探討國小六年級學童小數乘除法運算與文字題的解題歷程

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：胡豐榮. 博士. 探討國小六年級學童小數乘除法運算與文字題的解題歷程. 研究生：張秀容撰. 中華民國一○二年六月.

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(3) 謝. 誌. 兩年來的進修生涯，在論文順利完成之際，回想起點滴，心中充滿無限感激。不捨的是，即將要與同窗兩年的碩士班同學道別。如今回想起來，要感謝的人實在太多了。首先要感謝的是胡豐榮教授兩年來的指導，尤其在論文進行的過程中細心的指導我，讓我在面對各項難題時可以一一克服。在即將面臨口試前，胡教授給我引導及建議，還有信心，讓我可以勇敢去面對。此外，也要感謝口試委員許天維院長、辛俊德教授在論文發表時，給予詳細的指導和建議，讓論文的內容更加完整。感謝甯平獻教授、黃一泓教授、吳德邦教授、林炎全教授、林原宏教授、陳中川教授在研究所兩年的課程當中用心的教導，讓學生實在獲益匪淺。謝謝研究所的同學們奕萱、巧瑩、君玲、麗雯，在論文撰寫的過程中，因為有你們跟我一起討論、以及大家互相的鼓勵，我才能一一解決難題。尤其在口試當天，大家團結合作順利完成口試之時，更是令人難忘！論文的進行中，感謝所有施測班級的老師和學生，因為有你們，這個研究才可以繼續，還有好友莉琴、珠惠、孟珊、如惠、宜家、葦芸、喬雯以及其他多位學校同仁在各方面的協助，讓我的進修之路走得更順暢，謝謝你們！最後，僅以此文獻給我摯愛的家人，因為有你們的包容與體貼，讓我在面對挫折時可以勇往直前，你們是我最溫暖的臂膀，有你們疼愛才能造就今日的我。. 秀容. 謹誌. 民國一○二年六月.

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(5) 探討國小六年級討國小六年級學童小數乘除法運算與文字題的解題歷程六年級學童小數乘除法運算與文字題的解題歷程. 中文摘要本研究旨在瞭解國小六年級學童在小數乘除法文字題的解題歷程與錯誤類型。在研究方法上，採研究者自編之「小數解題歷程表現測驗」為施測工具。施測資料採量化統計分析，並經由質性晤談，分析學童解題歷程的思考模式與錯誤類型。研究結果主要發現如下：一、受試學童以「問題轉譯」步驟表現最佳，其他依序為「解題計畫與監控」步驟、「問題整合」步驟和「解題執行」步驟之表現。二、高數學成就之學童在小數乘除法文字題解題歷程表現測驗各步驟之得分均優於低數學成就之學童。三、受測學童於各解題步驟的解題表現均有顯著相關。四、解題歷程之四個步驟(問題轉譯、問題整合、解題計畫與監控、解題執行) 皆可歸結對應之錯誤類型。. 關鍵詞：關鍵詞：數學文字題、小數乘法、小數除法、解題歷程. I.

(6) II.

(7) A study on the sixth graders’ decimal multiplication and division problem-solving processes of word problems. Abstract This research aimed to test elementary school 6th grade students’ performance on solving decimal multiplication and division mathematical word problem and to explore their typical error types under the researcher’s mathematical problem-solving analytical framework. Research results are as follow ： 1. Among the four problem-solving processes, students performed best in “Translation”,better. than. “Planning. and. Monitoring”,. “Integration”. and. “Execution”. 2. Students with higher math achievement in school performed better than those with lower math achievement in school. 3. The scores of different problem-solving processes were highly correlated. 4. Students’ typical error types could be defined within each problem-solving process.. Keywords：Mathematical word problem, decimal multiplication, decimal division, Mathematical problem-solving processes. III.

(8) IV.

(9) 目次第一章緒論................................................................................................................... 1 緒論第一節研究動機 ....................................................................................................... 1 第二節研究目的與待答問題 ................................................................................... 3 第三節名詞釋義 ....................................................................................................... 3 第四節研究範圍與限制 ........................................................................................... 4 第二章文獻探討........................................................................................................... 5 文獻探討第一節數學文字題及其相關研究 ........................................................................... 5 第二節數學解題歷程相關理論 ............................................................................... 7 第三節小數知識與概念 ......................................................................................... 14 第四節小數乘除法教材分析 ................................................................................. 16 第五節小數乘除法之探究及其相關研究 ............................................................. 21 第三章研究方法......................................................................................................... 27 研究方法第一節研究架構 ..................................................................................................... 27 第二節研究流程 ..................................................................................................... 28 第三節研究對象 ..................................................................................................... 29 第四節研究工具 ..................................................................................................... 30 第五節資料處理與分析方法 ................................................................................. 36 第四章研究結果......................................................................................................... 37 研究結果第一節施測結果描述性分析 ................................................................................. 37 第二節不同學習成就學童解小數乘除文字題之差異性 ..................................... 42 第三節小數乘除法文字題解題歷程錯誤類型分析 ............................................. 49 第四節綜合討論 ..................................................................................................... 69 第五章結論與建議 .................................................................................................... 71. V.

(10) 第一節結論 ............................................................................................................. 71 第二節研究建議 ..................................................................................................... 73 參考文獻....................................................................................................................... 75 參考文獻一、中文部份........................................................................................................... 75 二、英文部份........................................................................................................... 77 附錄一小數解題歷程表現測驗 ................................................................................ 79. VI.

(11) 表次表 2-1 Polya 怎樣解題提示表..................................................................................... 8 表 2-2 Schoenfeld 的解題階段及相關問題表 ......................................................... 10 表 2-3 Mayer 的解題歷程和知識類型 ..................................................................... 13 表 2-4 小數和整數知識的比較表 ............................................................................. 15 表 2-5 小數和分數知識的比較表 ............................................................................. 15 表 2-6 小數乘除法相關之能力指標 ......................................................................... 17 表 2-7 小數乘除法相關分年細目及其對應之能力指標......................................... 18 表 2-8 康軒版「小數的乘法」單元教學活動......................................................... 20 表 2-9 康軒版「小數的除法」單元教學活動......................................................... 20 表 3-1 小數乘除法解題歷程測驗與 Mayer 解題理論對照 ...................................... 30 表 3-2 小數乘法運算與數值型態題目分類............................................................. 32 表 3-3 小數除法運算與數值型態題目分類............................................................. 32 表 3-4 「小數乘除法解題歷程表現測驗」評分標準............................................. 33 表 3-5 測驗預試難度、鑑別度分析表 ..................................................................... 34 表 3-6 學習概念與 Mayer(1992)解題歷程步驟雙向細目表................................... 35 表 4-1 小數乘除法文字題解題歷程表現測驗題號與學習概念............................. 37 表 4-2 小數乘除文字題解題歷程表現測驗各題組得分表現 .................................. 38 表 4-3 小數乘除法文字題解題歷程表現測驗各概念得分表現 .............................. 39 表 4-4 小數乘除法文字題解題歷程各解題步驟得分表現..................................... 39 表 4-5 不同性別「小數乘除文字題解題歷程表現測驗」各學習概念得分......... 40 表 4-6 不同性別在「小數乘除法文字題解題歷程表現測驗」各解題步驟得分. 41 表 4-7 小數乘除法文字題解題歷程各步驟相關分析............................................. 42 表 4-8 不同數學成就學童在各學習概念的表現..................................................... 43 表 4-9 不同數學成就學童於各步驟的表現............................................................. 45 表 4-10 不同數學成就之學童於各步驟的答對率................................................... 45 表 4-11 不同數學成就學童變異數分析摘要表 ....................................................... 45 VII.

(12) 表 4-12 不同數學成就學童事後比較分析摘要表................................................... 46 表 4-13 不同數學成就學童問題轉譯測驗表現之變異數分析摘要表................... 46 表 4-14 不同數學成就學童問題轉譯測驗表現之事後比較分析摘要表............... 46 表 4-15 不同數學成就學童問題整合測驗表現之變異數分析摘要表................... 47 表 4-16 不同數學成就學童問題整合測驗表現之事後比較分析摘要表............... 47 表 4-17 不同數學成就學童解題計畫與監控測驗表現之變異數分析摘要表....... 48 表 4-18 不同數學成就學童解題計畫與監控測驗表現之事後比較分析摘要表... 48 表 4-19 不同數學成就學童解題執行測驗表現之變異數分析摘要表................... 49 表 4-20 不同數學成就學童解題執行測驗表現之事後比較分析摘要表.................... 49 表 4-21 小數×整數文字題題號及內容 ..................................................................... 50 表 4-22 整數×小數文字題題號及內容 ..................................................................... 53 表 4-23 小數×小數文字題題號及內容 ..................................................................... 56 表 4-24 小數÷整數文字題題號及內容 ..................................................................... 61 表 4-25 小數÷整數文字題題號及內容 ..................................................................... 63 表 4-26 小數乘除文字題解題錯誤類型................................................................... 69. VIII.

