中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：「統計區別分析於土壤分類之應 用-台灣地區山坡地土壤 」

系 所 別：應用數學學系碩士班 學號姓名：M09109001 林美怡 指導教授：羅 琪 博士

中 華 民 國 九十三 年 六 月

摘要

為了能做好山坡地的合理規劃開發，應在山坡地的開發前，了解 土壤工程的特性，而土壤分類對於土壤工程及基礎工程均極為重要，

傳統的土壤分類法(麻省理工學院分類法、三角座標分類法及統一土 壤分類法)都只依土壤粒徑大小的分佈或液性限度及塑性指數來分 類，方法雖簡單但卻忽略了粒徑以外的土壤的性質，因此本論文將根 據土壤的物理性質及力學參數，利用統計的區別分析法及分類樹法，

應用到台灣山坡地土壤(粉土質砂(SM)、粘土質砂(SC)、低塑性粉土 (ML)、低塑性粘土(CL))四種土壤的分類，以期當我們有較多土壤的 資訊時，能對土壤的分類提供較多或較好的方法。

我們用一因子變異數分析的 F 檢定及 Welch、Brown-Forsythe 的 檢定，從原本的 14 個變數中找出具有區別能力的 10 個變數來做區別 分析。由卡方圖知道四種土壤的 10 個變數

x

的分配大致都服從多變 量常態分配，Bartlett’s test 檢定出四種土壤的母體變異數共變數矩陣 不全相等，因此我們採用二次區別法作為山坡地土壤分類的法則。另 外我們也採用分類樹，來對山坡地土壤做區別與分類分析，並比較二 次區別法與分類樹的結果。

最後我們將兩種分類法都做了效度的驗證，發現其結果很相近，

粉土質砂(SM)容易錯誤分類到粘土質砂(SC)。但若只是要分類成砂土

(SM、SC)或低塑性土壤(ML、CL)，分類樹法的表現優於二次區別法。

但若只是要分類低塑性粉土(ML)與低塑性粘土(CL)，則二次區別法的 表現優於分類樹法。

誌謝

時光荏苒，兩年的研究所生涯即將告一段落，猶記得大學時代年 輕懵懂的我感受到羅琪老師在教學上的認真執著及給予我們的豐富 知識，吸引了我對統計的興趣，也開展了我的統計學習生涯。更令我 感佩的是老師在教學研究上的熱忱多年來始終如一，於去年期間更為 系上爭取到經費設置了統計實驗室，對於我們的學習研究提供更完善 的環境及設備。我想除了要感謝羅老師的「傳道、授業、解惑」外，

更有一分打從心底的尊敬與難以忘懷的情。

本論文能夠完成，我要先向羅琪老師致上最深的謝意，從論文的 決定到完稿，都提供了非常珍貴的指導，並且為本論文校正疏漏，使 得本論文能夠更加的充實完整。

其次，謝謝陪伴我這兩年成長的同學及學弟妹們，志挺、宏明、

明珠、益薰、祐萱、俊忠、筱玲、依萍、小鴻、一宏、永順等…，謝 謝你們的鼓勵與關懷，在我有困難時給予我適當的協助。因為你們，

讓我的兩年研究所生涯更加多采多姿。

最後我謹呈我的論文給我親愛的雙親以及家人，還有所有關心我 的朋友們，因為有你們的默默支持與鼓勵，我才有今日的成就，謹以 此論文獻予你們。

美怡 謹誌於 中華大學應用數學所 2004.仲夏

目錄

摘要

... V 誌謝 ...VII 目錄 ... VIII 圖目錄 ... XI 表目錄 ...XII 附錄目錄 ... XIV

第一章 前言 ... 1

1.1 研究的目的與動機

...

1

1.2 相關文獻的回顧

...

2

1.3 土壤的簡介

...

3

1.3.1 土壤分類...3

1.3.1.1 土壤分類的重要性...3

1.3.1.2 土壤分類的方法...4

1.3.2 土壤力學...8

1.4 資料的來源與變數的介紹

...

9

1.5 研究的方法與流程

...

18

第二章 區別分析理論 ... 21

2.1 分類法則(classification rule)

...

21

2.2 線性區別法

...

25

2.2.1 兩個變異數共變數矩陣相等的常態母體的分類 ...25

2.2.2

g 個變異數共變數矩陣相等的常態母體的分類...27

2.3 二次區別法

...

29

2.3.1 兩個變異數共變數矩陣不相等的常態母體的分類 ...29

2.3.2

g 個變異數共變數矩陣不全相等的常態母體的分類...31

2.4 錯誤率

...

32

2.4.1 兩個母體分類的錯誤率的計算 ...32

2.4.2

g 個母體分類的錯誤率的計算 ...33

第三章 初步的分析(一)... 34

3.1 分組的盒子圖(side-by-side box plots)

...

35

3.2 平均數圖(Means Plots)

...

39

3.3 一因子變異數分析(One-way ANOVA)

...

43

3.3.1 變異數相等的檢定...44

3.3.2 平均數相等的檢定...46

3.4 多重比較(Multiple comparisons)

...

53

3.4.1 當變異數全等時...53

3.4.2 當變異數不全相等時 ...58

3.5 相關分析(Correlation analysis)

...

62

第四章 初步的分析(二)... 69

4.1 直方圖與常態機率圖

...

69

4.2 卡方圖(Chi-square plot)

...

72

4.3 母體變異數共變數矩陣相等的假設鑑定

...

74

第五章 區別分析結果 ... 76

5.1 二次區別法的分析結果

...

77

5.2 錯誤率(error rate)的計算

...

83

5.3 效度的驗證

...

84

第六章 分類樹 ... 88

6.1 分類與迴歸樹簡介

...

88

6.2 分類樹(classification tree)的分析結果

...

91

6.3 分類樹與傳統及二次區別法的比較

...

97

6.4 效度的驗證

...

