土壤電阻率與含水特性關係之探討

國立交通大學

土木工程學系碩士班

碩士論文

土壤電阻率與含水特性關係之探討

Investigation of relationship between the soil moisture and

eletrical resistivity

研究生：林哲毅

指導教授：林志平 博士

中華民國九十八年七月

土壤電阻率與含水特性關係之探討

Investigation of relationship between the soil moisture and eletrical resistivity

研究生：林哲毅 Student: Jhe-Yi Lin

指導教授：林志平 博士 Advisor: Dr. Chih-Ping Lin

國立交通大學 土木工程學系碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Civil Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

in

Civil Engineering

July 2009

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

土壤電阻率與含水特性關係之探討 學生：林哲毅 指導教授：林志平 博士 國立交通大學土木工程學系碩士班

中文摘要

非飽和土層其含水特性常影響邊坡穩定性與土壤污染傳輸特 性，因此對非飽和土層進行含水特性之監測有其必要性。非飽和土層 含水特性與電阻率具有高度相關性，但電阻率又同時受到地文及水文 因子的影響，因此難以單獨利用地電阻影像探測（Electrical Resistivity Tomography, ERT）量測地層含水特性分佈，前期研究提出結合時域 反射技術（Time Domain Reflectometry, TDR）具同時量測土層含水特

性及電阻率之特性，由 TDR 監測結果率定地文因子，但室內砂箱模 擬試驗發現在模擬降雨與乾燥過程，含水量與電阻率具有遲滯現象， 在相同含水量下，其電阻率隨降水和自然乾燥階段而有所不同。 本研究主要探討此一遲滯現象，以提高在電阻率轉換含水特性時 之精確性，首先探討是否為 TDR 含水量與導電度量測在感測器側向 具有不同的非均勻空間影響範圍及砂箱試驗配置所造成；結果顯示將 TDR 感測器垂直擺設可以有效減少遲滯圈範圍，但此現象依然明顯 存在。因此回歸至更為基礎之研究，就溫度因子進行探討，並改以能 產生較為均質試體且易控制含水量之方式進行含水量與電阻率量測

試驗；結果顯示溫度影響電阻率轉換含水特性之精確性，本研究建立 一土壤電阻率溫度補償模式，並將後續量測進行溫度修正。由不同乾 溼循環速度之試驗結果，發現遲滯現象的產生與乾溼循環速度有關， 在快速濕潤過程中產生類似砂箱降雨入滲模型試驗之遲滯現象；但當 濕潤速度緩慢則此遲滯現象將會大幅減緩，推測遲滯現象的產生應為 在乾溼過程中，其孔隙中水分及空氣分佈不同所造成。 關鍵字：地電阻法（ERT）、時域反射法（TDR）、土壤含水量

Investigation of relationship between the soil moisture and eletrical resistivity

Student：Jhe-Yi Lin Advisor：Dr. Chih-Ping Lin Department of Civil Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

The slope stability and transportation of underground pollution in unsaturated soils much depend on the soil moisture content, thus, there is a demand for monitoring spatial and temporal variation of the soil moisture content. The water content characteristics of unsaturated soils has a close relation with soil electrical resistivity. However, electrical resistivity depends not only on soil moisture content, but also on the groundwater characteristics and geological factors. Therefore, it is difficult to monitor soil moisture distribution by ERT alone. Earlier study proposed to integrate electrical resistivity tomography (ERT) with Time Domain Reflectometry (TDR), which can monitor soil moisture content and resistivity simultaneously for on-site calibration. However, the sandbox physical model tests revealed that, during simulated rainfall infiltration and drying process, there exists a hysteresis between soil moisture content and resistivity, in which a resistivity value corresponds to different soil moisture content depending on whether it is in drying or wetting process..

In order to enhance the accuracy of soil moisture imaging based on ERT, this research was aimed to investigate the hysteresis phenomenon. First, experiments were conducted to show whether the hysteresis is due

sandbox physical model. The results showed that the vertical installation of TDR probes can reduce the hysteresis loop slightly, but the hysteresis phenomenon is still significant. This research was then turned to more fundamental investigations, including temperature effect and experiments using devices that can produce more uniform samples and better control the testing soil moisture. Significant temperature effect on soil resistivity was observed. This study proposed a temperature compensation model and further measurements were temperature corrected. Experimental results from different wetting and drying speed showed that the hysteresis seems related to the wetting and drying speed. Similar hysteresis phenomenon was observed in quick wetting and drying process while there is no significant hysteresis in slow wetting and drying process. The hysteresis is attributed to different air and water distributions in soils during wetting and drying process.

Keywords: Electrical Resistivity Tomography (ERT), Time Domain Reflectometry (TDR), soil moisture

致謝

本論文得以順利完成，承蒙指導教授 林志平博士於研究所兩年 的求學期間悉心指導，給予學生在論文研究以及專業知識上的諸多指 導，使學生得以突破研究瓶頸並獲得學識上的精進，此外，於求學態 度與待人處世方面亦給予學生許多啟發，使我在研究所的求學期間更 加的成長、茁壯，在此致上最誠摯的謝意。 求學期間，承蒙廖志中教授、潘以文教授、黃安斌教授、方永壽 教授與單信瑜教授於學識上的指導，在此致上萬分謝意。 口試期間，蘇苗彬教授、謝旭昇老師、工研院柳志錫研究員 與湯士弘老師給予本論文許多寶貴的意見與建議，使本文得以更加完 善，在此表示由衷的感謝。 研究期間，幸蒙宗盛、志忠、士弘、瑛鈞、俊宏與仁弘等學長的 協助，尤其是志忠與俊宏學長的諸多幫助，實在感激不盡。同門智棟 與永政於研究上的協助，以及其他研究所期間同甘共苦的同學們，真 的很高興能認識你們這群朋友。還要感謝學弟子亦、儒錚與玉紋在實 驗上的幫助，使每個實驗得以如期順利完成，以此謝文獻上致意。 最後要感謝女友怡臻，一路上的鼓勵與支持，當然最要感謝的是 我那可愛的家人們，這二十幾年來如果沒有你們一路上的包容與支 持，就沒有今天的我，我愛你們，謹以此文獻給我最親愛的家人。

目錄

中文摘要... I 英文摘要...III 致謝...V 目錄... VI 圖目錄... IX 表目錄... XIV 一、前言...1 1.1 研究動機...1 1.2 研究目的...3 1.3 研究流程...4 二、文獻回顧...6 2.1 土壤電學性質及其與含水特性之關係...6 2.1.1 介電度與含水特性關係...6 2.1.2 導電度與含水特性關係...7 2.2 土壤電阻性質量測：時域反射法(TDR)...24 2.2.1 TDR量測系統 ...25 2.2.2 TDR介電度/含水量量測...25 2.2.3 TDR導電度量測率定 ...28

2.3 土壤電阻性質量測：地電阻影像法(ERT)...29 2.3.1 地電阻法基本原理...31 2.3.2 二維地電阻施測方法...41 2.3.2.1 施測原理...41 2.3.2.2 電極排列方式比較...44 2.3.2.3 ERT反算原理 ...47 2.3.3 三維地電阻施測...50 2.4 結合ERT與TDR於砂箱現地模擬試驗 ...51 三、砂箱降雨模擬試驗探討含水量與導電度關係...54 3.1 砂箱降雨模擬試驗...55 3.1.1 土樣準備與試驗儀器...55 3.1.2 試驗配置與規劃...59 3.2 砂箱試驗結果與討論...63 3.2.1 TDR量測系統率定結果 ...64 3.2.2 砂箱模擬試驗結果...67 四、土壤含水量與導電度遲滯現象之基礎研究...73 4.1 溫度對導電度量測之影響...73 4.1.1 試驗規劃 ...74 4.1.2 溫度影響之試驗結果...75

4.2 壓力鍋試體乾溼循環試驗...81 4.2.1 壓力鍋試驗儀器及規劃...81 4.2.3 壓力鍋試驗結果...86 4.3 快速乾溼循環試驗...90 4.3.1 快速乾溼循環試驗方法及步驟...90 4.3.2 快速乾溼循環試驗結果...91 五、結論與建議...94 5.1 結論...94 5.2 建議...96 文獻回顧...97

圖目錄

圖 1- 1 結合TDR與ERT調查與監測地層含水特性分佈流程 圖(修改自 姚奕全，2007)...3 圖 1- 2 研究流程 ...5 圖 2 - 1 電流於多孔隙介質中三種主要傳導路徑（修改自 Sauer, 1955） ...8 圖 2 - 2 土樣white clay（WC）之σ與w變化圖（Shan and Singh,

