狀態轉換跳躍相關模型之估計與檢定

Abate and Whitt (1992)提出以傅立葉級數計算(3.17)式的方法，該方法利用機 率產生函數和方便的誤差界限計算離散普瓦松總和公式。 (3.14)式中所有 n 的情

‧

‧

值的封閉解，透過利用Lange(1995)的EM gradient演算法求解。該方法透過對函 數Q(^{( )k} |^(k1))一階微分與二階微分得到d Q¹⁰ ( ^{( -1)k} )和d Q²⁰ ( ^{( -1)k} )，利用

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

為(3.25)

0

sup ( | ) sup ( | ) L X L X













  (3.25)

在虛無假設為真下，當樣本數夠大， 2log 會趨近於卡方分配，自由度為兩假 設參數個數差，因此型Ⅰ誤差為 ，當2 log _²則拒絕需無假設。透過概似 比檢定方法，可依序檢定三個假設(1)H₀:報酬率為B-S模型、H_a:報酬率為跳躍 擴散模型，(2) H₀:報酬率為跳躍擴散模型、H_a:報酬率為狀態轉換跳躍獨立模 型，(3) H₀:報酬率為狀態轉換跳躍獨立模型、H_a:報酬率為狀態轉換跳躍相關 模型。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第四章 股價指數選擇權定價

當考慮系統性跳躍風險是不可分散時，對於不完整市場的測度轉換主要可 使用 extended Girsanov’s principle 與 Esscher 轉換法兩方法。原先的 Girsanov’s 定理是應用在連續時間假設下的布朗運動測度轉換，Elliott and Madan (1998)提 出 extended Girsanov’s principle 則是應用在離散時間的布朗運動測度轉換，而 Liew and Siu (2009)更進一步將 extended Girsanov’s principle 使用在狀態轉換模 型的測度轉換。另一種對於不完全市場的定價方法為 Gerber and Shiu (1994)提 出的 Esscher 轉換法，當股價為連續時間的隨機過程，且隨機過程的動差母函 數存在時，可利用 Esscher 轉換法找到帄賭測度並定價選擇權。本章 4.1 節將利 用 Esscher 轉換法找到各模型的帄賭測度，並在 4.2 節推導出各模型的定價公 式，各模型詳細推導過程可分別參考附錄 A、附錄 B 與附錄 C。

4.1 Esscher 轉換

Merton (1976)假設股價為跳躍擴散模型，且跳躍項風險為可分散風險，也 就是股價跳躍風險可以利用分散投資的方式規避，因此投資人不會要求跳躍項 的風險溢酬。然而 Jarrow and Rosenfeld (1984)實證指出跳躍項為不可分散風 險，因此當股價預期發生跳躍時，投資人需要對這部分的風險要求溢酬。當跳 躍項風險為不可分散時，因為帄賭測度並不唯一，透過 Esscher 轉換計算選擇 權定價公式。除此之外因為考慮額外的不確定因素導致市場狀態轉換發生，這 類的狀態轉換模型其市場同樣為不完全市場，Elliott, Chan and Siu (2005)、Liew and Siu (2009)等文獻也說明可以利用 Esscher 轉換找到狀態轉換模型的帄賭測 度。4.1 節將分別考慮股價為跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型和狀態轉換 跳躍相關模型的情況下，假設跳躍項為不可分散風險，利用 Esscher 轉換將股 價動態過程由機率測度轉換至符合帄賭條件的風險中立測度。

‧

‧

‧

別計算布朗運動項和跳躍項的Esscher轉換Randon-Nikodym derivative，_BS( )t 和

J( )t

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

第五章 實證分析、敏感度分析與市場驗證

本章利用 1999 年 1 月至 2010 年 12 月的道瓊工業指數和 S&P 500 指數為 實證資料，比較 B-S 模型、跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型與狀態轉換 跳躍相關模型對於股價指數資料性質的描述程度。5.1 節將利用最大概似估計法 估計 B-S 模型和 EM 演算法估計跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型與狀態 轉換跳躍相關模型的參數，並分析各模型參數彼此的關聯，並透過模型參數估 計結果說明各個模型對於偏態、峰態、波動叢聚和波動度微笑特性的表現情況；

5.2 節利用選擇權定價公式執行敏感度分析；5.3 節則利用市場上選擇權報價比 較各模型的定價誤差。

5.1 實證分析

5.1.1 估計與檢定

B-S 模型假設報酬率為常態分配，因報酬率為可觀測資料，利用最大概似 估計法可以直接求得參數的最大概似估計值、估計值標準差與模型概似函數 值。跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型和狀態轉換跳躍相關模型因為包含 不可觀測的資料，如跳躍發生次數、市場狀態，又不完整資料概似函數計算過 於複雜，因此利用 EM 演算法估計參數的最大概似估計值與模型概似函數值，

並利用 SEM 演算法計算估計值標準差。模型檢定利用概似比檢定分別依序檢 定(1)H :報酬率為 B-S 模型、₀ H :報酬率為跳躍擴散模型，(2)_a H :報酬率為跳₀ 躍擴散模型、H :報酬率為狀態轉換跳躍獨立模型，(3)_a H :報酬率為狀態轉換₀ 跳躍獨立模型、H :報酬率為狀態轉換跳躍相關模型。表 5.1 為道瓊工業指數_a 與 S&P 500 指數的模型參數估計與模型檢定結果。

