國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文
指導教授：林原宏 博士
應用模糊層級分析法於國小數學教
科書評選指標之權重建立
研 究 生：蔡 博 凱 撰
中 華 民 國 九十八 年 七 月
謝誌 時光荏苒，轉瞬間，二年的研究生涯，在論文順利附梓之際即將畫上 句點，回首此段學習歷程，心中無限感激與感謝。 首先誠摯感謝指導教授林原宏博士，老師的細心指導、耐心督促，並 以嚴謹的治學態度與研究精神為典範，不時地指點我正確的方向，令學生 在學習過程中獲益匪淺。 感謝口試委員易正明教授與黃財尉教授，感謝您們的不吝指教，提供 精闢的見解及寶貴的意見，才使得本論文在結構與內容上更加嚴謹，且用 字遣詞適當。 就學期間，也非常感謝學長姐，宗霖、逸修、小玲、佩郡、啟有、民 欣、偉欣、憲政的照顧與教導，和同學文莉、慧玲、佳芬、隆慶、家慶、 佳縈、金葉、喻惟、青芷、佩蓉、怡君、世堂、耀程、昌宏、慶恩、博仁 的支持與鼓勵，以及學弟妹奕廷、紀伶、姿良、秀華、勛楷、毅玲、秀綿、 淑芬、奇霖、絮媛、忠易、奇荃、雅玲、素如、信逢、昱禎的協助與幫忙。 因為有您們的陪伴，讓我這二年的研究生生活，過得既充實又快樂，對於 您們的友情與感激，將長存我心。 最後，謹以此論文獻給我摯愛的家人和朋友，院與您們一起分享這份 成果與喜悅。 中華民國九十八年七月十三日
I
摘要
本 研 究 旨 在 應 用 Buckley (1985) 所 提 出 之 FAHP (fuzzy analytic hierarchy process)，建立九年一貫課程國民小學之數學學習領域教科書評選 指標之權重。而本研究所探討之數學學習領域教科書評選指標，共有三層， 第一層為主要目的「數學教科書評選」，第二層有四個評選指標，第三層有 二十七個評選指標。研究者利用 Excel 與 Expert Choice 11 此二種軟體作 為分析之主要工具，得到各指標之模糊權重值，再以 Millet and Harker (1990) 所提出的 BFR 法 (branch freezing rule) 將權重過低之指標刪除，將本為複 雜的評選指標簡單化，讓此數學學習領域教科書評選指標能更簡化，降低 在實際應用上的複雜度。 研究結果顯示 FAHP 可用於建構教科書評選指標之權重值，擬可將建 構出來的評選指標與權重值供國小教師或國小數學教科書編輯者做為參 考，提升教科書評選方面的專業知能。 關鍵字：教科書評選、層級分析法、模糊理論、模糊層級分析法、BFR 法
II
Abstract
The purpose of this study was to apply FAHP (fuzzy analytic hierarchy process) and BFR (branch freezing rule) on the weight of evaluation alternatives for mathematics textbook. There were three levels of evaluation alternatives. The first level was the purpose and there were 4 indicators in the second level. Furthermore, there were 27 evaluation alternatives in the third level. When it was to evaluate to mathematics texts, there were too many evaluation alternatives and it was unfeasible to evaluate mathematics textbooks. Therefore, reduction of evaluation alternatives was necessary for empirical utility.
The researcher used Excel and Expert Choice 11 to get the fuzzy weight value of every alternative. And then deleted the alternatives of the lower weight based on with BFR. This procedure made complicated assessment alternatives more simple. Based on the findings, some suggestions and recommendations were suggested.
The result of study revealed FAHP could be used in building and constructing the weight value that evaluation alternatives for mathematics textbook objectively, it planned to be could build evaluation alternatives and weight value came out to construct support the grade teacher or mathematics textbook editor person of primary school as consulting, as the professional knowledge in improving the evaluation for mathematics textbook.
III
目錄
第一章 緒論 ... 1 第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的 ... 3 第三節 名詞釋義 ... 3 第二章 文獻探討 ... 5 第一節 教科書的評選及相關研究 ... 5 第二節 模糊理論 ... 10 第三節 層級分析法 ... 13 第四節 模糊層級分析法 ... 21 第五節 BFR 法 ... 27 第三章 研究方法 ... 29 第一節 研究架構 ... 29 第二節 研究流程 ... 31 第三節 專家背景之描述 ... 32 第四節 研究工具 ... 33 第五節 研究運算步驟 ... 34 第六節 軟體工具 ... 39 第四章 研究結果與討論... 41 第一節 各評選指標模糊權重值之建立 ... 41 第二節 刪除權重過低之評選指標 ... 45 第三節 各評選指標權重值之正規化及應用 ... 48 第五章 結論與建議 ... 51 第一節 結論 ... 51 第二節 建議 ... 51IV
參考文獻 ... 53 附錄 ... 59 附錄一 ... 59
表目錄
表 2-1 相關領域研究法彙整表 ... 9 表 2-2 機率理論與模糊理論二者比較表 ... 13 表 2-3 AHP 評估尺度表 ... 16 表 2-4 AHP 適用範圍表 ... 20 表 2-5 AHP 應用領域表 ... 20 表 3-1 數學教育專業知識領域之專家描述 ... 32 表 3-2 實務教學經驗領域之專家描述 ... 33 表 3-3 設計問卷範例表 ... 33 表 3-4 三角模糊數尺度表 ... 35 表 4-1 解模糊化後之一致性檢定通過份數表 ... 42 表 4-2 「國小數學教科書評選」之下層評選指標的權重值表 ... 43 表 4-3 「設計理念」之下層評選指標的權重值表 ... 43 表 4-4 「與能力指標符合程度」之下層評選指標的權重值表 ... 44 表 4-5 「內容組織」之下層評選指標的權重值表 ... 44 表 4-6 「活動設計與取材」之下層評選指標的權重值表 ... 45 表 4-7 第二層指標與1/(N⋅P~)比較表 ... 46 表 4-8 第三層指標與1/(N⋅P~)比較表 ... 46 表 4-9 各評選指標權重值正規化後表 ... 48 V圖目錄