2005） ...10 圖 2 - 3 不同特性土樣之 1/F與θ變化圖（Shan and Singh,

2005） ...11 圖 2 - 4 土壤組構模型 (Klein和Santamarina，2003) ...14 圖 2 - 5 土壤組構模型 (Rhoades、Raats和Prather，1976） ...16 圖 2 - 6 實際土壤組構圖 ...17 圖 2 - 7 假設土壤組構模型(Mojid、Rose和Wyseure，2007) ...18 圖 2 - 8 不同土壤種類其(√σdc-c)ρw/ρd 與w之關係(Lin,1999) ...20 圖 2 - 9 砂岩乾溼循環試驗飽和度對應電阻率關係圖...23

圖 2 - 10 孔隙內水分分佈示意圖...24 圖 2 - 11 時域反射法之設備 ...25 圖 2 - 12 TDR於土壤中量測之波形示意圖...27 圖 2 - 13 Wenner地電阻探測量測示意圖（摘自尤仁弘，2006） ...31 圖 2 - 14 單點電極電流與電位分佈（修改自 oke, 2003）33 - 15 雙點電極排列示意圖（修改自Reynolds, 1997）.35 L 圖 2 圖 2 圖 2 圖 2 圖 2 圖 2 - 16 雙點電極電流與電位分佈變化（Telford, 1990） ...35 - 17 均質地層下雙點電極水準電流密度幾何參數 （Telford, 1990）...37 - 18 電流極間距和深度的改變與P點的水準電流密度 變化（Telford, 1990）...37

- 19 均質地層電流通過百分比（Nostrand and Cook, 1966） ...38

- 20 非均質地層電流折射（Hall, 1992）...40

圖 2 - 21 非均質地層電流密度分佈（Hall, 1992）...41

圖 2 - 22 一般常見電極排列方式(姚奕全，2007) ...42

圖 2 圖 2 圖 3- 1 TDR感測器體積含水量與導電度量測範圍差異示意 圖 3 - 24 反算基本流程圖(姚奕全，2007) ...50 圖 2 - 25 一般三維電探佈線方式(a)沿Y軸，(b)沿X軸(姚奕 全，2007) ...51 - 26 砂箱儀器配置示意圖...52 圖 2 - 27 砂箱試驗σ v.s θ結果...53 圖...54 - 2 寶二水庫土樣粒徑分佈曲線(姚奕全，2007) ...56 圖 3- 3 大型夯錘將土樣分層夯入砂箱(姚奕全，2007) ...56 圖 3- 4Campbell TDR 100 量測儀 ...57

圖 3- 5 地電阻探測儀-SYSCAL PRO Switch 48 ...58

圖 3- 6 ERT 24 頻道集線器...58 圖 3- 7 砂箱試驗配置平面圖 ...61 圖 3- 8 砂箱儀器配置示意圖(TDR cone 平行擺設)...62 圖 3- 9 砂箱儀器配置示意圖(TDR cone 垂直擺設)...62 圖 3- 10 砂箱試驗儀器配置完成結果...63 圖 3- 11 TDR 1 導電度率定結果 ...64 圖 3- 12 TDR 2 導電度率定結果 ...65

圖 3- 13 θ v.s k_a率定結果...66 圖 3-14 砂箱試驗TDR量測結果體積含水量與時間關係....70 圖 3- 15 砂箱試驗TDR量測結果導電度與時間之關係...70 圖 3- 16 砂箱試驗TDR cone垂直擺設σv.sθ率定結果...71 圖 3- 17 砂箱試驗TDR cone水平擺設σv.sθ率定結果...71 圖 3- 18 不同入滲深度電阻率分佈與入滲側照圖...72 圖 3- 19 不同入滲時間電阻率分佈圖...72 圖 4 - 1 電解溶液溫度對導電度關係圖...74 圖 4 - 2 恆溫恆濕箱 ...75 圖 4 - 3 溫度對應不同含水量下的導電度變化關係圖...78 圖 4 - 4 體積含水量對應溫度 20 度時的截距...78 圖 4 - 5 體積含水量對應斜率 ...79 圖 4 - 6 溫度對應導電度經驗修正式...79 圖 4 - 7 溫度對應導電度理論修正式...80 圖 4 - 8 土壤體積含水量對應土壤電雙層體積含水量...80 圖 4 - 9 利用毛細作用模型描述高進氣吸力陶磁板原理....85 圖 4 - 10TDR同軸感測器 ...85 圖 4 - 11 乾溼循環儀器示意圖 ...86

圖 4 - 12 TDR 同軸感測器導電度率定結果...88 圖 4 - 13 壓力鍋試驗導電度對含水量試驗結果...88 圖 4 - 14 壓力鍋試驗導電度對含水量溫度修正試驗結果..89 圖 4 - 15 壓力鍋土壤體積含水量對應土壤電雙層體積含水 量...89 - 16 Cho and Santamarina乾溼循環試體模 ...91 圖 4

圖 4 - 17 Santamarina 快速濕潤試驗...93 圖 4 - 18Santamarina 濕側自然平衡試驗...93

表目錄

表 2 - 1 不同特性土樣迴歸參數結果(Lin,1999)...19 表 2 - 2 通式(2-30)說明 ...22 表 2 - 3 通式(2-31)說明 ...23 表 2 - 4 各施測電極排列方式綜合比較...46 表 3 - 1 砂箱地電阻施測相關參數...61 表 3 - 2 k_av.sθ之率定係數...66 表 4- 1 溫度經驗修正model 之RMSE值 ...80 表 4- 2 溫度理論修正model 之RMSE值 ...81

一、前言

1.1 研究動機 台灣由於地震頻繁，加上氣候潮濕、地形陡峻、河川溪流侵蝕旺 盛，故山區土層容易因滾落、滑動、崩塌等位移作用而在崖錐或邊坡 下方原有的地層之上堆積，形成不穩定土層，如崩積層。而此種不穩 定邊坡常具高度活動性，在洪颱期間常引致重大災害及可觀之經濟損 失。 非飽和土層因受到原有邊坡材料、破壞型態、形成年代及土層含 水量等影響，具高度不穩定性；如土層又為高度不均質，則施工時利 用傳統的鑽探工具進行進尺與取樣時，現場有時會遭遇鑽探液流失或 無取樣回收率，在顆粒較大的岩塊堆積層中，鑽探液流失與鑽頭損壞 是常見的問題，且土壤顆粒孔隙甚大，常造成鑽探取樣之代表性不 足，故鑽探取樣非常不易且費用昂貴，且在非均質性土層中僅能提供 單點地層剖面資料，因此在非飽和不穩定土層中應輔以地球物理方法 進行工址調查，以獲得大範圍空間上的地層剖面資訊。 非飽和邊坡穩定性深受地表與地下水滲流條件之影響，洪颱期間 常造成邊坡破壞。由於部分非飽和土層內部疏鬆，易於透水，使含水 量上升而增加孔隙壓力與降低毛細張力，進而減弱邊坡之穩定性；故

非飽和層內之含水量與土壤吸力特性，均影響非飽和邊坡之穩定性甚 鉅。 因此姚奕全(2007)、吳瑋晉(2008)，研究提出結合TDR與ERT量 測非飽和土層含水特性之技術，利用TDR具有同時量測電阻率與含水 量之特性，率定電阻率與含水特性關係中之地文及水文因素，並利用 地電阻探測法輔助工址調查地層之電學性質剖面，經由轉換推估地層 之含水特性分佈，如圖 1- 1所示。為驗證可行性，姚奕全(2007)嘗試 利用砂箱物理模型模擬降雨入滲試驗，以模擬現地含水特性率定關係 之建立，進而獲得土層含水特性分佈。砂箱降雨入滲試驗結果顯示， 在含水量與導電度的關係方面，乾側與溼側的體積含水量與導電度之 率定關係（θ-σ）明顯不同，有明顯之遲滯(hysteresis)現象產生，造成 電阻率與含水特性並非單一線性關係，其原因與機制值得進一步探 索，為釐清遲滯現象是否為試驗問題及了解可能原因與現象，因此回 歸到較為基礎的研究。

圖 1- 1 結合 TDR 與 ERT 調查與監測地層含水特性分佈流程圖(修改 自 姚奕全，2007) 1.2 研究目的 土層含水特性與導電度關係並非單一線性關係，在乾側與溼側的 體積含水量與導電度之率定關係（θ-σ）明顯不同，造成遲滯現象， 因此必須了解此現象為實驗方法和為其他因子影響所造成或此現象 真實存在於自然界，必須先了解此現象以提高結合ERT 與 TDR 獲得

