幾何概念之相關研究

壹、 幾何概念的教學與教材之探討

人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比一般 人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、

對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，對人類大腦輕而易舉，卻是電腦處理 的重大挑戰。因此，幾何不但是數學教育中的重要課題，而且也是較易學習、較 有趣的教學單元。

圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、論 述性的了解。小學教師在從事幾何教學時，最要避免的是來自本身歐氏公設幾何 訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來看，人類是先由應用、

操作、實踐中，認識各種幾何要素與性質，彼此之間並沒有一定的先後關係。歐 氏幾何的價值，首先是對這些先民知識的歸類與整理，其次才是作為知識典範的 演繹系統。

因此小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，

盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，

再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，打 下良好的基礎。(教育部，2003)

在我國的國中小九年一貫課程綱要中將數學領域的幾何分成以下四個階 段，如表 2-4。

表 2-4 國中小九年一貫課程綱要數學領域幾何階段學習表

階段 年級 學習內容

階段一 一到三年級 較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生 對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但 尚不清楚其結構意義。

階段二 四到五年級 由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合

「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形 體的構成要素(如角、邊、面)及其數量性質(如 角度、邊長、面積)。

階段三 六到七年級 透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換 等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算 及非形式化推理。透過方位描述及立體模型 的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。

階段四 八到九年級 開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，

最終目標是學會推理幾何證明，學習內容採 漸進式安排，由基本幾何概念進入較深入的 幾何推理領域中，學習方式最開始可由填充 式推理幾何，慢慢養成完整能力，讓學生有 能力及信心，快樂地學習幾何學領域的知 識。教材內含有認識生活中的平面圖形，如 三角形、四邊形、多邊形、圓形；認識點、

線、角、符號及幾何相關名詞；使用基本性 質描述某一類形體；能以最少性質對幾何圖 形下定義、並熟練定義的相關操作；體會邏 輯概念：包含關係、敘述及逆敘述、推理幾 何；求角度問題、長度問題、面積(表面積) 問題、體積問題；推理證明、尺規作圖、全 等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的 相關性質。

資料來源：修改自教育部 (2003)

貳、幾何概念的學習發展分析

在幾何概念的學習發展之研究，各家學者均有其獨到之理論發展，但是以 van Hiele 的理論最受後界的推崇與廣泛地運用於實務發展，茲將 van Hiele 的理論及

其幾何思考層次介紹如後：

一、van Hiele 的理論

荷蘭數學教育家P.M. van Hiele及Dina van Hiele-Geldof，根據完形心理學的結 構論，以及皮亞傑 (J. Piaget) 的認知理論 (Moline, 1990; van Hiele, 1986)，歷經 多年的研究與努力，在西元1957年發展出幾何思考模式。van Hiele對於兒童在幾 何圖形思考模式的研究上貢獻非凡，足以提供後人在幾何教學或研究上一個重要 的參考方針。

皮亞傑等人認為兒童的空間概念發展主要是與年齡有關 (Piaget, Inhelder, &

Szeminska, 1960)，而相對於這個論點，van Hiele 夫婦提出的兒童幾何思考發展 層次主要的論點認為：幾何的思考有著一定的發展層次，經由教師或引導者適當 的引導，兒童可由較低的思考層次逐步提升到較高的思考層次。van Hiele 主張兒 童之幾何思考模式可以分為五個層次。這些層次是循序漸進，兒童之思考能力到 達某一層次之後，才可以依序發展至下一層次。

van Hiele 的理論，很快的引起一群蘇聯數學教育家的注意，自1960 年代起，

就依據van Hiele 的理論模式，來改革該國國民中小學之幾何課程 (Burger &

Shaughnessy, 1986a; Fuys, Geddes, & Tischler, 1988; Hoffer, 1983; Usiskin, 1982)。

除了蘇聯之外，van Hiele 的理論，在國際間並未受到太多的注意。直到1974年，

美國數學教育家 Wirszup (1976) 才將van Hiele 的理論，首次引入美國，世人才 開始重視該理論，進行一系列相關的研究。

van Hiele 主張，學生幾何概念的發展，是經由「學習歷程」，而非純粹來於 生理的成熟。教師在整個教學過程中，需要幫助學生使其由一個思考層次提升到 另一個層次。為了達到這個目的，除了教師的教學方法之外，學生努力去探索問 題也是相當重要的。當學生直覺地呈現出新的幾何思考層次時，他所獲得的認知 結構已經是與前幾層次完全不同了。

教師的教導對於學生幾何概念的產生，扮演著相當重要的角色。例如：教師

的教學方法正確得當，學生的幾何概念很快就可順利進入更高的層次，反之則不 然。van Hiele (1957) 曾經說：「教師可以引導學生運用觀察的方式暸解幾何結構，