圖 2-1 教科書評選之層級結構圖 ... 8 圖 2-2 三角模糊數A~=(l,m,u) ... 11 圖 2-3 AHP 層級結構圖 ... 15 圖 2-4 模糊數(α/β,γ /δ) ... 21 圖 2-5 aij ~ 的α−cut示意圖 ... 23 圖 3-1 研究架構圖 ... 30 圖 3-2 研究流程圖 ... 31 圖 3-3 三角模糊數尺度圖 ... 35 圖 4-1 教科書評選之層級結構圖 ... 41 圖 4-2 P~三角模糊數圖 ... 45 VI第一章 緒論
教科書是課程與教材的一部分，其內容可提供教師作為整合課程與教 材的教學參考。在現今「一綱多本」的環境下，教科書的評選指標可用於 評估教科書之良莠，但在數學科教科書評選這個學術領域上卻較少有研究 去探討其權重值之建立。因此，本研究旨在利用模糊理論 (fuzzy theory)、 層級分析法 (analytic hierarchy process, AHP) 與模糊層級分析法 (fuzzy analytic hierarchy process, FAHP)，作為本研究之主要研究方法，建立教科 書評選指標之權重，並利用 BFR 法 (branch freezing rule) 刪除權重過低 的指標，重新建構教科書評選指標以供評選參考。本章旨在說明本研究的 動機與目的，並對本研究中有提及的名詞加以釋義。
第一節 研究動機
一、 教科書的開放與評選 政府遷臺以來，各項教育制度、課程內容以統一管制為原則。民國五 十七年，為配合九年一貫國民義務教育之實施，教育部規定國民中小學教 科書一律由國立編譯館統一編輯。民國七十六年，政府宣布解除戒嚴，隨 著社會結構轉型，要求教科書開放的呼聲逐漸興起 (藍順德，2003a)。因 此，到了民國八十六年，政府教育部開始開放民編版的編輯與審查。而在 現今的九年一貫國民義務教育，教科書的編輯已呈現「一綱多本」的現象。 教科書開放有其深遠的意義：(一)透過教科書編審轉化，達成課程改革目 標；(二)發揮教師專業自主，增進教師專業知能；(三)適應學生多元學習， 培養國民創新能力；(四)促進課程教材研究發展，提升教科書品質；(五) 提供民間參與教育改革機會，廣納社會資源 (藍順德，2003b)。而且對許 多人而言，教科書是其組織和實施教學的重要參考來源；是學生學習與成 長的重要管道；也促使家長瞭解子女學習內容，進而協助子女學習的主要 12 憑藉，教科書的好壞，實對學習品質的影響既深且遠 (教育部，2003)，由 其可見教科書的評選有其重要性。 而由周珮儀 (2003) 研究發現，國內在研究主題方面以教科書本身的 內容居多，教科書的評鑑與選擇則居次；在研究科目方面，數學科教科書 的研究相較於其他類科明顯偏少。所以本研究擬建立國小數學科教科書評 選指標之權重值，以供未來教科書選用的參考，評選出適合教師與學生數 學學習的教科書。 二、 評選教科書之方法 層級分析法為 Saaty (1980) 所發展出來，主要應用於有多數評估準則 的多準則決策 (multi-criteria decision-making) 問題上，在各領域上都有使 用此種方法的學術研究，研究者認為，可將其運用於建立數學教科書評選 指標之權重，設計出一個能夠評選教科書的工具。但是傳統的 AHP 將問 卷的語意變數轉化成明確值 (crisp value) 之等距變數 (interval variable)。 林原宏 (2002) 指出此種資料分析方式，有下列兩項值得商確：(一)人類思 考具模糊性與不確定，而此傳統上將語意變數轉變成等距變項數值，過於 簡化且欠缺理由依據：(二)本質上思維是一種多元邏輯的過程，將語意變 數轉換明確值，對於質化且主觀判斷、具不確定且模糊性的語意變數而 言，實有不妥。吳柏林 (2005) 也提到因為人類的語言、思維與決策，常 有模糊及不完整的特質，故社會調查的設計問卷過程中充滿很多模糊概 念、模糊架構與模糊歸納邏輯。故研究者擬將「模糊」的概念代入研究中， 改善 AHP 問卷語意上的缺失。近年來，由 Zadeh (1965) 所提出來的「模 糊理論」蓬勃發展，在各領域上皆有所建樹，包括應用於決策方法上。 Buckley (1985) 提出利用模糊理論應用於層級分析法 (AHP)，而發展出結 合模糊理論的「模糊層級分析法」。因此，本研究選用模糊層級分析法 (FAHP) 作為主要研究方法，研究成果期能更為貼近人類思維，符合真實
想法，並能夠實際用於評選教科書。 另外，在 AHP 與 FAHP 中若有 個評選指標時，則需進行 個成對比較，故當評選指標眾多時，對於專家填答造成相當程度的負擔以 及困難度，且在運算過程中會產生龐大的計算量 (蔡博凱、林原宏，2008)， 這增加了在實際應用上的複雜度。因此，為了能使國小數學科教科書評選 指標的評選指標簡化，降低其在實際應用上的困難，故本研究擬利用 BFR 法，將權重過低的評選指標刪除，降低數學科教科書評選指標在實際應用 上的複雜度。 n n(n−1)/2
第二節 研究目的
基於上述之研究動機，本研究旨在利用模糊層級分析法 (FAHP) 建構 出教科書評選指標之權重，以期提供具體可行的教科書評選方式，使其能 幫助評選教科書之良莠。因此，將本研究目的臚列如下： 一、 利用模糊層級分析法 (FAHP) 與 BFR 法建立國小數學教科書評選 指標之權重值。 二、 根據研究成果提供教科書評選參考。第三節 名詞釋義
一、 模糊理論 由 Zadeh (1965) 提出模糊理論，是以模糊邏輯為基礎，將傳統數學之 二元邏輯做延伸，將元素和集合之間的關係，以介於[0,1]之間的隸屬度 (membership) 描述。模糊理論應用的範圍廣泛，從工程設計到社會人文科 學都有相關研究。 二、 層級分析法 由 Saaty (1980) 提出的層級分析法，主要應用在不確定 (uncertainty) 34 情況下及具有多數個評估準則的決策問題上。自 AHP 發展以來，發表的 相關論文和期刊文章眾多，應用相當廣泛，在經濟、社會人文、管理科學 等領域都有許多相關研究。 三、 模糊層級分析法 由 Buckley (1985) 基於傳統層級分析法的不精確問題，與求取權重方 式難以被使用在模糊矩陣運算，便將模糊理論導入傳統層級分析法上，並 將一致性的概念轉化到模糊矩陣中，進而發展出模糊層級分析法，FAHP 也被廣泛的應用在各領域。 四、 BFR 法
由 Millet and Harker (1990) 所提出的 BFR 法，主要是針對層級分析 法指標過多，造成決策者判斷的負擔，用來刪除權重過低的指標，是一種 在學術研究上應用於層級分析法，判斷權重是否過低的方法。
第二章 文獻探討
本章旨在根據本研究之目的，探討相關理論與應用研究之文獻，共分 為四節，第一節為教科書評選及相關研究，第二節為模糊理論，第三節為 層級分析法，第四節為模糊層級分析法，第五節為 BFR 法，將文獻探討 之結果闡述如下。第一節 教科書的評選及相關研究
本節旨在說明教科書評選的背景，教科書評選及其相關研究。 一、 教科書評選的背景 國內教科書於九十學年度隨著九年一貫課程之實施，由統編制逐步轉 換成開放審定制。教科書開放的主要目的之一，是為了透過選用教科書， 以發揮專業自主，增加專業知能，進而提升學生學習效果。但是，教師選 用教科書時，其經驗和專業能力可能不足，教科書評選實屬不易，因此容 易以顯而易見的輔助教具做為評選依據 (鄧鈞文，2001)。故教科書的評 選，宜依據客觀有效的評選規則，有系統的透過觀察、推測等方式取得教 科書資訊，再進行分析與比較用以選擇適合教與學之教科書 (曾諱港， 2007)。 課程改革是國內近年來教育改革的重點，國民中小學九年一貫課程的 推動，以及一改過去的課程標準轉變為課程綱要，並以能力指標的型態呈 現，並未具體規範教材的內容，只列出學生在該階段所需達到的能力。因 此，教科書的編輯具有較大的空間。但相對地不同版本教科書的內涵與形 式上有多大差異，實有賴評鑑研究去進行分析比較。 二、 教科書評選之指標 本研究係參考中華民國課程與教學學會 (2007) 在「九年一貫課程之 56 教材教科書總評鑑：設計理念、能力指標與統整性－數學領域教科書評鑑 報告」中所訂定的評鑑規準做研究。其評鑑規準可分為四大評鑑規準，以 及在其底下二十七個小評鑑規準，將其說明敘述如下： (一) 設計理念：主要針對教科書在課程設計上的理念取向進行分析， 其主要內容包括： 1. 思考性：學生解題之思考歷程、反思活動等。 2. 知識性：學生的數學概念、數學知識發展及其邏輯順序。 3. 生活性：數學概念、數學學習活動與生活的連結。 4. 心理性：學生數學概念的心理發展。 5. 多樣性：問題、情境、表徵、解題歷程等之多樣性。 6. 統整性：關於不同主題及相關概念、情境等之連結的統整性。 7. 獨特性：教材設計的獨特性。 (二) 與能力指標之符合度：主要檢視數學教科書每一學習階段之教材 內容與「能力指標」的符合程度，其主要內容包括： 1. 與數學領域課程目標、分斷能力指標、及分年細目之符合程度 2. 兼顧認知、情意和技能等層面目標的達成 3. 單元教學目標能達成各該階段能力指標，且能力指標於該階段 終不同年級(學期)逐步完成 4. 學習內容含該學習階段數學領域五大主題軸的主要概念、原 理、原則、和技能。 (三) 內容及組織：主要關注教材之內容與組織，包括： 1. 教材組織整體性：教材內容組織架構呈現數學概念的整體性與 連貫性。 2. 教材內部連結：教材之主要學習內容的內部連結情形。 3. 教材外部連結：教材與生活經驗及其他學習領域之外部連結。
