5. 實證分析、敏感度分析與市場驗證
5.3 市場驗證
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5.3 市場驗證
利用選擇權市場的實際報價，可以比較各模型定價公式與實際報價結果之 間的誤差情況。表 5.10、表 5.11 中的誤差計算方式是利用相對誤差帄方法計算
, , 2
1 ,
1 ( )
N MODEL i DATA i
i DATA i
C C
RMSE N C
其中N代表該檔選擇權至到期日的報價數、CDATA i, 代表實際資料的報價結果、
, MODEL i
C 代表模型定價公式計算的選擇權價格。
利用道瓊工業指數 1999 年至 2010 年估計結果，表 5.10 為 2011 年 3 月至 5 月道瓊工業指數歐式買權定價誤差，以履約價 11800 為例，B-S 模型、跳躍擴 散模型、狀態轉換跳躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型的定價誤差分別為 0.2317、0.2091、0.1747、0.1743，因此可知定價誤差由大至小皆為 B-S 模型、
跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型，除此之外由 表可知在任何履約價，模型定價誤差的大小排序皆相同；同樣利用 S&P 500 指 數 1999 年至 2010 年估計結果，表 5.11 為 2011 年 1 月至 5 月 S&P 500 指數歐 式買權定價誤差，以履約價 1320 為例，B-S 模型、跳躍擴散模型、狀態轉換跳 躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型的定價誤差分別為 0.5172、0.4726、0.3971、
0.3851，因此可知定價誤差由大至小皆為 B-S 模型、跳躍擴散模型、狀態轉換 跳躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型，除此之外由表可知在任何履約價，模 型定價誤差的大小排序皆相同。
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第六章 結論
本文是延伸 Charles, Fuh and Lin (2011)的狀態轉換跳躍獨立模型，除了跳 躍頻率會受到市場狀態影響外，進一步提出跳躍幅度也會受到市場狀態影響的 狀態轉換跳躍相關模型。理論的部份利用 Esscher 轉換法計算狀態轉換跳躍相 關模型的歐式買權定價公式封閉解；實證部份以 1999 年至 2010 年道瓊工業指 數與 S&P 500 指數的報酬率資料，使用 EM 演算法估計參數和概似比檢定說明 統計上狀態轉換跳躍相關模型確實是適用於描述股價指數報酬率資料。
實證上發現狀態轉換跳躍相關模型確實可以描述股價報酬率分配的不對稱 與高狹峰的性質；此外報酬率波動叢聚現象，利用 EM 演算法估計出來的參數 計算模型自我相關函數確實也可以符合資料自我相關函數有隨著落遲時間越長 有緩慢遞減的現象，表示狀態轉換跳躍相關模型同樣可以描述波動叢聚的性質。
在波動度微笑的實證時，利用 EM 演算法估計的參數計算相同期初股價、
到期日、無風險利率但不同履約價的狀態轉換跳躍相關模型的買權價值，並利 用該價格代入 B-S 模型的歐式買權公式反推隱含波動度，結果發現在價帄時的 隱含波動度會較低，越往價內或價外的隱含波動度會越高，也說明了狀態轉換 跳躍相關模型的定價公式可以表現出隱含波動度微笑的現象。
利用 Esscher 轉換法所推導出的狀態轉換跳躍相關模型歐式買權定價公式 做敏感度分析，可以發現當模型參數，前後兩間隔時間皆為不好的市場狀態機 率 p 、布朗運動項標準差22 、跳躍項標準差 、跳躍項頻率1和2越大時，
皆會使得模型對於股價的波動度越大，因此選擇權的價值會越高；相反的，當 前後兩間隔時間皆為好的市場狀態機率p 越大時，會使得模型對於股價的波動11 度越小，因此選擇權的價值會越低；而跳躍項帄均數y1和y2會影響定價跳躍
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頻率矩陣，當兩個參數皆為 0 時選擇權的價值會最高。
利用道瓊工業指數選擇權與 S&P 500 指數選擇權市場上的報價資料，比較 B-S 模型、跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型和狀態轉換跳躍相關模型的 定價誤差，結果顯示在兩個股價指數的任何履約價，狀態轉換跳躍相關模型的 定價誤差皆會最小。
由以上的實證分析結果可知，狀態轉換跳躍相關模型確實可以用來解釋股 價指數市場的真實情況。狀態轉換跳躍獨立模型說明了股價指數會因為某些事 件來臨產生不正常跳躍的情況，而且在不好的市場狀態下，例如網路泡沫化或 金融風暴時期，跳躍發生的次數會明顯多於正常的市場狀態；利用狀態轉換跳 躍相關模型可以更進一步發現，在不好的市場狀態，帄均來說跳躍會對於股價 指數報酬率產生負面的影響，但是在正常的市場狀態，跳躍所產生負面的影響 會較小甚至會有正面影響的情況發生。
本文的狀態轉換跳躍相關模型，假設市場狀態會同時影響跳躍頻率與跳躍 項標準差，整體而言除了可以保留狀態轉換跳躍獨立模型的性質外，在定價方 面的表現也會稍為優於狀態轉換跳躍獨立模型。在定價的過程中，我們假設馬 可夫調控普瓦松過程並不會受到測度轉換而改變，即投資人可以預期接下來時 間的市場狀態，不會對於接下來時間的市場狀態要求風險溢酬，然而某些情況 下，投資人並無法明確知道接下來時間的市場狀態，因此未來可以考慮加入市 場狀態的風險溢酬對狀態轉換跳躍模型定價公式做修正；除此之外在概似比檢 定的部分，模型參數個數相當多可能會導致模型有過度配適的問題，因此在 EM 演算法的部分可以考慮在概似函數中加入懲罰項，以避免模型過度配適產生的 檢定或是配適問題。
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參考文獻
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分別計算布朗運動項和跳躍項 Esscher 轉換 Randon-Nikodym derivative，BS( )t 和J( )t 如下：
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分別計算布朗運動項和跳躍項 Esscher 轉換 Randon-Nikodym derivative，BS( )t 和J( )t 如下：
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分別計算布朗運動項和跳躍項 Esscher 轉換 Randon-Nikodym derivative，BS( )t 和J( )t 如下：