(13) 圖次圖 2-1 康軒版「小數的乘除法」單元教材地位 ...................................................... 19 圖 3-1 研究架構........................................................................................................... 27 圖 3-2 研究流程........................................................................................................... 29 圖 3-3 小數乘除法概念圖........................................................................................... 31. IX.

(14) X.

(15) 第一章緒論本研究的目的在探討國小六年級學童在小數乘除法問題的解題歷程與錯誤類型，以增進瞭解學童的解題行為。本章將說明研究動機與目的、待答問題，並針對與本研究相關之特定名詞加以定義。最後則說明本研究的範圍與限制。. 第一節研究動機法國數學家 Rene Thom (1973)指出：「數學教育的目的在於使兒童獲得數學的意義」。而對兒童施予數學教育的重點則是促進其瞭解數學。因此，瞭解數學就是獲得數學的意義，或是能知道數學的意義(甯平獻，1991)。由於數學文字題又稱為「應用問題」，是透過文字敘述的方式，將日常的實際生活情境融入數學問題之中，可以讓學童比較容易瞭解問題的情境，所以數學文字題是中小學數學課本中相當常出現的數學解題類型，許多數學知識和解題策略，都是藉由數學文字題的形式來傳授的(涂金堂，2007)。因此，能否成功的關鍵因素在於解題者是否能夠把文字符號正確的表徵成數學符號，希望學童能運用課堂上所學習的知識和應用能力，來解決日常生活中可能遭遇的問題。國小數學教育的目標是幫助兒童獲得有關數學的知識。因此，瞭解學童的數學知識，近者可以在教學上予以協助及改進教學，遠者可在數學課程、教材、教法、評量和師資培育等方面提供基本資料作為參考(劉曼麗，2001)。由此可知，瞭解學童的數學知識是當前國小教育最重要的課題。由於科技的進步，計算機和電腦的普及，小數已成為日常生活中不可忽略的數學語言，而瞭解學童在小數文字題的解題能力及學童在解題過程中可能遇到的困難，更是刻不容緩的事情。我國國小數學教材中，「數與量」佔了相當重要的部分，在此一階段的課程中安排了整數、小數和分數的知識和算則。其中小數的內容分布在國小三到六年級，主要著重在小數概念的獲得。從許多國內文獻中顯示出學童在小數概念的學習上並不理想。朱欣傑(2009)發現，在「小數乘除法的運算」上，仍有學童對積的小數點要點的位置不清楚，而且學童在小數四則運算中，除法的答題表現最差。劉曼麗與侯淑芬(2007)的研究中發現，學童不易掌握乘數為小數的乘法意義， 1.

(16) 因此在乘法文字題的列式上較有問題。同樣的，學童在處理被乘數與乘數皆為小數的計算問題上也比較容易產生積數小數點對齊被乘數或乘數的錯誤想法。劉曼麗與侯淑芬(2008)的研究中發現，學童在小數除法上，容易受到「大的數÷小的數」或「乘變大、除變小」迷思概念的影響，因此在除法文字題的列式上有困難。同樣的在處理小數除法的計算問題上，容易在商和餘數小數點的處理上出現錯誤。由於日常生活中，人們使用整數的情況較普遍，而關於小數的生活情境較少，因此也影響到學童對小數的學習與瞭解。因為學童容易在小數運算上產生迷思概念，例如小數的加減要對齊小數點，而不是對齊末位；小數的乘法則是對齊末位，而不是對齊小數點；而在小數乘法的計算上，是把它視為整數乘法後再計算被乘數及乘數的和，作為積的小數位數；小數除法的商要對齊被除數新的小數點，餘數要對齊被除數原來的小數點。可見，學童從國小三年級開始雖然接受了許多小數課程的訓練，但是到了五、六年級，學童在小數的加減與乘除法的運算上仍舊產生了迷思概念，顯示出學童在小數概念的獲得上明顯不足。學童必須面對小數的學習，由於小數將分母隱身，使得多數人誤認為小數比分數容易學習。也因為這樣，小數乘除必須設法在不理會分數乘除下做教學。因此，如果不顧及分數而去進行小數概念的教學，就容易引發迷思概念，學童在學習上就容易產生困難。而現今以問題解決為導向的數學教學中，學童在遇到一個困難的小數問題時，他會怎麼去思考？在解題時，他會想用哪些方法？他該如何去執行解題計畫？遇到困難時，他該如何去解決？如果能針對以上的每個問題進行深入的探討，就可以讓我們更清楚的知道：學童在學習小數乘除法文字題的時候，會遇到的問題在哪裡？學童在哪個時間點需要教師的幫助？而教師又該如何幫助他？由於四則運算是國小學童在「數與量」方面的一個學習重點，小數的乘除法相對於小數的加減法而言，是學童比較陌生又複雜的運算方法，因此，學童在學習小數乘除法問題的解題情形，仍有值得探討的地方。綜上所述，研究者認為有必要以此為題，做進一步的觀察與研究，期望本研究成果能提供未來教師在設計小數乘除文字題教學時的參考。. 2.

(17) 第二節研究目的與待答問題本研究以國小六年級的學童為研究對象，藉由研究者自編的「小數解題歷程表現測驗」探討學童學習小數乘除法時可能遇到的問題，並且分析學童的解題歷程表現來瞭解其錯誤類型有哪些，以提供教師在進行小數乘除文字題的教學時之參考。以下是本研究的目的：一、探討六年級學童在小數乘除文字題解題歷程各步驟的答題表現。二、分析不同數學成就之六年級學童在小數乘除文字題解題歷程。三、探討六年級學童在小數乘除文字題的錯誤類型及原因。根據上述研究目的，本研究欲探討下列問題：一、六年級學童在小數乘除文字題解題歷程各步驟的答題表現為何？二、不同數學成就之六年級學童在小數乘除文字題解題歷程之差異性為何？三、六年級學童在小數乘除文字題的錯誤類型及其原因為何？. 第三節名詞釋義一、六年級學童本研究所指的國小六年級學童，是指學習完國小數學教科書有關小數概念及小數乘除法單元的學童。. 二、小數乘除文字題文字題(亦稱為應用問題)是以日常生活事件為材料，利用語文型態來描述的數學問題情境，其主要的特徵是藉由文字、數字的形式來敘述題目，用以提供學童運用數學知識和計算能力於各種情境的機會，並進一步解決在實際生活中所遭遇的問題。本研究的小數乘除法問題，是指一個數學問題它具有以下的特性： (一)問題的情境以文字來描述。 (二)每一個數學問題，都會出現小數。 (三)問題之獲得解決，需使用小數的乘法或除法。本研究中所說的「小數」，乃指實數系中的有理數。 3.

(18) 三、解題歷程解題歷程是指解題者在解數學題目時，從看到題目至獲得答案所表現的行為或運作。本研究採用 Mayer(1992)所提的四個解題歷程：問題轉譯、問題整合、解題計畫與監控、解題執行，來探討國小六年級學童在解小數乘除法問題時的心理歷程。本研究在問題轉譯步驟，主要探討學童對於問題的已知條件和解題目標之理解能力；在問題整合步驟，主要探討學童對於認知問題類型及問題表徵的能力；在解題計畫與監控步驟，主要探討學童的解題策略與概念性知識；在解題執行步驟，主要探討學童的解題執行能力與程序性知識。. 四、程序性知識能夠準確的和有效的執行解題計畫，包括運用演算法則進行單純或連續的計算，以及運用概念性知識進行物件個數合成或分解的計數(點數)。(Mayer 在 1992 年的研究，談到關於解題執行的程序性知識時，分成有關簡單的計數(counting) 及複雜的計算(computing)兩方面作討論。. 五、小數的迷思概念本研究將「小數的迷思概念」定義為在小數的學習中，因為學童對於小數概念及運算意義的缺乏、模糊、不完整，而導致理解或想法錯誤。. 第四節研究範圍與限制本研究係探討國小六年級學童小數乘除法問題的解題歷程，以及在小數乘除法問題的錯誤類型及錯誤產生之原因，故亦以之作為研究範圍。其他像是小數乘除併用問題、小數四則混合運算以及學童的語文能力，均不在本研究之研究範圍中。本研究為深入瞭解參與研究的學童在解決小數乘除法問題上的內在想法，只選擇臺中市一所國小的兩個六年級班級作為研究樣本，因此，研究結果僅為該兩班之現象，雖具參考價值，但不宜推論至其他情形，故對其他地區、其他學校或不同年級之國小學童也不宜作當然之推論。. 4.

