第三章 研究方法
第二節 層級分析法
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3. 每一層級內的要素，可以用上一階層內某些或所有元素做為評估標準進行評估。
4. 成對比較(Pair Wise Comparison)時，可將絕對數值尺度轉換成比例尺度(Ratio Scale)以進行評估判斷。
5. 元素成對比較後，可應用正倒值矩陣(Positive Reciprocal Matrix)處理。
6. 偏好關係滿足遞移性。不僅優劣關係滿足遞移性，同時關係強度也必須滿足遞移 性。例如要素 A 優於 B 兩倍，B 優於 C 三倍；則 A 優於 C 六倍。
7. 由於偏好關係欲完全具備遞移性並不容易，因此容許不具遞移性之存在，但必須 測試其一致性程度。
8. 要素之優勢程度，經由加權法則(Weighting Principle)予以計算各元素之優勢程度 而求得。
9. 任何要素只要出現在階層結構中，不論其優勢程度是高低，均認為與整個評估結 構有關，而並非檢核階層結構的獨立性。
三、層級分析法之步驟
在使用 Saaty 的層級分析法時，可以分五個步驟，分別為：(一)建立層級架構。(二) 建立各層級配對比較矩陣。(三)計算各層級因素之權重。(四)一致性檢定。(五)加總各 層級準則權值。各步驟內容如下。
(一)建立層級架構
在此步驟首先必須要收集資料及確認問題與目標，並依據其整體目標及準則來建 立整個層級架構，而每一層級所包含的準則之間都必須具有獨立性，使評估準則之間 沒有相關性。Satty(1980)提出基於人類無法同時對七種以上的事物進行比較之假設下，
每一層的要素不宜超過七個，以避免影響結果的一致性。因此假若問題有 n 個要素，
則需作 n(n-1)/2 個判斷，而在最大要素個數為七個的前提下，較能進行合理的比較並 同時可保證其一致性。
(二)建立各層級配對比較矩陣
此步驟將各層級與各準則之間，分別兩兩成對比較，計算出各層級之相對重要權 重，進而建立成對比較矩陣。根據 Satty 建議採用九個評估尺度。其評估尺度通常採 用名目尺度(Nominal Scale)的形式表示，評估尺度基本劃分為五項，即「同等重要」、
「稍重要」、「重要」、「很重要」與「非常重要」，並給予名目尺度 1、3、5、7、9 之 比較值；另有介於五個基本尺度兩兩之間的四個尺度，給予其名目尺度為 2、4、6、
8 之衡量值，共九個評估尺度。層級分析之評估尺度值與意義，如下表 6 示。
表 6 層級分析法 AHP 比例尺度
成對比較值 定義 說明
1 同等重要 兩個評估構面的貢獻程度具有一樣重要
3 稍重要 經驗上判斷，某評估構面稍微傾向重要
5 重要 經驗上判斷，某評估構面強烈傾向重要
7 很重要 顯示非常強烈傾向重視某一評估構面
9 非常重要 有足夠的證據重視某一評估構面
2、4、6、8 相鄰尺度之中間值 須要折衷時
Note. From “Axiomatic Foundation of Analytic Hierarchy Process”, by Saaty, T. L,1986, Management Science, 32(7), p.841-855.