7 4. 階段的銜接性：不同學習階段間學習內容的延續與銜接性。 5. 教材的心理邏輯發展：學習內容在不同年級與學習階段中，符 合學生之心理邏輯發展。 6. 教科用書的整合程度：課本、習作與教學指引之整合程度。 7. 習作和學習活動配合程度：習作與學習活動與學習內容之配合 程度。 8. 教材正確性：教材中的數學概念符合數學教育原理。 (四) 活動設計與取材：主要檢視數學教科書對於協助學生學習各項數 學內容，發展數學知能的教學活動設計及其實施方式。其主要內 容包括： 1. 活動設計的適當性：教學活動設計能協助學生發展數學概念與 能力。 2. 內容份量適當性：內容份量的適當，使可完成預定教學活動。 3. 活動的趣味性 ：教學活動能引發學生主動學習數學的興趣。 4. 學習活動導向：活動能培養問題解決能力。 5. 反思與討論活動：能使學生反思、討論、辯證、歸納的活動。 6. 學生個別差異：教學設計能顧及學生的個別差異。 7. 學生經驗的考量－考量學生的經驗，作為逐步引導數學概念的 依據。 8. 評量方法之多樣性：評量方法能反應教學目標，且評量方法多 元化。 綜合上述共四大評鑑規準，以及其二十七個小評鑑規準，本研究將評 鑑規準整理為簡單的層級關係，如圖 2-1 所示：
教 科 書 評 選 設計理念 內容組織 活動設計與 取材 與能力指標 符合程度 思考性 心理性 統整性 與數學領域課程目標、分段能力指標、及分年細目知符合程度 單元教學目標能達成各該階段能力指標，且能於該階段中不同年級 （學期）逐步完成 教材組織整體性 階段的銜接性 習作與學習活動配合程度 活動設計的適當性 活動趣味性 反思與討論活動 知識性 多樣性 獨特性 兼顧認知、情義和技能等層面目標的達成 學習內容含該學習階段數學領域五大主題軸的主要概念、原理、原 則和技能 教材內部的連結 教材的心理邏輯發展 教材正確性 內容分量適當性 學習活動導向 學生個別差異 學生經驗的考量 評量方式之多樣性 生活性 教材外部連結 較科用書的整合程度 圖 2-1 教科書評選之層級結構圖（來源：中華民國課程與教學學會(2007)的「九年一貫課程之教材 教科書總評鑑：設計理念、能力指標與統整性－數學領域教科書評鑑報告」） 第一層 第二層 第三層 :第一部分 :第二部分 由圖 2-1，便可清楚知道四大評鑑規準為何，以及在各大評鑑規準之 下的小評鑑規準為何。 8
9 三、 教科書評選之相關研究 本研究收集近年來，國內與教科書評選相關的學術研究。並基於本研 究之目的，先以權重之有無作為分類的第一個依據，接著以本研究之主題 作分類，最後討論其研究之方法，將其整理為表 2-1： 表 2-1 相關領域研究方法彙整表 權重有無 主要方向 作者 名稱 研究方法 有 國小數學 教科書 曾諱港 (2006) 應用模糊層級分析法建構教科書選 用規準－以數學教科書為例 文獻分析法 Fuzzy Delphi FAHP 陳正宗 (2005) 國小教師根據教材本身選用數學教 科書之關鍵因素分析 多目標決策法 問卷調查法 非國小數 學教科書 徐瑛岑 (2007) 國民小學教師教科書選用因素之研 究 問卷調查法 AHP 余俊輝 (2004) 國中數學教科書選用評鑑規準之研 究 文獻分析法 晤談 The Delphi Method
AHP 無 國小數學 教科書 林倩瑜 (2005) 臺北市國小教師選用數學教科書之 研究 問卷調查法 麥昌仁 (2003) 國小數學教科書評鑑研究－以九年 一貫第二學習階段為例 內容分析法 問卷調查法 非國小數 學教科書 林美君 (2007) 臺東縣國小教師教科書選用現況與 困境之研究 問卷調查法 陳全鵬 (2007) 桃園縣國中自然與生活科技領域教 師 教科書評選之因素及其使用滿意 度調查 問卷調查法 半結構式訪談 羅昌龍 (2007) 臺北市國中數學領域教科書選用現 況調查研究 問卷調查法 訪談 宋開元 (2006) 臺中縣國民小學教科書選用現況調 查 問卷調查法 劉淑菁 (2006) 臺南市國小鄉土語言閩南語教科書 選用規準之研究 文獻分析法 問卷調查法 張美齡 (2005) 花蓮市國民中學數學教師教科書選 用歷程之探討 文件分析法 訪談 纪薇婷 (2005) 南投縣國小健康與體育領域教科書 選用考量因素及版本滿意度之研究 問卷調查法 莊靜宜 (2004) 國小綜合活動教科書選用政策之執 行研究－以花蓮市國小為例 訪談 陳怡君 (2004) 應用模糊理論於教科書評選機制的 建構 問卷調查法
10 表 2-1 相關領域研究方法彙整表(續) 權重有無 主要方向 作者 名稱 研究方法 無 非國小數學教科書 黃鈺婷 (2004) 國小教師對國語教科書評規準及評選 相關建議 問卷調查法 劉由貴 (2004) 苗栗縣國民小學教育人員與學生家長 對教科書選用之意見調查 問卷調查法 呂經偉 (2003) 臺北縣市國民中學自然與生活科技領 域教科書選用現況調查之研究 文獻分析法 問卷調查法 李峰松 (2003) 高級職業學校教科書選用之研究 問卷調查法 李維育 (2003) 臺北縣高中職學校體育教科書選用制 度之現況研究 問卷調查法 陳元仲 (2003) 澎湖縣國小綜合活動學習領域教科書 選用規準與現況之研究 問卷調查法 訪談 陳怡芬 (2003) 國小教師對國語科教科書選用因素與 使用滿意度之研究 問卷調查法 謝慧伶 (2003) 雲嘉地區小學教科書選用模式之研究 文件分析法 訪談 由表 2-1 可知教科書評選的相關研究，較少在討論建立評選指標權 重，研究方向於國小數學教科書也不多。在評選指標之權重建立的方法上 多使用 AHP。其他無評選指標之權重建立的研究，則多使用問卷調查法。 而在相關學術研究的期刊文章，有研究者探討教科書規準與評鑑 (高強 華，1999；劉興欽，2005)，或研究教科書之選用方式 (黃志成、游家政， 1998；蕭育，2003)，卻較少有探討教科書評選指標權重值之建立。所以本 研究擬建立國小數學教科書評選指標之權重值，供國小教師或教育人員參 考。
第二節 模糊理論
本節旨在說明模糊理論概要與模糊集合 (fuzzy set)，模糊運算 (fuzzy operation)，α 截集 (α-cut) 與 α 層集 (α-level)，模糊理論與機率理論之 比較。
一、 模糊理論概要與模糊集合 模糊理論是由 Zadeh (1965) 所提出，該理論是將傳統機率論之二元邏 輯 － 古 典 集 合 (classical set) 做 延 伸 ， 以 介 於
[ ]
0,1 區 間 的 隸 屬 度 (membership) 來表示元素與集合之間的關係。若古典集合將元素和集合之 間的關係以特徵函數I(x)來說明 (吳柏林，2005)，即 (2-1) ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = A x A x x I , 0 , 1 ) ( 則隸屬度函數可定義為如下：【定義2.1】令U為全域 (universal set)，A~為一模糊子集合 (fuzzy subset)，
則u~(x)稱為 A A ~ 的隸屬度函數，表示成u~(x):U →[0,1],x∈U 。 A 隸屬度函數分為二種類型，離散型 (discrete) 與連續型 (continuous)。 【定義2.2】將離散型的隸屬度函數定義如下： n n A A A x x u x x u x x u A~ ( ) ( ) ~( ) 2 2 ~ 1 1 ~ + + + = L (2-2) 其中「+」代表的是「或」，u~A(xi)為 的隸屬度，xi i=1 L,2, ,n。 【定義2.3】連續型的隸屬度函數定義如下：