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表 5.1：道瓊工業指數與 S&P 500 模型參數估計與檢定
股價指數 模型 p 11 p 22 y1 y2 1 1 2 2log
道瓊工業 指數
BSM 0.0001 0.0127
(0.0002) (0.0002)
JDM 0.0005 -0.0008 0.0065 0.0145 0.5259 625.52*
(0.0002) (0.0005) (0.0003) (0.0007) (0.0542)
RSJIM 0.9926 0.9879 0.0006 -0.0007 0.0067 0.0121 0.1123 1.7227 439.52*
(0.0022) (0.0039) (0.0002) (0.0002) (0.0003) (0.0007) (0.0595) (0.3003)
RSJDM 0.9927 0.9868 0.0005 0.0001 -0.0005 0.0064 0.0104 0.1990 2.4983 4.16*
(0.0022) (0.0039) (0.0003) (0.0017) (0.0004) (0.0003) (0.0005) (0.0849) (0.3597)
S&P 500 指數
BSM 1.00E-05 0.0136
(0.0003) (0.0002)
JDM 0.0007 -0.0013 0.0069 0.0158 0.5135 650.82*
(0.0002) (0.0006) (0.0003) (0.0007) (0.0526)
RSJIM 0.9887 0.9841 0.0007 -0.0009 0.0068 0.0132 0.1106 1.5886 439.42*
(0.0027) (0.0036) (0.0002) (0.0003) (0.0003) (0.0011) (0.0488) (0.3357)
RSJDM 0.9910 0.9880 0.0006 -0.0003 -0.0007 0.0070 0.0124 0.0660 1.7753 6.86*
(0.0027) (0.0036) (0.0002) (0.0030) (0.0003) (0.0003) (0.0009) (0.0410) (0.2802)
1. BSM 為 B-S 模型、JDM 為跳躍擴散模型、RSJIM 為狀態轉換跳躍獨立模型、RSJDM 為狀態轉換跳躍相關模型。
2. 2log為概似比檢定統計量、*表示在型Ⅰ誤差為 0.05 時該模型比前一個模型顯著。
3. 括號內數值為估計參數的標準差。
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表 5.2：跳躍擴散模型動差公式
帄均數 + y
變異數 2(y2 2)
偏態
3 2
2 2 2 3/ 2
( 3 )
( )
y y
y
峰態
4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2
2 2 2 2
3 ( 6 6 6 3 ) 3( 2 )
( )
y y y y y
y
Continuous
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表 5.5：道瓊工業指數與 S&P 500 模型動差估計
股價指數 模型 帄均數 變異數 偏態 峰態
道瓊工業指數
Data 0.0001 0.0002 -0.0005 10.3502 BSM 0.0001 0.0002 0.0000 3.0000 JDM 0.0001 0.0002 -0.1435 6.0036 RSJIM 0.0001 0.0002 -0.2221 6.8301 RSJDM 0.0001 0.0002 -0.1829 6.4517
S&P 500 指數
Data 1.00E-05 0.0002 -0.1088 10.2803 BSM 1.00E-05 0.0002 0.0000 3.0000 JDM 1.00E-05 0.0002 -0.2053 6.1306 RSJIM 4.78E-05 0.0002 -0.2573 6.8411 RSJDM 5.10E-05 0.0002 -0.2164 6.6482
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表 5.10：道瓊工業指數歐式買權樣本外定價誤差
K BS JDM RSJIM RSJDM 樣本數 11800 0.2117 0.1895 0.1568 0.1564 11 11900 0.2644 0.2449 0.2128 0.2123 9 12300 0.6905 0.6422 0.5542 0.5529 36 12400 1.0602 0.9850 0.8533 0.8514 41 12500 1.5288 1.4238 1.2523 1.2499 40 12600 2.1268 1.9762 1.7527 1.7497 34 12700 3.6462 3.3582 3.0406 3.0392 35 12800 4.1321 3.8356 3.4836 3.4814 31
表 5.11：S&P 500 指數歐式買權樣本外定價誤差
K BS JDM RSJIM RSJDM 樣本數 1320 0.4921 0.4477 0.3728 0.3610 60 1325 0.5964 0.5457 0.4621 0.4481 74 1335 0.9325 0.8571 0.7383 0.7218 42 1340 1.0563 0.9688 0.8408 0.8231 58 1360 3.4232 3.1293 2.8829 2.8554 57 1370 5.5052 5.1264 4.8871 4.8546 54 1375 5.2282 4.9073 4.7175 4.6875 75
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圖 5.1：道瓊工業指數股價、報酬率、狀態及跳躍機率動態圖
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圖 5.2：S&P 500 指數股價、報酬率、狀態及跳躍機率動態圖
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圖 5.3：道瓊工業指數報酬率動態、資料與狀態轉換跳躍相關模型自我相關函數
圖 5.4：S&P 500 指數報酬率動態、資料與狀態轉換跳躍相關模型自我相關函數
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圖 5.5：道瓊工業指數隱含波動度微笑
圖 5.6：S&P 500 指數隱含波動度微笑