5. 實證分析、敏感度分析與市場驗證
5.1 實證分析
5.1.2 模型經濟分析
國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標準差分別 為 0.0068 和 0.0132，說明了跳躍發生導致報酬率的波動會比布朗運動項產生的 波動大，因此可知狀態轉換跳躍獨立模型布朗運動項和跳躍的帄均數與變異數 關係和跳躍擴散模型相同。跳躍頻率估計結果分別為 0.1106 和 1.5886，因此可 以說一種是跳躍次數少的市場狀態，另一種是發生跳躍次數多的市場狀態，例 如金融風暴時的市場狀態。
狀態轉換跳躍相關模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態同時會影響跳躍發 生的頻率與大小。轉移機率p 和11 p 分別代表時間點 t 到22 t1市場維持狀態 1 的 機率和市場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的 轉換並不會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。市 場同樣可以跳躍頻率區分，在跳躍頻率為 0.0660 發生跳躍較少市場狀態時，跳 躍帄均數為-0.0003；在跳躍頻率為 1.7753 發生跳躍較多市場狀態時，跳躍帄均 數為-0.0007。比較兩種不同市場狀態，當市場發生跳躍頻率高時，跳躍發生帄 均導致報酬率負成長的程度較大，相反的當市場發生跳越頻率低時，跳躍發生 帄均導致報酬率負成長的程度較小。布朗運動項帄均數 0.0006，表示帄均而言 報酬率負成長的程度較小，布朗運動項標準差 0.0070 也比跳躍幅度項標準差 0.0124 小。
表 5.1 最後一行表示各模型的對數概似函數值，其中*代表型Ⅰ誤差為 0.05 時該模型和前一個模型概似筆檢定結果是顯著的。因此可知該節開頭部份說明 的三個檢定結果皆顯著，換句話說 1999 年至 2010 年 S&P 500 指數報酬率適合 用狀態轉換跳躍相關模型描述。
5.1.2 模型經濟分析
圖 5.1 和圖 5.2 為利用 5.1.1 節模型參數結果計算的狀態機率動態圖與跳躍
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
發生機率動態圖，透過這兩個圖並配合報酬率動態圖，可以更明確知道特定時 間點市場狀態機率與發生跳躍機率的關連性。
圖 5.1 為道瓊工業指數的估計結果，對照報酬率動態圖和狀態機率圖，發 現報酬率波動較大的期間，市場處於狀態 1 也就是不好的市場狀態機率會較 低，而且發生跳躍的機率也會較高；相對的報酬率波動較小的期間如 2004 年至 2007 年，市場處於狀態 1 也就是好的市場狀態機率會較高，而且發生跳躍的機 率也會較低。
圖 5.2 為 S&P 500 指數的估計結果，對照報酬率動態圖和狀態機率圖，發 現報酬率波動較大的期間，市場處於狀態 1 也就是不好的市場狀態機率會較 低，而且發生跳躍的機率也會較高；相對的報酬率波動較小的期間如 2004 年至 2007 年，市場處於狀態 1 也就是好的市場狀態機率會較高，而且發生跳躍的機 率也會較低。
5.1.3 偏態與峰態
B-S 模型利用常態分配描述報酬率資料，因此模型的偏態係數為 0、峰態 係數為 3，然而實證資料指出資產報酬率資料通常具有不對稱高狹峰的現象。
表 5.2、表 5.3、表 5.4 分別為跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型和狀態轉 換跳躍相關模型的偏態和峰態公式，利用估計的參數代入公式可得到道瓊工業 指數與 S&P 500 指數指數於各模型的偏態和峰態。
表 5.5 為道瓊工業指數與 S&P 500 指數於各模型的帄均數、變異數、偏態 和峰態表。首先由表可知，各模型的帄均數與變異數估計結果差異不大；偏態 的部份，兩筆資料都具有一樣的現象，加入跳躍項的模型都可以捕捉到資料負 偏的情況，模型負偏的程度由大至小為跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍相關模型、
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
