2006，2005）所蒐集而來的。本文乃為該計畫之部份成果，由於研究者本身為該研究 計畫之助理研究員，故本文使用分析的資料，乃經由該計畫主持人同意之後使用。以 下分述各節之內容。
第一節第一節
第一節第一節 研究對象研究對象研究對象 研究對象
本研究主要是以紙筆測驗為主，針對 van Hiele 所提出的幾何思考模式，並參照國 內外有關幾何推理的文獻來編擬試題，以量的分析來探討臺灣中部地區國小五、六年 級學生幾何推理發展之情形。
本研究的母群體主要是以臺灣中部地區 2009 年第二學期在學的國小學生為主，其 中並不包含私立國小、特殊學校以及特殊班級的學生。預試對象為臺灣中部地區某三 所國小五年級的學生 97 人及六年級的學生 40 人，共 137 人。
正式施測的對象是以臺灣中部地區(A 縣、B 市)，由於經費限制，選取鄰近學校五 年級的學生 328 人及六年級的學生 413 人，全部樣本大小為 741 人，其分配表如表 3-1 所示：
表 3-1 施測樣本分配表
本測驗工具乃依據 Coles & Robinson（1989）和 Krulik & Rudnick（1993, 1999）
有關推理的內涵，以其思考層次的關係與層次，並配合 van Hiele 幾何思考層次理論、
Fuys 等人（1988）提出針對 van Hiele 幾何思考層次的描述來編製（引自吳德邦、馬秀 蘭、陳姿良、許天維，2010）。就劉好（1993）針對國小的教材分析，說明我國的幾何 課程是依 van Hiele 幾何思考模式編排：低年級教材屬層次一（視覺的層次），中年級 教材屬層次二（描述的層次），高年級教材屬層次三（理論的層次）。由於研究對象是 以國小五、六年級學生為主，故僅針對 van Hiele 幾何思考層次理論的第三個層次來編 製，同時並參考市面上流通之數學教科書：康軒版（張淑慧等，2008a、2008b、2009a、
2009b）、南一版（張英傑等，2008a、2008b、2009a、2009b）、翰林版（黃經良等，2008a、
2008b、2009a、2009b）以及幾何推理相關之研究編製而成。
二二
二二、、、、測驗工具編製過程測驗工具編製過程測驗工具編製過程測驗工具編製過程
（
（
（
（一一一一））））初擬試題初擬試題初擬試題初擬試題
依據上述之文獻及參考工具，發展 van Hiele 非形式幾何推理層次之測驗，其中包 含了批判性層次和創造性層次，在批判性層次中分為平面幾何和立體幾何兩部份，而 在創造性層次中則分為平面幾何、立體幾何和包含關係三部份（引自吳德邦、馬秀蘭、
陳姿良、許天維，2010）。試題配合九年一貫課程編製，因此平面幾何的試題範圍涵蓋 三角形、四邊形和圓形等三種基本幾何圖形，但因九年一貫課程中立體幾何部份只出 現直柱體與直錐體，因此研究者在立體幾何的部分僅針對直柱體與直錐體來編擬試 題。而試題的編製為了讓學生方便選答，也為了讓教師方便計算得分，所以採行了四 選一的方式來編纂。
（（
（（二二二二））））試題的修正試題的修正試題的修正試題的修正
本測驗工具是經由多次修正才成為正式工具，茲將這幾次的修正過程分述如下：
1.第一次修正（2009 年 3 月 26 日）
本測驗工具在試題初擬之時，常徵詢臺中教育大學數學教育研究所吳德邦教授之 意見，並予以修正。修正內容如下：
(1) 本份試題的圖形均由研究者自行繪製，在圖形邊、角的代號為 A、B、C、D，教授 認為有些學生對於英文不熟悉，因此建議將選項改為甲、乙、丙、丁，並將代號的 字體放大，增加閱讀試題上的舒適度。如圖 3-1 所示。
【不佳】 【較佳】
圖 3-1 修改圖形中角的代號