(19) 第二章文獻探討本研究的主要目的在探討國小六年級學童在小數乘除法文字題中的解題歷程與錯誤類型。因此，本章第一節在瞭解數學文字題的性質與研究的重要性以及數學文字題的相關研究；第二節在探討數學解題歷程相關理論；第三節小數知識與概念，藉由本節的討論我們可以知道小數的由來，以及小數與整數、分數的異同；第四節小數乘除法教材分析，藉由本節的討論，可以更瞭解小數乘除法教材的內容；第五節小數乘除法之探究及其相關研究，藉由本節可以知道學童小數乘除法的迷思概念，並回顧與小數乘除法相關的研究結果。. 第一節數學文字題及其相關研究壹、數學文字題數學文字題(math word problem)過去通常稱為應用問題(李貞慧、葉啟村， 2003)。數學應用問題是以日常生活事件作為材料，且用語文型態來描述數學問題 (Cummins,1991)，文字題如「長 2.4 公尺，寬 1.4 公尺的長方形，面積是多少平方公尺？」算式填充題如「2.5×1.4＝？」的不同之處在於前者是用語言描述一個問題，解題時必須轉換語言問題為算式填充題才能求得答案，而後者只需要直接計算就可以求得答案。數學應用問題是比一般演算涉及更複雜的認知歷程，因為要解一題應用問題，除了涉及計算能力之外，還涉及語文理解(comprehension)與解決問題(problem solving)的運作歷程(Kintsch ＆ Greeno,1985)。九年一貫數學課程綱要中明確訂出國民中小學之課程理念應以「生活」為中心，強調學習數學的目的並非在於擁有計算能力(教育部，2003)，而是學習轉換文字描述的生活問題為數學符號表徵再加以列式計算，以具備解決生活問題的能力。因此數學文字題正是學習數學符號表徵的連結工具，更是反映生活情境的具體教材。 Yancy(1981)曾經提出十項描述文字題的特徵敘述，來說明解文字題的困難。它們分別為(引自古明峰，1998，頁 64)： 1.題目中並未將需要計算的資料依序列出。 5.

(20) 2.有許多無關資料夾雜在題目中。 3.題目出現時，並未伴隨輔助圖表出現。 4.必要的資料需從題目中推論出來。 5.需借用許多計算步驟，才能得到答案。 6.有許多線索字，需特別注意。 7.字彙通常適合於或高於學生的閱讀程度。 8.題目內容通常不為學生所熟悉的。 9.計算過程較複雜與沉悶。 10.題目中，通常不用”數字”表示觀念(例如用”一半”或”二倍”…等字眼，而不用. 1 2. 或 2 倍)。綜上所述，對於數學文字題的研究，許多研究者(Polya, 1945；Schoenfeld＆ Herrmann, 1985) 從解題策略的觀點出發，試圖探究哪些捷思策略 (heuristics strategies)可以幫助學童順利解題。因為大部分的學童缺乏將文字題從文句的陳述意義及概念表徵，轉譯成有效的計算式，或對文字問題的理解，建構到可以被運算解題歷程的基模，才會導致解題失敗(Davis-Dorsey, Ross, ＆ Morrison, 1991)。因此，瞭解學童在學習小數乘除文字題上遇到的困難及解題失敗的原因，是本研究最主要的目的。. 貳、數學文字題相關研究關於數學文字題的研究有很多，研究者將與本研究相關的文字題研究結果整理如下：王思佳(2010)以國小四年級為研究對象，研究目的在於了解學童的中文閱讀理解能力與數學文字題的閱讀理解及解題表現是否有顯著相關；以及閱讀理解能力不同學生，在數學解題表現上的差異性。而其研究結果顯示，數學文字題閱讀理解與數學文字題解題表現有顯著相關，也就是數學文字題閱讀理解能力愈強之學童，其數學文字題解題表現愈佳。林麗華(2006)以國小三年級學童為研究對象，探討國小不同數學成就學童在數學文字題中閱讀理解表現情形。其研究結果顯示數學文字題閱讀理解佳的學 6.

(21) 童，其中文閱讀理解亦佳；反之，數學文字題閱讀理解不佳的學童，其中文閱讀理解亦不佳。王淑嬌(2006)以國小四年級學童為研究對象，其研究的目的在評量受試者的數學解題與閱讀理解分數，以探知國小學童數學解題的表現與閱讀理解能力的關聯性。研究結果發現，國小學童的閱讀理解整體對數學解題能力表現呈顯著正相關，受試者的閱讀理解能力對於整體數學解題表現具有顯著的預測力。陳世杰(2005)以國小六年級學童為研究對象，研究目的在探討國小學童閱讀理解策略與數學文字題閱讀理解能力、數學文字題解題表現之關係。而其研究結果顯示國小學童的閱讀理解策略與數學文字題閱讀理解可作為預測其數學文字題解題表現之參考。涂金堂(2007)以國小六年級學童為研究對象，目的在探究學童在解數學文字題時，其對數學文字題所形成的問題結構，與其數學解題表現兩者之間的關係。其研究結果發現國小學童數學文字題問題結構和數學解題表現達顯著相關。對於數學文字題題目相似性的分類作業，數學解題表現佳的學童，會採用「相似的深層結構」作為分類的依據；而數學表現較差的學童，則採用「相似的表面結構」作為分類的原則。由此可見，影響學童文字題解題表現的原因和閱讀理解能力有關。而本研究探究國小六年級學童在小數乘除文字題的解題歷程及錯誤類型。. 第二節數學解題歷程相關理論數學家或數學教育家談解題時，冠上「數學」兩字，稱之為數學解題(黃敏晃， 1987)。而解題不僅是計算、測量或是解方程式而已，更是一種思維、歸納與演繹的理解過程(何縕琪、林清山，1994)。學童在解數學問題時，從理解題目到獲得答案，必須融合數學問題的已知條件與本身所具備的數學知識，嘗試各種思考方式來獲得有效解答的過程。以下將就一些解題理論加以探討。. 壹、Polya 的解題歷程 Polya 在 1945 年所著的「怎樣解題」(How to solve it)一書中，對於解題歷程 7.

(22) 做了有系統的介紹。他以「怎樣解題表」來說明解題的四個階段，而其四個階段包括(閻育蘇譯，1993)： 1.弄清問題：解題者必須瞭解問題的文字敘述，找出題目中的未知數、已知條件、不足條件。 2.擬定計劃：找出已知數與未知數之間的聯繫、利用重新敘述題目的方式、參考和題目類似的問題、由猜測檢核中擬定計劃。 3.實現計劃：依據解題計劃執行計算，並檢驗每一個步驟的正確性。 4.回顧：檢驗結果，用不同的方法求解，或是將這個方法應用到其他的問題。表 2-1 Polya 怎樣解題提示表階段. 一、弄清問題 (＊你必須弄清問題。). 捷思法未知數是什麼？已知數是什麼？條件是什麼？滿足條件是否可能？要確定未知數，條件是否充分？或者它是否不充分？或者是多餘的？或者是矛盾的？畫張圖。引入適當的符號。把條件的各個部分分開。你是否把它們寫下來？你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形成稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？. 看著未知數！試想出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。這裡有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題。二、擬定計劃你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法 (＊找出已知數與未嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？知數之間的聯繫。你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘＊如果找不出直接的述它？聯繫，你可能不得不回到定義去。考慮輔助問題。如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問＊你應該最終得出一題。你能不能想出一個更容易著手的有關問題？一個更普遍個求解的計劃。) 的問題？一個更特殊的問題？一個類比的問題？你能否解決這個問題的一部分？僅僅保持條件的一部分而捨去其餘部分，這樣對於未知數能確定到什麼程度？它會怎樣變化？你能不能從已知數導出某些有用的東西？你能不能想出適於確定未知數的其他數據？如果需要的話，你能不能改變未知數或 8. （續下頁）.

