第二章 文獻探討
第一節 小數的除法教材概念
壹、小數的除法單元教材地位
依教育部(2003)公佈的國民中小學九年一貫課程綱要，所要達成的國民小學 階段數學學習領域目標，其中一項為：在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則 運算；下面條列出與小數相關的數學能力指標:
N-1-10 能認識一位小數，並做比較與加減計算。
N-2-10 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，
並解決生活中的問題。
N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。
N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。
N-3-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。
從能力指標的編碼及敘述可以得知，關於小數教材的編排在第一階段（國小 一、二、三年級）所教導的是小數的概念及加減運算，第二階段（國小四、五年 級）教導小數的乘法及小數與分數的關係，第三階段（國小六、七年級）教導小 數的除法。
從能力指標的敘述可以知道小數與分數的關係相當密切，在傳統課程中對於 小數教材的處理方式，所持的觀點有二：（1）透過分數來了解小數的意義；（2）
經由多單位計數系統的位值概念來了解小數的結構（劉曼麗，1998）。因此在教 材的安排上，都是先進行分數的活動，再安排相關小數部份的活動。
圖2-1 南一版數學第十二冊「小數的除法」單元教材地位
成小數；學童也可能以異單位小數加減的解題經驗為基礎，採用包含除策 略，將總量逐次分解後再計數分的次數，或用分量逐次累積後，再計數累積 的次數，如有剩餘，再繼續分解，直到剩餘的量不足以製成一份為止，而獲 得商數與餘數。
三、當量除可分成單位當量未知和當量數未知。以當量數未知的當量除 問題「媽媽將 2.7 公升的牛奶，每 0.4 公升裝成 1 杯，全部分裝完，可以分 裝成多少伓？」為例，教材的安排通常會分成兩階段來佈題，第一階段先布 成包含除問題（例如：媽媽將 2.7 公升的牛奶，每 0.4 公升裝成 1 杯，儘量 分裝完，最多可倒成幾杯？剩下多少公升？），待學童得到可以分裝成6 杯，
剩下 0.3 公升的答案後；第二階段再布給定單位量及分量，使用小數數詞描 述此分量為單位量的小數倍的問題（例如：剩下的 0.3 公斤相當於多少 杯？），要求學童將餘數轉為除數的小數倍，最後學童可以合併第一、二階 段的結果，而得到答案。
參、小數的除法錯誤類型相關之研究
從國內外相關研究中發現學生在小數的除法概念表現並不理想。
Hiebert & Wearne（1983）、D’Entremont（1991）和艾如昀（1994）的研究發 現學生將分數化成小數時，常犯的的錯誤類型就是「將分子、分母分別放在小數 點前後位置」，比如分數
20
16化為小數，答案為20.16 或 16.20。
劉曼麗（1998）的研究發現學生在處理小數除法中的餘數，可能犯的錯誤為 餘數整數型、餘數小數點錯放位置，最常犯的錯誤是將餘數的小數點與移位後的 被除數的小數點對齊所致。如圖 2-2 中除法直式運算情形。
餘數整數型 餘數小數點錯放位置
圖2-2 小數的除法餘數處理錯誤類型
Bell, Swan & Taylor（1981）的研究中發現，在小數數值的文字題之換算策略 的選擇，發現學生的迷失概念有：學生認為除法是「大的數除以小的數」和「a ÷ b =
a b
」。Fischbein, Deri & Marino（1985）和陳永峰（1998）的研究也提出學 生在做除法的文字題時，會因數字大小影響，而產生不一樣的列式策略，將原本 是「小數 ÷ 大數」的題目列式為「大數 ÷ 小數」，並不考慮情境因素。林軍治（1986）認為對於除數小於 1，商比被除數大，學生很難接受這種事 實。簡茂發、劉湘川（1993）的研究提到，學生認為乘法使結果變大，除法使結 果變小。林原宏（1994）的研究也有類似的結果，學生會以預期結果量作為運算 符號的依據，使結果變大就用乘法，使結果變小就用除法。
周筱亭（1990）的研究指出，我國學生在小數計算方面，學生只是模仿解題 程序，卻不了解其意義。林原宏（1994）的研究發現，學生在處理乘除法試題的 列式表現，試題難度隨數字由整數、混小數、純小數而逐漸升高，所以學生在處 理乘除試題的數字是純小數時答對最低。
此外，南一版數學第十二冊教師手冊上，提及一種教師需特別注意的錯誤類 型：忘記於缺位補上 0。當進行除法運算時，因為運算過程中可能商數會產生其 中一位數為0 的情形，學生可能會因疏忽而忘記添 0，如圖 2-3。
圖2-3 小數的除法忘記於缺位補上 0 的錯誤類型
綜合國內外學者的研究，本研究將利用這些錯誤類型，來進行診斷測驗題庫 及電腦補救教學模組的編製，以期迅速發現學生存在的錯誤概念，即時給予適當 回饋並進行適切的補救教學，達到因材施教的原則。