98

第七章 結論 ... 103

參考文獻 ... 106

圖目錄

圖 1.1 三角座標土壤分類圖 ...5

圖 1.2 土壤元素之三相...11

圖 1.3 阿太堡分類系統... 13

圖 1.4 分析流程圖... 19

圖 4.1 直方圖... 70

圖 4.2 常態機率圖... 71

圖 4.3 粉土質砂(SM)及粘土質砂(SC)的卡方圖 ... 73

圖 4.4 低塑性粉土(ML)及低塑性粘土(CL)的卡方圖... 74

圖 6.1 樹狀圖... 92

圖 7.1 分類法易分錯的情形 ... 104

表目錄

表 1.1 與山坡地研究有關之碩博士論文...2

表 1.2 麻省理工學院土壤顆粒分類法...5

表 1.3 三角座標土壤分類法...6

表 1.4 統一土壤分類法土壤分類英文字母代號表...6

表 1.5 SM、SC、ML、CL 四種山坡地土壤在填土與工程性質適用.. 7

表 1.6 變數的代表符號、名稱及單位... 10

表 1.7 按土壤分類的各變數的平均數與標準差... 17

表 3.1 ANOVA table for the modified Levene test... 44

表 3.2 14 個變數的 Levene test 及其結果 ... 45

表 3.3 比重、含水比、粗粒含量、細粒含量的 ANOVA tables ... 48

表 3.4 Welch 及 Brown-Forsythe 的檢定及結果 ... 51

表 3.5 14 個變數的 4 種土壤平均數的檢定及結果... 52

表 3.6 含水比的多重比較與檢定結果 ... 55

表 3.7 粗粒含量的多重比較與檢定結果... 56

表 3.8 細粒含量的多重比較與檢定結果... 57

表 3.9 壓縮指數的多重比較與檢定結果... 58

表 3.10 矩陣 1 相關係數表 ... 64

表 3.11 矩陣 2 相關係數表... 65

表 3.12 矩陣 4 相關係數表... 66

表 3.13 14 個變數之間正負關係表(一) ... 67

表 3.13 14 個變數之間正負關係表(二) ... 68

表 5.1 樣本數統計表... 76

表 5.2 二次區別分數及實際與預測土壤的組別... 78

表 5.3 二次區別分數及實際與預測土壤的組別(驗證樣本)... 85

表 6.1 摘要表... 93

表 6.2 分類樹預測土壤的機率及類別(驗證樣本)... 98

附錄目錄

附錄一：土壤資料... 108

附錄二：多重比較(當變異數全等時)... 126

(一) 含水比( )

x

₃ 的多重比較表... 126

(二) 粗粒含量( )

x

₇ 的多重比較表... 127

(三) 細粒含量( )

x

₈ 的多重比較表... 128

(四) 壓縮指數(

x

₁₄)的多重比較表... 129

附錄三：多重比較(當變異數不全相等時)... 130

(一) 塑性限度( )

x

₆ 的多重比較... 130

(二) 滲透係數( )

x

₉ 的多重比較... 131

(三) 最大乾密度(

x

₁₀)的多重比較... 132

(四) 最佳含水量(

x

₁₁)的多重比較... 133

(五) 無圍壓縮強度(

x

₁₂)的多重比較... 134

(六) 內摩擦角(

x

₁₃)的多重比較... 135

附錄四：圖 4.3 與圖 4.4 的 S-PLUS 程式 ... 136

附錄五：表 5.2 的 S-PLUS 程式 ... 137

第一章 前言

一個土木工程師可以用土壤來設計基礎，以便支承上部的結構 物。自然界的土壤，由於成分過於複雜，種類不能一致，性質因而互 異，在工程的應用上，適用於甲種性質的工程未必能適用於乙種性質 的工程，故土壤依照不同的法則給予不同的分類。

1.1 研究的目地與動機

臺灣地區多山，平地和標高 100 公尺以下的平緩地，僅佔三分之 一左右，而這些平地的大部分是維持農業生產必須保護的農地，因此 未來的許多實質建設必然推向山區，山坡地的開發是台灣發展必經之 路，坡地的穩定是首先要考量的，否則，可能會造成嚴重的坍方。而 由於土壤性質不均勻、土壤的破壞形式不一致，使得土壤斜坡的穩定 分析非常困難。為了能做好山坡地的合理規劃開發，適當的水土保持 及保育，以減少天然或人為的災害，應在山坡地的開發前，了解土壤 工程的特性。但為了了解土壤的工程特性，經常需取得具有代表性之 土壤進行試驗以得之，目前所採用的土壤分類法(麻省理工學院分類 法、三角座標分類法、統一土壤分類法)，大都只根據粒徑的分佈或 液性限度及塑性指數來分類，並沒有參考這些以外的土壤物理性質或 力學參數來分類，因此本論文將提出另外二種土壤分類的方法，此二

種方法都將根據土壤的物理性質(單位重、比重、含水比、孔隙比、

液性限度、塑性限度、粗粒含量、細粒含量、最大乾密度、最佳含水 量)及力學參數(滲透係數、無圍壓縮強度、內摩擦角、壓縮指數)來對 土壤做分類，第一個方法是統計的區別分析法，第二個方法是分類 樹，希望此二種方法能提供做為土壤分類的參考與應用。

1.2 相關文獻的回顧

對坡地相關的一些工程設施，像是開挖、填土、公路、鐵路、隧 道、堤防等，皆須考慮到邊坡穩定的問題，否則邊坡不穩定時，輕者 損失錢財，重者危害人民安全，因此對於此問題應特別謹慎。在全國 的碩博士論文中，也有不少對山坡地的研究，現將這些列於表 1.1 中。