(23) 階段. 捷思法數據，或者二者都改變，以使新未知數和新數據彼此更接近？你是否利用了所有的已知數？你是否利用了整個條件？你是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念？. 三、實現計劃. 實現你的求解計劃，檢驗每一步驟。. (＊實行你的計劃。). 你能否清楚地看出這一步驟是正確的？你能否證明這一步驟是正確的？. 四、回顧. 你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能不能一下子看出它來？. (＊驗算所得到的解。). 你能不能把這結果或方法用於其他的問題？資料來源：引自閻育蘇(1993)。怎樣解題(頁 7-8)。臺北市：九章。. 貳、Schoenfeld 的解題歷程 Schoenfeld(1985)強調影響數學解題成敗的因素要考慮四個變項： 1.資源(resources)：指解題者所具有的數學知識，包括事實、程序、命題的知識。 2.捷思(heuristics)：指解題的技巧和策略，例如畫圖、逆向思考等。 3.控制(control)：資源的管理與分配，即決定該運用何種解題資源、策略、技巧及使用的時機，也就是後設認知部分。 4.信念系統(belief system)：是指解題者的數學觀。 Schoenfeld(1985)根據上述四個因素，將解題歷程分成六個階段： 1.讀題(reading)：解題者閱讀問題。 2.分析(analysis)：將問題簡化及重述問題。 3.探索(exploration)：尋找已知、未知條件與問題目標的關聯性。 4.計畫-執行(planning- implementation)：擬定解題計畫以及評估計畫的正確性，執行計畫並檢視是否有按照計畫執行。 5.驗證(verification)：檢查答案合理性之驗算工作。 6.過渡(transition)：提出的相關問題，是一個階段接續下一個階段所產生的行為，在每一階段中皆有運作。 Schoenfeld(1985)的解題歷程是彼此重疊而且有相互作用的情形，例如：「分析」與「探索」階段都是在「讀題」階段後展開，兩者間的差異在於「分析」是 9.

(24) 比較具有系統與結構化的形式。表 2-2 Schoenfeld 的解題階段及相關問題表一、讀題(reading) R1：是否有注意到問題的所有條件？條件是明顯的？或是模糊的？ R2：是否有正確了解目標狀態？目標狀態是明顯的？或是模糊的？ R3：是否有評估解題者現有知識與問題的關係？二、分析(analysis) A1：選擇什麼觀點？觀點是明顯的或是不明顯的？ A2：是否有根據問題條件採取行動？ A3：是否有根據問題目標採取行動？ A4：條件和目標有何關聯？ A5：解題者的行動(A1-A4)合理嗎？三、探索(exploration) E1：本階段是問題的條件導向嗎？或目標導向？ E2：所採行動有方向或重點嗎？行動有目的嗎？ E3：有無監視行為？監視結果對解答有何影響？ E4：解題者所採取的行為是否合理？四、計畫-執行(planning-implementation) PI1：是否有計畫行為？ PI2：計畫與解題有關係嗎？是否適當？ PI3：受試者是否有評估計畫的相關性、適切性、結構性？ PI4：執行是否依計畫有系統的進行？ PI5：是否在局部或整體層次評估執行？ PI6：有無評估對結果的影響為何？五、驗證(verification) V1：解題者是否有重新檢查解答？ V2：是否有考驗解答，如果有的話，是如何考驗？ V3：有無歷程及解答的評估，對解答的正確性有多少信心？六、過渡(transition) T1：有無評估解答的當前狀態？若放棄一種解答途徑，是否企圖利用其中有用的部分。 T2：有無評估先前放棄的解題途徑對解答所產生的影響大小為何？所採取的行動適當而必要嗎？ 10. （續下頁）.

(25) 六、過渡(transition) T3：在採取新途徑前，是否有先評估採取新途徑可能造成短程及長程的影響為何？ T4：採取新途徑後是否有評估採取新途徑造成短程及長程的影響為何？所採取的行動適當而必要嗎？. 資料來源：涂金堂(1999)。「國小學生數學解題歷程之分析研究」。初等教育學初等教育學刊，7，301-302。. 參、Mayer 的解題歷程 Mayer(1992)綜合了認知心理學和訊息處理觀點，根據語言的、語意的、基模的、策略性和程序性五種知識類型，提出解題歷程應分成問題表徵和問題解決兩個階段，而每個階段又分成問題轉譯、問題整合、解題計畫與監控以及解題執行四個步驟。分別說明如下：(引自林清山，1997) Mayer(1992)解題歷程理論五種知識類型的定義和解析，以下用地磚問題來說明：地磚問題：地磚是以每邊長 30 公分的正方形出售。如果每一塊地磚的價錢是 0.75 美元，那麼以這種正方形地磚要鋪滿一個長 8.1 公尺、寬 6.3 公尺的矩形房間，一共要花多少錢？ 1.語言知識(linguistic knowledge)：是指英文或其他語言能力，例如：能確認這個房間為長 8.1 公尺、寬 6.3 公尺的矩形房間。 2.語意知識(semantic knowledge)：是指真實世界的事實知識，例如：一公尺等於一百公分等。 3.基模知識(schematic knowledge)：是指能將問題訊息結構成有意義的整體，例如：知道是面積問題可以透過計算公式，面積＝長×寬來計算。 4.策略知識(strategic knowledge)：是指使用不同類別的知識，來擬定計畫和檢視問題解答的技巧。以地磚問題為例，解題者必須設定多個必要的次目標，例如：要求出矩形房間的面積以及要求出共需幾塊正方形地磚等，再進行計畫與監控。 5.程序性知識(procedural knowledge)：是指如何執行一系列運算，來找出問題的答案。例如：如何將 51.03(矩形房間的面積)除以 0.09(正方形地磚的面積)。 11.

(26) Mayer 之解題計畫和步驟，說明如下(引自林清山，1997)： 1.問題表徵階段：解題者在此階段透過「語言知識」轉譯問題敘述，理解問題，並且決定解題目標為何。接著透過「基模知識」整合問題成一個內化的心理表徵，這個階段包含下面兩個步驟： (1)問題轉譯：是指將每一個陳述句轉譯成內在表徵，在轉譯的過程中，必須去了解句子的意義，也需要知道某些事實，這需要有「語言知識」和「事實知識」，解題者如果缺乏這兩樣知識，就會造成問題轉譯的困難，包括辨認問題的已知條件、重述問題的解題目標等技巧。 (2)問題整合：是指將所有的陳述句整合成連貫一致的表徵，這需要有「基模知識」。包括認識問題的類型，決定解答問題所需要的資料，以具體物、圖畫、符號等方式表示問題。 2.問題解決階段：在這個階段，解題者透過「策略知識」來進行解題計畫與監控再透過「程序性知識」來執行解題。分成以下兩個步驟： (1)解題計畫與監控：是指解題者運用「策略知識」，擬定適當的解題計畫進行解題並監控。「策略知識」包括以「數字語句」或「方程式」或「必須的運算列單」來表示問題、建立次目標、下結論等。 (2)解題執行：是指解題者能準確和有效的執行解題計畫。解題需要執行運算的法則，也就是「程序性知識」。包括進行單純計算、進行連續計算等。 Mayer and Wittrock (2006) 更針對解題歷程增添了自我調整，強調後設認知的重要，對所經歷的認知過程進行評估與調整。以上的資料將其整理成表 2-3。. 12.

(27) 表 2-3 Mayer 的解題歷程和知識類型 Mayer and Wittrock (2006). Mayer (1992) 階段問題表徵. 步驟問題轉譯問題整合. 知識類型. 步驟. 語言知識事實知識基模知識. 表徵. 知識類型事實知識. 以地磚問題為例長 8.1 公尺、寬 6.3 公尺的矩形房間。 1 公尺＝100 公分. 概念性知識. 面積＝長×寬 1.先求出矩形房間的面積。 2.計算出每塊地磚的面積。 3.以矩形房間的總面積解題計畫解題計畫策略知識策略知識除以每塊地磚的面與監控與監控積，求得所需要的地磚數量。問題解決 4.將所需要的地磚個數乘以每塊地磚的單價得到總價。運算 8.1×6.3＝51.03 程序性解題執行解題執行程序性知識 0.3×0.3＝0.09 知識 51.03÷0.09＝567 567×0.75＝425.25 對表徵、解題計畫和監後設認知控、執行計畫和獲得的自我調整知識/信念答案進行反省、評估與調整。資料來源：修改自 Thinking, problem solving, cognition (p.459) , by R. E. Mayer, 1992, New York, NY: W. H. Freeman and Company.. 綜合上述的文獻，關於解題理論的研究，大概可以分成三類(引自鄭惠萍， 2007)：第一類是以策略為研究重點，例如 Polya(1945)；第二類則著重於後設認知，例如 Schoenfeld(1985)；第三類則是認知心理學取向，例如 Mayer。在比較 Mayer 解題理論和其它理論的研究方向後，發現 Mayer(1992)的解題理論較為全面性，不僅將解題各階段定義分明，而且對於解題各步驟所需要的各項知識類型也有充分的操作型定義和詮釋。因此，Mayer(1992)的解題理論作為文字題解題表現的分析架構是相當完整且明確的。 13.

