Esscher 轉換

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2.4 Esscher轉換

Merton (1976)利用 PDE 方法計算選擇權定價公式，並且認為跳躍項屬於可 分散風險或稱為非系統性風險，換句話說投資人不會對跳躍風險要求風險溢 酬。因此當股價動態過程由真實機率測度轉換至風險中立機率測度時，跳躍頻 率和跳躍幅度不會有任何改變，只需對幾何布朗運動項做調整即可。然而 Jarrow and Rosenfeld (1984)使用紐約證券交易所和美國證券交易所 1962 年 7 月至 1978 年 12 月市場指數資料，實證指出跳躍項事實上為不可分散風險。

Esscher 轉換已經有效的使用在標的資產對數報酬率為隨機過程的定價。

Gerber and Shiu (1994)假設當股價為布朗運動、普瓦松過程、Gamma 過程和 inverse Gaussian 過程時，皆可使用 Esscher 轉換將隨機變數由真實機率測度轉 換至帄賭風險中立機率測度。此外作者也運用 Esscher 轉換計算 B-S 模型的極 大選擇權和極小選擇權定價公式。

跳躍擴散模型為一種半帄賭模型，當使用跳躍擴散模型描述資產報酬率 時，因為是不完整市場，跳躍項無法找到唯一的帄賭測度，因此存在許多選取 不同帄賭條件的方法，Kallsen and Shiryaev (2002)使用 Esscher 轉換的應用推廣 至半帄賭過程，當累積過程為可以被無限分割的隨機變數且為半帄賭過程的指 數補償型式，財務上可以利用 Esscher 轉換法轉換至風險中立測度，並且作者 提出新的指數帄賭均勻可積性準則。

當資產價格的動態過程為純跳躍過程，其跳躍可以是有限或無限，Lau and Siu (2008)使用 Esscher 轉換決定不完備市場的帄賭測度，並推導標的資產為一 般化位移伽瑪過程的選擇權定價公式。此外當標的資產為加權位移伽瑪過程和 位移逆高斯過程且參數為常數時，透過 Esscher 轉換決定的帄賭測度可以進一 步推導出選擇權定價公式封閉解。

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Esscher 轉換同樣也可以使用在狀態轉換的模型。Elliott, Chan and Siu (2005)假設連續時間的資產報酬率為馬可夫調控幾何布朗運動，市場狀態為隱 藏馬可夫過程，且市場狀態會影響模型利率和波動度參數。因為是不完全市場，

帄賭測度並不唯一，因此利用 Regime-Esscher 轉換決定等價帄賭測度並計算出 歐式選擇權定價公式，最後作者使用 minimal entropy martingale measure 修正定 價公式的結果。Liew and Siu (2009)同樣假設股價為馬可夫調控幾何布朗運動，

使用 Esscher 轉換法轉換測度，計算離散時間的馬可夫調控幾何布朗運動歐式 選擇權定價公式。作者利用 EM 演算法估計模型參數，以 2008 年 5 月到 2010 年 4 月 IBM 月收盤價為實證指出，該模型可提供較好的選擇權價格估計結果。

Ballotta (2005)使用跳躍擴散過程為標的投資組合的動態過程，分別假設跳 躍為可分散風險與不可分散風險兩種方法對於分紅保單做定價。前者假設跳躍 為可分散風險，可利用 Merton 測度轉換，即投資人不會對於跳躍的發生要求風 險溢酬；後者假設跳躍為不可分散風險，利用 Esscher 測度轉換，即投資人會 對跳躍的發生要求風險溢酬。利用模擬資料比較 B-S 模型定價與兩不同假設跳 躍擴散模型定價結果顯示，定價時使用 Esscher 測度轉換的跳躍擴散模型定價 會大於 B-S 模型定價，而 B-S 模型定價又會再大於 Merton 測度轉換的跳躍擴 散模型定價，並且利用 Esscher 測度轉換可有效補捉到市場大幅變化所導致的 風險。除此之外，使用 Esscher 轉換並不需要刻意考慮跳躍項的分配，當動態 價格在機率測度下的動差母函數存在，即可透過 Esscher 轉換將資產價格動態 過程由機率測度轉換至風險中立測度並計算出歐式選擇權定價公式。

