平均數相等的檢定

0 1 2

1 0

: :

H

a

H not H

L

當母體變異數檢定的結果是全相等時，我們檢定 a 個母體平均數 是否全等就用一般的一因子變異數分析的

F

檢定。檢定統計量(test statistic)為

/ 1 /

SSB a

F SSW n a

上式中

2 1

( )

a

i i

i

SSB n X X

代 表 組 間 變 異 平 方 和 (Sum of squares

between groups)，

2 1

( 1)

a

i i

i

SSW n S 代表組內變異平方和(Sum of squares within

groups)，

1 ni

ij j i

i

X

X n

代表第

i

組樣本平均數，

2

2 1

( )

1

ni

ij i

j i

i

X X

S n

代表第

i

組樣本變異數，

1 a

i i

n n 代表總樣本大小，

1 1

ni

a

ij

i j

X

X n

代表總樣本平均。

決策法則為

Reject

H

₀ if

F

_obs

F a

( 1,

n a

) 或 p-value

p-value

P F

(

F

_obs

H

₀ true)。

由 3.3.1 的檢定結果可知，比重( )

x

₂ 、含水比( )

x

₃ 、粗粒含量( )

x

₇ 、 細粒含量( )

x

₈ 及壓縮指數(

x

₁₄)這 5 個變數的四種土壤的變異數相等，

所以可以用一因子變異數分析來檢定四種土壤的平均數是否全等，表

3.3 是 SPSS 的變異數分析表(ANOVA table)，表中有印出檢定統計量

F

obs及 p-value(報表上 Sig.部分)。

表 3.3 比重、含水比、粗粒含量、細粒含量的 ANOVA tables

ANOVA 比重

.006 3 .002 .869 .457 1.148 491 .002

1.154 494 Between Groups

Within Groups Total

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

ANOVA 含水比

1600.035 3 533.345 13.848 .000 19103.457 496 38.515

20703.492 499 Between Groups

Within Groups Total

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

ANOVA 粗粒含量

193617.201 3 64539.067 365.747 .000 92817.050 526 176.458

286434.251 529 Between Groups

Within Groups Total

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

ANOVA 細粒含量

196937.950 3 65645.983 394.583 .000 87509.483 526 166.368

284447.433 529 Between Groups

Within Groups Total

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

ANOVA 壓縮指數

.192 3 .064 14.240 .000 2.201 489 .005

2.394 492 Between Groups

Within Groups Total

Sum of Squares df Mean Square F Sig.

由 表 3.3 中 的 五 個 變 異 數 分 析 表 可 知 ， 只 有 比 重 ( )

x

₂ 的 p-value ，所以四種土壤的比重的平均數全等，另外剩下的含水比 ( )

x

3 、粗粒含量( )

x

₇ 、細粒含量( )

x

₈ 及壓縮指數(

x

₁₄)的p-value都小於

，所以四種土壤的含水比、粗粒含量、細粒含量、壓縮指數的平均 數不全相等，在3.4節將做多重比較(multiple comparisons)來找出那些 土壤兩兩的平均數相等、那些不等。

當母體變異數檢定的結果為不全相等時，我們檢定母體平均數是 否相等可用 Welch’s statistic 或 Brown-Forsythe 的修正的 F statistic。

Welch 的檢定統計量為

2 1

2 2

1

( ) / 1 2( 2)

1 (1 / ) /( 1) 1

a

i i

i

a

i i

i

w X X a

W a

w u n a

%

上式中

2

i i i

w n S

，

1 a

i i

u w ，

1 a

i i i

X w X

u

% ， ¹

ni

ij j i

i

X

X n

，

2 2

1

(1 ) 1 3 ( 1)

( 1)

a

i

i i

f a w u

n

。

決策法則為

Reject

H

₀ if

W

_obs

F a

( 1, )

f

或 p-value

p-value

P F

(

W

_obs

H

₀ true)。

另外 Brown-Forsythe 的修正的 F 檢定統計量為

2 1

2 1

( )

(1 )

a

i i

i a

i i i

n X X

F n

n S

決策法則為

Reject

H

₀ if

F

_obs

F g

( 1, )

f

上式中的臨界值的第 2 個自由度 f 可由下面公式得到

2

1

1

1

a i

i i

c

f n

，

2

2 1

(1 / ) (1 / )

i i

i a

i i

i

n n S c

n n S

，

或

Reject

H

₀ if p-value

p-value

P F

(

F

_obs

H

₀ true)。

由 3.3.1 的檢定結果可知，單位重( )

x

₁ 、孔隙比( )

x

₄ 、液性限度

( )

x

5 、塑性限度( )

x

₆ 、滲透係數( )

x

₉ 、最大乾密度(

x

₁₀)、最佳含水量 (

x

11)、無圍壓縮強度(

x

₁₂)及內摩擦角(

x

₁₃)這 9 個變數的四種土壤的變 異數不全相等，所以用 Welch 及 Brown-Forsythe 兩個統計量來檢定四 種土壤的平均數是否全等，表 3.4 是修改過的 SPSS 的報表，可以得 到