(28) 第三節小數知識與概念壹、小數的意義人類很早以前就開始有分數的概念，當一個不滿一個單位量的量，需要被原單位量予以測量並加以描述(數值化)時，就產生了分數的問題，並發展出分數的數概念；但是人類很晚才有小數的概念，當人們想將印度－阿拉伯記數系統由整數推廣至分數情境時，才產生小數的問題，並發展出小數的數概念(國民學校教師研習會，2001)。也就是說，小數的概念起源於測量和分數的部分全體關係，而其記數系統又是從整數的十進位制擴充而來，所以劉曼麗(1998)指出要瞭解小數的意義必須從二個層面著手，一是分數層面的部分全體意義，二是整數層面的多單位記數系統與位值概念。Hiebert(1992)提出三個關於小數的重要定理如下：定理一為小數中的每一個數字所具有的位值是緊鄰它右邊的數字所具有位值的十倍，反之則為十分之一。定理二則提到，小數中的每一個數字依其位值來決定大小。定理三說明小數的數值是它每一個數字所具有位值的總和。小數的意義是由分數與整數概念之延伸與統整所建立起來的 (Behr and Post，1988)，它的概念源自於分數，而其記數系統則是從整數的十進位制延伸而來的。因此，小數亦可解釋為以 10 為基底的位值系統，從兩個方向無限延伸到很小和很大的值(van de Walle，1998)。由此可見，小數的意義是來自於分數；小數的結構來自於整數的位值概念；也可以說小數的位值系統是依據整數的位值系統而來的。. 貳、小數與整數、分數之間的關係由前面的說明可以知道，想要瞭解小數的意義，可以從整數和分數的知識來著手。但小數與整數、分數也有不同的地方。以下根據 Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson and Peled(1989)所提出的小數和整數知識的比較(如表 2-4)以及小數和分數知識的比較(如表 2-5)來說明：. 14.

(29) 表 2-4 小數和整數知識的比較表小數. 整數. A.各數字的位置(column) A.各數字的位置(column) 1.數字從左到右時，位值會變小 1.數字從左到右時，位值會變小 2.左邊數字位值是右邊數字位值的 2.左邊數字位值是右邊數字位值的 10 倍 10 倍 3. 0 可表示空位 3. 0 可表示空位 4.一個數的最右邊增加 0 時，其值不 4.一個數的最左邊增加 0 時，其值不變變 5.離小數點越遠，其值越小 5.離小數點越遠，其值越大 B.位名(column names) B.位名(column names) 1.從十分位開始 1.從個位開始 2.位名順序從左到右(十分位，百分 2.位名順序從右到左(個位，十位，位，…) 百位，…) 3.讀數字順序也從左到右(十分位， 3.讀數字順序是從左到右(…，千位，百位，個位) 百分位，…) C.讀的規則(reading rules) C.讀的規則(reading rules) 小數點的左邊整數部分是按照整數讀依照整數十進結構讀出法讀出，右邊數字是依照數字依序讀出. ＋(類似) －(不同). ＋＋＋－－－－－. －. 資料來源：引自 Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions.Journal for Research in Mathematics Education(p.10), by Resnick et al.,1989. 表 2-5 小數和分數知識的比較表小數. 分數. A.小數數值(decimal values) A.分數數值(fraction values) 1.表示 0 與 1 之間的一個值 1.表示 0 與 1 之間的一個值 2.整體被分割成越多等分，每一分的 2.整體被分割成越多等分，每一分的數值就愈小數值就愈小 3.在 0 和 1 之間有無限多個小數存在 3.在 0 和 1 之間有無限多個分數存在 B.小數符號(decimal notation) B.分數符號(fraction notation) 1.一個單位被等分成多少等分是隱含 1.一個單位被等分成多少等分是由分在位數中母顯示 2.有多少等分是表示在小數的量中 2.有多少等分是表示在分數的分子中 3.整體只可被分成 10 的冪次方 3.整體被分成任何等分，都能以分數表示. ＋(類似) －(不同). ＋＋＋－－－. 資料來源：引自 Conceptual Bases of Arithmetic Errors: The Case of Decimal Fractions.Journal for Research in Mathematics Education(p.12), by Resnick et al.,1989. 由表 2-5 中可以知道小數和分數在數值的大小上極為相似，但它們的符號表 15.

(30) 示方式則有不同：(1)小數的數字僅代表得到的數目，而其切割的份數之大小則被隱藏在位值裡，而分數的分母是代表切割的分數，分子則代表得到的數目；(2) 小數的分割被限制在 10 的冪次方中，而分數的分割是隨著分母的不同而得到不同的分數。由表 2-4 中可以發現小數和整數的相似處包含：(1)小數和整數的位值都是由左到右遞減，而且左邊的位值都是右邊位值的十倍；(2)小數和整數的「0」都是代表空位的意思。小數和整數的相異處包含：(1)「0」加到小數的最右邊，其值不會改變，若加到整數的最右邊，則其值會變大；(2)小數離小數點越遠，其位值越小，但整數則是離小數點越遠，其位值會越大；(3)小數與整數的位名不一樣，讀法的順序也不一樣。綜合以上所說，學童在學習小數時，要能區別整數、分數和小數之間相似和相異的特色，才能在學習小數上有好的表現。除了整數和分數之外，我們也能利用小數來提供另一種表徵量的方式，對於數字系統也有新的認識。. 第四節小數乘除法教材分析壹、九年一貫數學領域課程目前國小數學領域課程是依據教育部(2003)「國民中小學九年一貫課程綱要」編輯而成的。雖然每一家出版社所編的小數教材內容都不太一樣，進度也可能不同，但都是根據這個九年一貫課程綱要的能力指標編撰。以下根據能力指標和分年細目作說明。. 一、能力指標九年一貫數學領域的課程綱要是參酌施行多年而且有穩定基礎的傳統教材、國際間數學課程必備的核心題材、數學作為科學工具性的性質、現有學生能夠有效學習數學的一般能力等原則進行修訂。數學領域將數學內容分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題。前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分 16.

(31) 別以字母 N、S、A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼表示階段，分別以 1、2、3、4 表示第一、二、三、四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。指標雖以主題與階段來區分，仍有若干能力指標採跨主題方式同時編列，如「數與量」、「幾何」，以強調其連結，此類指標皆以相關連結編碼註記。第五個主題「連結」亦以三碼編排，第一碼以字母 C 表示主題，第二碼分別以字母 R、T、S、C、E 表示察覺、轉化、解題、溝通、評析；第三碼流水號，表示該細項下指標的序號。小數的乘除法歸類於「數與量」這個主題中。以下就九年一貫課程綱要中，關於小數乘除之能力指標整理後，如表 2-6：表 2-6 小數乘除法相關之能力指標階段別. 能力指標. 說明. 第二階段 (國小三、四年級). N-2-10. 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。. 第二階段 (國小三、四年級). N-2-13. 能認識一位與二位小數，並做比較、直式加減及整數倍的計算。. 第二階段 (國小三、四年級). N-2-15. 能在數線上做整數與小數之比較與加、減的操作。. 第二階段 (國小三、四年級). N-2-16. 能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分數。. 第三階段 (國小五、六年級). N-3-08. 能認識多位小數，並做比較、直式加減及整數倍的計算。. 第三階段 (國小五、六年級). N-3-09. 能理解分數(含小數)乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. 第三階段 (國小五、六年級). N-3-10. 能理解分數(含小數)除法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. 第三階段 (國小五、六年級). N-3-11. 能用直式處理小數的乘除計算(不含循環小數)。. 第三階段 (國小五、六年級). N-3-12. 能在具體情境中，對某數在指定位數取概數(含四捨五入法)，並做加、減、乘、除之估算。. N-3-13. 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. 第三階段 (國小五、六年級). 17.