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使用Cont and Tankov (2004)提出跳躍擴散過程的Itô formula，可將(3.1)式的 隨機微分方程式轉換為股價動態過程(3.2)式；假設時間為離散架構t 1, 2,...,T且 時間間隔t皆相同，股價在時間點 (t t t, ]的報酬率R 可表示為(3.3)式； _t

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許多文獻也指出跳躍擴散模型比B-S模型更適合描述報酬率的變化。Ball and Torous (1983)以NYSE中47間公司股價報酬率為實證，使用最大概似估計法估計 跳躍擴散模型，其中有42間公司使用跳躍擴散模型比B-S模型更適合描述股價報 酬率。Kou (2002)則指出跳躍幅度服從雙指數分配的雙指數跳躍擴散模型可以解 釋報酬率不對稱高狹峰、波動度微笑兩性質，但也說明該模型的缺點是無法解釋 波動叢聚和長記憶的性質。Charles, Fuh and Lin (2011)實證上發現不同的市場狀 態會有不同的跳躍發生頻率，因此將原本跳躍擴散過程跳躍發生頻率的普瓦松過 的，此方法可能使模型有效描述波動叢聚和長記憶性。Charles, Fuh and Lin (2011) 提出馬可夫跳躍擴散模型，假設市場有多種狀態，變遷過程服從馬可夫過程，且

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使用跳躍擴散過程的Itô formula，可將(3.4)式的隨機微分方程式轉換為股價 動態過程(3.5)式；假設時間為離散架構t1, 2,...,T且時間間隔t皆相同，股價在

R with transition matrix

p p

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Charles, Fuh, and Lin (2011)實證指出該模型除了可以有效描述報酬率不對稱 高狹峰、波動度微笑，將模型估計參數代入自我相關函數公式，自我相關程度隨

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使用跳躍擴散過程的Itô formula可將(3.8)式的隨機微分方程式轉換為股價動 態過程(3.9)式；假設時間為離散架構t1, 2,...,T且時間間隔t皆相同，股價在時

R with transition matrix

p p

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使用Kolmogorov’s forward equation，可得到(3.15)等式，並找到(3.16)唯一解。最 後透過Laplace inverse轉換(3.14)和(3.16)式可求得q 和_t ( )t 的聯合機率密度函數

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Abate and Whitt (1992)提出以傅立葉級數計算(3.17)式的方法，該方法利用機 率產生函數和方便的誤差界限計算離散普瓦松總和公式。 (3.14)式中所有 n 的情

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值的封閉解，透過利用Lange(1995)的EM gradient演算法求解。該方法透過對函 數Q(^{( )k} |^(k1))一階微分與二階微分得到d Q¹⁰ ( ^{( -1)k} )和d Q²⁰ ( ^{( -1)k} )，利用

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為(3.25)

0

sup ( | ) sup ( | ) L X L X













  (3.25)

在虛無假設為真下，當樣本數夠大， 2log 會趨近於卡方分配，自由度為兩假 設參數個數差，因此型Ⅰ誤差為 ，當2 log _²則拒絕需無假設。透過概似 比檢定方法，可依序檢定三個假設(1)H₀:報酬率為B-S模型、H_a:報酬率為跳躍 擴散模型，(2) H₀:報酬率為跳躍擴散模型、H_a:報酬率為狀態轉換跳躍獨立模 型，(3) H₀:報酬率為狀態轉換跳躍獨立模型、H_a:報酬率為狀態轉換跳躍相關 模型。

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第四章 股價指數選擇權定價

當考慮系統性跳躍風險是不可分散時，對於不完整市場的測度轉換主要可 使用 extended Girsanov’s principle 與 Esscher 轉換法兩方法。原先的 Girsanov’s 定理是應用在連續時間假設下的布朗運動測度轉換，Elliott and Madan (1998)提 出 extended Girsanov’s principle 則是應用在離散時間的布朗運動測度轉換，而 Liew and Siu (2009)更進一步將 extended Girsanov’s principle 使用在狀態轉換模 型的測度轉換。另一種對於不完全市場的定價方法為 Gerber and Shiu (1994)提 出的 Esscher 轉換法，當股價為連續時間的隨機過程，且隨機過程的動差母函 數存在時，可利用 Esscher 轉換法找到帄賭測度並定價選擇權。本章 4.1 節將利 用 Esscher 轉換法找到各模型的帄賭測度，並在 4.2 節推導出各模型的定價公 式，各模型詳細推導過程可分別參考附錄 A、附錄 B 與附錄 C。