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

觀察道瓊工業指數參數估計結果，假設報酬率為 B-S 模型時，估計結果帄 均數為 0.0001 和標準差為 0.0127。假設報酬率為跳躍擴散模型時，布朗運動項 與跳躍帄均數分別為 0.0005 和-0.0008，換句話說，帄均而言報酬率正常情況下 為正成長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標準 差分別為 0.0065 和 0.0145，說明了跳躍發生導致報酬率產生的波動會比布朗運 動項產生的波動大。跳躍擴散模型布朗運動項的波動度會比 B-S 模型的波動度 小是因為一部分的波動度會被跳躍項所解釋，因此跳躍擴散模型跳躍的波動度 會比 B-S 模型的波動度大。跳躍頻率 0.5259 表示每天帄均會發生 0.5259 次跳 躍。

狀態轉換跳躍獨立模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態只會影響跳躍發生 的頻率。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的機率和市 場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的轉換並不 會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。布朗運動項 帄均數 0.0006 與跳躍帄均數-0.0007，也就是帄均而言報酬率正常情況下為正成 長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標準差分別 為 0.0067 和 0.0121，說明了跳躍發生導致報酬率的波動會比布朗運動項產生的 波動大，因此可知狀態轉換跳躍獨立模型布朗運動項和跳躍的帄均數與變異數 關係和跳躍擴散模型相同。跳躍頻率估計結果分別為 0.1123 和 1.7227，因此可 以說一種是跳躍次數少的市場狀態，另一種是發生跳躍次數多的市場狀態，例 如金融風暴時的市場狀態。

狀態轉換跳躍相關模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態同時會影響跳躍發 生的頻率與大小。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的 機率和市場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的 轉換並不會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。市

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

場同樣可以跳躍頻率區分，在跳躍頻率為 0.1990 發生跳躍較少市場狀態時，跳 躍帄均數為 0.0001；在跳躍頻率為 2.4983 發生跳躍較多市場狀態時，跳躍帄均 數為-0.0005。比較兩種不同市場狀態，當市場發生跳躍頻率高時，跳躍發生帄 均導致報酬率負成長的程度較大，相反的當市場發生跳越頻率低時，跳躍發生 帄均導致報酬率負成長的程度較小。布朗運動項帄均數 0.0005，表示帄均而言 報酬率為正成長，布朗運動項標準差 0.0064 也比跳躍幅度項標準差 0.0104 小。

表 5.1 表格最後一行表示各模型的對數概似函數值，其中*代表型Ⅰ誤差為 0.05 時該模型和前一個模型概似筆檢定結果是顯著的。因此可知該節開頭部份 說明的三個檢定結果皆顯著，換句話說 1999 年至 2010 年道瓊工業指數報酬率 適合用狀態轉換跳躍相關模型描述。

觀察 S&P 500 指數參數估計結果，假設報酬率為 B-S 模型時，估計結果帄 均數為 0.00001 和標準差為 0.0136。假設報酬率為跳躍擴散模型時，布朗運動 項與跳躍帄均數分別為 0.0007 和-0.0013，換句話說，帄均而言報酬率正常情況 下為正成長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標 準差分別為 0.0069 和 0.0158，說明了跳躍發生導致報酬率產生的波動會比布朗 運動項產生的波動大。跳躍擴散模型布朗運動項的波動度會比 B-S 模型的波動 度小是因為一部分的波動度會被跳躍項所解釋，因此跳躍擴散模型跳躍的波動 度會比 B-S 模型的波動度大。跳躍頻率 0.5135 表示每天帄均會發生 0.5135 次 跳躍。

狀態轉換跳躍獨立模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態只會影響跳躍發生 的頻率。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的機率和市 場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的轉換並不 會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。布朗運動項 帄均數 0.0007 與跳躍帄均數-0.0009，也就是帄均而言報酬率正常情況下為正成

‧ 國

立 政 治 大 學

‧

N a tio na

l C h engchi U ni ve rs it y

長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標準差分別 為 0.0068 和 0.0132，說明了跳躍發生導致報酬率的波動會比布朗運動項產生的 波動大，因此可知狀態轉換跳躍獨立模型布朗運動項和跳躍的帄均數與變異數 關係和跳躍擴散模型相同。跳躍頻率估計結果分別為 0.1106 和 1.5886，因此可 以說一種是跳躍次數少的市場狀態，另一種是發生跳躍次數多的市場狀態，例 如金融風暴時的市場狀態。

狀態轉換跳躍相關模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態同時會影響跳躍發 生的頻率與大小。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的 機率和市場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的 轉換並不會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。市 場同樣可以跳躍頻率區分，在跳躍頻率為 0.0660 發生跳躍較少市場狀態時，跳 躍帄均數為-0.0003；在跳躍頻率為 1.7753 發生跳躍較多市場狀態時，跳躍帄均 數為-0.0007。比較兩種不同市場狀態，當市場發生跳躍頻率高時，跳躍發生帄 均導致報酬率負成長的程度較大，相反的當市場發生跳越頻率低時，跳躍發生

狀態轉換跳躍相關模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態同時會影響跳躍發 生的頻率與大小。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的 機率和市場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的 轉換並不會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。市 場同樣可以跳躍頻率區分，在跳躍頻率為 0.0660 發生跳躍較少市場狀態時，跳 躍帄均數為-0.0003；在跳躍頻率為 1.7753 發生跳躍較多市場狀態時，跳躍帄均 數為-0.0007。比較兩種不同市場狀態，當市場發生跳躍頻率高時，跳躍發生帄 均導致報酬率負成長的程度較大，相反的當市場發生跳越頻率低時，跳躍發生

在文檔中 狀態轉換跳躍相關模型下選擇權定價:股價指數選擇權之實證 - 政大學術集成 (頁 29-0)