小數的除法測驗題庫建置

在本研究中，題庫的建置是相當重要的一部份，以下將題庫建置的結果詳述 如下：

壹、小數的除法專家知識結構

依南一版數學第十二冊第四單元「小數的除法」課程內容，包含課本、習作 與教師手冊，分析其教學目標、教學內容及教學重點，參考相關文獻資料，並根 據編製知識結構原則，訂出各相關概念的上下位次序關係，建立知識結構草案。

之後再與有編製知識結構相關經驗的國小老師討論，建立南一版數學第十二冊第 四單元「小數的除法」單元概念的專家知識結構圖。依教學內容分成以下七項，

共計26 個節點，其結構詳述如下：

一、整數除以整數

本內容在教導學生能解決整數除以整數的除法問題，並用有直式算式記 錄解題過程與結果。其專家知識結構圖如圖4-1 所示。

圖4-1 「整數除以整數」專家知識結構圖 整數除以整數，可除盡的應

用問題

整數除以整數，可除盡的計 算問題

二、小數除以整數

本內容在教導學生能解決小數（三位以內，包含純小數和帶小數）除以 整數（二位以內）的除法問題，並用有直式算式記錄解題過程與結果。其專 家知識結構圖如圖4-2 所示。

圖4-2 「小數除以整數」專家知識結構圖

三、整數除以小數

本內容在教導學生能解決整數除以小數（三位以內，包含純小數和帶小 數）的除法問題，並用有直式算式記錄解題過程與結果。其專家知識結構圖 如圖4-3 所示。

圖4-3 「整數除以小數」專家知識結構圖 三 位 以 內 小 數 除 以 一 位 整

數，可除盡的計算問題

三 位 以 內 小 數 除 以 一 位 整 數，可除盡的應用問題 三 位 以 內 小 數 除 以 二 位 整

數，可除盡的計算問題

三 位 以 內 小 數 除 以 二 位 整 數，可除盡的應用問題

整數除以一位小數，可除盡的計 算問題

整數除以一位小數，可除盡的應 用問題

整數除以二位小數，可除盡的計 算問題

整數除以二位小數，可除盡的應 用問題

四、小數除以小數

六、被除數、除數、商間的關係

本內容在教導學生能了解小數除法中，被除數、除數、商間的關係。其 專家知識結構圖如圖4-6 所示。

圖4-6 「被除數、除數、商間的關係」專家知識結構圖

七、多步驟之小數除法問題

本內容在教導學生能解決包含小數除法的多步驟四則運算應用問題。其 專家知識結構圖如圖4-7 所示。

圖4-7 「多步驟之小數除法問題」專家知識結構圖

專家知識結構的用途在於：編製診斷測驗之試題及設計補救教學教材。而南 一版數學第十二冊「小數的除法」單元的整體專家知識結構，共計 26 個節點，

如圖4-8 所示：

當除數及被除數分別除以或乘 以 10 的 n 次方，商的關係

當除數不變，被除數除以或乘以 10 的 n 次方，商變成除以或乘 以 10 的 n 次方

當被除數不變，除數除以或乘以 10 的 n 次方，商變成乘以或除 以 10 的 n 次方

在除式中，被除數與除數同時除 以或乘以 0 以外的數，其商不變

當被除數一樣大時，除數大於 1、等於 1、小於 1 且不等於 0，

商的大小關係

直線的植樹問題 封閉區域的植樹問題

圖4-8 南一版第十二冊「小數的除法」單元專家知識結構圖

圖4-8 (續)

節點 15 一位小數除以一位小 數，可除盡的應用問題

節點 18 三位以內小數除以三位 以內小數，有餘數的計算問題

節點 16 三位以內小數除以三位 以內小數，可除盡的計算問題

節點 19 三位以內小數除以三位 以內小數，有餘數的應用問題

節點 17 三位以內小數除以三位 以內小數，可除盡的應用問題

節點 14 一位小數除以一位小 數，可除盡的計算問題

節點 12 整數除以二位小數，可 除盡的計算問題

節點 13 整數除以二位小數，可 除盡的應用問題

節點 11 整數除以一位小數，可 除盡的應用問題

節點 10 整數除以一位小數，可 除盡的計算問題

節點 09 在除式中，被除數與除 數同時除以或乘以0 以外的 數，其商不變

貳、編製診斷測驗之試題

建立專家知識結構圖之後，依此專家知識結構，編製診斷測驗之試題。依據 命題程序，每一節點編製五題試題，並邀請上述國小老師，根據電腦化適性診斷 測驗之命題檢核表，從五題中挑選並修訂出兩題；南一版數學第十二冊「小數的 除法」單元有 26 個節點，共計 52 題試題（附錄一），並同時建立複本試題（附 錄二）。

參、紙筆診斷測驗

單元概念試題化後，將試題編製成試卷，以進行紙筆診斷測驗。施測對象為 台中市與台中縣國小六年級學童，有效樣本共計255 名學生，本研究測驗結果採 用Cronbach’s α 係數來代表其內部測驗的一致性，經 SPSS/PC 分析得測驗整體之 α 係數為 0.804，表示本測驗有相當好的信度，分析如表 4-1。

其中，節點15 包含題號 29、30，雖然診斷的概念為「一位小數除以一位小 數，可除盡的應用問題」，但在題目設計上題號 29 與 30 的差異在於被除數比除 數小，不清楚題意的學生常常會依大數除以小數的運算模式，將兩者顛倒進行運 算；節點 18 題號 36 診斷的概念為「餘數的處理」，當學生在處理餘數時無法掌 握小數點的確實位置，例如本題正確答案餘數應為0.08，學生卻往往忽略中間的 0，將餘數小數點錯放位置，而記成 0.8；節點 25，學生對題目題意忽略了頭尾及 兩側的意涵，而少算加1 或乘 2 的運算；節點 26 包含題號 51、52，在題目的設 計上，題號51 設計成多邊形的周長，題號 52 只給定正多邊形的邊長，學生作答 時會忽略兩者的差異，而有相同的解題模式。

