壹、小數乘除法的意義
甯平獻、陳鉪逸、劉好、林原宏、易正明、游自達、施淑娟、謝闓如、陳靜 姿(2010)在數學科教材教法中指出雖然小數和分數都是用來表徵等分割後的結 果；但小數的記法和整數的記法相同，滿足左邊位置的位值，都是相鄰右邊位置 位值 10 倍的位值概念。
甯平獻等人(2010)在數學科教材教法中指出小數乘除法則承接整數乘除法的 意義，因此小數乘除法教材可由單位量轉換觀點來加以處理。就小數的乘法教學 而言，小數乘法文字題之類型依照被乘數與乘數的數值，可分為「小數的整數 倍」、「整數的小數倍」及「小數的小數倍」三類，其中，小數還可依難度分成單 位小數、純小數及帶小數。接著，就小數的除法教學而言，小數除法文字題之類 型如果依被除數與除數的數值，可以分為「整數÷整數(商為小數)」、「小數÷整數」、
「小數÷小數」以及「整數÷小數」這四類。如果從單位量轉換的過程中，未知數 之不同(單位量或單位數)來加以區分，大致上可以分成「包含除」和「等分除」
這兩類問題。
貳、小數乘除法的迷思
小數乘除法是小數基本運算中相當重要的一個環節，也是九年一貫數學領域 課程綱要中明確指出學童必須熟練的部分(教育部，2003)，可見得小數乘除法在 數學領域的重要性。因為學童在學習小數乘法時，常因先前學習整數時的想法而 影響學習小數乘除時有「乘會愈乘愈大」而「除會愈除愈小」的錯誤想法。
Hiebert and Wearne 在 1985 年的研究中發現學童在計算小數乘法時，在最後 的步驟「小數點要點的位置」是判斷錯誤的，例如題目 4×0.8 時，會出現 0.32 的 錯誤答案；在小數除法的運算裡也發現例如 0.64÷8 會出現答案為 0.8 的情況，這
正是因為學生在學習小數乘除法的運算時，會點錯小數點的位置。
艾如昀(1994)的研究中發現小數乘以整數的主要錯誤是小數點點錯位置。劉 曼麗與侯淑芬(2007)指出學童在乘法文字題的列式上較有問題，是因為不容易掌 握乘數為小數的乘法意義。同樣的，學童在處理被乘數與乘數都是小數的計算問 題上，也比較容易產生的錯誤想法是積數小數點對齊被乘數或乘數。劉曼麗與侯 淑芬(2007)指出小數乘法文字題依被乘數和乘數的數值，可以分成「小數×整數」、
「整數×小數」、「小數×小數」三種類型。要解決整數乘以小數或小數乘以小數的 問題，可以先透過單位的轉換，將原先的問題轉換成整數乘以整數的問題，接著 用整數乘法算出結果後，再轉換為原先的小數單位而得到解答。
劉曼麗與侯淑芬(2007)指出學童在除法文字題的列式上產生困難是因為不容 易掌握除數是純小數的除法意義，而且易受到「大的數÷小的數」或「乘變大、
除變小」的影響。而在小數的除法計算方面，學童容易在商和餘數的小數點處理 上產生錯誤。
綜合以上所說，甯平獻等人在數學科教材教法中整理了小數的相關文獻(艾如 昀，1994；吳昭容，1996；陳永峰，1998；劉曼麗，2002；劉曼麗與侯淑芬，2007，
2008)，可以知道學童在小數乘除的文字題理解與計算上容易產生的錯誤類型有以 下幾項：
一、有「乘會變大，除會變小」的錯誤想法，例如：學童會認為 15×0.99 的結果 會大於 15。
二、在計算小數乘法時，放錯積數的小數點，例如：算式 10.6×8 時，先算 106×8 ＝848，接著誤取小數點由高位往右取一位，因而產生錯誤的答案 8.48。
三、在計算小數乘法時，忽略掉小數點，因而忘記使用小數乘法算則(小數乘法 的積之小數位數等於被乘數和乘數小數位數的和)。
四、小數加法直式算則的誤用，也就是將被乘數和乘數的小數點對齊後做計算。
五、在計算小數乘法時，小數點後面的 0 可以省略，所以先省略 0 再取小數點，
例如：3.5×4＝1.40。
六、任何一個數乘以零點幾，答案就會變成零點幾，例如：38×0.1＝0.38。
七、學童在解小數除法的文字題上，通常會以「大的數÷小的數」來解題。
八、學童在求餘數問題中常會使用四捨五入法求商。
九、學童在求餘數的除法中，容易忽略掉餘數的小數點，或是將餘數的小數點對 齊移位後的被除數小數點。
參、小數乘除法相關研究
研究者歸納整理出與小數乘除法概念相關的研究，並且將有關於小數乘除法 學習概念的部分說明如下：
一、劉曼麗(2001)的研究
劉曼麗(2001)以高屏地區的三所學校，每校四、五、六年級各一班，共 9 班，
總計 329 人做國小學童的小數知識研究，研究方法採筆試和訪談。其研究結果顯 示：
(一)學童在小數的概念部分，乘除方面常犯的錯誤有：
1.有「乘會變大，除會變小」的迷思。