表 1.1 與山坡地研究有關之碩博士論文

研究生 論文題目(畢業學校及科系) 學年度

林葦旻 土壤之物理性質與力學參數相關性分析--台灣地區

山坡地土壤(中華大學土木工程學系碩士班) 91 林致君 添加矽酸鈉及磷酸銨對山坡地土壤保肥力與植物生

長影響之研究(中興大學水土保持學系) 91 陳如昌 台中大坑地區(光西巷)山坡地穩定性之研究(中興大

學土木工程學系) 90

謝銘 中部地區坡地土壤水分流動之研究(中興大學水土保

持學系) 90

陳朝龍 山坡地生態土地利用適宜性規劃--以汐止市為例(文

化大學地學研究所) 90

顏貽國 梨山地區邊坡滑動破壞之動態模擬分析研究(屏東科

技大學土木工程系碩士班) 88

張書嘉 類神經網路於土壤性質分析之應用--臺灣地區山坡

地土壤(中華大學土木工程學系碩士班) 87 林書毅 區域性山坡穩定評估方法探討-以林口台地為例(中

央大學地質研究所) 87

李文鐘 非等值凝聚力黏土邊坡變分穩定分析之數值研究(台

灣大學土木工程學研究所) 87

蔡碩彬 73 台灣山坡地地下水賦存狀態及分布之研究(台灣大

學森林學研究所) 87

牛志 利用地理資訊系統輔助山坡地環境資源量化--以基

隆河流域為例(台灣大學農業工程學系研究所) 86 涂金山 南台灣地區坡地工程土壤資料庫作管理系統之應用

研究(屏東技術學院土木工程技術研究所) 85 張國良 區域化變數理論在宜蘭地區山坡地土壤力學性質上

的應用(台灣大學農業工程研究所) 83

1.3 土壤的簡介

土壤是指地球外殼之岩石受風化作用而生成的一種天然產物，其 中包含各種粒徑之顆粒，顆粒間的孔隙存在著水及空氣。故其正確的 定義應為『土壤乃由不同大小、形狀、結構的顆粒所組成，其內部常 含空氣和水分，其物理性質常隨顆粒的大小、形狀或結構的不同，及 所含空氣和水份的多寡而變異，且影響土質的諸因素與土壤相互成一 定的關係』。

1.3.1 土壤分類

1.3.1.1 土壤分類的重要性

土壤分類是將同類而且具有相似行為的土壤集在一起，土壤分類

對於土壤工程及基礎工程極為重要，因為無論是排水系統的設計或填 土之規劃等問題，皆須依賴「土壤分類」之輔助，才可獲得圓滿的解 決。將土壤有系統的分類在工程上具有下列重要的意義：

1. 經濟快速之土壤工程性質判定：土壤之可用性及其工程大略性 質可以根據最少數量之簡便土壤試驗結果做經濟而快速之判定。

2. 大地工程初步設計之參考：藉助已建立好的土壤分類與土壤強 度參數之經驗關係作為大地工程可行性評估與初步設計之參考。

3. 土壤工程資訊交換系統建立：優良的土壤分類法可促進土壤在 工程上共通學名的建立，更加一步促進研究者與工程師間或研究 人員相互間之經驗交換與世界性工程土壤經驗的累積。

1.3.1.2 土壤分類的方法

土壤顆粒為最易察覺的性質，故為最早的土壤分類法，通常依據 顆粒大小而分類成，最大者為「卵石」(Boulder)，較次者為「礫石」

(Gravel)，其餘依次為「砂土」(Sand)、「粉土」(Silt)、「粘土」(Clay)。

目前土壤的分類法有很多種，現將幾種應用較廣的方法介紹於下:

(1) M.I.T.分類法(麻省理工學院分類法)

因為粒徑是土壤最明顯的物理特性之一，所以粒徑已成為較早期 土壤分類法的基礎，當工程師施工時，若身邊沒有其他資料可參考 時，利用此方法，可大概知道當地的土質，分類法如表 1.2 所示。

表 1.2 麻省理工學院土壤顆粒分類法

土壤顆粒的名稱 粒徑(mm)

礫石(Gravel) 2mm 以上 粗砂(Coarse Sand) 0.6~2 中砂(Medium Sand) 0.2~0.6 砂(Sand)

細砂(Final Sand) 0.06~0.2 粗粉土(Coarse Silt) 0.02~0.06 中粉土(Medium Silt) 0.006~0.02 粉土(沉泥) (Silt)

細粉土(Final Silt) 0.002~0.006 粗粘土(Coarse Clay) 0.006~0.0002 中粘土(Medium Clay) 0.0002~0.0006 粘土(Clay)

膠體土(Final Clay) 0.0002mm 以下

圖 1.1 三角座標土壤分類圖

(2) 三角座標分類法

是依據土壤粒徑分佈而做分類的方法，因為方法簡單且對於粒徑 以外的性質能做某種程度的判斷，故廣被使用。但由於無法將砂質土

再加以細分（如砂、礫石、卵石之區分），因此無法適應土木工程之 需要，現在工程界已少使用。分類法如圖 1.1 或表 1.3。

表 1.3 三角座標土壤分類法

所佔之百分組成 土壤名稱

砂(%) 粉土(%) 粘土(%) 砂(Sand) 80~100 0~20 0~20 砂質壤土(Sandy Loam) 50~80 0~50 0~20

壤土(Loam) 30~50 30~50 0~20 沉泥質壤土(Silty Loam) 0~50 50~100 0~20 砂質粘壤土(Sandy Clay Loam) 50~80 0~80 20~30

粘質壤土(Clay Loam) 20~50 20~50 20~30 沉泥質粘壤土(Silty Clay Loam) 0~30 50~80 20~30

砂質粘土(Sandy Clay) 55~70 0~15 30~45 粘土(Clay) 0~55 0~55 30~100 沉泥質粘土(Silty Clay) 0~15 55~70 30~45

表 1.4 統一土壤分類法土壤分類英文字母代號表

土壤型式 字首 次群 字尾

礫石(Gravel) G 優良級配(Well-graded) W 砂(Sand) S 不良級配(Poorly-graded) P (無機)粉土(沉泥)(Silt) M 粉土質(沉泥質)(Silty) M

(無機)粘土(Clay) C 粘土質(Clayey) C 有機質(Organics) O 低塑性(Low-plastic) L 泥炭土(Peat) P_t 高塑性(High-plastic) H

(3) 統一土壤分類法(Unified Soil Classification System)

此法對於粗粒土壤(coarse-grained soils)是根據粒徑分佈來分類，

而 細 粒 土 壤 則 是 以 液 性 限 度 (liquid limit, 簡 稱 LL) 及 塑 性 指 數

(plasticity index, 簡稱 PI)，配合塑性圖表來分類。在此分類法中，採 用兩個英文字母作為土壤的代號，如表 1.4 所示。

在 本論 文中 ， data 的 實 際 土壤 類別 是根 據統 一土壤 分類 法 (U.S.C.S.)所得到的，我們只討論其中的粉土質砂(SM)、粘土質砂 (SC)、低塑性粉土(ML)、低塑性粘土(CL)4 種山坡地土壤，現將 4 種 土壤在填土與工程性質的適用性列於表 1.5 中。

