第 3 章 近景攝影測量基本原理
3.5 共線方程式在攝影測量的應用
𝑥𝑎− 𝑥0+ δ𝑥 + ∆𝑥 = −𝑓 [𝑚11(𝑋𝐴− 𝑋𝐿) + 𝑚12(𝑌𝐴 − 𝑌𝐿) + 𝑚13(𝑍𝐴− 𝑍𝐿) 𝑚31(𝑋𝐴− 𝑋𝐿) + 𝑚32(𝑌𝐴− 𝑌𝐿) + 𝑚33(𝑍𝐴− 𝑍𝐿)] 𝑦𝑎− 𝑦0+ δ𝑦 + ∆𝑦 = −𝑓 [𝑚21(𝑋𝐴− 𝑋𝐿) + 𝑚22(𝑌𝐴 − 𝑌𝐿) + 𝑚23(𝑍𝐴 − 𝑍𝐿)
𝑚31(𝑋𝐴− 𝑋𝐿) + 𝑚32(𝑌𝐴 − 𝑌𝐿) + 𝑚33(𝑍𝐴 − 𝑍𝐿)] 3-5
3.5 共線方程式在攝影測量的應用
共線方程式是解析攝影測量物像對應的基礎方程式，式中每個元素都可以作 為測量的對象，例如在已知兩張像片內外方位參數下，量測影像中相對應的物點坐 標，由此兩空間中的直線交會即可求解物點之三維空間坐標，此方法為攝影測量之 空間前方交會(space intersection)，如圖 3-10。如單像片中包含三個以上已知三維 空間坐標之像點，則可利用空間後方交會(space resection)求得像片之六個外方位參 數(XL, YL, ZL, ω, ϕ, κ)。
圖 3-10、雙像空間前方交會(Wolf and Dewitt，2000)
在多張像片下量測重疊區域連結點並搭配少量控制點，在共線條件約制下利 用光束法區域平差(bundle block adjustment)一併求解多張像片之外方位參數及連結 點三維坐標，此方法稱為空中三角測量(aerial triangulation)，如圖 3-11。空中三角 測量也可以進行相機率定，將未知的內方位參數代入光束法平差中同時求解，稱為 自率光束法區域平差(self-calibrating bundle block adjustment)。
共線方程式在攝影測量的應用相當廣泛，其他包含正射影像製作等，本文將不 再詳述。
圖 3-11、空中三角測量(Moffitt and Mikhail, 1980) 3.6 影像匹配
影像匹配(Image Matching)是透過影像灰階值或幾何特徵，在兩幅或多幅影像 間搜尋相互對應的點位，稱為共軛點(conjugate points)。藉此利用前方交會法獲得 三維空間資訊。影像匹配方法大致可分為區域式匹配(Area-based Matching)及特徵 式匹配(Feature-based Matching)。區域式匹配透過搜尋罩窗計算灰階值的相關性找 出共軛點，常見的方法有標準互相關法(Normalized Cross-Correlation Matching)及 最小二乘匹配法(Least-Squares Matching)。然而區域是匹配容易受到影像尺度變化 及視角不同的影響，造成共軛點匹配錯誤，此時特徵式匹配將優於區域式匹配，常 見的特徵式匹配方法有尺度不變特徵轉換(Scale-Invariant Feature Transform)、加速 穩健特徵(Speeded Up Robust Features)。
影像密匹配是攝影測量發展的主軸之一，透過多張重疊影像，逐像元匹配 (pixelwise matching)，取得細緻的三維空間資訊，如圖 3-12。Hirschmüller(2005)提 出的半全域匹配法(Semi-Global Matching，SGM)，大幅減少全域匹配法的計算量，
且提升可靠度，密匹配成果更優於光達點雲。攝影測量成為獲取三維空間資訊經濟 且方便快速的一種方法。
圖 3-12、影像密匹配產製之三維點雲模型(陳婉婷，2017)
第4章 研究方法
本研究的目標是以非量測型相機獲取砌磚作品影像，產製高密度三維點雲模型，
以利後續進行模型評分量測工作。本研究工作包含三個主要項目，一為產製高密度 點雲模型，為了確保每件作品模型應有相近的品質，因此需制定合適的坐標系統約 制及拍攝規劃，以完整重建三維場景。二為點雲模型前處理，包括磚牆點雲裁切及 紅磚與灰縫點雲的分群，獲得僅有磚塊的點雲模型。三為點雲量測方法，將著重於 尺寸、水平、垂直、平整度量測。研究流程如圖 4-1，以下將依序詳述。