現地地層，以過4 號篩較為均質的粉質砂土為砂箱土樣作為探討研究 土樣，並嘗試改變 TDR cone 的擺設形式，再模擬現場長時間的降雨 及乾燥行為降雨歷時約 3 小時自然乾燥則約 10 天，透過模擬過程中 TDR 含水量、導電度及 ERT 電阻率剖面變化量測，以觀察導電度與 含水量關係。導電度亦受孔隙率、飽和度、孔隙液體導電度、土壤種 類、土壤電雙層、土壤乾密度及溫度等因子影響，其中孔隙率、飽和 度、孔隙液體導電度、土壤種類、土壤電雙層、土壤乾密度為控制因 子，因此探討遲滯現象與溫度因子的影響為何，並利用非飽和原理設 計一較易控制且均質試體，利用此系統進行溫度修正以觀察遲滯行為 是否依然存在。 1.3 研究流程 基於前述研究動機與目的，本研究於試驗初期將先針對TDR感測 器的擺設方式進行探討改善，利用室內砂箱試驗，模擬現場土層並觀 察對於遲滯現象的影響為何，接著將就溫度因子進行探討，利用非飽 和原理設計一乾溼循環方式，進行溫度修正補償並觀察溫度對於遲滯 現象之影響，圖 1- 2為研究流程圖。

二、文獻回顧

遲滯現象是土壤於降雨段與乾燥段期間導電度與含水量之間關 係，在探討遲滯現象前將先介紹土壤含水特性與導電性質，並說明如 何利用TDR 量測含水量與導電度及 ERT 之基本原理。 2.1 土壤電學性質及其與含水特性之關係 2.1.1 介電度與含水特性關係 材料的介電度(permittivity)或介電常數(dielectric constant，ε)，為 判斷該材料極性的基準，在頻率域中為外加電場頻率的函數。因為土 壤是各種孔隙液體、空氣以及不同礦物、粒徑、形狀、與排列所構成 的孔隙介質，故存在不同的極化作用與電磁學反應，這些與土壤物理 特性相關因素集合在一起所呈現出某種程度的電學特性，從高頻至低 頻影響介電頻譜不同的部分，因此介電頻譜為與土壤物理性質有關的 函數（Hilhorst and Dirkson, 1994；Lin et al., 2003）。

Topp et al.（1980）定義了視介電常數 Ka(apparent dielectric

constant)，可由量測電磁波在纜線傳播的視傳遞波速 va（apparent propagation velocity）求得，而 va與 Ka的關係如式(2 - 1) a a k c v = _{(2 - 1)}

其中 c 為光速。研究指出，視介電常數 Ka對應於等值介電頻譜之高 頻實部部份，而土壤之介面效應與頻散現象在高頻部分並不彰顯 (Hilhorst, 1998；Lin, 1999)。由於水之介電常數與土壤顆粒或空氣之 介電常數差異甚大（空氣之介電度為1，大部分土壤顆粒礦物之介電 度約為 3-5 之間，而水之介電度約為 80），些微含水量之變化即可使 空氣—土壤顆粒—水之三相體其整體介電常數有明顯的變化。因此， 在高頻時介電性質為土壤之體積含水量所控制，與土壤種類無關，故 視介電常數成為量測土壤含水量的有效方法（Topp et al., 1980, Lin et al., 2000）。 2.1.2 導電度與含水特性關係 Sauer（1955）提出電流在非均質的多孔隙介質中傳導時，其傳 導的路徑可分為下列三種，如圖 2 - 1所示；路徑 1 為顆粒與孔隙水 所組成，路徑 2 為孔隙液體所組成，路徑 3 則為顆粒與顆粒所組成。 Arulanandan與Smith（1973）提出因為土壤顆粒之間的接觸面積太小， 對於整體的導電度影響很小，因此路徑3 通常忽略不計；而以路徑 1 與路徑2 為電流的傳導路徑。至於無細粒料的砂土與礫石的傳導路徑 則以孔隙水為主（Jackson, 1973）。含細粒料的岩石與砂土，還有黏 土土壤，其導電路徑則是以孔隙水以及黏土礦物的表面電荷為主 （Rhodes et. Al, 1976；Urish, 1981 ）。

導電度除了受傳導路徑影響外，亦受孔隙率、飽和度、孔隙液體 導電度、土壤種類、土壤電雙層、土壤乾密度及溫度等其他因子所影 響，當孔隙率越小、飽和度、溫度、孔隙液體導電度越大時導電度越 大，當土壤種類為黏土時，會產生電雙層因此導電度較砂土大。 圖 2 - 1 電流於多孔隙介質中三種主要傳導路徑（修改自 Sauer, 1955） Archie（1942）對於飽和狀態下的岩石與砂礫石的電阻率與孔隙 率、孔隙水電阻率之間的關係，提出一簡單的經驗公式如下： ρ=aρwn-m （2 - 2） ρ為總體電阻率（ohm-m），ρw為孔隙液體電阻率，n 為孔隙率，a、 m 則為待定係數，和孔隙形狀與內含的細粒料含量及膠結程度有關；

至於非飽和狀態的電阻率ρ，與飽和的電阻率ρsat 之間的關係式為

（Keller and Frischknecht, 1966;McNeill, 1990）：

ρ/ρsat=S-n1；S>Scr （2 – 3a） ρ/ρsat=asS-n2；S<Scr （2 - 3b） 其中 S 為飽和度，Scr為臨界飽和度，n1、n2 則為經驗係數；當飽和 度大於臨界飽和度，n1≈2；若小於臨界飽和度，則 n2=4~5。as 取決 於岩性，由砂岩到火成岩，as分別為0.05~0.5。 電阻率的倒數即為導電度（S/m），Shan 與 Singh（2005）以導 電度的觀點，提出了較為廣義的Archie’s law（generalized Archie’s law） 如式： σ=cσwθm （2 - 3a） σ/σw=1/F=cθm ， θ=ω(γd/γw) （2 - 3b） 式中c、m為待定參數，與土壤種類有關，F為結構因數（Formation Factor），體積含水量θ為重量含水量ω乘上土壤乾單位重γd與水單位 重γw之比值。而由式(2 -3a)中可知導電度σ與體積含水量θ約略呈正

的適用性，整理過去文獻中所使用多種土樣的實驗結果，並配合四種 截然不同特性的土壤樣本，進行夯實試驗，求取不同重量含水量下的 導電度變化如圖 2 - 2。Shan 與Singh並進一步標定圖 2 - 2中σmax左

側之 1/F與θ的變化關係，以率定不同土壤特性下的c、m值，其結果

如圖 2 - 3所示。結果中指出，在砂土與礫石的土壤中，c值約等於 1； 而m值約介於 1.5~2.0；在靈敏性的黏土中，c值通常大於 1，而m值則 介於1.36~3.5 左右。此外，文中引述相關文獻（Williams and Hoey, 1987; Rhoades, 1989;Durlesser and Stanjek, 1997; Worthington, 1993; Auerswald et al., 2001），認為粘土含量（CL）與c 、m值有某種程度 的相關性，當CL≥5%，c=0.6CL0.55，m=0.92CL0.2；當CL＜5%，c≈1.45， m≈1.25。因此可知c、m值隨不同種類土壤有某種程度的變異性存在。

圖 2 - 3 不同特性土樣之 1/F 與θ變化圖（Shan and Singh, 2005） Klein和Santamarina（2003）將土壤組構簡化，假設土壤組構是 由飽合狀態無限長平板顆粒相互平行所組成，如圖 2 - 4所示， 為 孔隙水厚度， w

t

p

t

為土壤顆粒厚度，ϑ為土壤電雙層厚度，並且考慮土 壤中電雙層的導電度，提出了總體導電度為土壤顆粒導電度､土壤孔 隙溶液導電度和土壤電雙層導電度所組成，如式(2 - 4)所示。 //

2

(

_mix

)

p p el w ddl w p

t

t

t

t

σ

σ

λ

σ

=

+

+

+

(2 - 4)

σ

為土壤顆粒導電度，

σ

為土壤孔隙液體導電度，λ 則為電雙層

導電度，其中

t

w為孔隙水厚度，

t

p為土壤顆粒厚度。又

t

p可表示為 如式

2

a p p

g

t

S

γ

=

_{(2 - 5)} a S 為土壤表面積，g 是比重_{⎡m s/} 2_⎤ ⎣ ⎦，

γ

p為土壤顆粒單位重，e 為 ， 因此可將式(2 - 4)改寫為式(2 - 6) / w p t t // ( / ) ( ) 1 l p e ddl p a mix e g S e σ σ λ γ σ = + + (2 - 6) + Lyklema(1995)提出式(2 - 7) 2 ( ) '_w / est C m ε ρ ϑ Φ _{⎡ ⎤} = _{⎣ ⎦} (2 - 7) (est) ρ 為預估的表面價離子密度，ε'_w為水在實部的介電度，ϑ為電雙層 厚度，Φ

[ ]

