數學家或數學教育家談解題時，冠上「數學」兩字，稱之為數學解題(黃敏晃，
1987)。而解題不僅是計算、測量或是解方程式而已，更是一種思維、歸納與演繹 的理解過程(何縕琪、林清山，1994)。學童在解數學問題時，從理解題目到獲得 答案，必須融合數學問題的已知條件與本身所具備的數學知識，嘗試各種思考方 式來獲得有效解答的過程。以下將就一些解題理論加以探討。
壹、Polya 的解題歷程
Polya 在 1945 年所著的「怎樣解題」(How to solve it)一書中，對於解題歷程
做了有系統的介紹。他以「怎樣解題表」來說明解題的四個階段，而其四個階段
階段 捷思法
數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？
你是否利用了所有的已知數？你是否利用了整個條件？你是 否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？
三、實現計劃 (＊實行你的計劃。)
實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。
你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟 是正確的？
四、回顧
(＊驗算所得到的解。)
你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你 能不能一下子看出它來？
你能不能把這結果或方法用於其他的問題？
資料來源：引自閻育蘇(1993)。怎樣解題(頁 7-8)。臺北市：九章。
貳、Schoenfeld 的解題歷程
Schoenfeld(1985)強調影響數學解題成敗的因素要考慮四個變項：
1.資源(resources)：指解題者所具有的數學知識，包括事實、程序、命題的知識。
2.捷思(heuristics)：指解題的技巧和策略，例如畫圖、逆向思考等。
3.控制(control)：資源的管理與分配，即決定該運用何種解題資源、策略、技巧 及使用的時機，也就是後設認知部分。
4.信念系統(belief system)：是指解題者的數學觀。
Schoenfeld(1985)根據上述四個因素，將解題歷程分成六個階段：
1.讀題(reading)：解題者閱讀問題。
2.分析(analysis)：將問題簡化及重述問題。
3.探索(exploration)：尋找已知、未知條件與問題目標的關聯性。
4.計畫-執行(planning- implementation)：擬定解題計畫以及評估計畫的正確性，
執行計畫並檢視是否有按照計畫執行。
5.驗證(verification)：檢查答案合理性之驗算工作。
6.過渡(transition)：提出的相關問題，是一個階段接續下一個階段所產生的行為，
在每一階段中皆有運作。
Schoenfeld(1985)的解題歷程是彼此重疊而且有相互作用的情形，例如：「分 析」與「探索」階段都是在「讀題」階段後展開，兩者間的差異在於「分析」是
比較具有系統與結構化的形式。
表 2-2
Schoenfeld 的解題階段及相關問題表 一、讀題(reading)
R1：是否有注意到問題的所有條件？條件是明顯的？或是模糊的？
R2：是否有正確了解目標狀態？目標狀態是明顯的？或是模糊的？
R3：是否有評估解題者現有知識與問題的關係？
二、分析(analysis)
A1：選擇什麼觀點？觀點是明顯的或是不明顯的？
A2：是否有根據問題條件採取行動？
A3：是否有根據問題目標採取行動？
A4：條件和目標有何關聯？
A5：解題者的行動(A1-A4)合理嗎？
三、探索(exploration)
E1：本階段是問題的條件導向嗎？或目標導向？
E2：所採行動有方向或重點嗎？行動有目的嗎？
E3：有無監視行為？監視結果對解答有何影響？
E4：解題者所採取的行為是否合理？
四、計畫-執行(planning-implementation) PI1：是否有計畫行為？
PI2：計畫與解題有關係嗎？是否適當？
PI3：受試者是否有評估計畫的相關性、適切性、結構性？
PI4：執行是否依計畫有系統的進行？
PI5：是否在局部或整體層次評估執行？
PI6：有無評估對結果的影響為何？
五、驗證(verification)
V1：解題者是否有重新檢查解答？
V2：是否有考驗解答，如果有的話，是如何考驗？
V3：有無歷程及解答的評估，對解答的正確性有多少信心？
六、過渡(transition)
T1：有無評估解答的當前狀態？若放棄一種解答途徑，是否企圖利用其中有 用的部分。
T2：有無評估先前放棄的解題途徑對解答所產生的影響大小為何？所採取的
行動適當而必要嗎？ （續下頁）
