第三節第三節 幾何推理發展的相關研究幾何推理發展的相關研究幾何推理發展的相關研究幾何推理發展的相關研究
本研究中探討不同縣市、年級、性別之國小學生在幾何推理能力表現上是否有所 差異。然而儘管國內外有關數學推理的研究幅員廣闊，且理論推理為數不少，但國內 與本研究較為相關的幾何推理之研究僅有杞昭安（1996）和何敏華（2006）兩篇，本 節當中除了整理這兩篇文獻之外，也將國內外近十年有關數學推理之相關研究進行統 整討論，為了方便資料蒐集，將其整理如表 2-2。
杞昭安（1996）在學前兒童圖形推理的研究中，抽取公私立幼稚園及托兒所三歲 至五歲半兒童，共 805 人為研究對象，利用兒童認知發展測驗為研究工具，所得資料 以 SPSS PC+ V5.0 的相關分析、二因子變異數分析、單因子變異數分析、積差相關進 行資料處理。研究結果顯示，不同年齡和不同區域兒童的圖形推理能力有顯著差異，
年齡方面，圖形推理能力隨著年齡的增加而呈直線遞增趨勢呈直線趨勢；區域方面，
則是鄉鎮兒童的圖形推理能力優於城市兒童。但在性別的研究顯示，不同性別兒童的 圖形推理能力沒有顯著差異。然而此結果是否適用於現階段國小高年級學生，有待研 究者進一步探討。
而何敏華（2006）在四邊形包含關係的推理研究中，採立意取樣，選擇國中一年 級下學期的學生 4 人，藉由遊戲競賽「四邊形的獵捕」的方式，透過觀察記錄、資料 的整理，並分析原案的對話，發展學生在四邊形包含關係上的辯證。研究結果發現學 生可非形式的推論與理解長方形也是平行四邊形、長方形是平行四邊形的一個特例、
正方形的集合包含於平行四邊形中，學習者在活動中，充分展現了數學論證、推理和 溝通的技巧。但學生會受長方形字面意義的影響，認為長方形長寬應該是一邊長、一 邊短，因此有「正方形不是長方形」的迷思。此結果雖然僅止於四邊形的包含關係，
但仍可作為研究者在出題時參考的依據，並與本研究的研究結果互相對照。
表 2-2 國內外數學推理之相關研究 Halat(2006) Sex-Related Differences In The Acquisition Of
The Van Hiele Levels And Motivation In Learning Geometry
van Hiele 幾 Halat(2008a) Pre-Service Elementary School and Secondary
Mathematics Teachers’ Van Hiele Levels and Gender Differences
van Hiele 幾 何推理層次
Halat(2008b) In-Service Middle and High School Mathematics Teachers: Geometric Reasoning Stages and Gender
van Hiele 幾
除了以上這兩篇文獻，還有眾多數學家對於數學推理能力做了許多貢獻，足以作 為本研究之參考，研究者將諸位學者發現整理如下。
學生的推理能力是否會因為地區的差異而有所不同？杞昭安（1996）認為，不同 地區學前兒童的圖形推理能力有顯著差異，且鄉鎮兒童的圖形推理能力則優於城市兒 童。
學生的年級越高，代表接受數學課程的經驗也越多，然而學生的推理能力是否會 因為接受了教師的教學而有所差異？國外學者 Halat（2006）選取 150 位國小六年級學 生（其中有 66 位男生和 84 位女生）實施以 van Hiele 為理論基礎的數學課程，並利用 自編的多選題幾何測驗進行前、後測，研究結果顯示男生、女生後測的平均數均比前 測的平均數高。
而馬秀蘭（2007b）在實務推理的研究中，利用「自然觀察」法，透過網路觀察臺 中縣某國小五年級二班的 24 位學生，在討論版進行「週休二日任我行」主題的解題活 動，並以學生在網路討論版之解題推理，做為研究的主要資料。研究結果發現到大部 分學生習慣做「基本的思考」，而較好的推理者傾向「批判性思考」和「創造性思考」，
且學生在非數學思考過程中之推理，大多傾向個人對問題之價值觀，因此教師須透過 提問相關之問題情境，適時給予學生實物推理之引導，幫助學生進行五段式推理捷思 之思考，創造實物推理之經驗。由以上兩位學者的研究中均認為，教師的教學能夠提 升學生的推理能力。