V 為表面離子所貢獻的電位。又可將電雙層的導電度表示為 式(2 - 8) ( ) ( )

ddl est est

u

cat

( ) ddl est

λ

為預估的電雙層導電度， 為陽離子的流動能力。所預估的 電雙層導電度又必須乘上一修正係數如式(2 - 9) cat

u

( ) ddl ddl est

λ

=

αλ

(2 - 9) 將式(2 - 6)､(2 - 7)､(2 - 8)和(2 - 9)相結合，則可將式改寫為如式(2 - 10) / / ' ( ) 1 p _w p el cat mix e u g e γ _ε σ σ α ϑ σ ⎛ Φ ⎞ + _{+ ⎜ ⎟} ⎝ = + a S ⎠ el (2 - 10) 當假設孔隙液體導電度遠大於土壤顆粒導電度σ_p <<σ 則可將式改為 (1 ) p 'w mix n el n ucat a g γ ε σ σ α ϑ ⎛ Φ = + − _⎜ ⎝ ⎠S ⎞ ⎟ (2 - 11) 當土壤顆粒表面積很小時則可將式改寫為 // ( ) 1 mix el el e n e σ =σ =σ + (2 - 12)

圖 2 - 4 土壤組構模型 (Klein 和 Santamarina，2003) Rhoades、Raats和 Prather（1976）假設土壤模型如圖 2 - 5所示， 假設此模型為飽和狀態，淺藍色部分為滲流路徑，X₂*le為土壤中的 孔隙，其中體積含水量 2 e / X l Al

θ

= (2 - 13 ) le為土壤內孔隙滲流長度，X2為孔隙寬度，l 為土壤試體長度，A 為 試體面積，孔隙水電阻可表示如式(2 - 14) 2 2 1 e w w w l R le X EC X ρ = = (2 - 14 ) w

R

為孔隙水電阻，

ρ

w為孔隙水電阻率，將(2-13)和(2 - 14)結合並且 考慮黏滯係數則可將式改寫為(2 - 15)式 2 2 ( ) 1 _e 1 1 w w w l l EC e 1 X R l A γ γ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟⎜ ⎟} =_{⎜ ⎟} ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ θ R (2-15) 重新整理則可得(2 - 16)式

2 1 1 e w w w l l EC R A l TR θ γ θ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ = ⎜_{⎜ ⎜ ⎟} ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G = (2 - 16) 其中G 等於(l/A) ，T 等於 2 e l l γ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝ ⎠ ⎟，又總體導電度等於水的導電度加 上土壤的導電度 1 1 1 a w s R = R + R (2 - 17) a w s EC EC T EC G G G θ = + (2 - 18) a w s EC =EC T

θ

+EC (2 - 19) 其中T 與體積含水量具有相關性 T =aθ +b (2 - 20) 式中 ECw 為孔隙液體導電度、T 為傳輸係數與孔隙中之滲流路徑相 關、ECs為土體顆料表面之導電度，a 與 b 為常數。

圖 2 - 5 土壤組構模型 (Rhoades、Raats 和 Prather，1976） Mojid、Rose和Wyseure（2007）認為土壤的組成如圖 2 - 6所示， 主要是由土壤顆粒、空氣、孔隙中自由的水體和黏土的吸附水層所組 成，將土壤組構假設為如圖 2 - 7所示。電阻等於電阻率乘上土體長 度除上土體截面積 / R =ρl A (2 - 21) 又電阻率為導電度的倒數，因此可將式(2 - 21)改寫為 / R l AE= (2 - 22) ， 可將自由水體和黏土電雙層導電度為表示成

/ w e w R =l A E_w (2 - 23) / d d d R =l A E_d (2 - 24) 又總體導電度等於孔隙水導電度加上黏土的電雙層導電度 1 1 w R R R 1 d − ₌ − ₊ − (2 - 25) 將式(2 - 22)、(2 - 23)、(2 - 24)代入(2 - 25)可得 (2 - 26) 移項可得 ( w d ) w e a a l E E l A A = + E_{d (2 - 26)} 可將 e l l 表示成T，T 為傳輸係數與孔隙中之滲流路徑相關因此可將式 (2 - 26)改寫為 ( _{w w d d}) E T=

θ

E +

θ

E (2 - 27) 圖 2 - 6 實際土壤組構圖

圖 2 - 7 假設土壤組構模型(Mojid、Rose 和 Wyseure，2007) Lin(1999)亦以導電度的觀點，提出導電度與含水量之關係如式 c b a K_a =

ρ

_d +

θ

+ (2 - 28)

[

es

]

d dc c a A bw ρ σ = + ( )+ (2 - 29) 式中a、b、c為待定參數，a與土壤表面積及土壤單位重有關；b與含 水量與土壤單位重相關；c與含水量及土壤種類有關。而由式(2 - 28)

中可知導電度σ與含水量ω呈正比關係。此外Lin（1999）為探討式(2 - 29)的適用性，整理過去文獻中所使用多種土樣的試驗結果(ρd = 1.32 ~ 1.44 g/cm3)，圖 2 - 8所示，其迴歸所得之參數如表 2 - 1所示。 由得到之迴歸參數可知 c 值隨土壤種類不同而有某種程度之變 異性；a 與 B 值則隨土壤單位重不同而有一定範圍之差異，另其迴歸 值R2皆大於 0.95 顯示出良好的迴歸關係。 表 2 - 1 不同特性土樣迴歸參數結果(Lin,1999) Soil Type c a B R2 M1 -0.1102 0.0746 0.7932 0.979 M2 -0.1235 0.0955 0.7778 0.952 M3 -0.1595 0.1340 0.6281 0.954 M4 -0.2169 0.1514 0.8873 0.949 M5 -0.1317 0.1310 0.7234 0.976

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 w sq rt (σ dc -c )ρ w /ρ d M1 M2 M3 M4 M5 Linear (M1) Linear (M2) Linear (M3) Linear (M4) Linear (M5) 圖 2 - 8 不同土壤種類其(√σdc-c)ρw/ρd 與 w 之關係(Lin,1999) 根據上述導電度與含水量經驗式或經由假設模型所推導出的式 子可以觀察出，導電度與含水量關係有二次多項式、一次多項式或者 指數型式，導電度與含水量間皆具有正相關，只是所考慮的參數或假 設的模型不同而造成公式有所差異，綜合上述影響參數有孔隙水導電 度、自由水含水量、土壤顆粒導電度、吸附水層導電度、吸附水層含 水量、滲流路徑及土壤乾密度等等參數，若將上述導電度與含水量關 係整合則可將 Archie（1942）、Shan and Singh (2005) 、Klein and Santamarina (2003)表示為(2-30)，Rhoades et al. (1976) 、Lin(1999) 、

和式(2-30)表示相同，Archie（1942）因假設為飽和狀態下的岩石與 砂礫石的電阻率因此需將式(2-30)中體積含水量表示為飽和狀態下， Klein and Santamarina (2003)經過簡化過後則 a、m 皆等於 1，體積含 水量為飽和狀態，Rhoades et al. (1976)因未考慮土壤電雙層導電度， 因此使用參數為式(2-31)中 a、b、e，其中 Ecw 為 a、b 變數，e 則為 土壤顆粒導電度，Mojid , Rose and Wyseure(2007)將土壤電雙層導電 度考慮進去，因此使用參數為式(2-31)中 a、b、c、d、e，其中 ECw 為 a、b 變數，ECd 為 d、e 變數，e 為一常數為土壤顆粒導電度，Lin(1999)

將土壤乾密度考慮進去，使用參數為式(2-31)中 a、b、e，ρd為a 、 b 變數， e 為常數，表 2-2、2-3 為此二通式使用參數及說明。 m w

a

σ

=

σ θ

(2 - 30) 2 2 w w d d EC a=

θ

+b

θ

+c

θ

+d

θ

+e (2 - 31) 以上經驗式和模型推導公式皆是由重模試體做試驗而得到，因此 所到的導電度與含水量關係皆為單一線性關係，Knight(1991)則是針 對岩體進行乾溼循環試驗，試驗方式主要是將試體放入壓力鍋內，利 用高壓蒸氣方式使試體內含水量增加，而乾側段則是採用自然乾燥方 式進行，試體的含水量估計則是利用秤重法進行，由試驗結果中發現

孔隙內水分分佈於乾溼循環過程中分部並不一致所造成，如，在剛開 始飽和過程中，試體表面會先產生一薄膜，隨著飽和度的增加，薄膜 逐漸增厚，並使得孔隙變的不連續，於自然乾燥階段，部分水份則會 先流失，與飽和階段並不相同。 表 2 - 2 通式(2-30)說明 使用參數 說明 Archie (1942) _{a、m θ 為飽和}

Shan and Singh (2005)

a、m 和通式相同

Klein and Santamarina (2003)