W

_obs、

F 、自由度及 p-value。

_obs

由表 3.4 的結果可知單位重( )

x

₁ 、孔隙比( )

x

₄ 及液性限度( )

x

₅ 三個 變數的 Welch 及 Brown-Forsythe 的檢定統計量的 p-value 都大於

( 0.05) ，所以四種土壤的單位重的平均數全等、四種土壤的孔 隙比的平均數全等、四種土壤的液性限度的平均數全等。另外剩下

表 3.4 Welch 及 Brown-Forsythe 的檢定及結果 Robust Tests of Equality of Means

變數 變數名稱 Statistic^a df1 df2 Sig. 檢定結果

x

1 單位重 Welch Brown-Forsythe

0.880 0.753

3 3

221.363 377.112

0.452 0.521

Accept

H

₀

x

4 孔隙比 Welch Brown-Forsythe

2.543 2.138

3 3

208.483 361.689

0.057 0.095

Accept

H

₀

x

5 ^{液性限度 Welch}

Brown-Forsythe

1.813 1.528

3 3

183.453 308.744

0.146

0.207 Accept

H

₀

x

6 ^{塑性限度 Welch}

Brown-Forsythe

196.612 206.564

3 3

182.026 281.019

0.000

0.000 Reject

H

₀

x

9 ^{滲透係數 Welch}

Brown-Forsythe

23.816 13.056

3 3

177.572 270.824

0.000 0.000

Reject

H

₀

x

10 最大乾密度 Welch Brown-Forsythe

13.094 12.186

3 3

214.824 364.095

0.000 0.000

Reject

H

₀

x

11 最佳含水量 Welch Brown-Forsythe

15.906 20.422

3 3

206.580 316.165

0.000 0.000

Reject

H

₀

x

12 無圍壓縮強度 Welch Brown-Forsythe

29.775 31.512

3 3

237.384 347.971

0.000

0.000 Reject

H

₀

x

13 ^{內摩擦角 Welch}

Brown-Forsythe

8.081 7.280

3 3

224.511 386.289

0.000

0.000 Reject

H

₀

.

a Asymptotically F distributed

六個變數，塑性限度( )

x

₆ 、滲透係數( )

x

₉ 、最大乾密度(

x

₁₀)、最佳含 水量(

x

₁₁)度( )

x

₆ 、滲透係數( )

x

₉ 、最大乾密度(

x

₁₀)、最佳含水量(

x

₁₁)、 無圍壓縮強度(

x

₁₂)及內摩擦角(

x

₁₃)的Welch及Brown-Forsythe的檢定 統計量的p-value都小於 0.05 ，所以四種土壤的塑性限度、滲透係

表 3.5 14 個變數的 4 種土壤平均數的檢定及結果

Accept

H

₀

2 2 2 2

1 2 3 4

變異數全等

Reject

H

₀

2

1 、 ₂²、 ₃²、 ₄²

變異數不全相等

變數 變數名稱

0: 1 2 3 4

H

1-way ANOVA (F tests) 檢定結果

0: 1 2 3 4

H

Robust Tests (Welch; Brown-Forsythe)

檢定結果

0: 1 2 3 4

H

檢定結論

x

1 單位重 ^{Accept H 0}

x

2 比重 ^{Accept H0}

x

3 含水比 ^{Reject H 0}

x

4 孔隙比 ^{Accept H0}

x

5 液性限度 ^{Accept H0}

x

6 塑性限度 ^{Reject H0}

x

7 粗粒含量 ^{Reject H0}

x

8 細粒含量 ^{Reject H0}

x

9 滲透係數 ^{Reject H0}

x

10 最大乾密度 ^{Reject H0}

x

11 最佳含水量 ^{Reject H0}

x

12 ^{無圍壓縮強}

度

Reject H₀

x

13 內摩擦角 ^{Reject H0}

x

14 壓縮指數 ^{Reject H0}

單位重、比重、孔隙 比 及 液 性 限 度 的 四 種 土 壤 的 平 均 數 相 等。

其他變數(

x

₃、

x

₆、

x

7^、

x

₈^、

x

₉^、

x

₁₀^、

x

11、

x

₁₂、

x

₁₃、

x

₁₄) 的 四 種 土 壤 的 平 均 數不全相等。

數、最大乾密度、最佳含水量、無圍壓縮強度、內摩擦角的平均數不

全相等。

最後將3.3.1及3.3.2的所有檢定結果，整理成表3.5。

在文檔中 中 華 大 學 (頁 60-67)