進而了解其中的關係，產生更高層次的思考。」

van Hiele 的觀點與教育心理學者Bruner (1965) 及Dienes (1969) 的教育原理 頗為相似。他認為兒童受語言表達能力的限制，也許他們所認知的幾何概念，無 法以言語明確的表達出來。是故，每一個人對三角形的認知或許有所不同。但是，

經由教師教學的歷程中，可以使學生將其原有的知識結構再一次的重組，進而使 其提昇到更高的層次。

二、van Hiele 的幾何思考層次

依據van Hiele 的理論，學生在教師合適的教學情境之下，其幾何知識的建 構，將循序經歷以下五個階段層次，每個層次有其獨特的發展特徵。分別為層次 一 ： 視 覺 的 (visual) 、 層 次 二 ： 描 述 的 (descriptive) 、 層 次 三 ： 理 論 的 (theoretical)、層次四：形式邏輯的 (formal logic)、以及層次五：邏輯法則本質的 (the nature of logical laws)。玆將這五個層次分述如下：

(一)層次一：視覺的 (visual)

屬於這個階段的兒童藉著視覺觀察各種具體事物，從各種實體物的外形輪廓 來辨認形的概念。譬如，由從前生活經驗中知道長方形是瘦瘦長長的，圓圓的東 西屬於圓形，像門的形狀為長方形，像太陽的形狀為圓形，此階段兒童的思考推 理，受視覺外觀的影響很大。只要在圖形外表特徵差異稍大時，就不會將長方形 看成正方形；或將橢圓形看成圓形。此階段的兒童可以透過具體物的操作，例如 旋轉或移動，就可以辨別圖形之異同，他們可以使用非數學的術語，知道各種圖 形，但是卻無法了解這些圖形的真實意義。教師應多提供各種機會，讓兒童透過 實際的操作，使其憑藉著視覺感官能夠進行圖形的分類、描繪、著色、堆積、造 形等活動，來獲得幾何圖形的正確概念。學生能根據圖形的外表，來識識、操弄

圖形 (Shape) (例：正方形，三角形)，和其它幾何圖形的構成要素 (configurations) (例：線、角、網狀格子)。

(二)層次二：描述的 (descriptive)

這個階段的兒童已經具有辨別圖形特徵的能力，他們能利用視覺來觀察組成 圖形的基本構成要素與這些圖形之間的關係，分析幾何概念。因此，能夠察覺到 圓形沒有邊，正方形有四個邊，而且每邊都相等；三角形有三個邊，可是卻無法 說明這些圖形特徵之間有何關係存在。例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方 形之間有何關係，兒童不一定能夠知道正方形與長方形雖然都有四個邊，當這兩 個圖形邊長不相等時，面積可能相等，此階段的兒童尚無法經由推理而知悉其道 理何在。學生藉由構成要素的名稱，和構成要素之間的關係來分析圖形。同時，

依其經驗建立同一類圖形所具有之特性，並且運用圖形之特性來解題。

(三)層次三：理論的 (theoretical)

這個層次的兒童，已經能夠了解構成各種圖形的要素，並且能夠進一步探求 各種幾何圖形的內在屬性以及各個圖形之間的包含關係。例如，平行四邊形的兩 雙對邊相等；長方形是平行四邊形的一種，當平形四邊形其中一角為90 時，這^ 個四邊形就是長方形。又如，任何三角形的外角，都等於其相對兩內角的和，n 邊 形的內角和為180^(n-2)。這階段的兒裡開始建構不同類型圖形之間的關係，譬 如：正方形、菱形、長方形、平形四邊形。學生使用公式表示和使用定義，整理 先前發現的性質，給一非正式的討論，並跟著給一演繹上的討論。

(四)層次四：形式邏輯的 (formal logic)

這個層次的學生能夠經由抽象推理的過程，來證明各種幾何問題，同時能夠 知道証明的方法不只一種。換言之，兒童不必靠記憶公式來証明幾何問題。此外，

他們能夠理解幾何問題之解決，必須具備的充分或必要條件。例如：不必透過拿 實體物來操作，就能夠証明畢氏定理。譬如：這個層次兒童可以知道菱形也是長

方形，又是正方形。學生能用邏輯推理的方法，來証明幾何的性質。

(五)）層次五：邏輯法則本質的 (the nature of logical laws)

這個層次是屬於最高層次，達到這個層次的學習者能夠在不同的公設體系 中，建立定理並且分析或比較包括非歐幾何 (non-Euclidean Geometry) 或比較不 同公設系統；同時也能夠了解抽象的幾何概念。在此層次的學生，能學習不同的 幾何公設系統，了解抽象推理幾何，並能互相比較不同公設系統。