表 2 - 3 通式(2-31)說明

使用參數 說明

Rhoades et al. (1976) _{a 、b 、 e ECw 為 a 、b 變數，} e 為常數

Mojid , Rose and Wyseure(2007) a 、b 、c 、 d 、 e ECw 為 a 、b 變數， ECd 為 c、d 變數， e 為常數 Lin(1999) _{a 、b 、 e ρd為 a 、b 變數，} e 為常數 圖 2 - 9 砂岩乾溼循環試驗飽和度對應電阻率關係圖

圖 2 - 10 孔隙內水分分佈示意圖

2.2 土壤電阻性質量測：時域反射法(TDR)

時域反射法（Time Domain Reflectometry），簡稱 TDR，是一種 使用電磁波進行監測、探查的方法。其基本原理類似於雷達，由脈衝 電磁波製造器產生一脈衝電磁波進入同軸電纜，再由示波器紀錄因電 纜阻抗不連續所造成電磁波反射的訊號。電纜阻抗則是由電纜之斷面 幾何與電纜正、負極間絕緣介質所決定，因此，時域反射法利用傳輸

錄傳輸通路上之介質電學性質變化，或其通路之斷面幾何變形。 2.2.1 TDR 量測系統 圖 2 - 11為時域反射法之設備簡圖，包含階躍脈衝電壓產生器（Step Generator）、訊號採樣器(Sampler) 與示波器 ( Oscilloscope)，以及傳 輸系統，包含同軸纜線（coaxial cable）與量測探頭（measurement probe）。脈衝產生器產生電壓脈衝傳至同軸纜線，訊號採樣器擷取並 透過示波器顯示由同軸纜線傳回之反射訊號。 利用 TDR 來量測材料電學性質，必須使材料成為正負導線間之 介質，一般量測探頭可採用多根金屬棒來形成傳輸纜線，如兩根金屬 棒形成一對一之傳輸纜線或多根金屬棒形成多對一之軸對稱傳輸纜 線。 sampler Oscilloscope Step Generator Coaxial Cable Measurement Probe TDR Device L -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 0 0.5 1 1.5 2 2 t 圖 2 - 11 時域反射法之設備 2.2.2 TDR 介電度/含水量量測

Ka)，可以由圖 2 - 12兩反射點a、b間之走時差（t）決定之： 2 2 ⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = L ct K_a （2 - 32） 其中c為光速（2.998×108m/s），L為感測頭之長度。走時的分析方法一

般較常見的為切線法（tangent line method），如圖 2 - 12所示，主要 是計算TDR感測器波形之起始頂點a至感測器末端反射b之走時差。由 於TDR感測器波形之起始頂點有時不易決定，Robinson等（2003）建 議使用Heimovaara’s (1993) method，量測空氣中及純水中的波形，求 取感測器波形起始點以及感測器走時，如式(2 - 33)： c L K T T T T = _p + _L = _p + _a ⋅ _e/ （2 - 33） 式中T為參考起點至感測器波形末端反射點走時， 為參考起點位置 至感測器探針起點時間， 為感測器探針起點至感測器探針末端反 射點之走時差，相對關係如 p T L

T

圖 2 - 12，而 則為感測器探頭的有效長 度，包含感測器本身探頭長度與探頭末端因電磁波逸散效果產生的電 磁長度。 e L

圖 2 - 12 TDR 於土壤中量測之波形示意圖

而由前述文獻回顧指出。由於水之介電常數與土壤顆粒或空氣之 介電常數差異甚大，些微含水量之變化即可使此空氣—土壤顆粒—水 其整體介電常數有明顯的變化，因此在高頻時之介電性質受土壤體積 含水量所控制（Topp et al., 1980, Lin et al., 2000）。許多學者透過實驗 建立此一視介電常數與土壤體積含水量的經驗公式或半經驗公式，其 中以Topp et al.（1980）所發表之經驗公式廣被採納。土壤之體積含 水量與介電常數之平方根成正比，其關係可簡單表示為 θ b a K_a = + （2 - 34）

2.2.3 TDR 導電度量測率定

導電度可經由 TDR 波形的穩態值（ρ∞）直接量測，目前普遍認

為Giese and Tiemann (1975)所提的方法最佳，如式(2 - 35)

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ∞ ∞ ρ ρ σ 1 1 S p GT R K （2 - 35） 其中穩態反射係數ρ∞=

(

v∞ −v0

)

/ v0，v0為入射方波之電壓大小，v∞為訊 號最終之電壓大小，Kp為形狀因數，Rs 為 TDR 擷取設備內部阻抗值。 但該方法未能考慮纜線電阻的影響，Lin et al.（2007）則考慮纜線電 阻的DC 串聯電阻電路，重新推導導電度，如式(2 - 36)：

(

∞ ∞ ∞ _ρ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ + ρ − β = σ k R_cable, 1 1

₎

_{(2 - 36)} 其中 β 為 TDR 感測器探頭形狀因數，而 k 則為纜線阻抗修正因數， 可由TDR 感測器末端為短路時所測得穩態反射係數求得，如式(2 - 37) 與式(2 - 38)所示： ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ρ + ρ − − = ∞ ∞ 1 1 R R 1 1 k S cable (2 - 37)

⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ρ + ρ − = ∞ ∞ SC SC S cable 1 1 R R , , (2 - 38) Lin et al. (2007)亦發現除了纜線電阻的影響之外，TDR 儀器在轉 換電壓為反射係數時，無法準確反應電壓源的大小。因此藉由式(2 - 37)，TDR 所測得穩態反射係數ρsample應由感測器在空氣中的量測值修 正為 ，其中 為空氣中該探頭所測得穩態反射係數，再將 帶入式(2 - 36)，可求得更接近待測體的真實導電度，進而能轉 換為地電阻對應之電阻率。 corrected ρ ρ_air Corrected ρ 1 1 1 2 air sample corrected _{ρ +} − + ρ = ρ (2 - 39) 2.3 土壤電阻性質量測：地電阻影像法(ERT) 地電阻影像法由早期一維探測，逐漸演變成現今二維甚至三維的 大範圍探測，所能提供的空間資訊也因而隨之增多，目前工程實務上 則 以 二 維 地 電 阻 探 測 的 應 用 較 為 廣 泛 。 二 維 地 電 阻 影 像 剖 面 法 (electrical resistivity tomography, ERT)，是將一維的垂直與橫向探測結 果綜合組成電阻率剖面，適用於大範圍的地表下地層電阻率分佈情 形，而影響電阻率的變化因數包含了地質材料的導電特性、顆粒排列 方向、孔隙率、含水量、飽和度、地層構造、地層所含離子濃度等等。

由於地層內部常由粉土、砂土、黏土、礫石層、母岩以及含水層等組 合成不同層次，各層次有其特有之電阻率，便可利用不同電阻率厚度 和層次，進而推定各層之水文地質狀態。 地電阻影像探測的量測原理，乃藉由外加低頻交流電經由圖 2 - 13中電流極C1、C2 流入地層中，再利用電位極P1、P2 量測地層所反 應的電位差，由所量測的電位差與電流值，經靜電學理論計算可得到 受測土層之視電阻率（apparent resistivity）；再藉由不斷改變施測電極 之間距及位置，即可得到不同範圍之視電阻率，最後將視電阻率分佈 經反算分析後，即可推估地層實際電阻率分佈情況。 視地電阻量測空間影響範圍視電極間距而定，間距越大其探測深 度越深，不過相對地解析能力便會有所降低，所以必須根據探測目 的，在探測深度與解析度兩者之間取得平衡，以獲得較佳結果。而一 般實務上在進行地電阻探測時，於地表佈設數十根的電極棒，以 Wenner為例，量測過程中每次選取等間距的四根電極棒作為電流極 C1、C2 與電位極P1、P2 來量取一筆資料（如圖 2 - 13所示），再藉 由改變電極間距與位置，獲得不同幾何空間位置上的視電阻率值，所 獲得之電阻剖面稱為擬似電阻率剖面（Pseudo-Section）。最後經由反 算分析獲得真實地電阻影像剖面，藉以瞭解地層構造（Loke, 2003； 尤仁弘, 2006）。

圖 2 - 13 Wenner 地電阻探測量測示意圖（摘自尤仁弘，2006） 2.3.1 地電阻法基本原理 根據歐姆定律，及電阻率基本假設，分別由式(2 - 40)與式(2 - 41)： I ΔV = = (amps) current (volts) difference voltage (ohms) R resistance (2 - 40) IA ΔVL A RL = = × = ρ section -cross of area length resistance m) -(ohm y resistivit (2 - 41) 經過移項以後可得到式(2 - 42)： A I L V ρ = Δ _{(2 - 42)} 取一微小元素分析，可將式(2 - 42)中的長度 L 趨近於零，並且假設此 微小的元素中其電阻率值 均一致，則式(2 - 42)可以再改寫為梯度的 形式如式(2 - 43)： ρ i gradV =ρ − (2 - 43)

