第一章 第一章
第一章 緒論 緒論 緒論 緒論
本研究主要是以 Coles & Robinson（1989）和 Krulik & Rudnick（1993, 1999）所 提出有關推理思考層次，並配合 van Hiele 幾何思考層次為理論基礎，來探討臺灣中部 地區國小五、六年級學生在 van Hiele 幾何推理層次發展之情形。本章共分為四節，分 別來探究本研究的研究動機與目的、待答問題、名詞定義與研究限制。
第一節 第一節 第一節
第一節 研究動機研究動機研究動機 研究動機
當你問：「學數學到底要學什麼呢？」以實用性來看，得到的答案是學會數學算術 計算，再加上一點點的幾何與代數。但對大多數的學生來說，在考試至上的氣氛薰陶 之下，認為數學這個科目充滿著許多困難的計算和難懂的公式，懼怕與排斥數學，因 此他們大多認為學數學是背誦及套用公式，做各種（複雜）的計算。
然而做了這麼多複雜的計算之後，學生的數學能力究竟是如何呢？周筱婷（1995）
認為我國的學生在數學方面，優於計算、記憶，卻劣於推理、解題。此外，李源順、
王美娟、蘇意雯與陳怡仲（2009）提到雖然我國歷年來在 TIMSS 的成就或素養表現都 非常優異，但是從 TIMSS 的個別試題表現，仍有許多試題的表現不如理想。像是臺灣 在參與國際教育成就之 TIMSS 2003 試測中，小學四年級學生在「推理」試題表現最 差，平均通過率僅有 43.3%（林碧珍、蔡文煥，2003），或者在 TIMSS 2007 的試題中，
有許多的推理及解題性知識的問題，而學生的答對率不高（李源順等，2009）。可見臺 灣學生對於數學能力的養成偏重於數學公式的記憶與計算過程的訓練，忽略了解題、
推理思考能力的訓練。
早在 1993 年教育部所公佈的國小數學課程標準中便強調：必須將數學視為推理
（教育部，1993）。數學推理是數學的核心，也是數學的基礎。許多國家的數學教育家 認為，在數學教育中，教學生進行邏輯推理的方法，讓他們自己推理出某種結構的教
學比單純告訴他們結論還重要，中國有句古話說：「授之魚不如授之以漁」，意思就是 給一個人一些魚不如教他捕魚的方法。這個道理在當代數學家和教育家引起了共鳴，
而 1993 年國小數學改革就是以這個口號來支持它改革的宗旨。
美國數學教師協會 National Council of Teachers of Mathematics（NCTM, 2000）也 提出推理是學生離開教室及進入真實世界必須跟隨之主技能。把看似無意義的「資料
（data）」加以分析整理，讓它成為有意義的「資訊（information）」，這是推理的能力，
推理思考是指對某些已知的跡象，根據邏輯的原則循序推尋可能導致的結果。因此推 理思考活動是一種尋求因果關係的心理歷程。Coles 和 Robinson（1989）認為推理思 考是一種同時具備批判性思考和創造性思考的思考模式。而 Krulik 和 Rudnick（1993, 1999）則表示推理是思考的一部分，並指出推理是思考的歷程中，高於回憶（recall）
的層次，分為三個層次，從較低層次的基本的（basic）思考，到較高層次的批判性
（critical）思考、創造性（creative）思考。而數學是最能訓練學生推理思考和尋找規 律能力的素材（吳德邦與馬秀蘭譯，2009a，2009b；馬秀蘭與吳德邦譯，2009a，2009b）。
法國數學家何密得曾提到：「在一團亂糟糟的事物中，一條小小規律的察覺，宛如 黑暗中摸索時的一線光明，常引導我們到達新的數學天地。這份經過『柳暗花明又一 村』帶來的喜悅，就是許多學者窮盡畢生之力，研究純粹科學的內在動機。」（黃敏晃，
2000）。這就是數學具有吸引力的原因，它能夠引導學生進行奇妙的推理，推理的培養 讓學生由死記解題過程轉為以理解來解題的方式，在小學數學教育中具有極重要的作 用。
近年來，家長對學習數學的想法已漸有改變，從早期由於考試領導學習，因此解 題只看答案的對錯，不計較答案的來源，到現在漸漸開始認同學數學必須用推理尋求 數與形的規律及過程，且將它看成是學習數學的重要方式（曹亮吉，2003）。而教育部
（2000）所公佈的九年一貫課程在數學科的分段能力指標中，加入了「連結」這個新 主題，就是為了培養學生能夠運用推理的方法達到解題的能力。李源順等人（2009）
為避免連結的主題時常被忽視，更進一步建議在各個年級都增加「連結」這項能力指 標，以增加學生解題的經驗。TIMSS 2007 的數學評量架構在認知領域部份四年級和八 年級都分為知道、應用與推理等三個面向，隨著年級愈高，評量推理的百分比從 20%
提高到 25%(李源順等，2009)。美國麻省理工學院（MIT）將其教育的終極目標區分 為三個層次：推理（reason）、知識（knowledge）與智慧（wisdom），並將其充份的表 現在課程的安排上（林之平、李仙美與林榮泰，2005）。以上種種均顯示出推理能力愈 來愈受到大家的重視。
檢視我國的數學課程發展，幾何和代數是數學的兩大領域，在我們生活的真實世 界中，則處處充滿了幾何形體，這些幾何形體以平面或空間形式放置著或移動著。例 如：長方形的門和窗、三角形的拉環依固定的間隔排列，掛在車廂的半空中、臉上的 圓形眼鏡等等。自然界中，也到處充滿著幾何形體，如行星的橢圓軌道、蜂巢的六角 形，都和平面、空間的幾何有密不可分的關係。也就是說，我們時時刻刻都與幾何同 在。Freudenthal（1973）亦表示：「幾何乃研究空間中的形狀和空間關係，它提供兒童 聯結數學與真實世界一個最佳機會。」因此，幾何不但是數學教育中的重要課題，而 且也是較易學習、較有趣的教學單元（教育部，2003）。
