常數 (apparent dielectric constant,
Ka)，可以由圖 2 - 12兩反射點a、b間之走時差（t）決定之： 議使用Heimovaara’s (1993) method，量測空氣中及純水中的波形，求 取感測器波形起始點以及感測器走時，如式(2 - 33)：
圖 2 - 12 TDR 於土壤中量測之波形示意圖
而由前述文獻回顧指出。由於水之介電常數與土壤顆粒或空氣之 介電常數差異甚大，些微含水量之變化即可使此空氣—土壤顆粒—水 其整體介電常數有明顯的變化，因此在高頻時之介電性質受土壤體積 含水量所控制（Topp et al., 1980, Lin et al., 2000）。許多學者透過實驗 建立此一視介電常數與土壤體積含水量的經驗公式或半經驗公式，其 中以Topp et al.（1980）所發表之經驗公式廣被採納。土壤之體積含 水量與介電常數之平方根成正比，其關係可簡單表示為
θ b a
Ka = + （2 - 34）
2.2.3 TDR 導電度量測率定
但該方法未能考慮纜線電阻的影響，Lin et al.（2007）則考慮纜線電 阻的DC 串聯電阻電路，重新推導導電度，如式(2 - 36)：
⎟⎟
corrected −
+ (electrical resistivity tomography, ERT)，是將一維的垂直與橫向探測結 果綜合組成電阻率剖面，適用於大範圍的地表下地層電阻率分佈情 形，而影響電阻率的變化因數包含了地質材料的導電特性、顆粒排列 方向、孔隙率、含水量、飽和度、地層構造、地層所含離子濃度等等。
由於地層內部常由粉土、砂土、黏土、礫石層、母岩以及含水層等組 合成不同層次，各層次有其特有之電阻率，便可利用不同電阻率厚度 和層次，進而推定各層之水文地質狀態。
地電阻影像探測的量測原理，乃藉由外加低頻交流電經由圖 2 - 13中電流極C1、C2 流入地層中，再利用電位極P1、P2 量測地層所反 應的電位差，由所量測的電位差與電流值，經靜電學理論計算可得到 受測土層之視電阻率（apparent resistivity）；再藉由不斷改變施測電極 之間距及位置，即可得到不同範圍之視電阻率，最後將視電阻率分佈 經反算分析後，即可推估地層實際電阻率分佈情況。
視地電阻量測空間影響範圍視電極間距而定，間距越大其探測深 度越深，不過相對地解析能力便會有所降低，所以必須根據探測目 的，在探測深度與解析度兩者之間取得平衡，以獲得較佳結果。而一 般實務上在進行地電阻探測時，於地表佈設數十根的電極棒，以 Wenner為例，量測過程中每次選取等間距的四根電極棒作為電流極 C1、C2 與電位極P1、P2 來量取一筆資料（如圖 2 - 13所示），再藉 由改變電極間距與位置，獲得不同幾何空間位置上的視電阻率值，所 獲得之電阻剖面稱為擬似電阻率剖面（Pseudo-Section）。最後經由反 算分析獲得真實地電阻影像剖面，藉以瞭解地層構造（Loke, 2003；
尤仁弘, 2006）。
圖 2 - 13 Wenner 地電阻探測量測示意圖（摘自尤仁弘，2006）
ρ areaof cross-section length
其中i 為每單位橫斷面積中的電流密度。
圖 2 - 14 單點電極電流與電位分佈（修改自 Loke, 2003）
若假設地表佈設兩個電流極C1、C2，如圖 2 - 15，圖 2 - 16所示，
並且在兩電流極之間佈設兩個電位極P1、P2以量取C1、C2之間的電位 差值。C1為輸入端電流極以+I表示，C2則為輸出端電流極-I，其中C1
和P1的距離為R1，P1和C2的距離為R2，C1和P2的距離為R3，P2和C2
的距離為R4。根據式(2 - 44)所得關係， C1以及C2對P1的電位貢獻分 別為：
1 1
C 2 R
V I
π
= ρ
2 2
C 2 R
V I
π ρ
= − (2 - 47)