表 1.5 SM、SC、ML、CL 四種山坡地土壤在填土與工程性質適用性

區分 分類

記號

土壤典 型名稱

利用為填土材料 之可行性

夯實後 之滲透 性

夯實並 飽和後 之剪力 強度

夯 實 並 飽 和 後 的 壓 縮 性

作 為 建 築 材 料 的 可 使 用性

SM 粉土質 砂

還算安定，不適 用 於 透 水 體 部 分，可使用於不 透水壩心或堤防

半透水 至不透 水

佳 低 普通

粗 粒 土 壤

砂及 砂質 土

SC 粘土質 砂

還算穩定，使用 於防洪土堤之不 透水心材

不透水 佳至

普通 低 佳

ML 低塑性 粉土

穩定性不良，適 當的加入粗粒土 後可使用於填土 材料

半透水 至不透 水

普通 中 普通

細 粒 土 壤

粉土 及粘 土 LL<

50

CL 低塑性 粘土

具穩定性，適用 不透水心材及止 水襯砌

不透水 普通 中 佳至

普通

1.3.2 土壤力學

土壤力學(Soil Mechanics)的名稱源於 1925 年 Terzaghi 發表著名 的 壓 密 理 論 (theory of consolidation)並 出 版 了 以 德 文寫 的 ”Erdbau mechanic”一書 ，將過去有關土壤力學研究的全部資料或紀錄，加以 有系統的整理、分析，奠定了近代土壤力學的基礎。因此，Terzaghi 被尊稱為土力之父。

一個土木工程師必須利用土壤來設計基礎，以便支承上部的結構 物，也可用土壤來做施工的材料，例如土壩、堤防、機場跑道及公路 鐵路的路基等都是由土壤做成的，而土壤是由岩石風化作用而生成的 一種天然材料，由於風化作用過程不同、風化作用性質不同及所含礦 物 成 分 的 不 同 ， 故 其 性 質 非 常 的 複 雜 ， 並 非 是 均 質 性 (Homogeneousness)、各向同性(Isotropy)的理想彈性體，故必須以力學 的試驗配合理論，相互引證來解釋土壤與結構物相互作用的關係。

土壤力學主要研究存在於土體之外力作用的一門實用科學，亦即 使一般工程力學及流體力學之理論與定律適用於土壤工程問題之一 門學問。土壤力學在工程方面的應用，可以歸納於下列兩類：

(1) 在土壤工程方面的應用

土壤工程是以土壤為一種建築材料，將土壤依人工壓實方法填築 成各種不同工程用途的土壤結構物，如路堤、堤防等都是。

(2) 在基礎工程方面的應用

基礎工程是利用天然土層為基礎或以土壤為一種基礎材料做成 承載上部荷重之基礎，如公寓、摩天大廈等。若基礎不穩固，則任何 精巧美觀的建築工程隨時有塌陷的可能，而造成嚴重損害的後果。

十幾年前我國築造石門水庫時及民國 63 年完成的曾文水庫，均 在工地附近設置土壤實驗室，實施土壤的各種實驗，對施工的品質控 制有不少的幫助。現在的土壤試驗與設計施行方法等日新月異，使理 論分析與試驗結果能夠相互引證，互輔進行。現在，土木工程師在設 計重大的建築物前，對土壤力學的考察，已成為實際工程上不可或缺 的工作了。

1.4 資料的來源與變數的介紹

最原始的資料是在民國 75~87 年度間，由農委會及台灣省農林廳 水土保持局，委託七所大專院校(台灣大學、中興大學、屏東科技大 學、中華大學、嘉義技術學院、復興工商專校、高苑工專)，參與 「臺 灣地區山坡地土壤力學性質基本資料調查」計畫，進行臺灣地區山坡 地土壤性質調查所得到。此計畫涵蓋臺灣地區 100 公尺以上 1000 公 尺以下的山坡地，面積約為 13,297 平方公里，採取土壤的總樣本數 為 1053。本論文所用的資料是由中華大學土木系大地組楊朝平老師 提供，楊老師所指導的碩士班研究生林葦旻同學已將一些不甚合理或

是明顯有錯誤的數據過濾掉，因此本研究是採用他所過濾後的資料，

表 1.6 變數的代表符號、名稱及單位 代表

符號

Variable 變數

Variable name

變數名稱 變數單位

d

x

1 單位重(unit weight)

kN m

³

G

s

x

₂ 比重(specific gravity)

w x

3 含水比(moisture content) %

e x

4 孔隙比(void ratio) %

LL x

5 液性限度(liquid limit) %

PL x

6 塑性限度(plastic limit) %

G x

7 粗粒含量(content retained

above No.200 sieve) %

F x

8 細粒含量(content passing

No.200 sieve) %

k x

9 滲透係數(coefficient of

permeability)

10 (7

cm

sec)

(max)

d

x

10 最大乾密度(maximum dry density)

kN m

³

w

opt

_x

₁₁ 最佳含水量(optimum

moisture content) %

q

u

x

₁₂ 無圍壓縮強度(unconfined

compression strength)

kPa x

13 內摩擦角(angle of internal friction) ⁰

C

c

x

₁₄ 壓縮指數(compression index)

Type

土壤種類 1 粉土質砂(SM) 2 粘土質砂(SC) 3 低塑性粉土(ML) 4 低塑性粘土(CL)

粉土質砂(SM)179 筆、粘土質砂(SC) 142 筆、低塑性粉土(ML) 115 筆、

低塑性粘土(CL)255 筆，共 691 筆的資料。但在做分析時只取出 SM 135 筆、SC 105 筆、ML 85 筆、CL 205 筆，共 530 筆的資料，剩下的 161