圖 4-1、研究流程圖
4.1 建立坐標系統
砌磚競賽評分主要以捲尺及水準氣泡尺作為量測工具，尺寸量測是由裁判使 用捲尺量得磚牆長度、高度或特定尺寸，在點雲模型中則可以兩點三維坐標計算出 距離，因此模型需有良好的尺度控制。垂直及水平使用水準氣泡尺進行量測，然而 水準氣泡是依靠重力來獲得垂直及水平的依據，因此需建立可靠的重力方向基準。
本研究以尺度及重力方向基準作為建立坐標系統的兩個要素，如圖 4-2。尺度 控制以測量專用之標尺作為尺度約制條件。重力方向基準以垂球的原理架設兩點 連線平行於重力方向之控制點，並以兩控制點方向作為 Z 軸，建立卡式坐標系統。
然而模型量測只需考慮單一模型中各點位的相對關係，不須與其他模型進行比較，
因此每個作品都是獨立的坐標系統，但有著相同的尺度及 Z 軸方向。
圖 4-2、尺度控制及 Z 軸方向控制示意圖
4.2 拍攝規劃
攝影規劃是攝影測量工作最重要的作業，目的是為了完整重建場景，且有良好 的品質。Wenzel et al.(2013b)提出針對近景攝影測量影像獲取的建議及相機設定，
以下是幾項 Wenzel et al.提出的建議：
確保有 80％的影像重疊率
確保每個區塊至少能夠出現在 3 張影像中
針對複雜的表面適當縮小像基距
每個相機站從不同高度獲取影像
較低的 ISO，較快的快門速度，較小的光圈
確保場景有足夠的光源
本研究設計一個適合砌磚競賽使用的攝影規畫流程。首先決定地面取樣距離 (ground sample distance, GSD)，地面取樣距離是指像片中單一像元對應到物空間的 距離，是用來衡量影像解析度的重要指標。本研究使用 Bentely ContextCapture 作 為產製點雲模型之軟體，此軟體提供之影像獲取手冊中提及模型的相對精度 P 為 (ContextCapture, 2019)：
𝑃＝3 × 𝐺𝑆𝐷 4-1
然而砌磚競賽量測的最小單位為 1 mm，因此 GSD 須小於 1/3 mm。接著決定像片 解析度(C×R pixel)，令磚牆高度為 H，磚牆在像片中的比例為 S，S 是確保像片能 夠涵蓋整個磚牆高度以及周圍之坐標系統配置，可取 0.6~0.8 左右，依下式計算像 片最小列數(Rmin)，根據 Rmin選擇相機適當的像片解析度：
𝑅𝑚𝑖𝑛× 𝐺𝑆𝐷 ≥𝐻
𝑆 4-2
為了維持磚牆在像片中的比例為 S，鏡頭焦距與拍攝距離成正比，選用長焦距 當相機對焦於某一點時，其他點位會產生模糊圓(circle of confusion)，距離對 焦點越遠其模糊圓越大，若模糊圓夠小，則可視為一個的點，在對焦點沿物距方向 光圈的比值，數位相機通常以 f-number 來表示光圈大小，若焦距固定，f-number 越 大光圈越小，景深範圍也越大。
圖 4-3、景深範圍示意圖(陳婉婷，2017)
然而影像清晰度仍受場景照明度、相機快門速度、感光度 ISO 等因素影響，
因此實務上應確保場景光線充足，避免使用高感光度，若快門速度過長則可搭配腳 架使用，綜合調整確保影像清晰。
完成拍攝參數規劃之後需決定攝影站數，假設磚牆長度為 L，磚牆高度為 H，
磚牆長度決定延基線方向需要幾張相片才能涵蓋，若影像重疊率為 a，影像行數為 C，像基距 B，則相機站數 SC如下式：(⌈ ⌉表示上取整函數)(陳婉婷，2017)
𝑆𝐶 = ⌈𝐿 − 𝐶 × 𝐺𝑆𝐷 × 𝑎
𝐵 + 3⌉ 4-6
然而 SC是指磚牆正面所需拍攝站數，磚牆側面及上面也需完整重建，由於砌磚競 賽之磚牆通常為 1b 厚度(b：砌磚用語，表示整磚長度)，側面的面積通常遠小於正 面，為了確保每個區域至少都被三張影像拍攝，因此可以磚牆兩側角落為圓心，拍 攝距離為半徑，分別增加數個測站，以利完整重建側面部分。磚牆頂部則提高拍攝 高度，增加第二個拍攝航帶，使用由上往下的角度拍攝，拍攝高度以能夠拍到磚牆 頂部為考量。整體攝影站配置如圖 4-4。
