ERT反算原理

由 ERT 量測所得不同深度位置之視電阻率值，稱為擬似電阻率 剖面（pseudo-section），必須經過反算分析才可以得當真實地層的電 阻率剖面，所以此節將探討反算分析的原理與過程。

定義反算最佳化過程中，量測資料行向量y、模型反應函數行向 量f、模型參數行向量 q，分別以下列的型式表示：（Loke, 2003）

y =col

(

y₁,y₂,...y_m

)

f =col

(

f₁, f₂,...f_m

)

(

q q q

)

col

q= ₁, ₂,... _m (2 - 57)

其中 m 表示向量中有 m 個量測資料值。若反應函數為一個線性 系統，則我們將量測資料向量y 與模型參數向量 q 帶入反應函數後，

所得到的反應函數向量f 的差值定義為向量 d，即：

f y

d = − (2 - 58)

1.最佳化最小平方反演算法

在最小平方法的最佳化過程中，最終目標是希望使式(2 - 58)中 d 的誤差平方和E（如式(2 - 59)所示），能減低到最小。因此利用高斯

其中J 即為 Jacobian 矩陣；由此得到第 i+1 次的模型參數 _i， 量過大，故Inman（1975）以 Marquardt-Levenberg 方法，加入一個阻 尼係數λ（damping factor）將式(2 - 60)修正為式(2 - 61)，以避免 過

此方法又稱為smoothness-constrained least-squares inversion，或 L2 norm inversion。Constable et al.（1987）認為以(2 - 61)式的反算方 法進行二維或三維的反算問題時，在模型參數過多時常會出現太高或 太低的錯誤值，因此 deGroot-Headlin 與 Constable（1990）加入了粗 糙係數W（roughness filter）來降低模型參數變異的平方和，如(2 - 62) 式。

(

^J_i^TJ_i +λ_i^WTW

)

Δ^q_i = ^J_i^Td_i −λ_i^WTWq_i−₁ (2 - 62)

此法為一般較常見的反算方式，當地層條件變化較為平滑的情況 下，也就是土壤的變化條件為漸變帶時，則以此種反算方法可得到較 為合理的結果，反算後誤差則以均方根相對誤差 RMS（Root Mean Square Relative Error）(2 - 63)來表示。

( )

此法又稱為 Robust inversion，或 L1 norm inversion。Wolke 與 Schwetlick（1988）為了使資料差異量 d 與粗糙係數 W 達接近的權重，

故在(2 - 58)式中加入了權重矩陣 R_d、R_m，如(2 - 64)式：

(

^J_i^TR_d^J_i +λ_i^WTR_m^W

)

Δ^q_i =^J_i^TR_d^d_i −λ_i^WTR_m^Wq_i−₁ （2 - 64）

當遇到電阻率為急遽變化的邊界時，若以 L2 norm 來進行反算 時，為了求的最平滑化的模型反而會出現過高或過低的電阻率值，因 此常建議改以L1 norm 來對其進行反算，可以顯示出較為顯著的電阻 率邊界（Olayinka and Yaramanic, 2000；Loke, Acwroth and Dahlin,

2003）。Clarebout 與 Muir（1973）認為對於此種急遽變化的電阻率邊 界分佈應求取其最小絕對差異量較合適，因此 L1 norm 的反算誤差以 絕對值誤差表示。

上述為常見的三種反算最佳化法，而整體的反算基本流程則如圖 2 - 24所示。

圖 2 - 24 反算基本流程圖(姚奕全，2007) 2.3.3 三維地電阻施測

三維電探的施測原理與電極排列方式等，基本上都與二維電探相 同，唯一的不同是現場的測線佈設方法較為繁瑣。三維電探將測線佈 成一個長方形或矩形的網格（如圖 2 - 25），因不同的探測範圍或深

線以S型的佈線方式將每一根電極棒串聯起來，以進行資料的擷取。

至於在電極排列方式的選擇上，Wenner array、Wenner-Schlumber er array對於調查區域邊界的資料涵蓋範圍較差，因此在三維施測上較常 使用Dipole-Dipole array、Pole-Dipole array與Pole-Pole array的電極排 列法（Loke and Baker, 1996）。

g

圖 2 - 25 一般三維電探佈線方式(a)沿 Y 軸，(b)沿 X 軸(姚奕全，2007) 2.4 結合 ERT 與 TDR 於砂箱現地模擬試驗

姚奕全(2007)､吳瑋晉(2008)利用砂箱降雨模擬試驗驗證結合 ERT與TDR進行土層含水特性詮釋的可行性。砂箱試驗配置如圖 2 - 26 所示，使用寶山第二水庫庫區粉質砂土為試驗土樣，土壤將其放置室 溫下自然風乾數天，以模擬現地初始乾燥狀態。砂箱尺寸大小為 60cm×60cm×60cm，此外為使砂箱降雨模擬試驗得以和率定模的基本率