∫
∈ = U x A x x u A~ ~( ) (2-3) 其中u~(x)為 A x的隸屬度。 而在連續型隸屬度函數中最常用到的即是三角模糊數，其定義如下： 【定義2.4】將三角模糊數A~以(l,m,u)表示，如圖所示： ) (x u x m u l 11 圖 2-2 三角模糊數A~=(l,m,u)並可將此三角模糊數的隸屬度函數定義如下： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ − − ≤ ≤ − − = u x m m u x u m x l l m l x x uA~( ) (2-4) 二、 模糊運算 Robbin (1994) 認為使用三角模糊數來整合各評估專家的意見，可以適 當地表示評估專家對兩兩要素相對重要程度看法的模糊性。故本研究主要 是 利 用 三 角 模 糊 數 作 運 算 ， 以 下 介 紹 三 角 模 糊 數 的 運 算 方 式 。 以 與 這二個三角模糊數為例，將運算方法臚列如下： ) , , ( ~ u m l A= 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 ) , , ( ~ u m l B= 【加法】A~+B~=(l,m,u)+(l ,m ,u )=(l +l ,m +m ,u +u ) (2-5) 【減法】A~−B~=(l,m,u )−(l ,m ,u )=(l −u ,m −m ,u −l ) (2-6) 【倒數】 1~ (1, 1 ,1) 1 1 1 m l u A = (2-7) 三、 α 截集與層集 將 模 糊 集 合 問 題 轉 化 為 傳 統 集 合 論 (set theory)問題的分解理論 (decomposition theory)，以及將傳統集合論問題擴張至模糊集合問題的擴張 理論 (extension theory)，這兩個在模糊集合中的重要關念，二者所需要用 到的為α 截集與 α 層集這二個觀念。將其定義為： 【定義2.5】將模糊數A~的α 截集 (α-cut) 表示如下： A~α =
{
x∈U :μ~(x)≥α}
A (2-8) 【定義2.6】將模糊數A~的α 層集 (α-level) 表示如下： A~α ={
x∈U :μ~(x)=α}
A (2-9) 1213 四、 模糊理論與機率理論之比較 機率理論及模糊理論在本質上都是研究不確定的問題 (Zimmermann, 1991)。但機率理論與模糊理論二者之間，仍有些相同與相異之處，如將二 者加以比較，可得表 2-2 (林原宏，2001)： 表 2-2 機率理論與模糊理論二者比較表 項目 機率理論 模糊理論 理論基礎 機率理論 (probability) 可能性理論 (possibility) 目的 以機率性 (probability) 來表示 發生前的不確定性，可以由機 率測度函數表示 以可能性 (possibility) 來表 示發生後的不確定性，可以 經由模糊測度函數表示 性質 具事前觀點，機率是指發生前 「不確定性」，但發生後即確定 具事後觀點，模糊是指發生 後仍有「不確定性」 數值 [0,1]之間的機率值 [0,1]之間的隸屬度值 聯集運算 採加法 取最大值 交集運算 採乘法 取最小值 資料來源：林原宏 (2001) 由表 2-1 可知機率理論與模糊理論在性質上的差別在於事前、事 後。專家在問卷填答具事後觀點，是已發生的事實，所以為了研究專家填 答過後的不確定性，故本研究擬選用模糊理論輔助，以及利用下二節所提 之方法，建立一個能更真實反映專家意見的教科書評選方式以供參考。
第三節 層級分析法
本節旨在說明層級分析法 (AHP) 概論，層級分析法理論基礎，層級 分析法及其相關研究。 一、 層級分析法概論 (一) 目的與假設 層級分析法為 Saaty (1980) 所發展出來，主要應用於擁有多個評估準 則的決策問題上。而 AHP 發展的目的就是將問題系統化，用以提供決策者充分的資訊，減少決策錯誤的風險性。 AHP 主要包括以下九個基本假設 (鄧振源、曾國雄，1989a)： 1. 一個系統可被分為多個種類 (classes) 或成分 (components)，並形成 有向網路的層級結構。 2. 每一層級的準則均假設具有獨立性 (independence)。 3. 每一層級的準則，均可用上一層級內的全部或部分準則做評準，進 行評估。 4. 比較評估時，可將絕對數值尺度轉換為比例尺度 (ratio scale)。 5. 成 對 比 較 (pairwise comparison) 後 ， 使 用 正 倒 值 矩 陣 (positive
reciprocal matrix) 處理。 6. 偏好關係具遞移性 (transitivity) (例如：x 優於 y 二倍，y 優於 z 三 倍，則x 優於 z 六倍)。 7. 完全具遞移性不容易，因此可容許不具遞移性的存在，但需檢驗其 一致性 (consistency) 的程度。 8. 準則的優勢程度，經由加權法則 (weighting principle) 而求得。 9. 任何準則只要出現在層級結構中，均被認為與整個評估結構有關。 (二) 層級結構的建立 AHP 利用層級來分析問題，是從上層級來看下層級的相互影響，而 不是直接分析各層級的準則。在層級建構的建立上，假設「最終目標」為 第一層評估準則，而在此之下有 個評選指標 ，稱為第二層的 評估準則；並假設在 評估準則下有r 個評選指標 X1,X2,…,Xr，在 下有 s 個評選指標 Y1,Y2,…,Ys，以此類推，到 有t 個評選指標 Z1,Z2,…,Zt，這 些評選指標稱為第三層的評估準則。將此 AHP 的層級結構圖表示如圖 2-3： n A1,A2,L,An 1 A A2 n A 14
15 (三) 評估尺度 在層級結構建立之後，接著就是如何去評估。由於 AHP 是在上層級 的評估準則下，來看下層級評選指標的相互關係，用圖 2-3 第一層與第二 層為例，即在第一層「最終目標」的評估準則下，要比較第二層評選指標 間二個準則間的相對重要性時，是以「最終目標」為評準下， 分別作 這些評 選指標的成對間比較(例： 代表 比 ， 代表 比 )。而成 對間比較所使用的評估尺度，是以五個語意變數 (linguistic variable) 「一 樣重要」、「稍微重要」、「重要」、「非常重要」、「絕對重要」，配以五個名 目尺度 (nominal scales) 1、3、5、7、9，並在五個基本尺度之間插入四個 衡量值2、4、6、8，而在作為為成對比較時所用來評估的，是採用由名目 尺度產生的比率尺度 (ratio scales)。以 這二個評選指標比較為例， 若專家判斷 比起 是「稍微重要」，則 的比率尺度即為3， 的比率尺度則為 ；若專家判斷 比起 是介於「一樣重要」與「稍微 重要」，則 的比率尺度即使用基本尺度1 和 3 之間的衡量值 2， 的比率尺度則為 ，以此類推。將 AHP 所用的評估尺度整理為表 2-3： n A A A1, 2,L, , (A1 (A ) , ( , ), , ( , ), , ( ), , ( ), , ( , ), , ( ), 1 3 1 2 3 2 4 2 1 2 A A A An A A A A A An An An A L L L − ) , (A1 A2 A1 A2 (A2,A1) A2 A1 ) , (A1 A2 1 A A2 (A1,A2) 3 / 1 A1 A2 ) , 2 1 A 2 / 1 ) , (A2 A1 ) , (A2 A1 圖 2-3 AHP 層級結構圖 最終目標 (第一層 ) 最終目標 評估準則 (第二層) A1 A2 ……… An 評估準則 (第三層 ) X1 X2 …… Xr Y1 Y2 …… Ys Z1 Z2 …… Zt
表 2-3 AHP 評估尺度表
評估尺度 語意 說明(二準則相比)
1 一樣重要 (Equal Importance) 等強 (Equally) 3 稍微重要 (Weak Importance) 稍強 (Moderately) 5 重要 (Essential Importance) 強 (Strongly) 7 非常重要 (Very Strong Importance) 極強 (Very Strong) 9 絕對重要 (Absolute Importance) 絕強 (Extremely) 2、4、6、8 相鄰尺度之中間值(Intermediate values) 需要折衷值時 二、 層級分析法理論基礎