筆資料，SM 44 筆、SC 37 筆、ML 30 筆、CL 50 筆留待作驗證用。

資料放在附錄一，而全部變數的代表符號、名稱及單位則在表 1.6 中。

為了方便了解各變數的定義，我們先將土壤的重量與體積之間的 關係，用圖 1.2 來介紹。

在天然狀態下土壤包含固體顆粒(solids)、水(water) 和空氣(air)三相組 織，因此土壤的總體積V 可表示為

總體積V 土壤顆粒體積(

V

_s) 孔隙體積( )

V

_v

土壤顆粒體積(

V

_s) (孔隙內之水體積

V

_w 孔隙內之空氣體積

V

_a)

W

w

W

s

W

V

a

V

w

V

s

V

v

V

顆粒 水 空氣

重量 體積

圖 1.2 土壤元素之三相

而土壤的總重量W (忽略空氣重量)可寫成

總重量W 土壤顆粒重量(

W

_s) 土壤體積之水重(

W

_w) 現在將每個變數的定義敘述於下：

一、單位重(unit weight) _d

這裡指的是「乾單位重(dry unit weight)」，就是土壤在完全乾燥 狀態下的單位體積之重量，也就是每單位體積之乾土重，其公式為

s d

W V

土壤顆粒重量

土壤總體積

乾單位重的值不隨土壤中含水量的改變而改變，是表現土壤密實度的 一般指標。

二、比重(specific gravity)

G

_s

這裡指的是「真比重」，土壤顆粒單位重與4⁰

C

時蒸餾水的單位 重之比值，謂之「真比重」，公式為

4

s s

w

G

^o

C

土壤顆粒單位重 時蒸餾水之單位重 上式中， _s ^s

s

W

V

，

V

_s為土壤顆粒體積，

W

_s為土壤顆粒重量； _w為 4 C^o 時蒸餾水之單位重。

三、含水比(含水量) (moisture content) w

土壤體積之水重與土壤顆粒重量之比值，稱為「含水量」，其公 式如下：

w s

w W

W

土壤體積之水重

土壤顆粒重量 四、孔隙比(void ratio)e

土壤內所含孔隙體積與土壤顆粒體積之比值，稱為「孔隙比」， 其公式為

v w a

s s

V V V

e V V

土壤孔隙體積 土壤顆粒體積

孔隙比越大表示土壤越疏鬆，可視為土壤密實度的指標之一。

五、液性限度(liquid limit)

LL

圖 1.3 阿太堡分類系統

含水量大的黏性土壤，在乾燥過程中須經由液體(liquid)、塑性體 (plastic)、半固體(semisolid)而變成固體(solid)狀態，由一狀態轉變成 另一狀態之臨界含水量稱為阿太堡限度(Atterberg limits)。阿太堡限度 可分為液性限度(liquid limit；LL)、塑性限度(plastic limit；PL)、縮性 限度(shrinkage limit；SL)三種，而液性限度與塑性限度之差稱為塑性 指數(plastic index；PI)，而塑性限度與縮性限度之差稱為縮性指數

含水量

固體狀態 半固體 狀態

塑性體

狀態 液體狀態 PI=LL-PL

0

w

SL PL LL

含水量(w %) SI=PL-SL

(shrinkage index；SI)，如圖 1.2 所示。

液性限度是土壤介於液體狀態與塑性體狀態間之臨界含水量，亦 即在某一特定的擾動下，土壤能發生流動之最小含水量。

黏土之液性限度一般隨黏土顆粒之含量增加而增加，其值亦受到 黏土礦物值種類及有機物含量之影響，有機物含量愈高，其值愈大。

一般而言，其值愈大，土壤之壓縮性也愈大。當土壤含水量達到液性 限度時，土體內之孔隙漸漸為水所充滿，此時凝聚力及內摩擦力驟 降，而使土體完全失去穩定性。

一般土壤液性限度的參考值:

土壤名稱 液限參考值(％)

砂土 20

粘土 100

粉土 27

沉泥 163

膠土 399

六、塑性限度(plastic limit)

PL

塑性限度是土壤介於塑性體及半固體狀態間之臨界含水量，亦即 土壤呈塑性體狀態之最小含水量。

一般土壤塑性限度的參考值:

土壤名稱 塑限參考值(％)

粘土 46

粉土 20

膠土 45

七、粗粒含量(content retained above No. 200 sieve)G

根據統一土壤分類法(U.S.C.S.)通過 200 號篩 50％以下者為粗粒 土壤。

八、細粒含量(content passing No. 200 sieve)

F

根據統一土壤分類法(U.S.C.S.)通過 200 號篩 50％以上者為細粒 土壤。

九、滲透係數(coefficient of permeability) k

滲透係數乃流體流過一多孔介質之流速大小的一種量度。土壤之 滲透性大小，對於地下水位下基礎施工難易，土壩與河川堤防之結構 物 穩 定 性 及 其 基 礎 之 承 載 力 等 均 有 直 接 影 響 。 Kozney 將 Hazen-Poiseuille 所推導任意形狀孔隙中之黏性流方程式推廣以求解 土壤中之黏性流問題，其結果如下:

3 2

(1 )

w s

k D e C

e

上式中，

D

_s 有效粒徑(Effective particle size)，

水的黏滯係數，隨溫度而異，

e 孔隙比，

C 形狀因素，依孔隙形狀、排列而定，

40

r

w

C

時蒸餾水之單位重。

十、最大乾密度(maximum dry density) _d(max)

土壤在乾燥狀態下之單位重量愈大，孔隙比愈小，故最大乾密度

是土壤之孔隙比最小者。

十一、最佳含水量(optimum moisture content)

w

_opt

在一定夯實能量下，能夠獲得最大乾密度時之含水量。所謂夯實 (compaction)，是以人為的方法，壓迫土壤顆粒，使其顆粒互相接近，

將土壤中的空氣及水分擠出，減少土壤的孔隙比，增加其密度。

十二、無圍壓縮強度(unconfined compression strength)

q

_u

無 圍 壓 縮 強 度

q

_u指 的 是 土 壤 在 無 圍 束 狀 態 下 受 壓 ， 內 部 發 生 剪 力 破 壞 時 的 強 度 。

十三、內摩擦角(angle of internal friction)