教育部（2000）在《國民中小學九年一貫課程暫行綱要－數學學習領域》的基本 理念中也開宗明義提到：「我們週遭的自然與社會環境中，到處可見數與形，而各種數 與形都有一些規律；而數學探討的就是這一些規律。」數學課程目標第一條即為「掌 握數、量、形的概念與關係」。教育部（2003）頒布的國民中小學九年一貫課程綱要中 明訂數學學習領域的內容為「數與量」、「幾何」、「統計與機率」、「代數」和「連結」
五大主題，足見幾何課程在數學教學中的重要性。
NCTM 除了明定了幾何在數學課程中的重要性：改善空間能力、發展其他數學概 念的橋樑與基礎、學習解題思考的最佳問題來源（周淑惠，1995）。並在學校數學課程 與評量標準（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics）中指出，培
養幾何能力有助於有條理的表示與敘述世界上的事物（NCTM, 1989）。同時，NCTM
（1989）課程標準中，明確指出在幾何主題中，所有的學生必須能：(1)辨識、描述、
比較、仿作、繪製並分類二維及三維之幾何形體；(2)發展空間感；(3)操作研究並預測 圖形經過組合、分解及各種變化之後的結果；(4)理解、應用並推論幾何形體的性質及 其關係，包含全等與相似；(5)發展幾何的應用，作為一種描述並模式化自然世界的方 法；(6)將幾何概念與數字及測量等概念相連結；(7)能在實際生活中辨識並欣賞幾何形 體。數學教育的主要目標是要發展兒童的數學推理及思考能力，使其能夠應用所學的 數學知識和技能來解決在實際的生活中所遭遇的問題情境（NCTM, 2000）。因此小學 的幾何教學，除了盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何 形體與其性質之外，更要加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾 何的教學，打下良好的基礎（教育部，2003）。
荷蘭數學教育家 van Hiele 夫婦在 1956 年則綜合完形心理學和皮亞傑認知心理學 的論點，研究個體幾何思考層次的發展，共同提出兒童幾何思考的發展層次 van Hieles 模式（van Hiele, 1986），提供小學及中學教師教學前瞭解學生起點行為之參考。Van Hiele 的理論享譽國際，早在 1960 年代蘇俄的教育學家就有興趣於 van Hiele 模式，並 且基於此模式執行了一個廣大的研究，其終極目的在於改進他們學校的幾何課程（Fuys, Geddes & Tischler, 1988）。根據吳德邦（1998）指出其層次分為(1)視覺的（visual）；(2) 描述的（descriptive）；(3)理論的（theoretical）；(4)形式邏輯的（formal logic）；(5)邏輯 法則本質的（the nature of logical lows）（吳德邦，1999，2000b，2004；吳德邦、陳姿 良、馬秀蘭、紀小玉，2009）。
van Hiele 認為幾何思考的發展是與教學因素有關，當學生的能力提升時，思考層 次便會依序地從一個層次移動下一個層次。van Hiele 有關兒童幾何概念發展的理論對 課程都有很大的影響，1993 年起實施的國小數學新課程與 2000 年的九年一貫課程，
在幾何教材的發展順序，即是以 van Hiele 理論為主軸，亦與皮亞傑對七至十二歲具體
運思期兒童的認知發展論點相合（吳德邦，1999；譚寧君，1993）。因此，van Hiele 在幾何課程中佔有一席之地。
基於以上論述，研究者深覺幾何推理在國小數學領域中的重要性，但由於國內相 關 van Hiele 之研究皆顯示國小學童之幾何思考大多介於層次一至三之間（吳德邦，
1999，2000b，2004；林軍治，1992；劉好，1993；Ma & Wu, 2008; Wu & Ma, 2006, 2009, 2010）。大部分中、高年級生對基本幾何圖形概念能達層次二，但只有高年級生能達層 次三（Wu & Ma, 2006, 2009, 2010）。因此本研究以國小五、六年級學生為研究對象，
採用問卷調查，研究臺灣中部地區國小五、六年級學生在幾何推理之發展情形。測驗 工具則依據 Coles & Robinson（1989）和 Krulik & Rudnick（1993, 1999）有關推理的 內涵，以其思考層次的關係與層次，並配合 van Hiele 幾何思考層次理論、Fuys, Geddes
& Tischler（1988）提出針對 van Hiele 幾何思考層次的描述（吳德邦、謝翠玲，1998；
吳德邦、李奇荃、馬秀蘭與李懿芳，2009；吳德邦、馬秀蘭與李懿芳，2007；吳德邦、
馬秀蘭與藍同利，2006a，2006b；吳德邦、陳姿良、馬秀蘭與紀小玉，2009），來編擬 本研究中發展的「van Hiele 非形式幾何推理測驗」，用以瞭解國內國小五、六年級學 生幾何推理發展情形，提供國小五、六年級教師課程計畫實施之參考。
第二節第二節
第二節第二節 研究目的與研究目的與研究目的與研究目的與待答問題待答問題待答問題待答問題
第二節第二節 研究目的與研究目的與研究目的與研究目的與待答問題待答問題待答問題待答問題