在層級結構以及評估尺度確立後，要利用 AHP 進行各層級評選指標 間權重的計算，主要包括下列四個步驟(以圖 2-3 第一層與第二層為例) (Saaty, 1980)：
(一) 建立成對比較矩陣 (pairwise comparison matrix)
為求第二層評選指標 在第一層「最終目標」下的權重值， 建立成對比較矩陣 ，其方法為在第一層「最終目標」的評估準則下，評 估第二層評選指標 中每個評選指標兩兩比較後的相對重要性為 ，將這些評選指標的相對比較結果，置於矩陣 的上三角 形部分，主對角線為自身的比較 n A A A1, 2,L, n A , L (i j A A ,1 A ,2 ) , , 2 , 1 , (i j n aij = L A ) = 所以都為1，另外下三角形部分為上 三角各值的倒數，即 ij ji a a = 1 ，可表示為如下：
[ ]
(2-10) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = 1 / 1 / 1 1 / 1 1 2 1 2 12 1 12 L M O M M L L n n n n ij a a a a a a a A (二) 計算特徵值與特徵向量(權重值的計算) 假設第二層級的評選指標 ，在第一層評估準則「最終目標」 為評估基準下，求取的每一評選指標的權重值 。將 與 的相 n A A A1, 2,L, n W W W1, 2,L, Ai Aj 16對重要性以aij表示，則評選指標A1,A2,L,An的成對比較矩陣為A=
[ ]
aij ，如 (2-10)式所示。若W1,W2,L,Wn為已知時，則成對比較矩陣A=[ ]
aij 可寫成如 (2-11)式之形式：[ ]
(2-11) ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ij W W W a A ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ n n n n n W W W W W W / / / / / / 2 2 1 1 L M O M L L n W W W W W W W W W / / / 2 1 2 2 1 2 1 1 M 其中，設W為權重向量 (weight vector)，可得 17 i j n W W W W a n ij , , 2 , 1 , , , 1 2 1 L M = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = a W W aij = i/ j, ji i ij W a = / W aij( (2-12) 所以，經由(2-12)式之 Wj可知 j/Wi)=1, i,j =1,2,L,n (2-13) 由(2-13)式可得∑
(2-14) = n j a 1∑
= n j a 1 = = i j ij(W /W) n, i 1,2,L,n 將Wi移項過後可得 ijWj =nWi, i=1,2,L,n (2-15) 由(2-15)式可知 A⋅W =n⋅W (2-16) (2-16)式即為特徵值 (eigenvalue) 問題。當W ≠0，具有 個特徵值，可得 n (2-17) (A−n⋅I)⋅W =0 此時的Wv即為A的特徵向量 (eigenvector)。另外因為成對比較矩陣A，具有以下性質 1. 矩陣A的元素均為正值。依 Perron-Frobenius 定理，矩陣A具有正 的特徵值，而最大的特徵值λ ，其所對應的特徵向量元素，也都max 是正值。 2. 矩陣A中對稱的元素，互為倒數關係，即 ij ji a a = 1 。 3. 矩陣A的行向量 (column vector) 為 T n W 的常數倍，故其 秩 (rank) 為 1。因此，特徵值 n W W, , , ) ( 1 2 L , , 2 , 1 L i i, = λ 中，只有一個為非零， 其餘皆為零。 4. 矩陣A主對角線的和為n，又從特徵值的特性得知，特徵值得和也 為n，再從性質1、3 可得知最大特徵值λ 為max n。 因此，評選指標A1,A2,L,An的權重向量Wv，即是矩陣 最大特徵值A λmax 所對應之特徵向量標準化後的值。但實際進形成對比較時， 為決策者主 觀判定而得，與理想之 (符合一致性)有些差異，故 Saaty (1980) 提 出若矩陣 ij a j i W W / A通過一致性檢定時，權重向量Wv 便可依(2-18)式求得： AW =λmaxW (2-18) (三)一致性檢定 以 個n A1,A2,L,An評選指標中的Ai,Aj,Ak為例，若aij×ajk =aik成立時， 則表示決策者的判斷具前後一致性。 由於決策者的評估要能達到前後一致性是相當困難的。因此，便需要 進行一致性的檢定，利用(2-18)所得之最大特徵值λ 與 ，做成一致性指max
標 (consistency index, )，Saaty (1980) 建議
n 1 . . .I C C.I.≤0 是為可容許的偏 18
誤。以下為一致性指標之公式： 1 . . max − − = n n I C λ (2-19) (四)綜合評估與專家整合 而在綜合評估上，假設在第一層級評估準則之下所評估的第二層級各 評選指標相對權重為 ，在第二層級評估準則之下評估的第三層級各評選 指標相對權重為 S T，則在第一層級評估準則之下第三層級各評選指標權重 ，可用下式求出： W W =S⋅T (2-20) 在專家整合上，假設有M 位專家，個別判斷評選指標 ， 所求得之權重值為 ，則可利用算術平均數 (arithmetic mean) 整合，其運算公式如(2-21)式所示： ) , , 2 , 1 (i n Ai = L M i i W W1, 2,L,Wi
(
M)
i i i i W W W M W = 1 1+ 2+L+ ，i=1 L,2, ,n。 (2-21) 三、 層級分析法及其相關研究 AHP 已發展三十餘年，在學術各領域上常被應用，多用來做學術研 究、決策或建立權重之用 (Noble & Sanchez, 1993; Sari, Sen & Kilic, 2008; Stein & Ahmad, 2009; 陳怡婷，2007；楊旻翰，1999；劉書嵐，2003；魏文秀，2000)。鄧振源、曾國雄 (1989b) 曾探討 AHP 的適用範圍以及其應 用領域，本研究將其整理如表 2-4 與表 2-5 所示：
20 表 2-4 AHP 適用範圍表 適用範圍 建構 (1) 規劃 (2) 系統設計 (3) 確保系統穩定 (4) 最適化 決策 (1) 替代方案的產生 (2) 選擇最佳方案或政策 (3) 決定需求 (4) 衝突的解決 排序 (1) 決定優先順序 (2) 資源分配 (3) 績效評量 (4) 預測結果或風險評估 資料來源：鄧振源、曾國雄 (1989b) 表 2-5 AHP 應用領域表 應用領域 商業 (1) 經濟與規劃 (2) 專案計畫選擇 (3) 行銷管理 (4) 預算分配 (5) 投資組合的選擇 (6) 成 本 － 數 量 － 利 潤 分析的模型組合 (7) 會計與審計 工業 (1) 能源(政策與資源分 配) (2) 衝突解決、軍事管制 及世界影響 (3) 材料控制與採購 (4) 彈性製造系統 (5) 建築 (6) 環境 資訊 (1) 資料庫管理系統的 抉擇 (2) 大規模系統的設計 (3) 辦公室自動化 (4) 微電腦的選擇 社會人文 (1) 人力選擇與績效評估 (2) 運輸規劃 (3) 諮詢 (4) 多目標規劃 (5) 競爭下的行為研究 (6) 區域間遷移型態 (7) 社會學 學術 (1) 健康 (2) 教育 (3) 政治 (4) 方法論的發展 (5) 模糊集合中用以評 量隸屬程度 (6) 主觀機率的估計與 交叉影響分析 資料來源：鄧振源、曾國雄 (1989b)
由表 2-4 與表 2-5 可知，基於本研究之性質與目的，與其適用範圍及 應用領域符合，故可使用 AHP 來當為本研究之方法，建立出國小數學教 科書評選指標之權重值。
第四節 模糊層級分析法