同乾密度γd=15.5kN/m3。在降雨濕潤階段使用TDR量測體積含水量與 導電度；在乾燥階段加入ERT量測土層電阻率。吳瑋晉(2008)試驗結 果顯示，在TDR量測含水量與導電度的關係方面，砂箱降雨入滲試驗 中，顯示乾側與溼側的體積含水量與導電度之率定關係（θ-σ）明 顯不同，有明顯之遲滯(hysteresis)現象產生，如圖 2 - 27所示，在 相同含水量下，砂箱試驗在降雨過程及自然乾燥過程中，所得導電度 並不相同，會有一遲滯圈產生。

圖 2 - 26 砂箱儀器配置示意圖

0 50 100 150 200 250 300

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45

θ

σ(μs/cm)

TDR cone1 TDR cone2 calibration

線性 ( calibration)

圖 2 - 27 砂箱試驗 σ v.s θ 結果

三、砂箱降雨模擬試驗探討含水量與導電度關係

根據(吳瑋晉，2008)所提出之建議，由於TDR含水量與導電度量 測在感測器側向具有不同的非均勻空間影響範圍，如圖 3- 1所示，在 降雨入滲過程可能因為在垂向含水量變化很大而造成水平裝設之感 測器產生遲滯現象的假象，因此建議將TDR cone由原本的水平擺設改 由垂直擺設，使得降雨入滲時含水量和導電度量測較為同步，藉由垂 直擺設，觀察是否能改善遲滯現象及對於導電度與體積含水量之間的 關係。

圖 3- 1 TDR 感測器體積含水量與導電度量測範圍差異示意圖

3.1 砂箱降雨模擬試驗

本章節將詳述砂箱模擬試驗內容，首先對砂箱土樣的準備、各實 驗儀器及其配置作相關說明，再對試驗步驟與流程做一整體性的規 劃，詳細內容如下。

3.1.1 土樣準備與試驗儀器

本研究砂箱試驗，使用寶山第二水庫庫區粉質砂土為試驗土樣，

其粒徑分佈曲線如圖 3- 2所示；土壤係先以#4 標準篩過濾較大礫石 塊，再用通過#4 標準篩之土樣進行試驗，過篩後的土樣將其放置室 溫下自然乾燥數天，以模擬現地初始的乾燥狀態。砂箱的尺寸大小為 60cm×60cm×60cm，為降低砂箱邊界對於地電阻量測時的電流場產生 邊界效應的影響，填入土樣深度應盡可能等於電探測線展距，規劃砂 箱中的電探測線展距為 50cm 右，因此填入之土樣深度至少為 50cm，此外砂箱內模擬地層的土壤條件需與率定模內的土壤相同，

為使後續砂箱降雨模擬所建立的率定關係得以和率定模的基本率定 結果做相關的比對與驗證，固定砂箱土樣與率定模土樣在約略相同乾 密度

左

γd =15.5kN/m³的土層條件下，將自然乾燥後的寶二水庫土樣，以 大型夯錘分層均勻夯入約50cm深的土壤厚度，如圖 3- 3。

圖 3- 2 寶二水庫土樣粒徑分佈曲線(姚奕全，2007)

圖 3- 3 大型夯錘將土樣分層夯入砂箱(姚奕全，2007)

在砂箱試驗中所使用到的主要相關儀器設備有二類，即 TDR 量 測系統、及地電阻量測系統，以下將對各實驗儀器設備做一簡單說明。

TDR 量測設備

TDR100，如圖 3- 4所示，可配合多工器（Multiplexer）同時量測不 同TDR感測器，並搭配資料擷取器（Datalogger）具有可程式化、自 動化量測的功能來輔助降雨初期的資料密集量測。至於TDR感測器方 面則是如前述章節在率定土樣基本關係時所使用的小型TDR cone感 測器；貫入式探頭有利於感測器置入砂箱進行資料量測，又其本身貫 入土壤中所佔體積較小，故可降低感測器本身材料電阻對於地電阻量 測時的電場影響。