土壤的抗剪強度(shear strength)簡單來說就是剪應力的極限值，

當外界作用力超過此極限值時，土壤就發生破壞現象，但此剪應力是 由凝聚力(cohesion)與摩擦力(internal friction)合力而成的。一般土壤的 抗剪強度，在實用範圍內，垂直壓應力與抗剪強度的關係，大致可視 為一直線，其關係可寫為

tan

c

其中 土壤之抗剪強度， c 凝聚力， 內摩擦角， 為有效壓應 力。以上關係稱為莫爾-庫倫(Mohr-Coulomb)破壞定律，此定律表示 土壤的抗剪強度為凝聚力與內摩擦力的合力；黏土主要的抗剪強度為 凝聚力(純黏土之內摩擦力為零)，砂土則僅有內摩擦力(其

c

0)。

十四、壓縮指數(compression index)

C

_c

壓縮指數表示土壤之壓縮性，為估算土壤由於壓密所產生之現地 沉陷量的必要參數，如

C

_c值愈大，愈容易壓縮，其壓縮量(沉陷量) 愈大。

接著，我們將四種土壤的各變數的平均數、標準差及樣本的個數 列於表 1.7。

表 1.7 按土壤分類的各變數的平均數與標準差統計表

SM SC ML CL Total

總樣本數 135 105 85 205 530

單位重

x

₁

平均數 標準差 樣本數

14.4130 1.72198

128

14.3988 1.84936 100

14.3571 1.76651

82

14.6256 1.44111 198

14.4841 1.65205 508

比重

x

₂

平均數 標準差 樣本數

2.6681 .04606 127

2.6642 .05285 96

2.6651 .04666 76

2.6595 .04814 196

2.6635 .04833 495

含水比

x

₃

平均數 標準差 樣本數

15.6171 6.53974

126

16.9127 5.50791

95

19.7421 5.90549

82

19.6422 6.42098 197

18.1257 6.44127 500

孔隙比

x

₄

平均數 標準差 樣本數

.8415 .23951 130

.8257 .21395 93

.8394 .22134 78

.7872 .16739 192

.8170 .20674 493

液性限度

x

₅

平均數 標準差 樣本數

32.4115 8.58739

74

33.0929 8.43922 104

34.6328 7.14413

80

32.5629 6.30941 196

33.0243 7.39768 454

塑性限度

x

₆

平均數 標準差 樣本數

26.7281 6.49837

72

21.3967 5.89718

97

8.0877 4.50078

82

12.3684 4.58030 193

15.8788 8.33682 444

粗粒含量

x

₇

平均數 標準差 樣本數

67.7007 12.22849

135

67.4551 12.44589

105

30.1018 13.51497

85

28.8339 14.23311

205

46.5887 23.26937

530

細粒含量

x

₈

平均數 標準差 樣本數

32.3898 12.31179

135

31.8915 11.16659

105

70.1506 12.34065

85

71.1959 14.25214

205

53.3569 23.18853

530

滲透係數

x

₉

平均數 標準差 樣本數

8909.74 16709.99

128

13529.87 15500.94

98

10607.23 19368.05

79

2380.89 5753.65 192

7568.36 14477.48

497 最大乾密度

x

₁₀ 平均數 17.3302 17.4652 16.3867 17.1621 17.1481

標準差 樣本數

1.22681 125

1.48951 100

1.15555 75

1.08402 189

1.26728 489

最佳含水量

x

₁₁

平均數 標準差 樣本數

15.4122 3.63696

119

16.1684 3.29759

98

19.2004 4.20620

76

15.7679 2.87691 193

16.3095 3.62317 476

無圍壓縮強度

x

₁₂

平均數 標準差 樣本數

39.5724 33.41072

127

40.2216 26.01489

98

71.6864 52.68898

81

81.2362 61.36296

194

61.0677 51.90607

500

內摩擦角

x

₁₃

平均數 標準差 樣本數

30.8982 8.79981

125

31.0726 5.64565

94

28.5009 6.95327

80

27.8179 6.56201 195

29.3272 7.23878 494

壓縮指數

x

₁₄

平均數 標準差 樣本數

.1571 .06861

126

.1999 .06174 92

.1947 .06905 81

.2052 .06770 194

.1902 .06975 493

由表 1.7 可初步看出下面幾個情形，首先是土壤資料中的遺漏值 (missing value)還有點多，其中最多的是粉土質砂(SM)，在 135 筆土 壤資料中，竟然有 61 筆的土壤資料沒有液性限度值，另外有 63 筆的 土壤資料的塑性限度值也沒有。接著由平均數的部分可知，SM、SC、

ML、CL 四種山坡地土壤平均數有明顯差異的變數有塑性限度(

x

₆)、

粗粒含量(

x

₇)、細粒含量(

x

₈)、滲透係數(

x

₉)、無圍壓縮強度(

x

₁₂)，另 外由標準差的部分可看出，SM、SC、ML、CL 四種山坡地土壤的標 準差有明顯差異的變數有滲透係數(

x

₉)、無圍壓縮強度(

x

₁₂)，內摩擦 角(

x

₁₃)。

1.5 研究的方法與流程

本論文將先由 14 個變數(單位重、比重、含水比、孔隙比、液性 限度、塑性限度、粗粒含量、細粒含量、滲透係數、最大乾密度、最

佳含水量、無圍壓縮強度、內摩擦角、壓縮指數)的初步分析與檢定，

圖 1.4 分析流程圖

找出有區別能力的變數後，再用統計區別分析(discriminant analysis) 及分類樹(classification tree)兩種方法，建立分類法則，將土壤分為粉 土質砂(SM)、粘土質砂(SC)、低塑性粉土(ML)、低塑性粘土(CL)四種。

再將結果與實際所屬的土壤類別對照，以計算錯誤分類的機率，最後 再做效度的驗證及結果的比較。我們將本論文的分析過程，用軟體 Microsoft Office Visio 2003 畫成流程圖如圖 1.4 所示。

第二章 區別分析理論

在本章我們將介紹本論文的主要研究方法-區別與分類分析的理 論背景，區別分析(Discriminant analysis)就是在資料類別已知的情況 下，根據樣本建立一個好的分類法則，使得原始樣本被分類到錯誤類 別的機率愈低愈好。而分類分析(Classification analysis)則是用區別分 析所建立的分類法則來歸類(allocate)新的觀察值。