其中i 為每單位橫斷面積中的電流密度。 現假設現地地層為一個等向均質的半無限域空間，若於地表設置 一個單點電極C1並且輸入強度為+I的電流，如圖 2 - 14所示，則電流 將從電極端以半圓形放射狀向外射出，距電極端任意r處的電流密度 為： 2 r 2 I i π = (2 - 44) 此時的電位梯度為 ，若將式(2 - 44)的電流密度 i 帶入式(2 - 43)，則可以將式(2 - 43)改寫如下： r V ∂ ∂ − / 2 r 2 I i r V π ρ = ρ = ∂ ∂ − (2 - 45) 因此距離C1為 r 處的電位可以經由積分式(2 - 45)而得到： C r 2 I dr r 2 I V_{r 2} + π ρ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π ρ =

∫

(2 - 46) 式(2 - 46)即為半無限域中，求取單點電極距離 r 處之電位的基本公 式，式中的 C 為積分所得積分常數，不過當r=∞時， ，所以得 到C=0。下段將依據此概念導入雙點電極所產生的電流場分佈。 0 V_r =

圖 2 - 14 單點電極電流與電位分佈（修改自 Loke, 2003） 若假設地表佈設兩個電流極C1、C2，如圖 2 - 15，圖 2 - 16所示， 並且在兩電流極之間佈設兩個電位極P1、P2以量取C1、C2之間的電位 差值。C1為輸入端電流極以+I表示，C2則為輸出端電流極-I，其中C1 和P1的距離為R1，P1和C2的距離為R2，C1和P2的距離為R3，P2和C2 的距離為R4。根據式(2 - 44)所得關係， C1以及C2對P1的電位貢獻分 別為： 1 1 C R 2 I V π ρ = 2 2 C R 2 I V π ρ − = (2 - 47) 由靜電學原理得知，多點電荷對某點產生的電荷大小，會等於每一個

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − π ρ = 2 1 1 P R 1 R 1 2 I V (2 - 48) 同理可得C1以及 C2對P2的電位貢獻，即為： ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − π ρ = 4 3 2 P R 1 R 1 2 I V (2 - 49) 所以將VP1與VP2相減，便得到P1與P2兩點的電位差值： ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − π ρ = Δ 4 3 2 1 R 1 R 1 R 1 R 1 2 I V (2 - 50) 將式(2 - 48)重新整理，可得電阻率ρ為： G 1 I V 2 R 1 R 1 R 1 R 1 1 I V 2 4 3 2 1 ⋅ Δ π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ Δ π = ρ (2 - 51) 其中 /G為幾何排列參數 K，因不同的電極排列方式而異，在此需 注意的是真實地層並非理想均質狀況，所以在此處所得到的電阻率並 不是地層真實的電阻率，而是經由不同幾何排列因數所測得的視電阻 π 2

電阻率值。

圖 2 - 15 雙點電極排列示意圖（修改自 Reynolds, 1997）

圖 2 - 16 雙點電極電流與電位分佈變化（Telford, 1990） Telford（1990）以電流極間距與深度的變化關係，對均質地層的

C2的距離，x是P點投影至地表與C1的距離，z為P點深度，r1與r 則分 別為C1、C2和P點的距離，假設P點的水準電流密度為Jx，則 即為 2 x ： J

(

)

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ₋ − π = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ∂ ∂ π − = ∂ ∂ ρ − = ₃ 2 3 1 2 1 x r L x r x 2 I r 1 r 1 x 2 I X V 1 J (2 - 52) 2 1 時，則 2-26 式可以在簡化如下： 若r =r 2 3 2 2 x 4 L z L 2 I J ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ π = (2 - 53) 根據式(2 - 53)，將電流極間距和深度的改變與P點的水準電流密度變 化關係繪成如圖 2 - 18所示，實線為固定某電流極間距時，隨著P點 的深度增加，其水準電流密度J_x逐漸遞減；而虛線則表示固定P點於 某一個深度z，當電流極間距變大的時候，P點水準電流密度J_x漸增， 且當電流極間距L= 2z時得J_x的最大值。

圖 2 - 17 均質地層下雙點電極水準電流密度幾何參數（Telford, 1990） 圖 2 - 18 電流極間距和深度的改變與 P 點的水準電流密度變化 （Telford, 1990） Nostrand 與 Cook（1966）提出了一個可計算均質地層下雙電流 極的電流通過百分比，如式(2 - 54)：

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ π = − L z 2 2 i _tan 1 _{(2 - 54)} 利用式(2 - 54)的關係，可求得均質地層下的電流通過百分比i如圖 2 - 19所示，當_z=L_{2時，只有 50%的電流到達其深度，但是當Z =L時，} 則有到達70%的電流通過，因此當電極間距越大時，會有較多的電流 貫入較深的地層內。

圖 2 - 19 均質地層電流通過百分比（Nostrand and Cook, 1966） 在非均質地層情況下，Hubbert（1940）提出一個位元於兩不同 材料介面處的電流折射關係，來解釋地層的電阻率在非單一均質的地 質條件之下，所產生的電阻率變化，如式(2 - 55)：

1 2 2 1 ρ ρ = θ θ tan tan _{(2 - 55)} 如圖 2 - 20（a）所示，式中θ為電流方向與法線所夾角度，ρ為不同 地層的電阻率；若下層電阻率ρ₂大於上層電阻率ρ₁，當電流流入下層 介質時電流方向會趨向法線，如圖 2 - 20（b）；反之若下層電阻率ρ₂ 小於上層電阻率ρ₁，則電流方向在下層介質內會遠離法線，如 ρ ρ < 圖 2 - 20（c）。依照上述所得關係，我們可以發現電流流過非均質地層時的 電流密度分佈變化，如圖 2 - 21。在圖 2 - 21（a）中所顯示的是均質 地層情況下，即 時的電流密度分佈，不過當增加了 值使 ，此時的電流密度變成較集中於上層的介質中，如 1 2 =ρ ρ2 1 2 >ρ ρ 圖 2 - 21 （b），反之當ρ_{2 1}，電流密度則較集中在下層介質，如圖 2 - 21（c）。

圖 2 - 21 非均質地層電流密度分佈（Hall, 1992） 2.3.2 二維地電阻施測方法 2.3.2.1 施測原理 二維地電阻影像法於現地施測時，依照探測目的所需要的探測深 度與解析度，在地表面佈設數十根等間距電極棒後，根據前述文獻所 介紹雙點電極電流場下，可求出地層中某深度位置的視電阻率ρ_a：

G 1 I V 2 R 1 R 1 R 1 R 1 1 I V 2 4 3 2 1 ⋅ Δ π = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⋅ Δ π = ρ (2 - 56) 其中 /G為幾何排列參數K，因不同的電極排列方式而異。一般常見 的電極排列方式如 π 2 圖 2 - 22所示，每種排列方式所探測的解析度方向 優劣與最大可探測深度也有所差異，所以在工程實務上常會施作各種 不同的電極排列法，以便於對每種排列方式的分析結果做相互比對與 解釋，互補其不足之部份。 圖 2 - 22 一般常見電極排列方式(姚奕全，2007) 以Wenner為例，施測過程如圖 2 - 19所示，首先在一倍電極間距 下，先以第一支與第四支電極為電流極C1 和C2，在以第二支與第三 支為電位極P1 和P2，並根據式(2 - 56)於Wenner排列方式下的幾何量 測原理，進行量測，如此即可量測到第一個位置的視電阻率值。而在

固定此電極間距下，向右不斷平移，一次選擇四根電極棒，也就是以 第二支與第五支電極為電流極C1 和C2，以第三支與第四支電極為電 位極P1 和P2，以此類推，即可量測到第一層視電阻率值，接著再藉 由改變電極間距的大小，如兩倍、三倍、四倍等等的等電極間距，則 可量測到不同深度層面的視電阻率值。如此反覆施做，即得到完整擬 似電阻率影像剖面(Pseudo-Section)。地電阻量測所得到之擬似電阻率 影像剖面表示每一施測幾何（電極配置）所得到之視電阻率，必須透 過反算分析方能獲得地層真實的電阻率分佈。反算分析之方法主要以 正算模式為基礎，通常假設一電阻率分佈，其量測之視電阻率可依據 靜電學理論與有限元素法（finite element）或有限差分法（finite difference）來模擬預測，接著設法改變電阻率分佈，使得預測的視電 阻率值盡量逼近量測值，則可估計出地層之真實電阻率分佈，現地由 於資料量大，反算分析通常以結合正算模式之最佳化方法來進行。