本節旨在說明模糊層級分析法 (FAHP) 概論，模糊層級分析法理論基 礎，模糊層級分析法及其相關研究。 一、 模糊層級分析法概論 人類的語言、思維與決策，常有模糊及不完整的特質，在社會調查的 設計問卷過程中就會充滿很多模糊概念 (吳柏林，2005)。Buckely 在 1985 年，發展出將模糊理論結合層級分析法的「模糊層級分析法」，其主要是 將明確尺度轉化為模糊尺度來做為分析，改善 AHP 用明確尺度來衡量決 策者的模糊思想。所以 FAHP 首要就是需要先選定好模糊數，將明確尺度 轉化為模糊尺度。 在將明確尺度轉化為模糊尺度時，Buckley (1985) 使用的模糊數為 ) / , / (α β γ δ ，其中0<α ≤β ≤γ ≤δ ，此模糊數的α,β,γ,δ值以其模糊數的圖 形來決定。如圖 2-4 所示： Buckley (1985) 在此模糊數的基礎下，發展 FAHP 的理論與方法。 21 圖 2-4 模糊數(α/β,γ /δ) x ) (x u α β γ δ二、 模糊層級分析法理論基礎
層級的建立同 AHP，所以在使用之模糊數確立後，要利用 FAHP 進 行各層級評選指標間權重的計算，主要包括下列四個步驟(以圖 2-3 的第一 層與第二層為例)：
(一)建立模糊成對比較矩陣 (fuzzy pairwise comparison matrix)
假設第二層級的評選指標 ，在第一層評估準則「最終目標」 為評估基準下，將 與 的相對模糊重要值以模糊數 n A A A1, 2,L, i A Aj a~ij表示如下(其中 )： n j i, =1,2,L,
{
1,2, ,9}
, , , , ) / , / ( ~ = ∈ L ij ij ij ij ij ij ij ij ij a α β γ δ α β γ δ (2-22) 其中，設aij ~ 的倒數為~ −1 ij a ，如(2-23)式所示：{
1,1/2, ,1/9}
, , , , ) / , / ( ~ ~ / 1 aij =aij−1 = αij−1 βij−1 γij−1 δij−1 αij−1 βij−1 γij−1 δij−1∈ L (2-23) 則評選指標A1,A2,L,An的模糊成對比較矩陣為A[ ]
aij ~ ~ = ，表示為(2-24)式： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 ~ / 1 ~ / 1 ~ 1 ~ / 1 ~ ~ 1 ~ 2 1 2 12 1 12 L M O M M L L n n n n a a a a a a A (2-24) (二)模糊權重值的計算由於本研究係利用 Csutora and Buckley (2001) 的 Lambda-Max 法 (此理論基礎所使用的是三角模糊數)求出各評選指標之模糊權重值。所以 假設公式(2-22)之a~ij =(αij/βij,γij/δij)中的βij =γij，將a~ij變為一個三角模糊 數，此並不違背 Buckley (1985) 所提出的 FAHP 理論。因此，以下理論 便改以三角模糊數作為運算所用之模糊數。 假設第二層級的評選指標A1,A2,L,An，在第一層評估準則「最終目標」 22
為評估基準下，將Ai與Aj的相對模糊重要值以模糊數a~ij表示，並將原本 Buckley (1985) 所定義的模糊數a~ij =(αij/βij,γij/δij)，轉化為三角模糊數， 所以令Lij =αij,Mij =βij = ,γij Uij =δij，(其中i,j =1,2,L,n)： ) , , ( ~ ij ij ij M U L ij a = (2-25) 23 其中，Lij <Mij <Uij aij ~ ，且設 的倒數為a~ij−1 ) , , ( 即： 1/~aij ~ ij M , 1 1 1 1 − − − − = ij ij ij M L U ij L / 1 =aij ij ij ij ij 1/U ,M / L 1 1 = − − = − (2-26) 其中U 1 =1 。以此模糊數建立模糊成對比較矩陣 A~。若對a~ij進行α−cut，則可將其定義為
[ ]
[
( )]
[ ]
[
( ), ( )]
~ α α α iju ij a aa = ijl a~ij−1α = aiju−1( ),aijl−1
and α α (2-27)
] [ ~−1α
ij
a ~aij[α]的倒數，aiju−1 =1/aiju(α)，aijl−1(α)=1/aijl(α)。而
其中， 為 aijl(α)為
cut
−
α 三角模糊後之左端點，aiju(α)則為α −cut三角模糊後之右端點，如
圖 2-5 所示：
若A~為一個n 的模糊正倒值矩陣 (fuzzy positive reciprocal matrix)，
如(2-28)式所示： n × x ) (x u ~ ( , , ) ij ij ij ij L M U a = α iju a (α) ijl a (α) 圖 2-5 a~ij的α−cut示意圖
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 ~ / 1 ~ / 1 ~ 1 ~ / 1 ~ ~ 1 ~ 2 1 2 12 1 12 L M O M M L L n n n n a a a a a a A (2-28) 則a~ij的α −cut擁有下列性質(其中i,j=1,2,L,n)：
(1) a~ij[α]=[aijl(α),aiju(α)]。且當i= j時，aijl(α)=aiju(α)=1
(2) 如果~ =~−1
ji ij a
a ，則aijl(α)=a−jiu1(α)，aiju(α)=a−jil1(α)
由 上 述 性 質 知 ， 可 利 用α−cut ， 將 A~ 分 為 三 個 明 確 值 成 對 比 較 矩 陣 ： m u l A A Aα, α , ] 1 , 0 [ , )] ( [ )], ( [ = ∀ ∈ = α α α α αl aijl Au aiju A (2-29) 1 , ] [ = = M where α Am ij (2-30) 由此三個明確值成對比較矩陣，則可分別利用上一節層級分析法介紹 的(2-18)式，求出Aαl的權重向量Wαl =[wαil]，Aαu的權重向量Wαu =[wαiu]， 以及Am的權重向量Wm =[wim] iu α
。 Csutora and Buckley (2001) 欲將求出之三
個權重值 結合為，當作專家判斷評選指標 的模糊權重值，此 時卻發現了一個問題，其問題及解決方法將在以下步驟敘述。 im il w w wα , , Ai (三) 確立為三角模糊數(調整係數) 由於所求出之權重值 ，重新結合為 ，不一定為
一三角模糊數，即 或 ，故Csutora and Buckley (2001) 提
出利用二個調整係數 ，使三個權重值 經過調整，再度結 合時，必為一個三角模糊數。 iu im il w w wα , , α im wαiu <wim u Dα ) , , (wαil wim wαiu iu im,wα il w wα > l Dα, wαil,w 24
其調整係數Dαl,Dαu之定義如： ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = i n w w D il im l min 1 α α (2-31) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ = i n w w D iu im u max 1 α α (2-32) 則新的權重值為 * , * ，其調整公式如下所示： iu il w wα α wαil =Dαl⋅wαil (2-33) * wαiu =Dαu⋅wαiu (2-34) * 因此，將新的三個權重值 結合，即可確保建立為一個三角模糊 數 ，並以此當作FAHP 所求取之模糊權重值。 * * , , iu im il w w wα α ) , , ( * * iu im il w w wα α (四) 一致性檢定 在一致性上，Buckley (1985) 定義了模糊成對比較矩陣A~的一致性如 下： 【定義2.7】模糊成對比較矩陣A
[ ]
aij ~ ~ = 是一致的⇔ aik akj aij ~ ~ ~ ⊗ = 。 而由定義 2.7 衍生出的定理 2.1，可以用來更易判斷模糊成對比較矩 陣A~的一致性： 【定理2.1】設A~ =[ ]
a~ij ，~aij =(αij/βij,γij/δij)，找一個 使得bij βij ≤bij ≤γij,∀i,j， 則如果A=[ ]