在 2.1 節將先介紹一些區別分析常使用的專有名詞及三個同等的 (equivalent)分類法則，而在 2.2 節與 2.3 節則介紹兩種常用的古典區 別分析法，他們分別為線性區別法與二次區別法，最後在 2.4 節將介 紹錯誤率(Error rate)的計算。

2.1 分類法則(classification rule)

已知有 N 個母體或 N 個類別(classes or categories)，用 ₁、 ₂、 L 、 _N代表。而

R

₁、

R

₂、L 、

R

_N為 N 個互斥的區域，且它們的聯集 等 於 樣 本 空 間 。 分 隔 這 些 區 域

R

_i 的 邊 界 稱 為 決 策 表 面 (decision surfaces)。如下圖所示：

R

1

R

2

R

3

R

4

決策表面

(decision surface)

所謂決策法則(decision rule)就是一種法則，當物件(object)的測量值

1 2

p

x x x

x

M 屬於區域

R

_i時，則將此事物歸類(allocate)到第

i

個母體 _i。也

就是

Allocate

x

to _i if

x R

_i.

而區別分析就是要根據樣本資料建立一個分類法則(區別函數)，使得 錯誤分類的機率愈小愈好。

在介紹分類法則的建立前，我們先介紹以下 5 個名詞的意義:

1. 先驗機率(Prior probability) ( )

the prior probability that an object is from population , 1, 2, , .

i i

i

p P

i

L

N

先驗機率

p

_i就是物件來自第

i

個母體 _i的機率。

p

_i值的取得，有 時是根據已知母體所佔的比例，有時是依據自己的判斷，後者

p

_i的決 定是相當主觀的，若實在不確定

p

_i該取多少時，我們可令 1

p

i

N

。 2. 錯誤分類的機率(The probability of misclassification)

( ) ( )

( ) ( )

k

k i

k i

R i

P k i P classifying an object as P x R

f x dx

錯誤分類的機率 (

P k i 就是在給定物件來自於第

)

i

個母體 _i的條

件下，卻將物件錯誤分類到第 k 個母體 _k的機率。而

f x

_i( )代表

x

在第

i

個母體的機率密度函數。

3. 錯誤分類的成本(The cost of misclassification)

( ) the cost of allocating an object to _k when it belongs to _i

c k i

錯誤分類的成本 (

c k i 就是在給定物件來自於第

)

i

個母體 _i的條 件下，卻被錯誤分類到第 k 個母體 _k所花費的成本。

4. 期望錯誤分類的成本(Expected cost of misclassification, 簡稱

ECM)

1 1 1

( ) ( ( ) ( ))

N N N

i i

i i k

k i

ECM p ECM i p P k i c k i

( ) conditional expected cost of misclassifying an from into for all

i k

ECM i x

k i

期望錯誤分類的成本 ECM 就是將物件來自第

i

個母體的機率

p

_i 乘以

ECM i 的總合，其中

( )

ECM i 表示在給定第

( )

i

個母體 _i的情況 下，卻被錯誤分類到其他母體 _k, k

i 時，我們所期望花費的成本。

5. 後驗機率(Posterior probability)

1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

i i i i

i N

i i

i

P x P f x p

P x

P x f x p

後驗機率 (

P

_i

x 就是已知物件的測量值為

)

x

時，將此物件歸類到 第

i

個母體 _i的機率。

接下來我們將介紹三個分類法則(classification rule)：

法則 1：最小 ECM 分類法則(Minimum ECM classification rule)

1

( ) ( )

N

k i i

i i k

Allocate x to if p f x c k i is smallest

由理論証明可知，當

1

( ) ( )

N i i i i k

p f x c k i 最小時，期望錯誤分類的成

本 ECM 會最小，所以最小 ECM 分類法則就是當

1

( ) ( )

N i i i i k

p f x c k i 最小

的時候，將物件歸類到第 k 個母體 _k。若算出的

1

( ) ( )

N i i i

i k

p f x c k i 有兩

個相同的時候，就隨便分到其中一母體。

法則 2：錯誤分類成本相等時的最小 ECM 分類法則(Minimum ECM classification rule when equal misclassification cost)

1

( )

( ) ( )

N

k i i

i i k

k k k i i

Allocate x to if p f x is smallest

Allocate x to if p f x p f x for all i k

不失一般性，可假設所有的 (

c k i

) 1，由於

1

( )

N i i i

p f x 的總和固

定，當

1

( )

N i i i i k

p f x 最小，表示 p f x

_{k k}( )最大。所以當錯誤分類成本相同

時，分類法則 1 與 2 是同等的。

法則 3：最大後驗機率分類法則(Maximum posterior probability rule) _k ( _k ) ( _i )

Allocate x to if P x P x for all i k

最大後驗機率分類法則就是在已知物件的測量值為

x

時，將此物

件歸類到第 k 個母體 _k的機率，如果大於將此物件歸類到其他母體

i,

i k

的機率時，則將此物件歸類到第 k 個母體。因為

1 1

( ) ( )

( ) and ( )

( ) ( )

k k i i

k N i N

i i i i

i i

p f x p f x

P x P x

p f x p f x

( _k )

P x P

( _i

x for all i

)

k p f x

_{k k}( )

p f x for all i

_{i i}( )

k

， 因此分類法則 2 與 3 是同等的。

2.2 線性區別法

2.2.1 兩個變異數共變數矩陣相等的常態母體的分類

(Classification of two normal populations when _{1 2} )

1 2 1

p

P

X X X

X

令 M ，假設在母體 ₁中，

X

~

N

_p( ₁, )，另外假設在母

體 ₂中，

X

~

N

_p( ₂, )，所以 X 在兩個母體的機率密度函數為

1 1

2 2

1 1

( ) exp ( ) ( ) , 1, 2 (2 ) 2

T

i p i i

f x x x i

，

根據分類法則 1：最小 ECM 分類法可得

1 1 1 2 2

( ) (2 1) ( ) (1 2)