除此之外，杞昭安（1996）和江淑卿（2007）認為年齡也會造成學生在推理能力 上的差異。杞昭安（1996）認為不同年齡的學前兒童在圖形推理能力有顯著差異，隨 著年齡的增加而呈直線遞增趨勢。而江淑卿（2007）為了探討受測者邏輯推理的能力 表現及推理反應的差異，採立意取樣，選取屏東縣大班、三年級及五年級的學生，共 227 人為受測對象，利用自編的「三段論分測驗」及「關聯邏輯分測驗」，以 SPSS 的 二因子變異數分析進行考驗，配合臨床晤談記錄。研究結果顯示，兩份分測驗皆隨年
齡增加而提高。此外，大班、三年級的學生在圖畫題表現比語文題佳，但五年級學生 在圖畫題和語文題的表現無差異，此研究結果代表愈高年級的學生愈不會因出題方式 的不同（圖畫題或語文題）而影響其推理能力的表現。
至於性別對於學生推理能力的表現是否有差異？杞昭安（1996）在學前兒童圖形 推理的研究中認為不同性別兒童的圖形推理能力沒有顯著差異。而 Halat 針對性別這 個項目也做了多次的研究，Halat（2006）研究國小六年級學生，結果顯示不同性別的 學生在幾何思考層次上以及幾何的學習上均沒有顯著差異。Halat（2008a）也選取 281 位職前教師為受測對象，其中有 125 位國小教師和 156 位國中數學教師，利用自編的 多選題幾何測驗，以獨立樣本 t 檢定對性別進行考驗。研究結果顯示：（一）國小教師 和國中數學教師在幾何推理層次上沒有顯著差異。（二）不同性別的國中數學教師在幾 何推理層次上有顯著差異，且男性優於女性。（三）不同性別的國小教師在幾何推理層 次上沒有顯著差異。
除此之外，Halat（2008b）又選取 148 位現職國中及高中數學教師為受測對象，
同樣的利用自編的多選題幾何測驗，以獨立樣本 t 檢定進行考驗，再度探討性別差異 是否會影響其幾何推理層次。研究結果顯示，國中教師和高中數學教師在幾何推理層 次上沒有顯著差異，且不同性別的國中及高中數學教師在幾何推理層次上也沒有顯著 差異。然而比較 Halat（2006，2008a，2008b）多次研究中，研究者發現除了不同性別 的國中的職前數學教師在幾何推理層次上有顯著差異外，其他的結果均顯示性別不會 影響幾何思考層次以及學生在幾何方面的學習。
此外，有多位學者（馬秀蘭，2008a，2008b；黃萬居、邱文鈞、江帷銓，2007）
認為推理能力較好的學生在其他數學能力方面的表現也較為優秀。馬秀蘭（2008a）在 樣式推理的研究中，利用南投縣與臺中市 40 位國小高年級的學生，在討論版進行 8 題線性圖形樣式題（包含圖形題和數字題）的解題活動。利用持續比較、三角交叉以 及訪談法，透過網路觀察學生所進行的樣式推理，以及學生在網路討論版解題之內容
及訪談記錄，做為研究的主要資料。研究結果發現，當以圖形樣式活動去啟蒙學生進 入代數文化時，學生將圖形轉換到數字樣式的方式會影響其樣式能力與代數思考。「學 生直接由圖形中找尋差距」比「學生立即將圖形轉化為數字再找尋差距」較容易達到 較高的解線性圖形樣式題能力層次。若學生是以「幾何趨近」的轉換法解題，則有助 於樣式能力提昇及代數思考產生。在她（2008b）的研究中更發現，學生若能用幾何圖 形結構之間的關係來辨認樣式，則有助於圖形樣式思考層次的提升及代數知識的建造。
而黃萬居、邱文鈞、江帷銓（2007）採方便取樣，研究臺北縣某國小四年級一個 班級學生 32 名，探討黑白棋遊戲積分與學生之推理能力的相關性。研究採量為主，質 為輔的方法，在量的部分，研究工具是瑞文氏非文字推理測驗（SPM），利用 SPSS 分 析比賽積分與測驗分數間之積差相關。在質的部份，內容分析學生所填寫的「棋手解 題過程學習單」及「黑白棋謎題測驗」，探討棋手在解題過程中所使用到的推理。研究 結果發現，黑白棋遊戲積分的高低與學生的圖形推理呈現顯著的相關性，得知黑白棋 遊戲積分與學生高層次思維能力有關，此外，高低分組具有不同的解題策略，且學生 在類比推理能力上具差異性。
綜合以上發現，儘管國內外有關數學推理的研究為數不少，且多數為理論推理，
但國內有關幾何推理的探討則較少之又少，與本研究較為相關的僅有杞昭安（1996）
和何敏華（2006）兩篇，但這兩篇研究的對象皆不是國小五、六年級。此外，杞昭安 的研究距離現在已超過十年，在此期間，國小數學教育經歷九年一貫課程的重大改革，
現今國小學生幾何推理能力分布情形是如何，有待進一步研究。而何敏華的研究僅在 四邊形的包含關係推理，無法涵蓋國小課程所有教授的幾何形體。因此，基於國內缺 乏國小五、六年級學生幾何推理的研究，幾何推理的研究有它的價值，因而本研究朝 此方向前進，期望能對學生之幾何推理分布情形做有效的討論，以補數學教育在此方 面研究之不足。