(2) 圖形在繪製時，因角度關係，有些會有變形情形產生，教授建議研究者在繪製時要 注意此問題。此外，一個題目要測驗的概念以一個較適當，如下列第 18 題中，研 究者要測試學生是否可從不同樣式的立體圖形中，挑選出不同的類型，因此建議繪 製各種立體圖形時，角度能夠一致。最後，教授建議研究者將圖形改為透視圖，並 在各圖形的底面加上顏色，如此一來，學生看到圖形時較容易判斷該選項為何種立 體圖形。如圖 3-2 所示。
( )18. 下列哪一個圖形與另外三個不同類型？
(1) (2) (3) (4)
修改如下 ( )18. 下列哪一個圖形與另外三個不同類型？
(1) (2) (3) (4) 圖 3-2 修改立體圖形的角度
2.第二次修正（2009 年 3 月 28 日）
本測驗工具除了徵詢教授意見外，同時也請目前於臺中教育大學數學教育研究所 進修之現職教師給予意見修正。修正內容如下：
(1) 將圖形的邊長的標示改到圖形的外面，並增加導引線強調 5 公分的範圍，使學生看 到圖形時較容易理解。如圖 3-3 所示。
【不佳】 【較佳】
圖 3-3 增加圖形的導引線
(2) 試題選項部分，研究者在圖形的顏色以及邊框上加上變化，增加作答難度，但此因 素可能會影響學生作答，以至於產生誤答或錯誤選項集中於該選項，因此建議研究 者出題時，選項的圖形顏色及框線維持一致。如圖 3-4 所示。
( )1. 下列哪個圖形的內角和等於 360 度？
(1) (2) (3) (4)
修改如下 ( )1. 下列哪個圖形的內角和等於 360 度？
(1) (2) (3) (4) 圖 3-4 調整圖形顏色及框線
3.第三次修正（2009 年 4 月 12 日）
本測驗工具也徵詢國小學生的意見。修正內容如下：
(1) 第 3 題：文字部分「圖中總共包含了幾個四邊形？」和「右圖中大大小小總共有幾 個四邊形？」那個說法你比較看得懂？
學生回答第 2 種，因此研究者將所有類似題型都改成第 2 種問法。
4.第四次修正(2009 年 4 月 22 日)
本測驗工具再次徵詢臺中教育大學數學教育研究所教授之意見，並予以修正。修 正內容如下：
(1) 建議將試題中，所有題目敘述到的圖形移到試題的右側，如圖 3-5 所示，以增加試 題版面的美觀。
(2) 第 10 題：文字部分「用二個 可以合成什麼圖形？」此敘述不易理解，如 圖 3-5 所示，修正為：文字部分「把右邊的二個全等的圖剪下來，再重新拼成一個 圖(不能重疊)，可以合成什麼圖形？」
( )10. 用二個 可以合成什麼圖形？
(1)長方形 (2)梯形 (3)平行四邊形 (4)菱形
修改如下 ( )10. 把右邊的二個全等的圖剪下來，再重新
拼成一個圖(不能重疊)，可以合成什麼 圖形？
(1)長方形 (2)梯形 (3)平行四邊形 (4)菱形
圖 3-5 調整題目敘述及排版
(3) 第 11 題：文字部分「將一個等腰三角形對摺，可以變成二個什麼圖形？」，修正為：
文字部分「將一個等腰三角形對摺後剪開，可以變成二個什麼圖形？」
(4) 第 20 題：選項部分過於複雜，讓人難以理解，建議將題目敘述改為條列式，並將 選項內容簡化。如圖 3-6 所示。
( )20. 下列選項何者正確？
(1)正方形是長方形(2)正方形是菱形(3)正方形是梯形(4)正方形 是平行四邊形
修改如下 ( )20. 下面有甲、乙兩句話。
甲：正方形是長方形的一種 乙：正方形是平行四邊形的一種 下面哪一個選項是正確的？
(1)只有甲正確 (2)只有乙正確 (3)甲、乙都正確 (4)甲、乙都不正確
圖 3-6 調整題目敘述方式
(5) 第 31 題：文字部分以及圖片部分均進行修改，文字部分從「彩色筆畫上圖形」改 為「剪刀剪掉斜線區塊」，強調圖形會被挖空。圖片部分則增加圖形立體效果、輔 助線以及用斜線強調剪掉的區塊，讓學生在視覺讓容易閱讀。如圖 3-7 所示。