bij 是一致的，那A ~ 就是一致的。 因此，由定理 2.1 可知，當使用三角模糊數時，則βij =aij =γij，由此 可知以 AHP 的一致性檢定，就可以代表 FAHP 的一致性檢定。 25(五) 專家整合 在專家整合上，假設有M 位專家，個別判斷評選指標 ， 所求得之模糊權重值為w ) , , 2 , 1 (i n Ai = L M i i ,w~i , ,w~ ~1 2 L ，則可利用算術平均數 (arithmetic mean) 整合，其運算公式如(2-35)式所示：
(
i i iM)
i 1 L,2, ,N i w w w M w~ = 1 ~1⊕~2⊕L⊕~ ， = 。 (2-35) 三、 模糊層級分析法及其相關研究 由於模糊層級分析法主要是為改善 AHP 評估尺度是以明確值評估 決策者模糊思想有所不妥。因此學術研究上多是以改善 AHP 缺失為由， 使用 FAHP 進行與 AHP 相同之適用範圍及應用領域的研究。 吳彥輝 (1999) 在「運用模糊層級分析法與管理才能評鑑模式之研究」 中，利用模糊層級法、模糊綜合評判以及 Borda Function 針對半導體相關 產業廠商進行分析與實證調查，建構出管理才能評鑑權重體系，共8 大主 評鑑指標與 39 個次評鑑指標，並表示出了個評鑑指標之相對重要程度。 此研究所建立之評鑑模式，具有數理統計基礎，並能反應決策過程中的模 糊性，且以數值形式提供管理才能整體或細部評價資訊，有效低提高決策 品質。 陳育甄 (2001) 在「模糊層級分析法應用於城際運具選擇模式之研究」 中，提到 AHP 可將複雜問題界階層結構化而加以簡化，但傳統 AHP 卻 具有「判斷感覺模糊」、「決策屬性相關性問題」、「平均術問題」、「群體決 策問題」、「不精確問題」等缺失，由於此研究探討之因素為具不精確性的 主觀及心理評價，故加入模糊理論概念，以修正之 Buckley 模糊層級分析 法建立不可衡量變術的運量分配模式。其結果個體由問卷反應之運具選擇 偏好與其實際選擇行為之相符情形尚佳，險是旅運者之選擇行為可透過問 卷反應出來。 26林鴻宇 (2002) 在六標準差專案遴選準則之探討中，提到傳統 AHP 要求決策者在進行要素間兩兩成對比較時，以明確值表達人類思想之模糊 性，確有其不合理之處。所以此研究將 Buckley 所發展之模糊層級分析法 進一步修正後，在實際運用在決策過程中，確可解決決策者在判斷上的模 糊性。此外，基於專家不一定了解模糊術的真正內涵意義為何，故在問卷 一開始三角模糊數形式便已經建立，再則若要求專家每一次成對比較時， 均建立一次模糊數的形式，可能會增加專家在判斷上的負擔。 曾諱港 (2007) 在「應用模糊層級分析法建構教科書選用規準－以數 學教科書為例」中，探討「中小學數學科教科書選用評鑑規準為何?」以及 「中小學數學科教科書選用評鑑規準之權重分配為何?」，經晤談專家後再 運用模糊德菲法 (fuzzy Delphi) 建構出「中小學數學教科書選用評鑑規 準」，共計 6 大類別、22 項規準，接著採用模糊層級分析法獲得數學教科 書選用評鑑規準之權重分配。 由上述之相關文獻探討可知，在傳統 AHP 加入模糊理論之後，皆有 改善了傳統 AHP 一些缺點，而得到了更符合實際應用的效益，讓研究者 更肯定於本研究之研究方法的可行性。
第五節
BFR 法
由 Millet and Harker (1990) 所 提 出 的 BFR 法 (branch freezing rule)，是針對 AHP 刪除權重過低的指標，其刪除指標之公式為： GW <1/(N⋅Kcut) (2-36) 其中，GW 為整體權重值 (global weight)， 為同一層級的評選指標 數， 則是由使用者決定的常數，其目的是為了透過刪除權重過低的評 選指標，簡化層級結構，減少成對比較的次數。陳月香 (2000) 利用 BFR N Kcut 27
法結合模糊理論將其運用於FAHP，其刪除指標公式變為如下：
GW~<1/(N⋅K~cut) (2-37)
其中，GW~為模糊整體權重值 (fuzzy global weight)， 為同一層級的
選指標數， N cut K~ 則是由使用者決定之三角模糊數。 在學術研究上，巫沛倉、郭怡華、陳月香 (2002) 利用 BFR 法，刪除 權重過低的評選指標，減少了運算次數，而提高了執行效率。Byers and Shahmehri (2009) 也利用 BFR 法，來判斷 AHP 計算所得之權重值是否 過低，並用以減少專家問題的數量。 由上述文獻可知，刪除權重過低的評選指標，可簡化層級結構，使在 實際應用上，減少其複雜度，所以本研究期也能透過 BFR 法，降低國小 數學教科書評選工具在實際應用上之複雜性。所以結合前一節之 FAHP 與 本節之 BFR 法，是研究者認為可用於建立國小數學教科書評選指標之權 重，提供國小數學教科書評選方式的參考。 28
第三章 研究方法
本 研 究 根 據 模 糊 理 論 、 層 級 分 析 法 (AHP) 與 模 糊 層 級 分 析 法 (FAHP)、BFR 法等相關理論，欲建立出可作為教科書評選指標之權重值 以供參考。本章依據研究方法之過程與內容共分為六節作說明，分別為研 究架構、研究流程、專家背景、研究工具、研究運算步驟與軟體工具。第一節 研究架構
一、 文獻探討的分析 根據文獻探討的內容，利用中華民國課程與教學學會 (2007) 的「九 年一貫課程之教材教科書總評鑑：設計理念、能力指標與統整性－數學領 域教科書評鑑報告」之評鑑指標，建立層級結構與評選指標。在前一章文 獻探討中，了解層級分析法 (AHP) 的理論基礎與架構，並知道其整個的 決策流程，以及運用模糊理論而發展出來的模糊層級分析法 (FAHP) 主要 研究架構，並了解 BFR 法如何刪除權重過低的評選指標。 二、 理論整合應用 將上述所提到的理論加以整合到這次研究中，設計出本研究的問卷模 式，並以模糊層級分析法 (FAHP) 作為最主要的研究方法，用以分析問卷 資料。 三、 應用在實際問題上 建立國小數學教科書評選指標之權重，以供參考，擬結果對於能夠判 斷教科書之良莠有所助益。並能提供給教師與教育人員做為參考，提升在 選用教科書的專業知能。 本研究之研究架構圖，如圖 3-1 所示： 29圖 3-1 研究架構圖 九年一貫課程之 教科書總評鑑 層級分析法 30 文獻探討分析 模糊理論 模糊層級分析法 z 評選指標 z 模糊數 z 模糊運算 z 解模糊化 理論整合與應用 問卷的設計 資料的分析方法 實際應用與結果 BFR 法 結論與建議
第二節 研究流程
本研究之研究流程表如圖 3-2 所示： 文獻探討 31 評選指標之層級建立 問卷設計 專家尋找與專家填寫 專家問卷的一致性檢定 由研究流程圖可知本研究之流程為 (一) 經由文獻探討引出本研究之動機與目的，並建立起本研究的評準指標 及其層級結構，並做為設計問卷之依據。 (二) 在專家尋找與填寫，在回收完問卷之後，對問卷作一致性檢定，將不 符合標準之問卷剃除。 (三) 利用通過一致性檢定之有效問卷進行資料分析，求出模糊權重值，經 圖 3-2 研究流程圖 1 . 0 . .I ≤ C 利用 FAHP 建立模糊權重值 解模糊化 否 結果與討論 結論與建議 是 利用 BFR 法刪除指標 剔除問卷32 由解模糊化，刪除權重過低之評選指標，並重新建立國小數學教科書 評選指標之權重值。 (四) 由研究結果，得出本研究之結論與建議。
第三節 專家背景之描述
由於本研究欲探討國小數學教科書之評選指標的權重建立，故尋找在 數學教育上，具專業知識或有實際教學經驗之專家，做為本研究專家問卷 填寫之對象。所以本研究分別尋找二部份之專家，「數學教育專業知識」 與「實務教學經驗」這兩方面領域。 一、 數學教育專業知識領域 在數學教育專業知識領域，本研究選擇教授有關數學教育課程之大學 教師共五位，在教授國小數學教育相關課程有相當的經驗與知識，亦在國 小數學教育學術領域上有豐富的研究。因此，研究者認為所尋找之專家， 可提供本研究在數學教育專業知識上的觀點，用於建立國小數學教科書評 選指標之權重值。將上述本研究之專家背景與人數，整理為表 3-1： 表 3-1 數學教育專業知識領域之專家描述 項目 職稱 主要授課領域 人數 數學教育專業知識 大學副教授 數學科教材教法 3 數學教育相關 2 總計 5 二、 實務教學經驗領域 在實務教學經驗領域，本研究選擇在國小任教二年以上，研究者認為 其在實務教學上已擁有豐富經驗，故可提供本研究在實務教學經驗上的觀 點，用於建立國小數學教科書評選指標之權重值。將上述本研究之專家背33 景與人數，整理如表 3-2： 表 3-2 實務教學經驗領域之專家描述 項目 職稱 年資 人數 實務教學經驗 國小教師 二年~五年以下 8 五年~十年以下 10 十年以上 9 總計 27
