層級分析法

層級分析法(Analytical Hierarchy Process, AHP) 為 1971 年由匹茲堡大學教 授Thomas L. Saaty 所發展出來，主要應用在不確定情況下及具有多數個評估

準則的決策問題上。AHP 法發展的目的，就是將複雜的問題系統化，由不同的 層面給予層級分解，並透過量化的判斷，覓得脈絡後加以綜合評估，以提供決 策者選擇適當方案的充分資訊，同時減少決策錯誤的風險性。(鄧振源、曾國雄，

1989)

一、AHP 的適用範圍

根據Saaty 的經驗，AHP 法可以應用在以下 12 類的問題中(Saaty，1980；

Saaty、Vargas，1982) 1. 規劃(Planning)

2. 替代性方案的產生(Generating a set of Alternatives) 3. 決定優先順序(Setting priorities)

4. 選擇最佳方案或政策(Choosing a best alternative/policy) 5. 資源分配(Allocating resources)

6. 決定需求(Determining requirements)

7. 預測結果或風險評估(Predicting outcomes/ risk assessment) 8. 系統設計(Designing systems)

9. 績效評量(Measuring performance)

10. 確保系統穩定(Insuring the stability of a system) 11. 最適化(Optimization)

12. 衝突的解決(Resolving conflict)

二、AHP 法的基本假設

AHP 方法的基本假設，主要包括下列九項：

1. 一個系統可以被分解成許多種類(classes)或成分(components)，並形成像

網路的層級結構。

2. 層級結構中，每一層級的要素均假設具獨立性。

3. 每一層級內的要素，可以用上一層級內某些或所有要素作為評準，進行 評估。

4. 比較評估時，可將絕對數值尺度轉換成比例尺度。

5. 成對比較後，可使用正倒值矩陣(Positive Reciprocal Matrix) 處理。

6. 偏好關係滿足遞移性(Transitivity)。不僅優劣關係滿足遞移性(A 優於 B，

B 優於 C，則 A 優於 C)，同時強度關係也滿足遞移性(A 優於 B 二倍，B 優於C 三倍，則 A 優於 C 六倍)。

7. 完全具遞移性不容易，因此容許不具遞移性的存在，但須測試其一致性 (Consistency)。

8. 要素的優勢程度，經由加權法則(Weighting Principle)而求得。

9. 任何要素只要出現在層級結構中，不論其優勢程度是如何小，均被認為 與整個評估結構有關，而並非檢核階層結構的獨立性。

三、層級的種類

將一個複雜的系統分解及結合後，所建立的層級包括二種：一是完整層級 (complete hierarchy)，另一為不完整層級(incomplete hierarchy)。

1. 完整的層級(如圖 3-2 所示) 顯示，第 e 層與第 e+1 層內的要素均有關聯，

即有完整的連線。

2. 不完整的層級(如圖 3-3 所示) 顯示，第l層與第l+1 層內的要素間，並不 是都有關聯，即沒有完整的連線。

圖3-2 完整層級示意圖 資料來源：鄧振源、曾國雄(1989)

圖3-3 不完整層級示意圖 資料來源：鄧振源、曾國雄(1989) 四、AHP 的評估尺度

層級架構完成後，接下來就是評估的工作。AHP 評估尺度的基本劃分包括五 項，及同等重要、稍重要、頗重要、極重要及絕對重要等，並賦予名目尺度1、

3、5、7、9 的衡量值；另有四項介於五個基本尺度之間，並賦予尺度 2、4、6、

8、10 的衡量值。有關各尺度所代表的意義，如表 3-1 所示。(鄧振源、曾國雄，

1989)

第一層

第二層

第三層

第一層

第二層

第三層

第四層

表3-1 AHP 評估尺度意義及說明

評估尺度 定義 說明

1 同等重要

(Equal Importance)

兩比較方案的貢獻程度具同等重要性

z 等強(Equally) 3 稍重要

(Weak Importance)

經驗與判斷稍微傾向喜好某一方案

z 稍強(Moderately) 5 頗重要

(Essential Importance)

經驗與判斷強烈傾向喜好某一方案

z 頗強(Strongly) 7 極重要

(Very Strong Importance)

實際顯示非常強烈傾向喜好某一方案

z 極強(Very Strong) 9 絕對重要

(Absolute Importance)

有足夠證據肯定絕對喜好某一方案

z 絕強(Extremely) 2,4,6,8 相鄰尺度之中間值

(Intermediate values) 需要折衷值時。

資料來源：鄧振源、曾國雄(1989)

某一層級的要素，以上一層級某一要素作為評估基準下，進行要素間的成 對比較。若有n 個要素時，則需進行 n(n-1)/2 個成對比較。成對比較所使用的 數值，分別為 1/9，1/8，……，1/2，1，2，3，……，8，9(尺度內容與意義參 考表3-1)，將 n 個要素比較結果的衡量，至於成對比較矩陣 A 的上三角形部分 (主對角線為要訴自身的比較，故均為 1)，而下三角形部分的數值，即為上三角 形相對位置數值的倒數，即aji=1/aij。有關成對比較矩陣的元素，如下所示：

(2)計算特徵值與特徵向量

成對比較矩陣得到後，即可求取各層級要素間的權重。使用數值分析中常 用的特徵值(Eiqenvalue)解法，找出特徵向量或稱優勢向量(Priority Vector)。

(3)一致性的檢定

若成對比較矩陣A 為正倒值矩陣，要求決策者在成對比較時，能達到前後 一貫性，是相當困難的。因此需進行一致性的檢定。Saaty 建議一致性比率宜在 0.1 左右(一般採 C.R.＜0.1)，如此一致性才能獲得保證。一致性比率(Consistant Ratio；C.R.)的計算方式如下：

c 先計算一致性指標(Consistant Index；C.I.)

C.I.=(λmax-n)/(n-1) (3.2) 其中n 為層級因素個數，λmax為評估者所建立比較矩陣之特徵值。

d 隨機指標

從評估尺度1-9 所產生的正倒值矩陣，在不同的階數(order)下，產生不同的 C.I.

值，稱為隨機指標(Random Index；R.I.)。表 3-2 為階數 1~15 的隨機指標表。

1 a12……..a1n

1/a12 1……...a……… ……… 2n………

1/a1n 1/a2n…….a2n

A= (3.1)

表3-2 隨機指標表

階數 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.58

資料來源：鄧振源、曾國雄(1989) e 一致性比率

在相同階數的矩陣下，C.I.值與 R.I.值的比率，稱為一致性比率，即

C.R.=C.I./R.I. (3.3) 若C.R.≤0.1 時，則矩陣的一致性程度令人滿意。

(3)第三階段：整體層級權重的計算

各層級要素間的權重計算後，再進行整體層級權重的計算。最後依各替代方案 的權重，以決定最終目標的最適替代方案。