狀態轉換跳躍相關模型下股價指數選擇權定價

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第五章 實證分析、敏感度分析與市場驗證

本章利用 1999 年 1 月至 2010 年 12 月的道瓊工業指數和 S&P 500 指數為 實證資料，比較 B-S 模型、跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型與狀態轉換 跳躍相關模型對於股價指數資料性質的描述程度。5.1 節將利用最大概似估計法 估計 B-S 模型和 EM 演算法估計跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型與狀態 轉換跳躍相關模型的參數，並分析各模型參數彼此的關聯，並透過模型參數估 計結果說明各個模型對於偏態、峰態、波動叢聚和波動度微笑特性的表現情況；

5.2 節利用選擇權定價公式執行敏感度分析；5.3 節則利用市場上選擇權報價比 較各模型的定價誤差。

5.1 實證分析

5.1.1 估計與檢定

B-S 模型假設報酬率為常態分配，因報酬率為可觀測資料，利用最大概似 估計法可以直接求得參數的最大概似估計值、估計值標準差與模型概似函數 值。跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型和狀態轉換跳躍相關模型因為包含 不可觀測的資料，如跳躍發生次數、市場狀態，又不完整資料概似函數計算過 於複雜，因此利用 EM 演算法估計參數的最大概似估計值與模型概似函數值，

並利用 SEM 演算法計算估計值標準差。模型檢定利用概似比檢定分別依序檢 定(1)H :報酬率為 B-S 模型、₀ H :報酬率為跳躍擴散模型，(2)_a H :報酬率為跳₀ 躍擴散模型、H :報酬率為狀態轉換跳躍獨立模型，(3)_a H :報酬率為狀態轉換₀ 跳躍獨立模型、H :報酬率為狀態轉換跳躍相關模型。表 5.1 為道瓊工業指數_a 與 S&P 500 指數的模型參數估計與模型檢定結果。

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觀察道瓊工業指數參數估計結果，假設報酬率為 B-S 模型時，估計結果帄 均數為 0.0001 和標準差為 0.0127。假設報酬率為跳躍擴散模型時，布朗運動項 與跳躍帄均數分別為 0.0005 和-0.0008，換句話說，帄均而言報酬率正常情況下 為正成長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標準 差分別為 0.0065 和 0.0145，說明了跳躍發生導致報酬率產生的波動會比布朗運 動項產生的波動大。跳躍擴散模型布朗運動項的波動度會比 B-S 模型的波動度 小是因為一部分的波動度會被跳躍項所解釋，因此跳躍擴散模型跳躍的波動度 會比 B-S 模型的波動度大。跳躍頻率 0.5259 表示每天帄均會發生 0.5259 次跳 躍。

狀態轉換跳躍獨立模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態只會影響跳躍發生 的頻率。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的機率和市 場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的轉換並不 會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。布朗運動項 帄均數 0.0006 與跳躍帄均數-0.0007，也就是帄均而言報酬率正常情況下為正成 長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標準差分別 為 0.0067 和 0.0121，說明了跳躍發生導致報酬率的波動會比布朗運動項產生的 波動大，因此可知狀態轉換跳躍獨立模型布朗運動項和跳躍的帄均數與變異數 關係和跳躍擴散模型相同。跳躍頻率估計結果分別為 0.1123 和 1.7227，因此可 以說一種是跳躍次數少的市場狀態，另一種是發生跳躍次數多的市場狀態，例 如金融風暴時的市場狀態。

狀態轉換跳躍相關模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態同時會影響跳躍發 生的頻率與大小。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的 機率和市場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的 轉換並不會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。市

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場同樣可以跳躍頻率區分，在跳躍頻率為 0.1990 發生跳躍較少市場狀態時，跳 躍帄均數為 0.0001；在跳躍頻率為 2.4983 發生跳躍較多市場狀態時，跳躍帄均 數為-0.0005。比較兩種不同市場狀態，當市場發生跳躍頻率高時，跳躍發生帄 均導致報酬率負成長的程度較大，相反的當市場發生跳越頻率低時，跳躍發生 帄均導致報酬率負成長的程度較小。布朗運動項帄均數 0.0005，表示帄均而言 報酬率為正成長，布朗運動項標準差 0.0064 也比跳躍幅度項標準差 0.0104 小。

表 5.1 表格最後一行表示各模型的對數概似函數值，其中*代表型Ⅰ誤差為 0.05 時該模型和前一個模型概似筆檢定結果是顯著的。因此可知該節開頭部份 說明的三個檢定結果皆顯著，換句話說 1999 年至 2010 年道瓊工業指數報酬率 適合用狀態轉換跳躍相關模型描述。

觀察 S&P 500 指數參數估計結果，假設報酬率為 B-S 模型時，估計結果帄 均數為 0.00001 和標準差為 0.0136。假設報酬率為跳躍擴散模型時，布朗運動 項與跳躍帄均數分別為 0.0007 和-0.0013，換句話說，帄均而言報酬率正常情況 下為正成長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標 準差分別為 0.0069 和 0.0158，說明了跳躍發生導致報酬率產生的波動會比布朗 運動項產生的波動大。跳躍擴散模型布朗運動項的波動度會比 B-S 模型的波動 度小是因為一部分的波動度會被跳躍項所解釋，因此跳躍擴散模型跳躍的波動 度會比 B-S 模型的波動度大。跳躍頻率 0.5135 表示每天帄均會發生 0.5135 次 跳躍。