(32) 二、分年細目九年一貫課程綱要的能力指標是依據四大主題與四個學習階段而訂定的，但是多數指標需採分年進階式教學才能達成其教學目標。因此由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確掌握。以下就分年細目及其對應的能力指標，整理如表 2-7。表 2-7 小數乘除法相關分年細目及其對應之能力指標對照能力指標 N-2-13. 階段別三年級. 3-n-12. N-2-10. 四年級. 4-n-08. N-2-16. 四年級. 4-n-09. N-2-13. 四年級. 4-n-11. N-2-13. 四年級. 4-n-12. N-3-08. 五年級. 5-n-10. N-3-09 N-3-11 N-3-11 N-3-13 N-3-11 N-3-13. 五年級. 5-n-11. 五年級. 5-n-12. 五年級. 5-n-13. N-3-12. 六年級. 6-n-07. N-3-02. 六年級. 6-n-08. 分年細目能認識一位小數，並做比較與加減計算。能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與整數倍的計算。能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。能認識二位小數與百分位的位名，並做比較。能用直式處理二、三位小數加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。能認識多位小數，並做比較、加減與整數倍的計算，以及解決生活中的問題。能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。能用直式處理整數除以整數，商為三位小數的計算。能將分數、小數標記在數線上。能在具體情境中，對整數及小數在指定位數取概數(含四捨五入法)，並做加、減、乘、除之估算。能在具體情境中，解決小數的兩步驟問題，並能併式計算。. 由表 2-7 可以知道，學童從國小三年級就開始接觸小數的概念，以及小數的加減法，而小數乘、除法的學習分別從五、六年級開始。本研究的對象是六年級學童，他們從五年級開始就使用康軒版的數學教材。教材內容將小數的乘法安排在第十冊，小數的除法安排在第十ㄧ冊，以下就康軒版第十冊和第十ㄧ冊有關小數乘除法的教材做更進一步的介紹。 18.

(33) 貳、現行小數的乘除法單元教材地位說明分析康軒版的數學教材將小數乘、除法單元安排在第十冊第三單元以及第十ㄧ冊第四單元，以下針對其教學目標及教材地位分析，說明如下：. ㄧ、小數的乘除法單元教材地位第六冊第二單元 ◎認識ㄧ位小數（含帶小數）。 ◎了解ㄧ位小數的位值與化聚，認識帶小數。 ◎生活中應用ㄧ位小數，並比較ㄧ位小數的大小。 ◎能用直式計算ㄧ位小數的加、減問題。第七冊第十單元 ◎認識二、三位小數，並能描述其具體的量。 ◎認識「百分位」及「千分位」及其關係。 ◎二、三位小數的大小比較。 ◎小數的生活應用（ 1 毫升＝ 0.001 公升，1 公尺＝0.001 公里，1 公分＝0.01 公尺等）。第八冊第二、第八冊第二、四單元 ◎二、三位小數的加、減直式。 ◎二階單位化聚的加減問題。 ◎小數的加減應用。 ◎二、三位小數整數倍的計算。 ◎小數除以整數。第九冊第一單元 ◎認識多位小數。 ◎二階單位化聚的加減問題。 ◎多位小數的加、減計算及整數倍。 ◎認識小數數線。. 第十冊第三單元 ◎解決生活中的小數乘法問題，並嘗試理解直式原則。 ◎察覺乘法問題中，被乘數、乘數與積的變化關係。第十ㄧ第十ㄧ冊第四單元 ◎解決小數（或整數）除以小數的除法問題。 ◎利用乘除互逆，來驗算除法的答數。 ◎能藉由除數與 1 的大小關係，判斷被除數與商的大小關係。 ※解決生活情境中，有關小數除法的問題。. 圖 2-1 康軒版「小數的乘除法」單元教材地位 19. 第十二冊第ㄧ第十二冊第ㄧ、二單元 ◎解決小數加、減、乘、除混合的四則問題。 ◎能透過化聚做時速、分速或秒速之間的換算，並用以比較不同速率單位的換算。 ◎能應用距離、時間和速度三者的關係，解決生活中有關速度的問題。.

(34) 二、小數的乘法單元教學活動，如表 2-8。(整理自康軒文教事業第十冊國民小學數學教師手冊，2010) 表 2-8 康軒版「小數的乘法」單元教學活動活動名稱活動ㄧ. 整數乘以小數. 活動二. 小數乘以小數. 活動三. 關係. 活動四. 小數取概數. 活動五. 小數估算. 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 1-8 2-1 2-2 3-1 3-1 3-2. 教學目標能解決整數的單位小數倍問題。能解決整數乘以純小數的乘法問題。能解決整數乘以帶小數的乘法問題。能嘗試理解整數乘以小數的乘法直式算則。能解決小數的單位小數倍問題。能解決小數乘以純小數的乘法問題。能解決小數乘以帶小數的乘法問題。能嘗試理解小數乘以小數的乘法直式算則。能察覺小數乘法問題中，積的小數位數與被乘數、乘數的小數位數間關係。能藉由乘數與 1 的大小關係，判斷被乘數與積的大小關係。能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數。能用四捨五入的方法，對小數在指定位數取概數。能對小數取概數，做乘法估算。. 三、小數的除法單元教學活動，如表 2-9。(整理自康軒文教事業第十一冊國民小學數學教師手冊，2010) 表 2-9 康軒版「小數的除法」單元教學活動活動名稱活動ㄧ. 活動二. 活動三活動四. 1-1 整數除以小數 1-2 (沒有餘數) 1-3 1-4 小數除以小數 1-5 (沒有餘數) 1-6 1-7 整數(或小數)除 1-8 以小數(有餘數) 2-1 小數除法 ( 除不 1-9 盡). 教學目標能解決整數除以ㄧ位小數的問題。能解決整數除以二位小數的問題，且知道商的小數點與除數新的小數點對齊。解決ㄧ位小數除以ㄧ位小數的問題。解決二位小數除以二位小數的問題。解決二位小數除以ㄧ位小數的問題，且知道商的小數點與除數新的小數點對齊。解決ㄧ位小數除以二位小數的問題，且知道商的小數點與除數新的小數點對齊。解決整數除以小數的問題。解決小數除以小數的問題。利用乘除互逆，來驗算除法的答數。當小數除以小數除不盡時，使用四捨五入法取到指定小數位數。（續下頁） 20.

(35) 活動名稱活動五. 關係與應用. 教學目標 3-1 能藉由除數與 1 的大小關係，判斷被除數與商的大小關係。. 第五節小數乘除法之探究及其相關研究壹、小數乘除法的意義甯平獻、陳鉪逸、劉好、林原宏、易正明、游自達、施淑娟、謝闓如、陳靜姿(2010)在數學科教材教法中指出雖然小數和分數都是用來表徵等分割後的結果；但小數的記法和整數的記法相同，滿足左邊位置的位值，都是相鄰右邊位置位值 10 倍的位值概念。甯平獻等人(2010)在數學科教材教法中指出小數乘除法則承接整數乘除法的意義，因此小數乘除法教材可由單位量轉換觀點來加以處理。就小數的乘法教學而言，小數乘法文字題之類型依照被乘數與乘數的數值，可分為「小數的整數倍」、「整數的小數倍」及「小數的小數倍」三類，其中，小數還可依難度分成單位小數、純小數及帶小數。接著，就小數的除法教學而言，小數除法文字題之類型如果依被除數與除數的數值，可以分為「整數÷整數(商為小數)」、「小數÷整數」、「小數÷小數」以及「整數÷小數」這四類。如果從單位量轉換的過程中，未知數之不同(單位量或單位數)來加以區分，大致上可以分成「包含除」和「等分除」這兩類問題。. 貳、小數乘除法的迷思小數乘除法是小數基本運算中相當重要的一個環節，也是九年一貫數學領域課程綱要中明確指出學童必須熟練的部分(教育部，2003)，可見得小數乘除法在數學領域的重要性。因為學童在學習小數乘法時，常因先前學習整數時的想法而影響學習小數乘除時有「乘會愈乘愈大」而「除會愈除愈小」的錯誤想法。 Hiebert and Wearne 在 1985 年的研究中發現學童在計算小數乘法時，在最後的步驟「小數點要點的位置」是判斷錯誤的，例如題目 4×0.8 時，會出現 0.32 的錯誤答案；在小數除法的運算裡也發現例如 0.64÷8 會出現答案為 0.8 的情況，這 21.