由靜電學原理得知，多點電荷對某點產生的電荷大小，會等於每一個
⎟⎟⎠
電阻率值。
圖 2 - 15 雙點電極排列示意圖（修改自 Reynolds, 1997）
圖 2 - 16 雙點電極電流與電位分佈變化（Telford, 1990）
Telford（1990）以電流極間距與深度的變化關係，對均質地層的 水準電流密度做相關探討，如圖 2 - 17所示，其中L為兩電流極C1、
C2的距離，x是P點投影至地表與C1的距離，z為P點深度，r1與r 則分
圖 2 - 17 均質地層下雙點電極水準電流密度幾何參數（Telford, 1990）
圖 2 - 18 電流極間距和深度的改變與 P 點的水準電流密度變化
（Telford, 1990）
Nostrand 與 Cook（1966）提出了一個可計算均質地層下雙電流 極的電流通過百分比，如式(2 - 54)：
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
= π − L
z 2
i 2tan 1 (2 - 54)
利用式(2 - 54)的關係，可求得均質地層下的電流通過百分比i如圖 2 - 19所示，當z=L2時，只有 50%的電流到達其深度，但是當Z =L時，
則有到達70%的電流通過，因此當電極間距越大時，會有較多的電流 貫入較深的地層內。
圖 2 - 19 均質地層電流通過百分比（Nostrand and Cook, 1966）
在非均質地層情況下，Hubbert（1940）提出一個位元於兩不同 材料介面處的電流折射關係，來解釋地層的電阻率在非單一均質的地 質條件之下，所產生的電阻率變化，如式(2 - 55)：
1
圖 2 - 20 非均質地層電流折射（Hall, 1992）
圖 2 - 21 非均質地層電流密度分佈（Hall, 1992）
2.3.2 二維地電阻施測方法 2.3.2.1 施測原理
二維地電阻影像法於現地施測時，依照探測目的所需要的探測深 度與解析度，在地表面佈設數十根等間距電極棒後，根據前述文獻所 介紹雙點電極電流場下，可求出地層中某深度位置的視電阻率ρa：
G 支為電位極P1 和P2，並根據式(2 - 56)於Wenner排列方式下的幾何量 測原理，進行量測，如此即可量測到第一個位置的視電阻率值。而在
固定此電極間距下，向右不斷平移，一次選擇四根電極棒，也就是以 第二支與第五支電極為電流極C1 和C2，以第三支與第四支電極為電 位極P1 和P2，以此類推，即可量測到第一層視電阻率值，接著再藉 由改變電極間距的大小，如兩倍、三倍、四倍等等的等電極間距，則 可量測到不同深度層面的視電阻率值。如此反覆施做，即得到完整擬 似電阻率影像剖面(Pseudo-Section)。地電阻量測所得到之擬似電阻率 影像剖面表示每一施測幾何（電極配置）所得到之視電阻率，必須透 過反算分析方能獲得地層真實的電阻率分佈。反算分析之方法主要以 正算模式為基礎，通常假設一電阻率分佈，其量測之視電阻率可依據 靜電學理論與有限元素法（finite element）或有限差分法（finite difference）來模擬預測，接著設法改變電阻率分佈，使得預測的視電 阻率值盡量逼近量測值，則可估計出地層之真實電阻率分佈，現地由 於資料量大，反算分析通常以結合正算模式之最佳化方法來進行。
圖 2 - 23 電極排列施測流程（Wenner 為例）（修改自尤仁弘，2006）
2.3.2.2 電極排列方式比較
在現地施作地電阻探測時，會依照所預期達到的工程目的來選擇 施測的電極排列方法。而影響各種電極排列的探測結果，一般以下列 三個因素來做探討：（1）訊號強度（2）可探測深度（3）垂直與橫向 解析能力。
訊號強度除了會受週遭環境雜訊影響外，在一般情況下會與電極 幾何排列參數 K 成反比關係，且訊號強度衰減係數為幾何排列參數 的倒數，即 1/K。Edwards（1977）則提出一測深參數為 Ze/L 來，推 估各電極排列方式的最大探測深度，其中 Ze 是探測深度，L 則是測