圖 2 - 23 電極排列施測流程（Wenner 為例）（修改自尤仁弘，2006） 2.3.2.2 電極排列方式比較 在現地施作地電阻探測時，會依照所預期達到的工程目的來選擇 施測的電極排列方法。而影響各種電極排列的探測結果，一般以下列 三個因素來做探討：（1）訊號強度（2）可探測深度（3）垂直與橫向 解析能力。 訊號強度除了會受週遭環境雜訊影響外，在一般情況下會與電極 幾何排列參數 K 成反比關係，且訊號強度衰減係數為幾何排列參數 的倒數，即 1/K。Edwards（1977）則提出一測深參數為 Ze/L 來，推 估各電極排列方式的最大探測深度，其中 Ze 是探測深度，L 則是測

由0.025 公尺到 1 公尺的各電極排列下靈敏度剖面，來探討其解析能 力（楊證傑，2005）。 根據以上三種量測影響因素，可以對常見的電極施測方法的綜合 表現有所瞭解。以Wenner為例來說，其電極排列法如圖 2 - 22，四根 電極成等間距排列，其電極排列幾何參數k=2πa，故訊號強度衰減係 數是1/k，即為 1/2πa，與其他的電極排列法比較起來相對訊號衰減程 度低，故訊號強度較強。因此Wenner適合用在以監測為目的之工址， 以降低背景雜訊大時所造成的影響。根據Edwards（1977）提出的測 深參數，Wenner的探測深度約為展距的 0.173 倍，相對適用於淺層的 調查。依照靈敏度剖面的結果分析，Wenner排列下的電阻率值對於垂 直方向靈敏度較高，電阻率值變化明顯，但是在水準方向卻不顯著， 因此垂直方向解析度優於水準方向，若當地質狀態為垂直向下的水準 層狀變化時，以Wenner來施測會得到較佳的探測結果。 依據上述分析方法，我們將一般常見的各施測方式所表示出的三 種量測特性整理如表2-4 所示。

表 2 - 4 各施測電極排列方式綜合比較 電極排列方式 訊號衰減強度 探測深度 Ze/L (Ze:測深, L：展距) 較佳解析方向 Wenner 1/2πa（佳） 0.17（最差） 垂直向 Wenner- Schlumberger 1/n 2_{（次佳） 0.17（最差）} 垂直向 側向 Dipole-Dipole 1/n3（差） 0.22（差） 側向 Pole-Dipole 1/n2（次佳） 0.36（次佳） 側向 Pole-Pole 1/2πa（佳） 0.86（佳） 皆較差

結果顯示，在訊號衰減程度方面，以 Wenner array 和 Pole-Pole array 最佳，相對訊號強度最強，但因 Pole-Pole array 的電流極 C2 和

電位極 P2 為遠電極，故兩者之間可能會涵蓋較多雜訊，所以實際上

訊號強度不及Wenner，因此 Wenner 較適用於以監測為目的之工程；

探測深度部份以 Pole-Pole array 的探測深度最深，測深參數 Ze/L 達

0.86，而以 Wenner array 與 Wenner-Schlumberger array 最差，故適用

於淺層地質探測，深層探測則以Pole-Pole array 為主；至於各種排列

在地層的解析能力，於垂直向與水準向各有其優缺點，則須依不同的 工程探測目的來選擇最佳的排列方式。

2.3.2.3 ERT 反算原理 由 ERT 量測所得不同深度位置之視電阻率值，稱為擬似電阻率 剖面（pseudo-section），必須經過反算分析才可以得當真實地層的電 阻率剖面，所以此節將探討反算分析的原理與過程。 定義反算最佳化過程中，量測資料行向量y、模型反應函數行向 量f、模型參數行向量 q，分別以下列的型式表示：（Loke, 2003） y =col

(

y1,y2,...ym

)

f =col

(

f₁, f₂,...f_m

)

(

q q q

)

col q= ₁, ₂,... _m (2 - 57) 其中 m 表示向量中有 m 個量測資料值。若反應函數為一個線性 系統，則我們將量測資料向量y 與模型參數向量 q 帶入反應函數後， 所得到的反應函數向量f 的差值定義為向量 d，即： f y d = − (2 - 58) 1.最佳化最小平方反演算法 在最小平方法的最佳化過程中，最終目標是希望使式(2 - 58)中 d 的誤差平方和E（如式(2 - 59)所示），能減低到最小。因此利用高斯

其中J 即為 Jacobian 矩陣；由此得到第 i+1 次的模型參數 _i， 從而進行疊代計算。 i 1 i q q q₊ = +Δ

∑

= = = n 1 i 2 i T_{d d} d E (2 - 59) d J q J J T i T _{Δ = ；} i i ij q f J ∂ ∂ = (2 - 60) 由於初始資料不佳常會使得 接近奇異矩陣，而使得 的變異 量過大，故Inman（1975）以 Marquardt-Levenberg 方法，加入一個阻 尼係數λ（damping factor）將式(2 - 60)修正為式(2 - 61)，以避免 過 大的改變量。 J JT _Δq q Δ

(

JTJ_+λI

)

_Δq₌JTd _{(2 - 61)} 2.平滑束制最小平方反演算法

此方法又稱為smoothness-constrained least-squares inversion，或 L2 norm inversion。Constable et al.（1987）認為以(2 - 61)式的反算方 法進行二維或三維的反算問題時，在模型參數過多時常會出現太高或 太低的錯誤值，因此 deGroot-Headlin 與 Constable（1990）加入了粗 糙係數W（roughness filter）來降低模型參數變異的平方和，如(2 - 62) 式。

(

)

i 1 T i i T i i T i i T i J W W q J d W Wq J +λ Δ = −λ ₋ (2 - 62) 此法為一般較常見的反算方式，當地層條件變化較為平滑的情況 下，也就是土壤的變化條件為漸變帶時，則以此種反算方法可得到較 為合理的結果，反算後誤差則以均方根相對誤差 RMS（Root Mean

Square Relative Error）(2 - 63)來表示。

(

)

% 100 q q f q M 1 RMS M 1 i i i 2 i i _× • − =

∑

= (2 - 63) 3.重複再加權最小平方反演算法

此法又稱為 Robust inversion，或 L1 norm inversion。Wolke 與 Schwetlick（1988）為了使資料差異量 d 與粗糙係數 W 達接近的權重， 故在(2 - 58)式中加入了權重矩陣 Rd、Rm，如(2 - 64)式：

(

)

m i 1 T i i d T i i m T i i d T i R J W R W q J R d W R Wq J +λ Δ = −λ ₋ （2 - 64） 當遇到電阻率為急遽變化的邊界時，若以 L2 norm 來進行反算 時，為了求的最平滑化的模型反而會出現過高或過低的電阻率值，因 此常建議改以L1 norm 來對其進行反算，可以顯示出較為顯著的電阻

2003）。Clarebout 與 Muir（1973）認為對於此種急遽變化的電阻率邊 界分佈應求取其最小絕對差異量較合適，因此 L1 norm 的反算誤差以 絕對值誤差表示。 上述為常見的三種反算最佳化法，而整體的反算基本流程則如圖 2 - 24所示。 圖 2 - 24 反算基本流程圖(姚奕全，2007) 2.3.3 三維地電阻施測 三維電探的施測原理與電極排列方式等，基本上都與二維電探相 同，唯一的不同是現場的測線佈設方法較為繁瑣。三維電探將測線佈 成一個長方形或矩形的網格（如圖 2 - 25），因不同的探測範圍或深

線以S型的佈線方式將每一根電極棒串聯起來，以進行資料的擷取。 至於在電極排列方式的選擇上，Wenner array、Wenner-Schlumber er array對於調查區域邊界的資料涵蓋範圍較差，因此在三維施測上較常 使用Dipole-Dipole array、Pole-Dipole array與Pole-Pole array的電極排 列法（Loke and Baker, 1996）。

g 圖 2 - 25 一般三維電探佈線方式(a)沿 Y 軸，(b)沿 X 軸(姚奕全，2007) 2.4 結合 ERT 與 TDR 於砂箱現地模擬試驗 姚奕全(2007)､吳瑋晉(2008)利用砂箱降雨模擬試驗驗證結合 ERT與TDR進行土層含水特性詮釋的可行性。砂箱試驗配置如圖 2 - 26 所示，使用寶山第二水庫庫區粉質砂土為試驗土樣，土壤將其放置室 溫下自然風乾數天，以模擬現地初始乾燥狀態。砂箱尺寸大小為 60cm×60cm×60cm，此外為使砂箱降雨模擬試驗得以和率定模的基本率