圖 3- 4Campbell TDR 100 量測儀 地電阻量測設備

在地電阻量測系統方面，本研究所使用的地電阻探測儀器為法國 IRIS公司所生產的SYSCAL PRO Switch 48，如圖 3- 5所示，可連接 48 頻道電極，主機內部含電源傳送器（transmitter），訊號接收器

（receiver）與電源供應器（booster），在電源供應部分可依施測需求 外接直流式電源提供更大電流，另外為了滿足二維或三維的施測配 置，可以利用Switch Pro box外接更多電極纜線以達到需求。由於本 研究為小尺寸室內砂箱模擬，因此在連結的傳輸纜線與電極棒方面，

使用24 頻道集線器兩個，如圖 3- 6，共 48 頻道搭配 2.5 公分不銹鋼 釘為電極棒來進行地電阻量測。而研究預計以三維電探進行砂箱試驗 之探測，因此使用三維反算軟體AGI EarthImager 3D Ver. 1.3.7，將電 探主機所量得視電阻率分佈（Apparent Resistivity）經過反算最佳化 分析後，以獲得砂箱內土壤真實的電阻率分佈情形。

圖 3- 5 地電阻探測儀-SYSCAL PRO Switch 48

圖 3- 6 ERT 24 頻道集線器

3.1.2 試驗配置與規劃

在砂箱試驗配置方面TDR 感測器由水平擺設如圖 3- 8所示改由 垂直擺設如圖 3- 9所示， TDR 感測器以垂直方式，且左右對稱埋置 於ERT 二邊測線旁，深度為表層下五公分。

ERT 測線佈設，為了減少 3D 效應的影響因此採用 3D 佈設方式，

測線為對稱矩形，電極棒數為 2*24 支，間距為 2 公分，探測深度為 12 公分，施測方式採用 Dipole-Dipole equatorial

在砂箱試驗配置方面為了讓土壤內部各含水特性參數有足夠的 乾溼變化量，以達到模擬現地在長時間的監測過程中，因受到間歇性 的降雨入滲行為或乾濕季的季節交替等影響所形成的土壤乾溼循 環，使其含水量、飽和度等含水特性大幅度的變化，且為符合現地率 定電阻率與含水特性的目的，因此在砂箱土壤為自然乾燥的狀態下開 始降雨，並控制所模擬的累積降雨量，使電探探測深度10cm 的土層 深度範圍內土壤接近飽和含水量的臨界狀態，以確保砂箱內土壤含水 特性有足夠的變異範圍進行迴歸分析。在整體砂箱試驗的過程當中，

以 TDR 量測系統來監測土壤體積含水量與導電度兩參數值，而地電 阻量測系統則監測土壤三維電阻率剖面的變化。

試驗共分為降雨濕潤（wetting）以及乾燥（drying）兩階段。第 一階段為降雨濕潤，即模擬現地降雨行為，使砂箱土壤由初始乾燥狀

態因降雨而逐漸濕潤的過程，以ERT 與 TDR 儀器監測與擷取土壤電 學性質及各含水特性參數值。而在降雨過程中，由於土壤的乾濕變化 較為快速，因此降雨濕潤期間的資料必須密集量測，以確保後續迴歸 結果趨勢的正確性。為了驗證地電阻的解析度，因此在降雨期間將會 於雨水入滲深度到達四公分、八公分及十二公分時進行地電阻量測，

量測期間將停止降雨且為避免各儀器之間的電場互相干擾降低試驗 準確性，因此 TDR 量測系統亦會同時暫停；另在第一階段的降雨過 程中以TDR 量測系統搭配 Multiplexer 與 Datalogger 的使用，每 4 分 鐘1 次密集量測土壤體積含水量與導電度。

降雨結束後，進行第二階段乾燥過程資料量測，過程中土壤的乾 濕變化不如溼潤時快速，故可逐步拉大量測時間間隔，由數十分鐘增

降雨結束後，進行第二階段乾燥過程資料量測，過程中土壤的乾 濕變化不如溼潤時快速，故可逐步拉大量測時間間隔，由數十分鐘增

在文檔中 土壤電阻率與含水特性關係之探討 (頁 63-0)