尺寸量測

觀察點雲模型可以發現模型中的磚塊大致可分為三種，如圖 4-9，一為位於磚 牆最上方角落的兩塊磚，此類磚塊由三個面來表示，可由三平面交會獲得磚塊角點。

二為磚牆側邊的磚塊，由兩個面來表示，可先由點雲擬和出兩平面，再以磚塊邊緣 點雲擬合出第三個平面，最後以三平面交會出磚塊角點。三為磚牆中間的部分，只 有一個面來表示的磚塊，此類磚塊可由磚塊邊緣點雲擬合出兩直線，以兩直線交會 出磚塊角點即可。

首先探討由三平面組成之磚塊點雲類型，進行平面擬合計算三平面方程式前，

須將磚塊每個面獨立分割出來，由於不同平面其法向量不同，因此利用各點之法向 量進行 k-means 分群，即可分割出不同平面之點雲。接著將分群後的點雲利用最小 二乘法擬合出屬於各自的平面方程式。空間中的平面方程式可由下式來表示：

𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐𝑍 + 1 = 0 4-8 其中，(X, Y, Z)為平面上任一點坐標，(a, b, c)為平面方程式係數，(𝑎, 𝑏, 𝑐) ∈ R，且 𝑎²+ 𝑏²+ 𝑐² ≠ 0。

(a) (b) (c)

圖 4-9、由不同數量的平面來表示一塊磚

平面擬合採用廣義最小二乘平差(General Least Squares Adjustment)(Mikhail and Gracie, 1981)，觀測方程式如下：

𝐹(𝑥, 𝑙) = 𝑎(𝑋 + v_𝑋) + 𝑏(𝑌 + v_𝑌) + 𝑐(𝑍 + v_𝑍) + 1 = 0 4-9

根據廣義最小二乘平差原理可推導出： (Cramer's rule)求解，若三個平面方程式如下：

{

若磚塊點雲由兩個平面組成，亦可使用三平面交會計算磚塊角點。首先利用各 點之法向量進行 k-means 分群，即可分割出兩平面點雲。接著將分群後的點雲利用 最小二乘法擬合出屬於各自的平面方程式，即可獲得二平面方程式。

第三個平面方程式代表磚塊頂面，由於此類型磚塊沒有磚塊頂面點雲，但可由 磚塊邊線擬合出頂面。首先將磚塊點雲建立 Delaunay 不規則三角網，由於磚塊有 轉折，為了不讓兩個面的點雲經由斜邊互相連接，因此需透過門檻值刪除過長的邊，

如圖 4-11 中虛線所示，確保三角網格能準確描述磚塊的兩個面。在不規則三角網 中，位於外圍的三角網格至少會有一個邊沒有相鄰的三角網格，如圖 4-11，A 三 角網格有一個邊沒有相鄰的三角網格，B 三角網格有兩個邊沒有相鄰的三角網格。

根據這樣的規則，任何一個三角網格只要有一個邊沒有相鄰的三角網格，就將此邊 的兩個端點視為磚塊面的邊緣點，邊緣點即可代表磚塊邊線(Pu and Vosselman, 2007)。再選取欲擬合出頂面之邊緣點進行平面擬合，如圖 4-12，獲得第三個平面 方程式。最後利用克拉瑪公式即可計算三平面交點，完成磚塊角點計算，如圖 4-13、

圖 4-14。

圖 4-10、三平面交會獲得磚塊角點(藍*)

圖 4-12、建立不規則三角網並找出邊緣點，紅點與藍點皆為磚塊邊緣點，

藍點為欲擬合磚塊頂面之邊緣點

圖 4-13、三平面交會

圖 4-14、磚塊角點(藍色+)

最後，若磚塊只由一個平面表示，則可利用磚塊邊緣線交會出角點，首先建立

最小二乘直線擬合採用間接觀測平差(Least Squares Adjustment of Indirect Observations)(Mikhail and Gracie, 1981)，觀測方程式如下：

𝐹(𝑥, 𝑙) = {

若有 n 個觀測量則可列出 3n 條觀測方程式，將觀測方程式整理成矩陣式如下：

擬合出二直線方程式之後，即可以兩直線交會獲得磚塊角點。若兩直線方程式

利用廣義最小二乘平差(General Least Squares Adjustment)(Mikhail and Gracie, 1981)計算兩直線交點，可獲得三條觀測方程式如下：

v =

圖 4-16、兩直線(橘線、藍線)交會出磚塊角點(藍+)

獲得欲量得長度之兩磚塊角點坐標之後，即可計算兩點距離，完成半自動化點 雲尺寸量測之目的。若兩角點坐標為(X1, Y1, Z1)、(X2, Y2, Z2)，則兩角點距離 D 為：

D = √(𝑋₂ − 𝑋₁)²+ (𝑌₂− 𝑌₁)²+ (𝑍₂− 𝑍₁)² 4-43