表4-1 試題分析表

第二節 電腦化適性診斷測驗

壹、學生試題結構

在進行電腦化適性診斷測驗前，依據學生紙筆預試作答情形，診斷出學生試 題結構，並以此做為電腦化適性診斷測驗的施測結構。

本單元紙筆測驗計有 52 題，有效樣本 255 個，將有效樣本分成訓練樣本 (training samples)與測試樣本(testing samples)，利用訓練樣本估計學生試題結構，

剩下的樣本做為測試樣本，使用matlab 軟體進行分析，計算出各試題間的關係係 數，欲達到95%以上的預測精準度，所需的閾值為 0.045，此時能節省 27.003 的 答題題數。如圖4-9、圖 4-10、表 4-2 所示。

再以閾值 0.045 導入 OT 演算法，得到試題間順序係數矩陣（附錄三）及試 題間順序矩陣（附錄四）。在試題間順序矩陣中，所呈現的結構表，橫軸為上位 試題，縱軸為下位試題，若有下位試題指到上位試題的關係即以1 來表示，否則 為0。

0.81

表4-2 各種不同閾值下預測之精準度及施測、節省題數

閾值 精確度 施測題數 節省題數 閾值 精確度 施測題數 節省題數 0.01 0.99429 46.017 5.983 0.16 0.85946 4.0504 47.9496 0.015 0.99088 43.367 8.633 0.165 0.85871 3.9569 48.0431 0.02 0.98557 40.077 11.923 0.17 0.85724 3.7885 48.2115 0.025 0.9796 36.826 15.174 0.175 0.85559 3.6167 48.3833 0.03 0.97318 33.603 18.397 0.18 0.85473 3.5219 48.4781 0.035 0.96585 30.223 21.777 0.185 0.85353 3.4106 48.5894 0.04 0.95963 27.672 24.328 0.19 0.85264 3.3292 48.6708

0.045 0.95251 24.997 27.003

0.195 0.85147 3.2277 48.7723 0.05 0.94669 22.835 29.165 0.2 0.85027 3.1338 48.8662 0.055 0.94031 20.812 31.188 0.205 0.84867 3.0081 48.9919 0.06 0.93312 18.604 33.396 0.21 0.8473 2.9017 49.0983 0.065 0.92637 16.767 35.233 0.215 0.84586 2.8008 49.1992 0.07 0.9191 14.865 37.135 0.22 0.84397 2.6913 49.3087 0.075 0.91343 13.531 38.469 0.225 0.84151 2.5606 49.4394 0.08 0.90623 11.946 40.054 0.23 0.8389 2.4242 49.5758 0.085 0.89935 10.519 41.481 0.235 0.83634 2.29 49.71

0.09 0.89502 9.6433 42.3567 0.24 0.83425 2.1812 49.8188 0.095 0.89078 8.8104 43.1896 0.245 0.83312 2.1229 49.8771 0.1 0.88689 8.1077 43.8923 0.25 0.83272 2.1017 49.8983 0.105 0.88363 7.5127 44.4873 0.255 0.83223 2.0762 49.9238 0.11 0.88062 6.9798 45.0202 0.26 0.83204 2.0667 49.9333 0.115 0.87794 6.5554 45.4446 0.265 0.83197 2.0629 49.9371 0.12 0.87567 6.1906 45.8094 0.27 0.83197 2.0629 49.9371 0.125 0.87367 5.8996 46.1004 0.275 0.83197 2.0629 49.9371 0.13 0.87139 5.5867 46.4133 0.28 0.83197 2.0629 49.9371 0.135 0.86919 5.2992 46.7008 0.285 0.83197 2.0629 49.9371 0.14 0.86707 5.0371 46.9629 0.29 0.83197 2.0629 49.9371 0.145 0.86466 4.7304 47.2696 0.295 0.83197 2.0629 49.9371 0.15 0.86284 4.4787 47.5213 0.3 0.83197 2.0629 49.9371 0.155 0.86097 4.2442 47.7558

貳、電腦化適性診斷測驗結果分析

實驗一共有五個斑級進行線上施測，有效樣本為122 位學生，施測成績如附 錄五，結果分析如表4-3：

表4-3 電腦化適性診斷測驗結果

適性測驗平均分數 完整作答平均分數 平均施測題數 81.08 75.63 24.84

根據適性測驗的理論可以預測適性測驗作答的分數會比完整作答分數高，實 際施測後，使用適性測驗作答的平均分數是81.08 分，完整作答的平均分數是 75.63 分，適性測驗推估的分數與實際完整作答的分數相差5.45 分，換算成題數約等於 2.72 題，對全部 52 題的施測題目來說，誤差為 5.23％，也就是說適性測驗可以 有高達94.77％的預測率。而進行適性測驗的平均施測題數是 24.84 題，平均可以 節省 27.16 題。所求得的數據的確符合原先所推論的精確度及施測題數，也就是 說在本研究中，電腦化適性診斷測驗確實能完全取代傳統的紙筆測驗，達到省 時、省試題數的目的。

表4-4 閾值 0.045 時，理論與實際精確度及施測題數比較 閾值 精確度 施測題數 節省題數 理論 0.95251 24.997 27.003 實際 0.045

0.9477 24.84 27.16

在文檔中 國小數學領域電腦化適性診斷測驗題庫及補救教學數位內容開發－以「小數的除法」單元為例 (頁 32-44)