第四節 研究工具
本研究係利用模糊層級分析法 (FAHP) 作為主要研究及分析之方 法。因此，填表方式為利用兩兩比較之方式，在同一評估準則下評估左右 二邊的評選指標重要性為何，評估尺度為 1~9，數值越大表示越重要，在 左右二邊各有 1~9 的尺度，以越靠近哪一邊的數值表示其評選指標越重 要。以此為基礎設計本研究之問卷。如表 3-3 所示：(完整問卷詳見附錄一) 表 3-3 設計問卷範例表 教科書評選 指標 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 指標 絕 對 重 要 非 常 重 要 重 要 稍 微 重 要 一 樣 重 要 稍 微 重 要 重 要 非 常 重 要 絕 對 重 要 設計理念 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 與能力指標相符合程度 設計理念 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 內容組織 設計理念 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 活動設計與取材 與能力指標相 符合程度 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 內容組織 與能力指標相 符合程度 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 活動設計與取材 內容組織 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 活動設計與取材第五節 研究運算步驟
本研究係利用模糊層級分析法作為分析主要方法，茲將研究方法以及 步驟介紹如下： 一、 一致性檢定 假 設 第 K 位 專 家 對 於 在 某 評 估 準 則 之 下 評 估 個 評 選 指 標 的明確值成對比較矩陣為 。若成對比較矩陣為正倒值矩陣， 要求決策者在成對比較時，能達到前後一致性，這是相當困難的。因此需 進行一致性的檢定，作成一致性指標 (鄧振源、曾國雄，1989a)。因此， 由 Saaty (1980) 提出一致性指標(Consistency Index, )，其可由成對比較矩陣 所求出的最大特徵值 得到，將一致性指標公式表示如下： N N A A A1, 2,L, K A K A . .I C max K λ 1 . . max − − = N N I C K λ (3-1) 若 則表示專家填寫問卷時前後判斷完全具一致性， 則表 示前後判斷並非完全具有一致性，Satty (1980) 建議 0 . .I = C C.I.>0 1 . 0 . .I ≤ C 為可容許的偏 誤。 二、 建立層級結構 假 設 第 K 位 專 家 對 於 在 某 評 估 準 則 之 下 評 估 個 評 選 指 標 ，而在第i個評選指標 之下評估 個子指標 ，以此 類推，建立起層級結構，以作為決策分析之用。 N E , 1 N A A A1, 2,L, Ai n E 2,L,En 三、 建立三角模糊數 由於傳統 AHP 以及本研究之專家問卷，所使用之尺度為 的明確 尺度，為符合本研究所使用之 FAHP，需將此明確尺度轉化為三角模糊數 尺度，故研究者決定以每一尺度值(除了尺度 1 與尺度 9 以外)，以 的區 間值建立三角模糊數尺度(例： )，而尺度 1 與尺度 9 由於所 9 1− ±1 ) 3 , 2 , 1 ( 2 ~ 2→ = 34
代表之語意變數為「一樣重要」、「絕對重要」是為極端值，故將其轉化為 、 。將本研究所建立之三角模糊數尺度，整理如圖 3-3： ) 1 , 1 , 1 ( 1 ~ = 9~ =(9,9,9) 並將明確尺度轉化成三角模糊數，以及其倒數值整理為表 3-4： 35 表 3-4 三角模糊數尺度表 語意變數 明確尺度 三角模糊數尺度 三角模糊數倒數 一樣重要 1 ~ =1
( )
1,1,1 ~ =1( )
1,1,1 2 ~ =2(
1,2,3)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ,1 2 1 , 3 1 2 1 ~ 稍微重要 3 ~ =3(
2,3,4)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 , 3 1 , 4 1 3 1 ~ 4 ~ =4(
3,4,5)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 1 , 4 1 , 5 1 4 1 ~ 重要 5 5~ =(
4,5,6)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 4 1 , 5 1 , 6 1 5 1 ~ 6 6~ =(
5,6,7)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 5 1 , 6 1 , 7 1 6 1 ~ 非常重要 7 7~ =(
6,7,8)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 6 1 , 7 1 , 8 1 7 1 ~ 8 8~ =(
7,8,9)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 7 1 , 8 1 , 9 1 8 1 ~ 絕對重要 9 9~ =(
9,9,9)
⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 9 1 , 9 1 , 9 1 9 1 ~ 隸 1 2 3 4 5 6 7 8 9 屬度 一樣重要 稍微重要 重要 非常重要 絕對重要 1 數值 圖 3-3 三角模糊數尺度圖四、 建立模糊正倒值矩陣 由表 3-4 得知專家所填答之語意變數可用三角模糊數代替，進而建立 模糊成對比較矩陣。假設第K位專家判斷 個評選指標 ，其明 確值成對比較矩陣 ，經過表 3-4 轉化為模糊成對比較矩陣 N A1,A2,L,AN K A K A ~ ，可表示 成如(3-2)式：
[ ]
K N N ij K A A~ = ~ × (3-2) 其中， K A~ ：表第K位專家對A1,A2,L,AN判斷後的模糊成對比較矩陣 K ij A~ ：表第K位專家對 指標與Ai Aj指標的三角模糊數尺度 在 K A~ 中，當i= j，~ =K 1 ij A ，∀i,j=1,2,LN。 而且， K ji K ij A A~ = ~1 ，∀i,j=1,2,LN。 五、 求模糊權重值根據所建立好之模糊成對比較矩陣，使用 Csutora and Buckley (2001) 所 提 出 的 Lambda-Max 方 法 ， 求 得 其 模 糊 權 重 值 。 以 第 K 位 專 家 對 判斷後的模糊成對比較矩陣 N 2 1 A A A, ,L, A~K為例，其運算步驟說明如下： (一) 假設 K
)
iju K ijm(
K ijl K ij A A A A~ = , , 為一三角模糊數，利用α −cut，求得中間值、左 端點、右端點明確成對比較矩陣。 當α =1，得到AijK ~ 中間值明確成對比較矩陣[ ]
K N N ijm K m A A = × ， (3-3) 當α =0，可得到AijK ~ 左端點明確成對比較矩陣[ ]
K N N ijl K l A A = × ， (3-4) 與 K ij A~ 右端點明確成對比較矩陣[ ]
ijuK N N K u = A × A 。 (3-5) (二) 利用 AHP 求取明確值成對比較矩陣權重的方法，即特徵值法求取上 述三個明確成對比較矩陣 K u K l 之特徵向量，依序可求得 K m A A A , , AmK,AlK,AuK 36的特徵向量(權重向量) uK K l K m W W W , , 。