把一張色紙對摺二次後，用彩色筆在紙上畫出這個圖形
，請問將色紙攤開後，會是什麼圖形？
(1) (2) (3) (4)
修改如下
( )17. 先把一張色紙對摺二次，用剪刀把塗上斜線的部分都 剪掉(如右圖)，請問將色紙攤開後，會是下列什麼 圖形？
(1) (2) (3) (4)
圖 3-7 修改文字敘述及圖形增加輔助線
5.第五次修正(2009 年 4 月 27 日)
本測驗工具再請現職國小教師及教授予以意見修正。修正內容如下：
(1) 建議將有圖片的題目與文字題交錯出現。
(2) 統計四個選項的答案分配是否平均。
(3) 第 2 題：文字敘述「有一堆用小方塊疊在一起的積木，我從右邊看、左邊看都是
，但是從前面看、上面看都是 ，請問這堆積木是下列哪一堆積木？」
由於從左邊看和從右邊看，角度不同所看到的側面也會不同，因此將題目修正為：
「有一堆用小方塊疊在一起的積木，我從前面看、上面看都是 ，但從右邊
看是 ，從左邊看是 ，請問這堆積木是下列哪一堆積木？」如圖 3-8 所 示。
( )2. 有一堆用小方塊疊在一起的積木，我從右邊看、左邊看都是
，但是從前面看、上面看都是 ，請問這堆積木是
下列哪一堆積木？
(1) (2) (3) (4)
修改如下
( )3. 有一堆用小方塊疊在一起的積木，我從前面看、上面看都是
，但從右邊看是 ，從左邊看是 ，請問這堆
積木是下列哪一堆積木？
(1) (2) (3) (4) 圖 3-8 調整題目中有關方向的敘述
三三
三三、、、、van Hiele 非形式非形式非形式幾何推理預試測驗非形式幾何推理預試測驗幾何推理預試測驗幾何推理預試測驗
van Hiele 非形式幾何推理預試測驗題目為 70 題（如附錄二）。研究者依據 Coles &
Robinson（1989）和 Krulik & Rudnick（1993, 1999）有關推理的內涵，將題目分為批 判性層次和創造性層次。其中，多位學者指出批判性思考屬於分析性質，指能聚焦在 一個問題，進而搜集、組織和分析資訊，檢核、連結和評鑑某一情境或問題的各個面 向，然後結合先前已學過的經驗，決定出最合理的答案（吳德邦與馬秀蘭譯，2009b；
馬秀蘭與吳德邦譯，2009b；Coles & Robinson, 1989; Krulik & Rudnick, 1993, 1999），
研究者根據此論點，將 van Hiele 非形式幾何推理預試測驗中具備這些特性的題目歸為 van Hiele 幾何推理層次的批判性層次，以下列舉第 6、8、16 等三題題目詳細說明。
分析圖 3-9 的第 6 題題目，要答對這一題，學生只需知道三角形的內角和為 180 度，再運用減法運算即可得到答案，因此將這一題歸為批判性層次。
( )6.右圖中的角乙是幾度？
(1)50 度 (2)60 度 (3)70 度 (4)240 度 圖 3-9 第 6 題題目
分析圖 3-10 的第 8 題題目，要答對這一題，學生只需知道菱形邊長個數以及周長 的定義即可得到答案，因此將這一題歸為批判性層次。
( )8.有一個菱形，邊長是 7 公分，請問它的周長是幾公分？
(1)7 公分 (2)14 公分 (3)21 公分 (4)28 公分 圖 3-10 第 8 題題目
分析圖 3-11 的第 16 題題目，要答對這一題，學生需知道對角線的定義以及對角 線的畫法才能得到答案，因此將這一題歸為批判性層次。
分析圖 3-11 的第 16 題題目，要答對這一題，學生需知道對角線的定義以及對角 線的畫法才能得到答案，因此將這一題歸為批判性層次。