Allocate x to if p f x c p f x c

， 相當於

1 2

1

2 1

(1 2) ln ( ) ln

( ) (2 1)

f x c p

Allocate x to if

f x c p

。

將

f x

₁( )、

f x

₂( )代入上式可得

1 1 2

1 1 2 2

1

(1 2)

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ln

2 2 (2 1)

T T

c p

x x x x

c p

經過一些的代數運算，我們可以得到下面的結果

0 1

Allocate x to if

1 1 2

1 2 0 1 2 1 2

1

(1 2) ( ) 1( ) ( ) ln

2 (2 1)

T T

c p

x c p

。

在實務上，通常母體平均向量 ₁、 ₂及變異數共變數矩陣 是未知 的，所以我們用樣本平均向量 ₁

1 p

x 、

₂

1 p

x 及樣本變異數共變數矩陣

1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1) ( 2)

pooled p p

n S n S

S n n

來估計。其中

1 1

2 2

1 1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

2 2 2 2 2 2 2

1 1

2 2

1 1

, ( )( ) , 1

1 1

, ( )( ) ,

1

n n

T

j j j

j j

n n

T

j j j

j j

x x S x x x x

n n

x x S x x x x

n n

因此兩個變異數共變數矩陣相等的常態母體的分類的估計的最小

ECM 分類法則為

0 1

Allocate x to if

1 1 2

1 2 0 1 2 1 2

1

(1 2)

( ) 1( ) ( ) ln

2 (2 1)

T T

pooled pooled

c p

x x S x x x S x x

c p

。

令

1

0 1 2 0

ˆ ( )^T _pooled

y x x S x

1

1 2 1 2

ˆ 1( ) ( ) 2

T pooled

m x x S x x

若假設先驗機率相等

p

₁

p

₂，錯誤分類成本也相等 (1 2)= (2 1)

c c

，則

2 1

(1 2)

ln ln(1) 0 (2 1)

c p

c p

，

因此，估計的最小 ECM 分類法則可簡化成

0 1 0

0 2 0

ˆ ˆ

ˆ ˆ

Allocate x to if y m Allocate x to if y m

由於 ˆy₀是

x

₀的線性函數，所以分類法則也被稱為線性區別法。若只假 設 (1 2)

c c

(2 1)時，

2

0 2 1

1

ˆ ˆ ln

p

ln ln

y m p p

p

也就是

1 1

1 2 0 1 2 1 2 2 1

( ) 1( ) ( ) ln ln

2

T T

pooled pooled

x x S x x x S x x p p ，

將上式左邊展開後，經過消去及移動得到

1 1 1 1

1 0 1 1 1 2 0 2 2 2

1 1

ln ln

2 2

T T T T

pooled pooled pooled pooled

x S x x S x p x S x x S x p ，

令左式為

d x

ˆ ( )_{1 0} ，右式為

d x

ˆ ( )_{2 0} ，所以估計的最小 ECM 分類法則亦可 寫成

Allocate x

₀ to ₁ if

d x

^ˆ₁( )₀

d x

^ˆ₂( )₀ 。

2.2.2 g 個變異數共變數矩陣相等的常態母體的分類

我們將 2.2.1 節兩個變異數共變數矩陣相等的常態母體分類法則

推廣到 g 個變異數共變數矩陣相等的常態母體，

_k

Allocate x to if

1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ

the linear discriminant score

d x

_k( ) the largest of ( ),

d x d x

( ),L ,

d

_g( )

x

上面

1 1 1

ˆ ( ) ln , 1, 2, , 2

T T

i i pooled i pooled i i

d x x S x x S x p i

L

g

。

將物件的測量值 x 歸類到第 k 個母體 _k，如果線性區別分數

d

ˆ x_k( )是 最大 的。為什麼將 x 歸 類到 _k 如果

d

ˆ x_k( ) 最大 ?理由 是若將每個

) ˆ ( , ), ˆ ( ), ˆ (

2

1

x d x d x

d

_g 都減去

x

^T

S

_pooled¹

x

2

1 ，則

1

1 1 1

2

ˆ ( ) ˆ( ) 1 2

1 1

ln

2 2

1 ( ) ln 2

T

i i pooled

T T T

i pooled i pooled i pooled i

i i

d x d x x S x

x S x x S x x S x p

D x p

其中

2 1

( ) ( _i)^T ( _i)

i pooled

D x x x S x x 。

如果估計的線性區別分數 ˆ ( ) 1 ²( ) ln

k 2 k k

d x D x p 的值最大，我們將

物件的測量值 x 歸類到第 k 個母體 _k，又因為

D x 代表

_i²( )

x

到樣本平 均向量

x

_i距離的平方，

D x 值愈小，則 x 到樣本平均向量

_i²( )

x

_i距離就 愈近，若 x 距第 k 組的中心(樣本平均向量)

x

_k最接近，則將 x 歸類到 第 k 個 母 體 _k ， 距 離

D x 愈 小 ， 估 計 的 線 性 區 別 分 數

_k²( )

1 2

ˆ ( ) ( ) ln

k 2 k k

d x D x p 會愈大。

2.3 二次區別法

2.3.1 兩個變異數共變數矩陣不相等的常態母體的分類 (Classification of two normal populations when _{1 2})

1 2 1

p

P

X X X

X

令 M ，假設在母體 ₁中，

X

~

N

_p( ₁, ₁)，另外假設在母

體 ₂中，

X

~

N

_p( ₂, ₂)，所以 X 在兩個母體的機率密度函數為

1 1

2 2

1 1

( ) exp ( ) ( ) , 1, 2 (2 ) 2

T

i p i i i

i

f x x x i

，

由於是兩個變異數共變數矩陣不相等的常態母體的分類，所以不適用 線性區別法來分類。我們需重新推導分類法則，根據最小 ECM 分類 法則可以得到下式：

1 2

1

2 1

(1 2) ( )

( ) (2 1)

f x c p

Allocate x to if

f x c p

，

相當於

1 2

1

2 1

(1 2) ln ( ) ln

( ) (2 1)

f x c p

Allocate x to if

f x c p

，

將

f x

₁( )與

f x

₂( )兩密度函數代入上式得到