狀態轉換跳躍獨立模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態只會影響跳躍發生 的頻率。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的機率和市 場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的轉換並不 會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。布朗運動項 帄均數 0.0007 與跳躍帄均數-0.0009，也就是帄均而言報酬率正常情況下為正成

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長，跳躍發生時帄均會導致股價報酬率負成長。布朗運動項與跳躍標準差分別 為 0.0068 和 0.0132，說明了跳躍發生導致報酬率的波動會比布朗運動項產生的 波動大，因此可知狀態轉換跳躍獨立模型布朗運動項和跳躍的帄均數與變異數 關係和跳躍擴散模型相同。跳躍頻率估計結果分別為 0.1106 和 1.5886，因此可 以說一種是跳躍次數少的市場狀態，另一種是發生跳躍次數多的市場狀態，例 如金融風暴時的市場狀態。

狀態轉換跳躍相關模型考慮市場有兩種狀態，市場狀態同時會影響跳躍發 生的頻率與大小。轉移機率p 和₁₁ p 分別代表時間點 t 到₂₂ t1市場維持狀態 1 的 機率和市場維持狀態 2 的機率，估計結果兩者都相當接近 1，表示市場狀態的 轉換並不會頻繁發生，也就是當市場進入某個狀態後通常會維持一段時間。市 場同樣可以跳躍頻率區分，在跳躍頻率為 0.0660 發生跳躍較少市場狀態時，跳 躍帄均數為-0.0003；在跳躍頻率為 1.7753 發生跳躍較多市場狀態時，跳躍帄均 數為-0.0007。比較兩種不同市場狀態，當市場發生跳躍頻率高時，跳躍發生帄 均導致報酬率負成長的程度較大，相反的當市場發生跳越頻率低時，跳躍發生 帄均導致報酬率負成長的程度較小。布朗運動項帄均數 0.0006，表示帄均而言 報酬率負成長的程度較小，布朗運動項標準差 0.0070 也比跳躍幅度項標準差 0.0124 小。

表 5.1 最後一行表示各模型的對數概似函數值，其中*代表型Ⅰ誤差為 0.05 時該模型和前一個模型概似筆檢定結果是顯著的。因此可知該節開頭部份說明 的三個檢定結果皆顯著，換句話說 1999 年至 2010 年 S&P 500 指數報酬率適合 用狀態轉換跳躍相關模型描述。

5.1.2 模型經濟分析

圖 5.1 和圖 5.2 為利用 5.1.1 節模型參數結果計算的狀態機率動態圖與跳躍

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發生機率動態圖，透過這兩個圖並配合報酬率動態圖，可以更明確知道特定時 間點市場狀態機率與發生跳躍機率的關連性。

圖 5.1 為道瓊工業指數的估計結果，對照報酬率動態圖和狀態機率圖，發 現報酬率波動較大的期間，市場處於狀態 1 也就是不好的市場狀態機率會較 低，而且發生跳躍的機率也會較高；相對的報酬率波動較小的期間如 2004 年至 2007 年，市場處於狀態 1 也就是好的市場狀態機率會較高，而且發生跳躍的機 率也會較低。

圖 5.2 為 S&P 500 指數的估計結果，對照報酬率動態圖和狀態機率圖，發 現報酬率波動較大的期間，市場處於狀態 1 也就是不好的市場狀態機率會較 低，而且發生跳躍的機率也會較高；相對的報酬率波動較小的期間如 2004 年至 2007 年，市場處於狀態 1 也就是好的市場狀態機率會較高，而且發生跳躍的機 率也會較低。

5.1.3 偏態與峰態

B-S 模型利用常態分配描述報酬率資料，因此模型的偏態係數為 0、峰態 係數為 3，然而實證資料指出資產報酬率資料通常具有不對稱高狹峰的現象。

表 5.2、表 5.3、表 5.4 分別為跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍獨立模型和狀態轉 換跳躍相關模型的偏態和峰態公式，利用估計的參數代入公式可得到道瓊工業 指數與 S&P 500 指數指數於各模型的偏態和峰態。

表 5.5 為道瓊工業指數與 S&P 500 指數於各模型的帄均數、變異數、偏態 和峰態表。首先由表可知，各模型的帄均數與變異數估計結果差異不大；偏態 的部份，兩筆資料都具有一樣的現象，加入跳躍項的模型都可以捕捉到資料負 偏的情況，模型負偏的程度由大至小為跳躍擴散模型、狀態轉換跳躍相關模型、

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狀態轉換跳躍獨立模型；峰態的部分，兩筆資料同樣有相同的現象，加入跳躍 項的模型都可以捕捉到資料高峰態的情況，模型峰態由大到小為狀態轉換跳躍

狀態轉換跳躍獨立模型；峰態的部分，兩筆資料同樣有相同的現象，加入跳躍 項的模型都可以捕捉到資料高峰態的情況，模型峰態由大到小為狀態轉換跳躍