由0.025 公尺到 1 公尺的各電極排列下靈敏度剖面，來探討其解析能 力（楊證傑，2005）。
根據以上三種量測影響因素，可以對常見的電極施測方法的綜合 表現有所瞭解。以Wenner為例來說，其電極排列法如圖 2 - 22，四根 電極成等間距排列，其電極排列幾何參數k=2πa，故訊號強度衰減係 數是1/k，即為 1/2πa，與其他的電極排列法比較起來相對訊號衰減程 度低，故訊號強度較強。因此Wenner適合用在以監測為目的之工址，
以降低背景雜訊大時所造成的影響。根據Edwards（1977）提出的測 深參數，Wenner的探測深度約為展距的 0.173 倍，相對適用於淺層的 調查。依照靈敏度剖面的結果分析，Wenner排列下的電阻率值對於垂 直方向靈敏度較高，電阻率值變化明顯，但是在水準方向卻不顯著，
因此垂直方向解析度優於水準方向，若當地質狀態為垂直向下的水準 層狀變化時，以Wenner來施測會得到較佳的探測結果。
依據上述分析方法，我們將一般常見的各施測方式所表示出的三 種量測特性整理如表2-4 所示。
表 2 - 4 各施測電極排列方式綜合比較
電極排列方式 訊號衰減強度
探測深度 Ze/L (Ze:測深, L：展距)
較佳解析方向
Wenner 1/2πa（佳） 0.17（最差） 垂直向 Wenner-
Schlumberger 1/n2（次佳） 0.17（最差）
垂直向 側向 Dipole-Dipole 1/n3（差） 0.22（差） 側向 Pole-Dipole 1/n2（次佳） 0.36（次佳） 側向 Pole-Pole 1/2πa（佳） 0.86（佳） 皆較差 結果顯示，在訊號衰減程度方面，以 Wenner array 和 Pole-Pole array 最佳，相對訊號強度最強，但因 Pole-Pole array 的電流極 C2 和 電位極 P2 為遠電極，故兩者之間可能會涵蓋較多雜訊，所以實際上 訊號強度不及Wenner，因此 Wenner 較適用於以監測為目的之工程；
探測深度部份以 Pole-Pole array 的探測深度最深，測深參數 Ze/L 達 0.86，而以 Wenner array 與 Wenner-Schlumberger array 最差，故適用 於淺層地質探測，深層探測則以Pole-Pole array 為主；至於各種排列 在地層的解析能力，於垂直向與水準向各有其優缺點，則須依不同的 工程探測目的來選擇最佳的排列方式。
2.3.2.3 ERT 反算原理
由 ERT 量測所得不同深度位置之視電阻率值，稱為擬似電阻率 剖面（pseudo-section），必須經過反算分析才可以得當真實地層的電 阻率剖面，所以此節將探討反算分析的原理與過程。
定義反算最佳化過程中，量測資料行向量y、模型反應函數行向 量f、模型參數行向量 q，分別以下列的型式表示：（Loke, 2003）
y =col
(
y1,y2,...ym)
f =col
(
f1, f2,...fm)
(
q q q)
col
q= 1, 2,... m (2 - 57)
其中 m 表示向量中有 m 個量測資料值。若反應函數為一個線性 系統，則我們將量測資料向量y 與模型參數向量 q 帶入反應函數後，
所得到的反應函數向量f 的差值定義為向量 d，即：
f y
d = − (2 - 58)
1.最佳化最小平方反演算法
在最小平方法的最佳化過程中，最終目標是希望使式(2 - 58)中 d 的誤差平方和E（如式(2 - 59)所示），能減低到最小。因此利用高斯
其中J 即為 Jacobian 矩陣；由此得到第 i+1 次的模型參數 i，
其中J 即為 Jacobian 矩陣；由此得到第 i+1 次的模型參數 i，