根據本研究目的，共分為四節。第一節是以模糊集群進行分群並比較不同群 受試者之幾何概念 ISM 圖，第二節是比較不同能力值受試者的幾何概念 ISM 圖，
第三節是比較總分相同但反應組型不同之受試者的幾何概念 ISM 圖，第四節是比 較不同能力值受試者與專家的幾何概念 ISM 圖。
第一節 以模糊集群分析法分群並比較不同群受試者 之幾何概念 ISM 圖
壹、一年級受試者
本研究以模糊集群分析法來將受試者加以分群，經以 f-cut 軟體跑出以分成 2 群為最佳(分割係數最大且分割亂度最小)，這兩群受試者的概念精熟度及人數統 計如圖 4-1。並在兩群中隨機抽取一名受試者，即 A、B 兩生，並以兩生作為比 較不同分群之學生的幾何概念 ISM 圖之例子，其作答情形如表 4-1 所示。根據 SAS/IML 矩陣運算結果，算出 A、B 兩生的模糊關係矩陣(如附錄一)。再根據 A、
B 兩生的模糊關係矩陣以α=.55 進行截矩陣後，其概念屬性截矩陣如表 4-2 所示。
最後再根據 A、B 兩生之概念屬性截矩陣，繪製其概念 ISM 圖，如圖 4-2 和圖 4-3 所示。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 2 3 4 5
概 念 精 熟 度
一 年 級 第 1群 (330人 ) 一 年 級 第 2群 (553人 )
圖 4-1 一年級受試者的概念精熟度及人數統計
表 4-1 一年級不同群的受試者代表之答題情形
受試者代號 群別 相似性係數 答對題數
A 1 .607 4
B 2 .833 9
表 4-2 A、B 兩生之概念屬性截矩陣(α=.55)
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0 1 1 0
A2 0 0 0 1 0
A3 0 0 0 0 0
A4 0 0 0 0 0
A 生 第 1 群
A5 0 0 1 1 0
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0 0 0 0
A2 1 0 1 1 1
A3 1 0 0 1 1
A4 1 0 0 0 0
B 生 第 2 群
A5 0 0 0 0 0
圖 4-2 一年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(第 1 群，α=.55)
概念精熟度 ----.36～.38
----.42～.44
圖 4-3 一年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(第 2 群，α=.55)
根據圖 4-2 和圖 4-3，第 1 群的 A 生和第 2 群的 B 生，其幾何概念 ISM 圖之 異同可臚列於下：
一、試題的概念階層數隨學生的答對題數之不同而相異(A 生 4 題，B 生 9 題)，
答對題數愈多者，其概念 ISM 圖的階層數愈多(A 生 2 層，B 生 4 層)，而每 一階層中的概念屬性及概念間的指向，亦有所差異。
二、對 A、B 兩生來說，概念 2 (能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形體) 都 是最易精熟的概念；對 A 生來說，概念 3 (能描繪或仿製簡單平面圖形) 和 概念 4 (能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊) 是較難精熟的概 念，但對 B 生來說，概念 1 (能認識直線與曲線) 和概念 5 (能描述某物在觀 察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置) 才是較難精熟的概念。
三、不管是 A 生或 B 生，概念 2 均指向概念 4，也就是說對兩生而言，概念 2 都 是概念 4 的上位概念。
四、在同一個別化的概念結構圖中，位於較低階層的概念一定比位教高階層的概 念更容易達到精熟，而位於最高階層的概念則是對個體而言，是最難以精熟 的概念。但是不同個體的概念 ISM 圖，其概念階層位階是不能拿來直接做比 較的。例如 B 生的概念 4 位於第 3 階，而對 A 生而言，概念 4 是位於第 2
概念精熟度 ----.85～.87
----.88
----.91
----.95
階，我們不能因此說 A 生對於概念 4 的精熟度會大於 B 生。
貳、二年級受試者
經以 f-cut 軟體跑出以分成 2 群為最佳(分割係數最大且分割亂度最小)，這兩 群受試者的概念精熟度及人數統計如圖 4-4。並在兩群中隨機抽取一名受試者，
即 A、B 兩生，並以兩生作為比較不同分群之學生的幾何概念 ISM 圖之例子，其 作答情形如表 4-3 所示。根據 SAS/IML 矩陣運算結果，算出 A、B 兩生的模糊關 係矩陣(如附錄一)。再根據 A、B 兩生的模糊關係矩陣以α=.60 進行截矩陣後，
其概念屬性截矩陣如表 4-4 所示。最後再根據 A、B 兩生之概念屬性截矩陣，繪 製其概念 ISM 圖，如圖 4-5 和圖 4-6 所示。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 2 3 4 5 6 概念
精熟度
二年級第1群(375 人)
二年級第2群(440 人)
圖 4-4 二年級受試者的概念精熟度及人數統計
表 4-3 二年級不同群的受試者代表之答題情形
受試者代號 群別 相似性係數 答對題數
A 1 .806 6
B 2 .861 9
表 4-4 A、B 兩生之概念屬性截矩陣(α=.60)
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 1 0 0 0 1
A2 0 0 0 0 0 0
A3 1 1 0 0 0 1
A4 1 1 0 0 0 1
A5 1 1 0 0 0 1
A 生 第 1 群
A6 0 0 0 0 0 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 1 0 0 0 1
A2 0 0 0 0 0 0
A3 1 1 0 0 0 1
A4 1 1 0 0 0 1
A5 1 1 1 1 0 1
B 生 第 2 群
A6 0 0 0 0 0 0
圖 4-5 二年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(第 1 群，α=.60)