2.在小數除法上，會以「大的數÷小的數」解題。
(二)在小數的計算部分，乘除方面常犯的主要錯誤如下：
1.以整數加法的經驗類推，容易將數字「向右對齊」運算。
2.在求餘數的問題中，常會以四捨五入法求商。
3.在求有餘數的除法時，會忽略了餘數的小數點，或是錯將餘數的小數點對齊 移位後的被除數的小數點。
二、陳淑芳(2007)的研究
陳淑芳(2007)的研究，主要目的在探討擬題活動融入小數乘除問題之補救教 學及其成效。研究對象是六位具有受暗隱模式影響之迷思概念的六年級學童。而 此迷思概念係指「乘會變大」、「除會變小」、「在除法中是大的數字除以小的數字」
等三類。在經過補救教學之後，其研究結果顯示以擬題活動融入之補救教學可以 有效的改變學童在小數乘除的迷思概念。其中，本來具有「乘會變大」迷思概念 的五位學童，有四位皆有改變；具有「除會變小」迷思概念的三位學童，有二位 有改變；而具有「在除法中是大數字除以小數字」迷思概念的四位學童全部都有
改變。
三、劉曼麗與侯淑芬(2007)的研究
劉曼麗與侯淑芬(2007)以四、五、六年級為研究對象，針對學童在小數乘法 文字題和小數乘法計算題這兩部分的答題表現，來說明學童在學習小數乘法時的 理解情況，其在小數乘法的學與教中的研究結果顯示：
(一)學童不易掌握乘數為小數的乘法意義，所以在乘法文字題的列式上比較會出 現問題。
(二)學童在處理被乘數和乘數都是小數的計算問題上也易產生積數小數點對齊被 乘數或乘數的錯誤想法。
四、劉曼麗與侯淑芬(2008)的研究
劉曼麗與侯淑芬(2008)的研究對象為北部、中部、南部的城鄉學校，包括三 到六年級學童共 543 人。其研究針對學童在小數除法文字題和小數除法計算題這 兩部分的答題表現，來說明學童在學習小數除法時的理解情況，其在小數除法的 學與教中的研究結果顯示：
(一)學童不易掌握除數是純小數的除法意義，而且容易受到「大的數÷小的數」或 「乘變大，除變小」的迷思概念影響，因此在除法文字題的列式上會產生困 難。
(二)在處理小數除法計算問題時，在商和餘數小數點的處理上容易產生錯誤。
五、朱欣傑(2009)的研究
朱欣傑(2009)採半結構式晤談法，針對臺北縣某國小六年級的兩個班級學 生，先進行紙筆測驗再選出 4 位學生訪談，研究結果顯示：
(一)小數乘除法運算
1.部分學童對於小數乘法的積，其小數點要點的位置不清楚，似乎是使用乘 數的小數位數作為積的小數位數，由最左邊開始向右移動。
2.在小數除法的運算中，學童的錯誤為誤認商的小數位數是被除數跟除數的 小數位數之和，可能原因來自於小數乘法的影響。
(二)小數乘除法問題寫作
1.在乘法的問題寫作正確率低於加法和減法的問題寫作，且除法問題的寫作最 差。因此，如果學童在整數乘除法的問題寫作有困難時，也可能會影響小 數乘除的寫作表現。
2.學童在使用等分除時描述出不合理的問題，可能與學童的日常生活經驗或語 文能力不好有關。
六、吳建賢(2011)的研究
吳建賢(2011)以彰化縣溪湖鎮六所國小之六年級學生為研究對象。其以編製 的「小數乘除法概念測驗」為研究工具，而研究結果顯示出國小六年級學童對於 小數乘除法概念的理解情形如下：
(一)在小數乘法直式計算時，缺乏位值概念，因為容易忽略被乘數或乘數數值之 中的「0」。
(二)在小數除法解題時，仍舊存有「大數除以小數」的迷思概念。
(三)商為小數沒有餘數的題型，容易忽略商需補「0」才可以除盡。
(四)對於四捨五入法取概數需要連進兩位的概念不清楚。
綜合以上的研究可知，學童在學習小數乘除法的迷思概念以及影響學童小數 乘除成功解題和運算的因素。雖然在小數乘除的研究有不少，但多數都和小數乘 除的概念學習或結構有關係，比較缺乏聚焦在小數乘除的文字題解題歷程上。因 此本研究以 Mayer 的解題歷程理論為主要架構，透過研究者自編的小數乘除試 題，瞭解學童在每個解題步驟的表現，由此也可得知學童是否真正掌握到小數乘 除的運算過程與解題概念，最後透過晤談知道學童的運算及解題的想法，歸納出 學童在小數乘除文字題的解題策略及錯誤類型，以提出教學的建議。
第三章 研究方法
本研究的主要目的在探討國小六年級學童，其在小數乘除法文字題中的解題 歷程，用以了解學童的解題行為。此外，本研究亦將從學童的解題活動中，經過 檢討與回顧之後，探討學童在小數乘除法問題的錯誤類型及其產生之原因，希望 能作為教師教學上的參考。
本研究採取調查研究法，本章說明本研究之設計與實施方式，內容共分五 節。各節的主題分別為：研究架構、研究流程、研究對象、研究工具、資料處理 與分析方法。