同乾密度γd=15.5kN/m3。在降雨濕潤階段使用TDR量測體積含水量與 導電度；在乾燥階段加入ERT量測土層電阻率。吳瑋晉(2008)試驗結 果顯示，在TDR量測含水量與導電度的關係方面，砂箱降雨入滲試驗 中，顯示乾側與溼側的體積含水量與導電度之率定關係（θ-σ）明 顯不同，有明顯之遲滯(hysteresis)現象產生，如圖 2 - 27所示，在 相同含水量下，砂箱試驗在降雨過程及自然乾燥過程中，所得導電度 並不相同，會有一遲滯圈產生。 圖 2 - 26 砂箱儀器配置示意圖

0 50 100 150 200 250 300 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 θ σ(μs /c m ) TDR cone1 TDR cone2 calibration 線性 ( calibration) 圖 2 - 27 砂箱試驗 σ v.s θ 結果

三、砂箱降雨模擬試驗探討含水量與導電度關係

根據(吳瑋晉，2008)所提出之建議，由於TDR含水量與導電度量 測在感測器側向具有不同的非均勻空間影響範圍，如圖 3- 1所示，在 降雨入滲過程可能因為在垂向含水量變化很大而造成水平裝設之感 測器產生遲滯現象的假象，因此建議將TDR cone由原本的水平擺設改 由垂直擺設，使得降雨入滲時含水量和導電度量測較為同步，藉由垂 直擺設，觀察是否能改善遲滯現象及對於導電度與體積含水量之間的 關係。 圖 3- 1 TDR 感測器體積含水量與導電度量測範圍差異示意圖

3.1 砂箱降雨模擬試驗 本章節將詳述砂箱模擬試驗內容，首先對砂箱土樣的準備、各實 驗儀器及其配置作相關說明，再對試驗步驟與流程做一整體性的規 劃，詳細內容如下。 3.1.1 土樣準備與試驗儀器 本研究砂箱試驗，使用寶山第二水庫庫區粉質砂土為試驗土樣， 其粒徑分佈曲線如圖 3- 2所示；土壤係先以#4 標準篩過濾較大礫石 塊，再用通過#4 標準篩之土樣進行試驗，過篩後的土樣將其放置室 溫下自然乾燥數天，以模擬現地初始的乾燥狀態。砂箱的尺寸大小為 60cm×60cm×60cm，為降低砂箱邊界對於地電阻量測時的電流場產生 邊界效應的影響，填入土樣深度應盡可能等於電探測線展距，規劃砂 箱中的電探測線展距為 50cm 右，因此填入之土樣深度至少為 50cm，此外砂箱內模擬地層的土壤條件需與率定模內的土壤相同， 為使後續砂箱降雨模擬所建立的率定關係得以和率定模的基本率定 結果做相關的比對與驗證，固定砂箱土樣與率定模土樣在約略相同乾 密度 左 d γ _=15.5kN/m3_{的土層條件下，將自然乾燥後的寶二水庫土樣，以} 大型夯錘分層均勻夯入約50cm深的土壤厚度，如圖 3- 3。

圖 3- 2 寶二水庫土樣粒徑分佈曲線(姚奕全，2007)

圖 3- 3 大型夯錘將土樣分層夯入砂箱(姚奕全，2007)

在砂箱試驗中所使用到的主要相關儀器設備有二類，即 TDR 量

測系統、及地電阻量測系統，以下將對各實驗儀器設備做一簡單說明。 TDR 量測設備

TDR100，如圖 3- 4所示，可配合多工器（Multiplexer）同時量測不 同TDR感測器，並搭配資料擷取器（Datalogger）具有可程式化、自 動化量測的功能來輔助降雨初期的資料密集量測。至於TDR感測器方 面則是如前述章節在率定土樣基本關係時所使用的小型TDR cone感 測器；貫入式探頭有利於感測器置入砂箱進行資料量測，又其本身貫 入土壤中所佔體積較小，故可降低感測器本身材料電阻對於地電阻量 測時的電場影響。 圖 3- 4Campbell TDR 100 量測儀 地電阻量測設備 在地電阻量測系統方面，本研究所使用的地電阻探測儀器為法國 IRIS公司所生產的SYSCAL PRO Switch 48，如圖 3- 5所示，可連接 48 頻道電極，主機內部含電源傳送器（transmitter），訊號接收器 （receiver）與電源供應器（booster），在電源供應部分可依施測需求 外接直流式電源提供更大電流，另外為了滿足二維或三維的施測配 置，可以利用Switch Pro box外接更多電極纜線以達到需求。由於本 研究為小尺寸室內砂箱模擬，因此在連結的傳輸纜線與電極棒方面，

使用24 頻道集線器兩個，如圖 3- 6，共 48 頻道搭配 2.5 公分不銹鋼 釘為電極棒來進行地電阻量測。而研究預計以三維電探進行砂箱試驗 之探測，因此使用三維反算軟體AGI EarthImager 3D Ver. 1.3.7，將電 探主機所量得視電阻率分佈（Apparent Resistivity）經過反算最佳化 分析後，以獲得砂箱內土壤真實的電阻率分佈情形。

圖 3- 5 地電阻探測儀-SYSCAL PRO Switch 48

3.1.2 試驗配置與規劃 在砂箱試驗配置方面TDR 感測器由水平擺設如圖 3- 8所示改由 垂直擺設如圖 3- 9所示， TDR 感測器以垂直方式，且左右對稱埋置 於ERT 二邊測線旁，深度為表層下五公分。 ERT 測線佈設，為了減少 3D 效應的影響因此採用 3D 佈設方式， 測線為對稱矩形，電極棒數為 2*24 支，間距為 2 公分，探測深度為 12 公分，施測方式採用 Dipole-Dipole equatorial 在砂箱試驗配置方面為了讓土壤內部各含水特性參數有足夠的 乾溼變化量，以達到模擬現地在長時間的監測過程中，因受到間歇性 的降雨入滲行為或乾濕季的季節交替等影響所形成的土壤乾溼循 環，使其含水量、飽和度等含水特性大幅度的變化，且為符合現地率 定電阻率與含水特性的目的，因此在砂箱土壤為自然乾燥的狀態下開 始降雨，並控制所模擬的累積降雨量，使電探探測深度10cm 的土層 深度範圍內土壤接近飽和含水量的臨界狀態，以確保砂箱內土壤含水 特性有足夠的變異範圍進行迴歸分析。在整體砂箱試驗的過程當中， 以 TDR 量測系統來監測土壤體積含水量與導電度兩參數值，而地電 阻量測系統則監測土壤三維電阻率剖面的變化。 試驗共分為降雨濕潤（wetting）以及乾燥（drying）兩階段。第 一階段為降雨濕潤，即模擬現地降雨行為，使砂箱土壤由初始乾燥狀

態因降雨而逐漸濕潤的過程，以ERT 與 TDR 儀器監測與擷取土壤電 學性質及各含水特性參數值。而在降雨過程中，由於土壤的乾濕變化 較為快速，因此降雨濕潤期間的資料必須密集量測，以確保後續迴歸 結果趨勢的正確性。為了驗證地電阻的解析度，因此在降雨期間將會 於雨水入滲深度到達四公分、八公分及十二公分時進行地電阻量測， 量測期間將停止降雨且為避免各儀器之間的電場互相干擾降低試驗 準確性，因此 TDR 量測系統亦會同時暫停；另在第一階段的降雨過 程中以TDR 量測系統搭配 Multiplexer 與 Datalogger 的使用，每 4 分 鐘1 次密集量測土壤體積含水量與導電度。 降雨結束後，進行第二階段乾燥過程資料量測，過程中土壤的乾 濕變化不如溼潤時快速，故可逐步拉大量測時間間隔，由數十分鐘增 加到數小時，並同時利用地電阻量測系統進一步監測砂箱土壤隨時間 的電阻率剖面變化，而為避免各量測設備電場效應的互相干擾，各儀 器量測的順序為 TDR、地電阻，依序得到體積含水量、導電度與電 阻率剖面。

表 3 - 1 砂箱地電阻施測相關參數 電極間距 (cm) X 向：2cm，Y 向：2cm 電極數目 48 支 測線展距 (cm) X 向：2cm，Y 向：94cm 施測方式 Dipole-Dipole equatorial 圖 3- 7 砂箱試驗配置平面圖

圖 3- 8 砂箱儀器配置示意圖(TDR cone 平行擺設)

圖 3- 10 砂箱試驗儀器配置完成結果 3.2 砂箱試驗結果與討論 研究中係利用 TDR 量測系統來探測砂箱中土壤之導電度與體積 含水量參數，故在試驗前需先將所使用的兩支TDR cone 感測器之量 測波形，分別對含水量與導電度進行相關率定；另一方面，在率定後， 可藉由 TDR 量測導電度的特性，透過小型率定模建立試驗土樣其含 水量與導電度之基本率定關係，進而得到含水量與電阻率的率定關 係，以做為後續砂箱試驗率定結果之比較與驗證。各相關率定結果如 以下章節所述。