(36) 正是因為學生在學習小數乘除法的運算時，會點錯小數點的位置。艾如昀(1994)的研究中發現小數乘以整數的主要錯誤是小數點點錯位置。劉曼麗與侯淑芬(2007)指出學童在乘法文字題的列式上較有問題，是因為不容易掌握乘數為小數的乘法意義。同樣的，學童在處理被乘數與乘數都是小數的計算問題上，也比較容易產生的錯誤想法是積數小數點對齊被乘數或乘數。劉曼麗與侯淑芬(2007)指出小數乘法文字題依被乘數和乘數的數值，可以分成「小數×整數」、「整數×小數」、「小數×小數」三種類型。要解決整數乘以小數或小數乘以小數的問題，可以先透過單位的轉換，將原先的問題轉換成整數乘以整數的問題，接著用整數乘法算出結果後，再轉換為原先的小數單位而得到解答。劉曼麗與侯淑芬(2007)指出學童在除法文字題的列式上產生困難是因為不容易掌握除數是純小數的除法意義，而且易受到「大的數÷小的數」或「乘變大、除變小」的影響。而在小數的除法計算方面，學童容易在商和餘數的小數點處理上產生錯誤。綜合以上所說，甯平獻等人在數學科教材教法中整理了小數的相關文獻(艾如昀，1994；吳昭容，1996；陳永峰，1998；劉曼麗，2002；劉曼麗與侯淑芬，2007， 2008)，可以知道學童在小數乘除的文字題理解與計算上容易產生的錯誤類型有以下幾項：一、有「乘會變大，除會變小」的錯誤想法，例如：學童會認為 15×0.99 的結果會大於 15。二、在計算小數乘法時，放錯積數的小數點，例如：算式 10.6×8 時，先算 106×8 ＝848，接著誤取小數點由高位往右取一位，因而產生錯誤的答案 8.48。三、在計算小數乘法時，忽略掉小數點，因而忘記使用小數乘法算則(小數乘法的積之小數位數等於被乘數和乘數小數位數的和)。四、小數加法直式算則的誤用，也就是將被乘數和乘數的小數點對齊後做計算。五、在計算小數乘法時，小數點後面的 0 可以省略，所以先省略 0 再取小數點，例如：3.5×4＝1.40。六、任何一個數乘以零點幾，答案就會變成零點幾，例如：38×0.1＝0.38。 22.

(37) 七、學童在解小數除法的文字題上，通常會以「大的數÷小的數」來解題。八、學童在求餘數問題中常會使用四捨五入法求商。九、學童在求餘數的除法中，容易忽略掉餘數的小數點，或是將餘數的小數點對齊移位後的被除數小數點。. 參、小數乘除法相關研究研究者歸納整理出與小數乘除法概念相關的研究，並且將有關於小數乘除法學習概念的部分說明如下：. 一、劉曼麗(2001)的研究劉曼麗(2001)以高屏地區的三所學校，每校四、五、六年級各一班，共 9 班，總計 329 人做國小學童的小數知識研究，研究方法採筆試和訪談。其研究結果顯示： (一)學童在小數的概念部分，乘除方面常犯的錯誤有： 1.有「乘會變大，除會變小」的迷思。 2.在小數除法上，會以「大的數÷小的數」解題。 (二)在小數的計算部分，乘除方面常犯的主要錯誤如下： 1.以整數加法的經驗類推，容易將數字「向右對齊」運算。 2.在求餘數的問題中，常會以四捨五入法求商。 3.在求有餘數的除法時，會忽略了餘數的小數點，或是錯將餘數的小數點對齊移位後的被除數的小數點。. 二、陳淑芳(2007)的研究陳淑芳(2007)的研究，主要目的在探討擬題活動融入小數乘除問題之補救教學及其成效。研究對象是六位具有受暗隱模式影響之迷思概念的六年級學童。而此迷思概念係指「乘會變大」、「除會變小」、「在除法中是大的數字除以小的數字」等三類。在經過補救教學之後，其研究結果顯示以擬題活動融入之補救教學可以有效的改變學童在小數乘除的迷思概念。其中，本來具有「乘會變大」迷思概念的五位學童，有四位皆有改變；具有「除會變小」迷思概念的三位學童，有二位有改變；而具有「在除法中是大數字除以小數字」迷思概念的四位學童全部都有 23.

(38) 改變。. 三、劉曼麗與侯淑芬(2007)的研究劉曼麗與侯淑芬(2007)以四、五、六年級為研究對象，針對學童在小數乘法文字題和小數乘法計算題這兩部分的答題表現，來說明學童在學習小數乘法時的理解情況，其在小數乘法的學與教中的研究結果顯示： (一)學童不易掌握乘數為小數的乘法意義，所以在乘法文字題的列式上比較會出現問題。 (二)學童在處理被乘數和乘數都是小數的計算問題上也易產生積數小數點對齊被乘數或乘數的錯誤想法。. 四、劉曼麗與侯淑芬(2008)的研究劉曼麗與侯淑芬(2008)的研究對象為北部、中部、南部的城鄉學校，包括三到六年級學童共 543 人。其研究針對學童在小數除法文字題和小數除法計算題這兩部分的答題表現，來說明學童在學習小數除法時的理解情況，其在小數除法的學與教中的研究結果顯示： (一)學童不易掌握除數是純小數的除法意義，而且容易受到「大的數÷小的數」或「乘變大，除變小」的迷思概念影響，因此在除法文字題的列式上會產生困難。 (二)在處理小數除法計算問題時，在商和餘數小數點的處理上容易產生錯誤。. 五、朱欣傑(2009)的研究朱欣傑(2009)採半結構式晤談法，針對臺北縣某國小六年級的兩個班級學生，先進行紙筆測驗再選出 4 位學生訪談，研究結果顯示： (一)小數乘除法運算 1.部分學童對於小數乘法的積，其小數點要點的位置不清楚，似乎是使用乘數的小數位數作為積的小數位數，由最左邊開始向右移動。 2.在小數除法的運算中，學童的錯誤為誤認商的小數位數是被除數跟除數的小數位數之和，可能原因來自於小數乘法的影響。. 24.

(39) (二)小數乘除法問題寫作 1.在乘法的問題寫作正確率低於加法和減法的問題寫作，且除法問題的寫作最差。因此，如果學童在整數乘除法的問題寫作有困難時，也可能會影響小數乘除的寫作表現。 2.學童在使用等分除時描述出不合理的問題，可能與學童的日常生活經驗或語文能力不好有關。. 六、吳建賢(2011)的研究吳建賢(2011)以彰化縣溪湖鎮六所國小之六年級學生為研究對象。其以編製的「小數乘除法概念測驗」為研究工具，而研究結果顯示出國小六年級學童對於小數乘除法概念的理解情形如下： (一)在小數乘法直式計算時，缺乏位值概念，因為容易忽略被乘數或乘數數值之中的「0」。 (二)在小數除法解題時，仍舊存有「大數除以小數」的迷思概念。 (三)商為小數沒有餘數的題型，容易忽略商需補「0」才可以除盡。 (四)對於四捨五入法取概數需要連進兩位的概念不清楚。綜合以上的研究可知，學童在學習小數乘除法的迷思概念以及影響學童小數乘除成功解題和運算的因素。雖然在小數乘除的研究有不少，但多數都和小數乘除的概念學習或結構有關係，比較缺乏聚焦在小數乘除的文字題解題歷程上。因此本研究以 Mayer 的解題歷程理論為主要架構，透過研究者自編的小數乘除試題，瞭解學童在每個解題步驟的表現，由此也可得知學童是否真正掌握到小數乘除的運算過程與解題概念，最後透過晤談知道學童的運算及解題的想法，歸納出學童在小數乘除文字題的解題策略及錯誤類型，以提出教學的建議。. 25.

(40) 26.

(41) 第三章研究方法本研究的主要目的在探討國小六年級學童，其在小數乘除法文字題中的解題歷程，用以了解學童的解題行為。此外，本研究亦將從學童的解題活動中，經過檢討與回顧之後，探討學童在小數乘除法問題的錯誤類型及其產生之原因，希望能作為教師教學上的參考。本研究採取調查研究法，本章說明本研究之設計與實施方式，內容共分五節。各節的主題分別為：研究架構、研究流程、研究對象、研究工具、資料處理與分析方法。. 第一節研究架構本研究依據研究目的、待答問題以及文獻探討，提出研究架構如圖 3-1。國小六年級學童小數乘除文字題之學習. 14 題小數乘除文字題題型. 問題轉譯. 語文知識. 語意知識. 問題整合. 計畫與監控. 解題執行. 基模知識. 策略性知識. 程序性知識. 小數乘除文字題試卷施測、解題歷程分析試卷施測及晤談. 不同數學成就學童解題歷程的差異性. 學童在不同解題步驟的解題表現. 圖 3-1 研究架構 27. 學童在各解題步驟的錯誤類型及原因.