4.1 Esscher 轉換

Merton (1976)假設股價為跳躍擴散模型，且跳躍項風險為可分散風險，也 就是股價跳躍風險可以利用分散投資的方式規避，因此投資人不會要求跳躍項 的風險溢酬。然而 Jarrow and Rosenfeld (1984)實證指出跳躍項為不可分散風 險，因此當股價預期發生跳躍時，投資人需要對這部分的風險要求溢酬。當跳 躍項風險為不可分散時，因為帄賭測度並不唯一，透過 Esscher 轉換計算選擇 權定價公式。除此之外因為考慮額外的不確定因素導致市場狀態轉換發生，這 類的狀態轉換模型其市場同樣為不完全市場，Elliott, Chan and Siu (2005)、Liew and Siu (2009)等文獻也說明可以利用 Esscher 轉換找到狀態轉換模型的帄賭測 度。4.1 節將分別考慮股價為跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型和狀態轉換 跳躍相關模型的情況下，假設跳躍項為不可分散風險，利用 Esscher 轉換將股 價動態過程由機率測度轉換至符合帄賭條件的風險中立測度。

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別計算布朗運動項和跳躍項的Esscher轉換Randon-Nikodym derivative，_BS( )t 和

J( )t

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第五章 實證分析、敏感度分析與市場驗證

本章利用 1999 年 1 月至 2010 年 12 月的道瓊工業指數和 S&P 500 指數為 實證資料，比較 B-S 模型、跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型與狀態轉換 跳躍相關模型對於股價指數資料性質的描述程度。5.1 節將利用最大概似估計法 估計 B-S 模型和 EM 演算法估計跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型與狀態 轉換跳躍相關模型的參數，並分析各模型參數彼此的關聯，並透過模型參數估 計結果說明各個模型對於偏態、峰態、波動叢聚和波動度微笑特性的表現情況；

5.2 節利用選擇權定價公式執行敏感度分析；5.3 節則利用市場上選擇權報價比 較各模型的定價誤差。

5.1 實證分析

5.1.1 估計與檢定

B-S 模型假設報酬率為常態分配，因報酬率為可觀測資料，利用最大概似 估計法可以直接求得參數的最大概似估計值、估計值標準差與模型概似函數 值。跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型和狀態轉換跳躍相關模型因為包含 不可觀測的資料，如跳躍發生次數、市場狀態，又不完整資料概似函數計算過 於複雜，因此利用 EM 演算法估計參數的最大概似估計值與模型概似函數值，

並利用 SEM 演算法計算估計值標準差。模型檢定利用概似比檢定分別依序檢 定(1)H :報酬率為 B-S 模型、₀ H :報酬率為跳躍擴散模型，(2)_a H :報酬率為跳₀ 躍擴散模型、H :報酬率為狀態轉換跳躍獨立模型，(3)_a H :報酬率為狀態轉換₀ 跳躍獨立模型、H :報酬率為狀態轉換跳躍相關模型。表 5.1 為道瓊工業指數_a 與 S&P 500 指數的模型參數估計與模型檢定結果。

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觀察道瓊工業指數參數估計結果，假設報酬率為 B-S 模型時，估計結果帄 均數為 0.0001 和標準差為 0.0127。假設報酬率為跳躍擴散模型時，布朗運動項

觀察道瓊工業指數參數估計結果，假設報酬率為 B-S 模型時，估計結果帄 均數為 0.0001 和標準差為 0.0127。假設報酬率為跳躍擴散模型時，布朗運動項

在文檔中 狀態轉換跳躍相關模型下選擇權定價:股價指數選擇權之實證 - 政大學術集成 (頁 21-0)