六、過渡(transition)
T3：在採取新途徑前，是否有先評估採取新途徑可能造成短程及長程的影響 為何？
T4：採取新途徑後是否有評估採取新途徑造成短程及長程的影響為何？所採 取的行動適當而必要嗎？
資料來源：涂金堂(1999)。「國小學生數學解題歷程之分析研究」。初等教育學初等教育學初等教育學 初等教育學 刊
刊刊
刊，，，，7，301-302。
參、Mayer 的解題歷程
Mayer(1992)綜合了認知心理學和訊息處理觀點，根據語言的、語意的、基模 的、策略性和程序性五種知識類型，提出解題歷程應分成問題表徵和問題解決兩 個階段，而每個階段又分成問題轉譯、問題整合、解題計畫與監控以及解題執行 四個步驟。分別說明如下：(引自林清山，1997)
Mayer(1992)解題歷程理論五種知識類型的定義和解析，以下用地磚問題來說 明：
地磚問題：地磚是以每邊長 30 公分的正方形出售。如果每一塊地磚的價錢 是 0.75 美元，那麼以這種正方形地磚要鋪滿一個長 8.1 公尺、寬 6.3 公尺的矩形 房間，一共要花多少錢？
1.語言知識(linguistic knowledge)：是指英文或其他語言能力，例如：能確認這個 房間為長 8.1 公尺、寬 6.3 公尺的矩形房間。
2.語意知識(semantic knowledge)：是指真實世界的事實知識，例如：一公尺等於 一百公分等。
3.基模知識(schematic knowledge)：是指能將問題訊息結構成有意義的整體，例 如：知道是面積問題可以透過計算公式，面積＝長×寬來計算。
4.策略知識(strategic knowledge)：是指使用不同類別的知識，來擬定計畫和檢視 問題解答的技巧。以地磚問題為例，解題者必須設定多個必要的次目標，例如：
要求出矩形房間的面積以及要求出共需幾塊正方形地磚等，再進行計畫與監控。
5.程序性知識(procedural knowledge)：是指如何執行一系列運算，來找出問題的答 案。例如：如何將 51.03(矩形房間的面積)除以 0.09(正方形地磚的面積)。
Mayer 之解題計畫和步驟，說明如下(引自林清山，1997)：
1.問題表徵階段：解題者在此階段透過「語言知識」轉譯問題敘述，理解問題，
並且決定解題目標為何。接著透過「基模知識」整合問題成一個內化的心理表 徵，這個階段包含下面兩個步驟：
(1)問題轉譯：是指將每一個陳述句轉譯成內在表徵，在轉譯的過程中，必須去了 解句子的意義，也需要知道某些事實，這需要有「語言知識」和「事實知識」， 解題者如果缺乏這兩樣知識，就會造成問題轉譯的困難，包括辨認問題的已知 條件、重述問題的解題目標等技巧。
(2)問題整合：是指將所有的陳述句整合成連貫一致的表徵，這需要有「基模知 識」。包括認識問題的類型，決定解答問題所需要的資料，以具體物、圖畫、
符號等方式表示問題。
2.問題解決階段：在這個階段，解題者透過「策略知識」來進行解題計畫與監控 再透過「程序性知識」來執行解題。分成以下兩個步驟：
(1)解題計畫與監控：是指解題者運用「策略知識」，擬定適當的解題計畫進行解 題並監控。「策略知識」包括以「數字語句」或「方程式」或「必須的運算列 單」來表示問題、建立次目標、下結論等。
(2)解題執行：是指解題者能準確和有效的執行解題計畫。解題需要執行運算的 法則，也就是「程序性知識」。包括進行單純計算、進行連續計算等。
Mayer and Wittrock (2006) 更針對解題歷程增添了自我調整，強調後設認知 的重要，對所經歷的認知過程進行評估與調整。
以上的資料將其整理成表 2-3。
表 2-3
Mayer 的解題歷程和知識類型
Mayer (1992) Mayer and Wittrock (2006)
階段 步驟 知識類型 步驟 知識類型 以地磚問題為例
資料來源：修改自 Thinking, problem solving, cognition (p.459) , by R. E. Mayer, 1992, New York, NY: W. H. Freeman and Company.
綜合上述的文獻，關於解題理論的研究，大概可以分成三類(引自鄭惠萍，
2007)：第一類是以策略為研究重點，例如Polya(1945)；第二類則著重於後設認知，
例如Schoenfeld(1985)；第三類則是認知心理學取向，例如Mayer。在比較 Mayer 解題理論和其它理論的研究方向後，發現 Mayer(1992)的解題理論較為全面性，不 僅將解題各階段定義分明，而且對於解題各步驟所需要的各項知識類型也有充分 的操作型定義和詮釋。因此，Mayer(1992)的解題理論作為文字題解題表現的分析 架構是相當完整且明確的。