(42) 本研究依據 Mayer(1992)解題理論，自編小數的乘除法文字題解題歷程測驗，根據施測結果，探討臺中市某國小六年級學童在小數乘除法文字題及其解題歷程四個步驟的表現。施測資料採量化統計分析，並經由質性晤談，分析學童解題歷程的思考模式與錯誤類型。. 第二節研究流程本研究主要分成三個階段進行，分別說明如下：. 壹、準備階段首先蒐集數學文字題及小數乘除法研究的相關文獻，與指導教授討論後決定論文的研究方向、研究方法，編製小數乘除法文字題解題歷程的研究測驗工具。. 貳、施測階段先與指導教授及國小現職高年級的老師討論預試試題並作修改，然後進行預試，作為試題分析、修改的依據，接著進行正式施測，以蒐集資料進行分析。. 參、報告撰寫階段將施測的資料，用 SPSS12.0 電腦軟體進行分析，了解六年級學童在小數乘除法文字題的解題歷程作答表現，而後進行晤談，並分析學童在小數乘除法文字題解題上的錯誤類型。綜合上面所說，整理本研究的實施步驟以流程圖呈現，如圖 3-2 所示：. 28.

(43) 確定研究題目與目的文獻蒐集及探討編製小數乘除文字題解題歷程測驗. 專家審查以及試題修正進行預試試題分析與修正正式施測選定樣本進行訪談進行資料處理、統計分析結論及建議圖 3-2 研究流程. 第三節研究對象本研究的對象是國小六年級的學童，在考慮研究目的、時間及人力等的因素下，研究者以臺中市某一國小的一個六年級班級，作為施測的樣本，詳細說明如下：. 壹、預試樣本預試時間為 101 年 11 月，樣本取自臺中市某國小六年級的一個班級，共 27 29.

(44) 名學童進行施測，剔除其中三份作答不完整，有效樣本為 24 人，其中男生 13 人、女生 11 人。. 貳、正式樣本正式施測樣本來自同一學校不同班級，時間為 101 年 12 月。正式施測樣本數為兩個班級，共 52 人，其中男生 29 人，女生 23 人。. 第四節研究工具壹、筆試測驗編製研究工具的編製，是用以瞭解學童在解決小數乘除法文字題上的解題表現。研究者首先參考現行國小數學教科書(康軒版第十冊和第十一冊)中有關「小數乘除法」的單元，並參考國內外相關文獻(林清山，1997；李玉萍，2007；劉曼麗與侯淑芬，2007；劉曼麗與侯淑芬，2008；朱欣傑，2009)，依據 Mayer(1992)的解題架構中「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計畫與監控」、「解題執行」四個解題步驟，將每一題文字題細分為四個子題，用以瞭解學童對這四個解題步驟的掌握程度。茲將這四個解題步驟和五種知識類型在解題歷程中，與試題敘述的對照情形，整理如表 3-1。表 3-1 小數乘除法解題歷程測驗與 Mayer 解題理論對照解題歷程步驟. 知識類型. 牽涉之解題技巧. 語言知識. 1.辨認問題的已知條件. 語意知識. 2.重述問題的解題目標. 問題轉譯. 1.認識問題的類型問題整合. 基模知識. 2.以具體物、圖畫、符號等表示問題. 解題計畫與監控解題執行. 策略知識決定解題策略程序性知識進行單純計算或連續計算. 30. 試題敘述 1.下面哪一項不是題目所給的資料？ 2.這個問題要你算出什麼？ 3.用算式填充題記錄問題 4.請利用直式把你的做法和計算過程寫下來.

(45) 貳、小數乘除法概念圖依據教育部(2003)公布的九年一貫課程綱要數學領域重點以及現行各版本教材內容編排，整理出本研究所要探討的國小六年級學童之小數乘除法概念圖，如圖 3-3 所示。小數乘除法概念. 小數乘法概念. 小數除法概念. 小數乘以整數小數（整數）除以整數. 小數除以整數. 整數乘以小數小數乘以小數. 被乘數、乘數和積的關係. 商為整數，有餘數. 商為小數，沒有餘數. 商為整數. 沒有餘數. 商為小數. 有餘數. 沒有餘數. 有餘數（商用四捨五入法取到指定位數）. 圖 3-3 小數乘除法概念圖. 參、筆試測驗工具依據九年一貫數學領域課程綱要，高年級小數乘除法學習內容，涵蓋小數乘法中乘數大於 1、乘數小於 1，小數除法中除數大於 1、除數小於 1 四個概念。在 31.

(46) 小數乘法部分，將題目類型分為「乘數＞1」和「乘數＜1」二種來對照。為了讓題目能涵蓋不同數值型態，所以「乘數＞1」的部分，「整數×小數」1 題、「小數× 整數」、「小數×小數」各 2 題；「乘數＜1」的部分，則為「整數×小數」1 題、「小數×小數」2 題。小數除法的部分，題目類型分為「除數＞1」和「除數＜1」二種來對照，其中「除數＞1」的部分，則分成有餘數和沒有餘數各 1 題；「除數＜1」的部分，則分成有餘數和沒有餘數的各 2 題，其中有一題的商要求到指定的小數位數。題目配置情形如表 3-2 與表 3-3。表 3-2 小數乘法運算與數值型態題目分類向度. 題目類型帶小數×整數純小數×整數. 小數×整數乘數＞1 小數乘法. 整數×小數帶小數×帶小數純小數×帶小數. 小數×小數整數×小數乘數＜1. 純小數×純小數帶小數×純小數. 小數×小數. 測驗題號 1 2 4 6 7 9 12 11. 表 3-3 小數除法運算與數值型態題目分類向度. 題目類型小數÷整數. 小數除法. 小數(整數)÷小數. 商整數小數整數整數小數商用四捨五入法取到指定的小數位數. 餘數有無無有無. 測驗題號 3 5 8 10 13. 有. 14. 肆、評分標準本「小數乘除法解題歷程表現測驗」共有 14 組題目，每組題目都包含「問題轉譯」、「問題整合」、「解題計畫與監控」和「解題執行」四個層面，目的在瞭解國小六年級學童「小數乘除」文字題解題歷程和錯誤類型。其中，「問題轉譯」在瞭解學童於數學文字題的解題歷程，每組題目都有 2 題選擇題，答對一題得 1 32.

(47) 分，答案錯誤 0 分。「問題整合」、「解題計畫與監控」和「解題執行」則是要測驗學童對於文字題的解題能力及可能的錯誤類型，請學生將算式填充題列出，並用直式寫出計算過程再據以評分。「問題整合」每一題滿分為 2 分，部分答對給 1 分，全部答錯或空白給零分。「解題計畫與監控」每一題滿分為 1 分，解題策略完全正確得 1 分，答錯得 0 分。「解題執行」每一題滿分為 3 分，評分標準如表 3-4。表 3-4 「小數乘除法解題歷程表現測驗」評分標準題號. 題型. 1-1、2-1、3-1、4-1、 5-1、6-1、7-1、8-1、 9-1 、 10-1 、 11-1 、 12-1、13-1、14-1. 單選題 (問題轉譯). 1-2、2-2、3-2、4-2、 5-2、6-2、7-2、8-2、 9-2 、 10-2 、 11-2 、 12-2、13-2、14-2. 單選題 (問題轉譯). 1-3、2-3、3-3、4-3、 5-3、6-3、7-3、8-3、 9-3 、 10-3 、 11-3 、 12-3、13-3、14-3. 1-4、2-4、3-4、4-4、 5-4、6-4、7-4、8-4、 9-4 、 10-4 、 11-4 、 12-4、13-4、14-4. 1-4、2-4、3-4、4-4、 5-4、6-4、7-4、8-4、 9-4 、 10-4 、 11-4 、 12-4、13-4、14-4. 得分. 算式填充題 (問題整合). 數學列式 (解題計畫與監控). 1分. 答案正確. 0分. 答案錯誤. 1分. 答案正確. 0分. 答案錯誤. 2分. 完全正確. 1分. 部分答對. 0分. 全部錯誤或空白. 1分. 解題策略完全正確. 0分. 全部錯誤或空白. 3分. ＊解題方向正確＊算式完整且正確. 2分. ＊解題方向正確＊未列出直式但答案正確. 1分. ＊解題方向正確＊直式計算錯誤或小數點點錯位置. 0分. ＊解題方向錯誤. 進行解題程序 (解題執行). 33. 評分標準.