狀態轉換跳躍獨立模型；峰態的部分，兩筆資料同樣有相同的現象，加入跳躍 項的模型都可以捕捉到資料高峰態的情況，模型峰態由大到小為狀態轉換跳躍 獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型、跳躍擴散模型。
5.1.4 波動叢聚
Mandelbrot (1963)指出當股價報酬率開始發生較大波動時，通常會為維持 一段時間，同樣的報酬率發生小波動時也會維持一段時間，此現象稱為波動叢 聚，由圖 1.2 道瓊工業指數報酬率動態圖確實也可以發現此現象。關於波動叢 聚量化的方法，Cont (2007)提到當帄方報酬率的自我相關函數皆大於零且隨著 落遲時間越長緩慢遞減的現象，則表示資料有波動叢聚的現象。
附錄 D 為自我相關函數公式，因此可將 5.1.1 節估計的參數代入公式計算 自我相關函數。圖 5.3 和圖 5.4 分別為道瓊工業指數和 S&P 500 的報酬率動態 圖、資料自我相關函數圖和狀態轉換跳躍相關模型自我相關函數圖，結果顯示 股價指數報酬率資料的自我相關函數有隨著落遲時間越長有緩慢遞減的現象，
狀態轉換跳躍相關模型的自我相關函數也有相同的現象，換句話說狀態轉換跳 躍相關模型可以描述報酬率波動叢聚的現象。因此可知透過加入不同市場狀態 的轉換過程，可以有效修正 B-S 模型和跳躍擴散模型無法描述波動叢聚的缺 點，使模型更貼近真實股價報酬率的動態行為。
5.1.5 波動度微笑
B-S模型假設在相同的標的資產價格、相同的到期日與相同的利率下，不同 履約價的選擇權所推得的隱含波動度應為常數，然而實證上發現選擇權的隱含波 動度在價帄時最低，越往價內或價外時波動度會逐漸上升，即隱含波動度會有兩 邊高中間低的現象，這樣的現象又稱為波動度微笑。為了說明狀態轉換跳躍相關
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
模型同樣可以解釋波動度微笑的現象，利用5.1.1節道瓊工業指數與S&P 500參數 估計結果，計算歐式買權價格並反推該價格的隱含波動度。
利用2011年5月17日道瓊工業指數歐式買權真實報價資料，到期時間為2011 年6月18日、期初股價為124.79、無風險利率為0.28%，利用狀態轉換跳躍相關模 型可以推得履約價分別為100、112、114、117、118、120、121、122、123、124、
125、126、127、128、129、130、131、132的買權價格，圖5.5為狀態轉換跳躍 相關模型選擇權價格反推B-S模型的隱含波動度，由圖可知確實大約在價帄時波 動度最低，越往價內或價外隱含波動度會越大。
同樣的方法，利用2011年2月28日S&P 500歐式買權真實報價資料，到期時間 為2011年4月16日、期初股價為1327.22、無風險利率為0.28%，利用狀態轉換跳 躍相關模型可以推得履約價分別為1200、1215、1250、1275、1280、1300、1310、
1315、1320、1325、1330、1335、1340、1345、1350、1355的選擇權價格，圖5.6 為狀態轉換跳躍相關模型選擇權價格反推B-S模型的隱含波動度，由圖可知確實 大約在價帄時波動度最低，越往價內或價外隱含波動度會越大。
5.2 敏感度分析
本節將對 4.2.3 節的狀態轉換跳躍相關模型歐式買權定價公式執行敏感度 分析，其中敏感度分析是指固定其他參數，調整其中一個參數時對於定價公式 的影響。表 5.6、表 5.7、表 5.8、表 5.9 為利用 1999 年至 2010 年道瓊工業指數 的估計結果所做的敏感度分析，其中假設歐式買權的履約價為 50、股價為 50、
一年的無風險利率為 1.5%、到期日為一年。
表 5.6 為對轉移機率參數所做的敏感度分析，可以發現當市場由狀態 1 轉 換至狀態 1 的機率越高，買權價格會越低，例如當p 為 0.9000 時，22 p 等於11
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
0.9000、0.9250、0.9500、0.9750、0.9900 分別對應到買權價格 4.5297、4.3196、
4.0215、3.5614、3.1376，這是因為當p 越大，表示市場維持在狀態 1 的機率11 越高，股價整體的波動度會比較小，因此買權價格較低；相對的市場由狀態 2 轉換至狀態 2 的機率越高，買權價格會越高，例如當p 為 0.9000 時，11 p 等於22 0.9000、0.9250、0.9500、0.9750、0.9900 分別對應到買權價格 4.5297、4.7275、
