層級分析法

本節旨在說明層級分析法 (AHP) 概論，層級分析法理論基礎，層級 分析法及其相關研究。

一、 層級分析法概論 (一) 目的與假設

層級分析法為 Saaty (1980) 所發展出來，主要應用於擁有多個評估準 則的決策問題上。而 AHP 發展的目的就是將問題系統化，用以提供決策

者充分的資訊，減少決策錯誤的風險性。

AHP 主要包括以下九個基本假設 (鄧振源、曾國雄，1989a)：

1. 一個系統可被分為多個種類 (classes) 或成分 (components)，並形成 有向網路的層級結構。

2. 每一層級的準則均假設具有獨立性 (independence)。

3. 每一層級的準則，均可用上一層級內的全部或部分準則做評準，進 行評估。

4. 比較評估時，可將絕對數值尺度轉換為比例尺度 (ratio scale)。

5. 成 對 比 較 (pairwise comparison) 後 ， 使 用 正 倒 值 矩 陣 (positive reciprocal matrix) 處理。

6. 偏好關係具遞移性 (transitivity) (例如：x 優於 y 二倍，y 優於 z 三 倍，則x 優於 z 六倍)。

7. 完全具遞移性不容易，因此可容許不具遞移性的存在，但需檢驗其 一致性 (consistency) 的程度。

8. 準則的優勢程度，經由加權法則 (weighting principle) 而求得。

9. 任何準則只要出現在層級結構中，均被認為與整個評估結構有關。

(二) 層級結構的建立

AHP 利用層級來分析問題，是從上層級來看下層級的相互影響，而 不是直接分析各層級的準則。在層級建構的建立上，假設「最終目標」為 第一層評估準則，而在此之下有 個評選指標 ，稱為第二層的 評估準則；並假設在 評估準則下有r 個評選指標 X1,X2,…,Xr，在 下有 s 個評選指標 Y1,Y2,…,Ys，以此類推，到 有t 個評選指標 Z1,Z2,…,Zt，這 些評選指標稱為第三層的評估準則。將此 AHP 的層級結構圖表示如圖 2-3：

n

A

₁

, A

₂

, L , A

_n

A1 A₂

A

n

14

15 對間比較所使用的評估尺度，是以五個語意變數 (linguistic variable) 「一 樣重要」、「稍微重要」、「重要」、「非常重要」、「絕對重要」，配以五個名 目尺度 (nominal scales) 1、3、5、7、9，並在五個基本尺度之間插入四個 衡量值2、4、6、8，而在作為為成對比較時所用來評估的，是採用由名目

表 2-3 AHP 評估尺度表

評估尺度 語意 說明(二準則相比)

1 一樣重要 (Equal Importance) 等強 (Equally) 3 稍微重要 (Weak Importance) 稍強 (Moderately) 5 重要 (Essential Importance) 強 (Strongly) 7 非常重要 (Very Strong Importance) 極強 (Very Strong) 9 絕對重要 (Absolute Importance) 絕強 (Extremely) 2、4、6、8 相鄰尺度之中間值(Intermediate values) 需要折衷值時 二、 層級分析法理論基礎

在層級結構以及評估尺度確立後，要利用 AHP 進行各層級評選指標 間權重的計算，主要包括下列四個步驟(以圖 2-3 第一層與第二層為例) (Saaty, 1980)：

(一) 建立成對比較矩陣 (pairwise comparison matrix)

為求第二層評選指標 在第一層「最終目標」下的權重值，

對重要性以

a

_ij表示，則評選指標

A

₁

, A

₂

, L , A

_n的成對比較矩陣為

A = [ ] a

ij ，如

另外因為成對比較矩陣

A

，具有以下性質

1. 矩陣

A

的元素均為正值。依 Perron-Frobenius 定理，矩陣

A

具有正 的特徵值，而最大的特徵值λ ，其所對應的特徵向量元素，也都_max 是正值。

2. 矩陣

A

中對稱的元素，互為倒數關係，即

ij

ji a

a

= 1

。

3. 矩陣

A

的行向量 (column vector) 為

W

_n ^T的常數倍，故其 秩 (rank) 為 1。因此，特徵值

n

W

W , , , ) (

_{1 2}

L

, , 2 1 L ,

i

, i =

λ 中，只有一個為非零，

其餘皆為零。

4. 矩陣

A

主對角線的和為n，又從特徵值的特性得知，特徵值得和也 為n，再從性質1、3 可得知最大特徵值λ 為_max n。

因此，評選指標

A

₁

, A

₂

, L , A

_n的權重向量

W v

，即是矩陣 最大特徵值

A

λ_max 所對應之特徵向量標準化後的值。但實際進形成對比較時， 為決策者主

觀判定而得，與理想之 (符合一致性)有些差異，故 Saaty (1980) 提 出若矩陣

a

ij j

i

W

W /

A

通過一致性檢定時，權重向量

W v

便可依(2-18)式求得：

AW

= λ

_maxW (2-18) (三)一致性檢定

以 個n

A

₁

, A

₂

, L , A

_n評選指標中的

A

i

, A

j

, A

k為例，若

a

_ij

× a

_jk

= a

_ik成立時，

則表示決策者的判斷具前後一致性。

由於決策者的評估要能達到前後一致性是相當困難的。因此，便需要 進行一致性的檢定，利用(2-18)所得之最大特徵值λ 與 ，做成一致性指_max 標 (consistency index, )，Saaty (1980) 建議

n

1 . .

.I

C C

.

I

. ≤ 0

是為可容許的偏

18

誤。以下為一致性指標之公式：

. 1 .

^max

−

= − n I n

C

λ

(2-19) (四)綜合評估與專家整合

而在綜合評估上，假設在第一層級評估準則之下所評估的第二層級各 評選指標相對權重為 ，在第二層級評估準則之下評估的第三層級各評選 指標相對權重為

S

T

，則在第一層級評估準則之下第三層級各評選指標權重

，可用下式求出：

W

W

=

S

⋅

T (2-20) 在專家整合上，假設有

M

位專家，個別判斷評選指標 ，

所求得之權重值為 ，則可利用算術平均數 (arithmetic mean) 整合，其運算公式如(2-21)式所示：

) , , 2 , 1

( i n A

_i

= L

M i

i W

W¹

,

²

, L ,

Wi

(

i i i^M

)

i

W W W

W = M 1

¹

+

²

+ L +

，

i = 1 L , 2 , , n

。 (2-21) 三、 層級分析法及其相關研究

AHP 已發展三十餘年，在學術各領域上常被應用，多用來做學術研 究、決策或建立權重之用 (Noble & Sanchez, 1993; Sari, Sen & Kilic, 2008;

Stein &

 

Ahmad, 2009; 陳怡婷，2007；楊旻翰，1999；劉書嵐，2003；魏 文秀，2000)。鄧振源、曾國雄 (1989b) 曾探討 AHP 的適用範圍以及其應 用領域，本研究將其整理如表 2-4 與表 2-5 所示：

19

20

由表 2-4 與表 2-5 可知，基於本研究之性質與目的，與其適用範圍及 應用領域符合，故可使用 AHP 來當為本研究之方法，建立出國小數學教 科書評選指標之權重值。

在文檔中 應用模糊層級分析法於國小數學教科書評選指標之權重建立 (頁 21-29)