某一層級的要素，以上一層級某要素作為評估基準，進行要素間的成對比較，將 n 個要素比較結果置於矩陣 A 中的上三角形部分，下三角部分的數值則為上三角形相 對位置數值之倒數。如下圖 3 所示。
圖 3 AHP 成對比較矩陣圖
資料來源：「決策分析方法與應用」，翁振益、周瑛琪，
2007，台北市：華泰文化。
(三)計算最大特徵向量與最大特徵值
透過數值分析求得特徵向量與最大特徵值，將可以確定建立模型的一致性，與各 要素之間相對權重。
1.特徵向量
有關特徵向量 Satty(1990)提出以下四種解法：
(1)行向量平均值常態化，又可稱 ANC 法(average of normalized columns)，先將各 行予以常態化，再將常態化後之各列元素加總，最後除以各列元素之個數。如 下式 1。
1 1
1 n ij
i n
j
i j i
W a
n a
i j, 1, 2 ,n...(1) (2)列向量平均值常態化，又可稱 NRA 法(normalization of the row average)，將各列元素予以加總，然後再常態化。如下式 2。
1
1 1
n
ij j
i n n
i j
i j
a W
a
, 1, 2 ,
i j n...(2)
(3)列向量幾何平均值的常態化，又可稱為 NGM 法(normalization of the geometric mean of the rows)，將各列元素相乘，取幾何平均數再將其常態化。如下式 3。
1
1
1
1 1
a n
ij j i
n
n n
ij
i j
a W
a
, 1, 2 ,
i j n...(3)
(4)行向量和倒數的標準化將各行元素予以加總，再求其倒數並常態化。如下式 4。
1
1 1
1
1
n ij i i
n n j
ij i
a W
a
, 1, 2 ,
i j n...(4)
2.最大特徵值
首先將成對比較矩陣 A 乘上特徵向量 W，所得到的W'，W'之向量值分別除以 原向量 W 的向量值，最後將求得的數值求算數平均數，求得平均數後即可以得到最 大特徵值(λmax)。如下式 5 式 6。
12 1 1 1
12 2 2 2
1 2
1
1/ 1
'
1/ 1/ 1
n n
n n n n
a a w w
a a w w
AW W
a a w w
...(5)
(四)一致性檢定
由於決策者在進行成對比較時，要達到前後完全一致的情形是有困難的，因此需 要進行一致性檢定，即利用一致性指標(Consistency Index, C.I.)以及一致性比率 (Consistency Ratio, C.R.)來檢查決過程所構成的成對比較矩陣的一致性。鄧振源與曾 國雄(1989)從評估尺度所產生正倒值的矩陣在不同階數下，所產生不同的 C.I.值，稱 為隨機指標(Random Index, R.I.)。即隨機指標會隨著矩陣階數 n 增加而增加，如下表 7 所示。
...(6)
1 2
max
2 2
1
nn
w w w
n w w w
表 7 階數 n 對其相對應隨機指標 R.I.值
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
R.I. 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56
Note. From “The Analysis Hierarchy Process.”,by Saaty,T.L,1980,NY:McGraw Hill.
一致性比率 C.R.值是由一致性指標 C.I.值除以隨機指標 R.I.值所得。另外 Satty(1980)建議當一致性比率 C.R.值小於等於 0.1 時，則一致性程度才能達到可以接 受的水準。算法如下列式 7 式 8。
. . max
1 C I n
n
...(7) . . . .
. . C R C I
R I ...(8)
(五)加總各層級準則權值
根據上述步驟所求得之各層級準則之相對權重，便可以得到整體評估準則層級之 權重。
由上述五步驟內容可以得知層級分析法在解決決策上問題的程序大致可分為：確 認問題、建立層級架構、設計問卷及調查、一致性檢定以及最後的決策方案綜合評點，
其流程圖如下圖 4。
圖 4 層級分析法 AHP 進行流程
資料來源：「階層分析法(AHP)的內涵特性與應用(上)」，鄧 振源、曾國雄，1989，中國統計學報，27(6)，
頁 5-22。
把問題建立為層級架構
一致性檢定 確認評估問題
影響要素分析
建立成對比較之矩陣 否
是
Ｃ.Ｒ.≦０.１
整體權重之計算
提供決策者參考的資訊
四、層級分析法之優缺點
層級分析法在面對複雜問題時雖能給予有效決策，用以簡化決策程序，但將複雜 問題進行結構化後，仍有其優缺點，分述如下：
(一)優點
依 Saaty 之說明，建立層級結構具有以下優點：
1.利用要素個體形成層級形式，易於達成工作。
2.有助於描述高層級要素對低層級要素的影響程度。
3.對整個系統的結構面與功能面能詳細的描述。
4.自然系統都是以層級的方式組合而成，且是一種有效的方式。
5.層級具有穩定性與彈性；有新層級加入，對於一個結構良好的層級而言，並不會影 響整個系統的有效性。
(二)缺點
根據學者歸納後可以得知層級分析法(AHP)具有以下缺點：(Belton & Gear, 1985；
Millet & Harker, 1990；張有恆、徐村和，1993)
1.決策者填寫問卷時，會有對於屬性不確定，或是資訊不完全之困擾，難以兩兩相較。
2.評估結果是以權重平均數，其缺乏各權重之分佈資訊。
3.綜合群體意見時使用幾何平均數，並不適用於決策者。當專家們意見不同，且對各 決策者屬性認知差異很大時，將無法反映真實情形。
4.準則數多、層級多時，會使得因數間兩兩比較次數呈現指數成長，難以符合一致性 檢定，使得模式效率降低。
5.問卷設計過於複雜，且加上各構面、準則進行兩兩比較次數過多，造成填答問卷者 產生厭煩及困擾，因此將影響問卷的回收及填答的準確性。