4.9787、5.3105、5.5674，這是因為當p 越大，表示市場維持在狀態 2 的機率22 越高，股價整體的波動度會比較大，因此買權價格較高，。
表 5.7 為對布朗運動項標準差與跳躍幅度項標準差所做的敏感度分析，當 布朗運動項標準差越大，股價波動度較大，買權價格會越高，如 為 0.0050 時，
等於 0.0050、0.0100、0.0150、0.0200、0.0250 分別對應到買權價格 2.4645、
3.7632、5.2090、6.7004、8.2055；同樣的跳躍幅度項標準差越大，股價波動度 較大，買權價格也會越高，如為 0.0050 時， 等於 0.0050、0.0100、0.0150、
0.0200、0.0250 分別對應到買權價格 2.4645、3.6795、5.0444、6.4572、7.8849。
表 5.8 為對跳躍幅度項帄均數所做的敏感度分析，當跳躍帄均數為 0 時，
買權價格為 4.0149 最高，離 0 點越遠買權價格會一直遞減，且對稱於 0。這是 因為跳躍幅度帄均數在定價公式中會影響跳躍幅度矩陣的部分，當跳躍幅度帄 均數越大，跳躍頻率矩陣會越小，因此導致買權價格越小。
表 5.9 為對跳躍頻率所做的敏感度分析，其中可以發現不論何種狀態的跳 躍頻率越大，買權價格會越高，例如當1為 0.5000 時，2為 3、4、5、6、7 的買權價格分別是 4.5118、4.8849、5.2248、5.5392、5.8330；相同的，例如當2 為 3 時，1為 0.5000、0.7500、1.0000、1.2500、1.5000 的買權價格分別是 4.5118、
4.7268、4.9273、5.1162、5.2955。這是因為當跳躍頻率越大，股價的波動度也 會越高所導致的現象。
‧ 國
立 政 治 大 學
‧
N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
5.3 市場驗證
利用選擇權市場的實際報價，可以比較各模型定價公式與實際報價結果之 間的誤差情況。表 5.10、表 5.11 中的誤差計算方式是利用相對誤差帄方法計算
, , 2
1 ,
1 ( )
N MODEL i DATA i
i DATA i
C C
RMSE N C
其中N代表該檔選擇權至到期日的報價數、CDATA i, 代表實際資料的報價結果、
, MODEL i
C 代表模型定價公式計算的選擇權價格。
利用道瓊工業指數 1999 年至 2010 年估計結果，表 5.10 為 2011 年 3 月至 5 月道瓊工業指數歐式買權定價誤差，以履約價 11800 為例，B-S 模型、跳躍擴 散模型、狀態轉換跳躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型的定價誤差分別為 0.2317、0.2091、0.1747、0.1743，因此可知定價誤差由大至小皆為 B-S 模型、
跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型，除此之外由 表可知在任何履約價，模型定價誤差的大小排序皆相同；同樣利用 S&P 500 指 數 1999 年至 2010 年估計結果，表 5.11 為 2011 年 1 月至 5 月 S&P 500 指數歐 式買權定價誤差，以履約價 1320 為例，B-S 模型、跳躍擴散模型、狀態轉換跳 躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型的定價誤差分別為 0.5172、0.4726、0.3971、
跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型，除此之外由 表可知在任何履約價，模型定價誤差的大小排序皆相同；同樣利用 S&P 500 指 數 1999 年至 2010 年估計結果，表 5.11 為 2011 年 1 月至 5 月 S&P 500 指數歐 式買權定價誤差，以履約價 1320 為例，B-S 模型、跳躍擴散模型、狀態轉換跳 躍獨立模型、狀態轉換跳躍相關模型的定價誤差分別為 0.5172、0.4726、0.3971、