圖 4-4、攝影站配置示意圖
4.3 產製點雲
目前市面上許多軟體皆能自動解算像片方位，並產製高密度點雲，例如:Agisoft PhotoScan、Pix4Dmapper、VisualSfM 等。Bentely ContextCapture 是款測繪業界常 用的影像密匹配軟體之一，具有快速產製高精度及高密度點雲模型的能力，產製成 果擁有精細的紋理細節及銳利的邊緣，高品質及高效能的特性使得 ContextCapture 在製作大範圍的數值地表模型或是小區域的三維場景重建表現都相當出色。本研 究採用 ContextCapture 來做為像片方解算及產製磚牆三維點雲模型的軟體，相機內 方位參數率定則在像片方位重建程序中以自率光束法區域平差的方式解算。產製 點雲模型之流程如圖 4-5。
4.4 點雲前處理
點雲模型產製完成後即可進行模型量測的工作，本研究以 MATLAB 撰寫點雲 前處理及點雲量測的程式。由 ContextCapture 產製出的點雲模型可能包含許多背 景，這些背景資訊在點雲量測中並不會使用到，因此需將磚牆點雲裁切分割出來， 縫最明顯的差異在於顏色，使用 k-means clustering 針對點雲的色彩資訊進行分群，
圖 4-5、ContextCapture 產製點雲模型流程 匯入影像
k-means clustering 是分割式分群法中，最基本的演算法，其主要目標是要在大 量的資料點中找出具有代表性的資料點，這些資料點可以稱為是群中心(cluster centers)，然後在根據這些群中心，進行資料壓縮、資料分群等處理。
透過事先設定群集的數量 k，初步將資料點分為 k 群，重新計算資料群中心，
更新資料點所對應之分群，不斷迭代計算，最終使得所有資料點𝑥𝑗與其群中心𝑢𝑖之 距離平方合為最小，達成資料分群的目的(Arthur and Vassilvitskii, 2007)。
𝐽 = ∑ ∑ (𝑥𝑗− 𝑢𝑖)2
𝑥𝑗∈𝑆𝑖 𝑘
𝑖=1
4-7
點雲模型的色彩資訊通常以 RGB 顏色模型來表示，但使用 RGB 色彩資訊進 行 k-means 分群時，可能受到光線明亮度影響造成分群結果不理想，無法順利將紅 磚及灰縫區分出來，因此可將 RGB 轉換至 Lab 色彩空間(Lab color space)。Lab 色 彩空間被設計用來貼近人類視覺，人的肉眼能感知的色彩都能通過 Lab 模型表現 出來，它的全域(gamut)超過 RGB 和 CMYK 色彩空間。Lab 色彩空間是一個三維 色彩模型，L 表示亮度，a 代表紅色到綠色之間的位置，b 代表黃色到藍色之間的 位置，如圖 4-6，所有顏色就以這三個值來組成，不受顯示器等設備影響，為一種 絕對色彩空間。因此將 RGB 轉換至 Lab 色彩空間，以 a、b 兩個色彩資訊進行 k-means 分群，即可避免因亮度造成的顏色差異，可精準將紅磚及灰縫分群。
圖 4-6、Lab 色彩空間
4.5 點雲量測
本研究著重的砌磚評分項目為尺寸、垂直、水平、平整度量測。在砌磚競賽中，
尺寸量測是由裁判使用捲尺量得磚牆長度、高度或特定距離，如圖 4-7。由於點雲 模型中任何一點皆帶有一組三維坐標，選取兩點坐標即可計算兩點距離。為了能夠 準確選取磚塊角點，減少人工選點的誤差，本研究採用平面交會或直線交會的方式 來獲得準確的磚塊角點坐標。垂直、水平量測是利用水準氣泡尺靠上欲量測的位置，
使水準氣泡居中之後，量得磚塊與水準氣泡尺之間的空隙，以整段長度中最大的空 隙作為該位置扣分標準，該最大空隙在砌磚競賽中稱為垂直或水平誤差，磚牆垂直 度量測方法如圖 4-8。平整度量測，又可以稱為直線量測，量測磚塊疊砌是否成一
使水準氣泡居中之後，量得磚塊與水準氣泡尺之間的空隙，以整段長度中最大的空 隙作為該位置扣分標準，該最大空隙在砌磚競賽中稱為垂直或水平誤差，磚牆垂直 度量測方法如圖 4-8。平整度量測，又可以稱為直線量測，量測磚塊疊砌是否成一