概念精熟度 ----.31～.35
----.47
----.62～.71
圖 4-6 二年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(第 2 群，α=.60)
根據圖 4-5 和圖 4-6，第 1 群的 A 生和第 2 群的 B 生，其幾何概念 ISM 圖之 異同可臚列於下：
一、試題的概念階層數隨學生的答對題數之不同而相異(A 生 6 題，B 生 9 題)，
答對題數愈多者，其概念 ISM 圖的階層數愈多(A 生 3 層，B 生 4 層)，而每 一階層中的概念屬性及概念間的指向，亦有所差異。
二、對 A、B 兩生來說，概念 5 (能認識面積，並作直接比較) 都是最易精熟的概 念，而概念 2 (能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象) 和概念 6 (能由邊長關係，認識簡單平面圖形與立體形體) 都是最難精熟的概念。
三、不管是 A 生或 B 生，概念 5 均指向概念 1 (能認識周遭物體上的角、直線與 平面（含簡單立體形體）)、概念 2 和概念 6，也就是說對兩生而言，概念 5 都是概念 1、概念 2 和概念 6 的上位概念。另外概念 3 (能使用直尺畫出指定 長度的線段均) 指向概念 1 和概念 2，顯示概念 3 都是概念 1 和概念 2 的上 位概念。概念 4 (能畫出兩點間的線段)，並測量其長度均指向概念 1 和概念 6，顯示概念 4 都是概念 1 和概念 6 的上位概念。概念 1 均指向概念 2 和概 念 6，顯示概念 1 都是概念 2 和概念 6 的上位概念。
概念精熟度 ----.62～.65
----.79
----.92
----.97
參、三年級受試者
經以 f-cut 軟體跑出以分成 2 群為最佳(分割係數最大且分割亂度最小)，這兩 群受試者的概念精熟度及人數統計如圖 4-7。並在兩群中隨機抽取一名受試者，
即 A、B 兩生，並以兩生作為比較不同分群之學生的幾何概念 ISM 圖之例子，其 作答情形如表 4-5 所示。根據 SAS/IML 矩陣運算結果，算出 A、B 兩生的模糊關 係矩陣(如附錄一)。再根據 A、B 兩生的模糊關係矩陣以α=.60 進行截矩陣後，
其概念屬性截矩陣如表 4-6 所示。最後再根據 A、B 兩生之概念屬性截矩陣，繪 製其概念 ISM 圖，如圖 4-8 和圖 4-9 所示。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 2 3 4 5 6 概念
精熟度
三年級第1群(431 人)
三年級第2群(504 人)
圖 4-7 三年級受試者的概念精熟度及人數統計
表 4-5 三年級不同群的受試者代表之答題情形
受試者代號 群別 相似性係數 答對題數
A 1 .800 8
B 2 .944 11
表 4-6 A、B 兩生之概念屬性截矩陣(α=.60)
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 1 1 1 0 1
A2 0 0 1 1 0 1
A3 0 0 0 0 0 0
A4 0 0 1 0 0 1
A5 1 1 1 1 0 1
A 生 第 1 群
A6 0 0 0 0 0 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0 1 1 0 1
A2 0 0 1 1 0 1
A3 0 0 0 0 0 0
A4 0 0 1 0 0 0
A5 1 1 1 1 0 1
B 生 第 2 群
A6 0 0 1 0 0 0
圖 4-8 三年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(第 1 群，α=.60)
概念精熟度 ----.46～.48 ----.60
----.75
----.86 ----.92
圖 4-9 三年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(第 2 群，α=.60)
根據圖 4-8 和圖 4-9，第 1 群的 A 生和第 2 群的 B 生，其幾何概念 ISM 圖之 異同可臚列於下：
一、試題的概念階層數隨學生的答對題數之不同而相異(A 生 8 題，B 生 11 題)，
答對題數愈少者，其概念 ISM 圖的階層數愈多(A 生 5 層，B 生 4 層)，而每 一階層中的概念屬性及概念間的指向，亦有所差異。
二、對 A、B 兩生來說，概念 5 (能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不 同面積的大小，並認識面積單位「平方公分」) 都是最易精熟的概念，而概 念 3 (能使用圓規畫圓，認識圓的「圓心」、「圓周」、「半徑」與「直徑」) 都 是最難精熟的概念。
三、不管是 A 生或 B 生，概念 5 均指向概念 1 (能認識平面圖形的內部、外部與 其周界)、概念 2 (能認識周長，並實測周長)、概念 3、概念 4 (能認識角，並 比較角的大小) 和概念 6 (能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單 圖形)，也就是說對兩生而言，概念 5 都是概念 1、概念 2、概念 3、概念 4 和概念 6 的上位概念。另外概念 1 均指向概念 3、概念 4 和概念 6，顯示概 念 1 都是概念 3、概念 4 和概念 6 的上位概念。概念 2 均指向概念 3、概念 4 和概念 6，顯示概念 2 都是概念 3、概念 4 和概念 6 的上位概念。概念 4 均
概念精熟度 ----.76
----.87～.89
----.97～.98
----.99
指向概念 3，顯示概念 4 都是概念 3 的上位概念。
第二節 比較不同能力值受試者的幾何概念 ISM 圖
壹、一年級受試者
本研究另以一年級全體受試者能力值的平均數之上下一個標準差作為分界 點，將受試者依其能力值區分成低、中、高三組，這三組受試者的概念精熟度及 人數統計如圖 4-10。並在三組中隨機抽取一名受試者，即 A、B、C 三生，並以 三生作為比較不同分組之學生的幾何概念 ISM 圖之例子，其作答情形如表 4-7 所 示。根據 SAS/IML 矩陣運算結果，算出 A、B、C 三生的模糊關係矩陣(如附錄一)。
再根據 A、B、C 三生的模糊關係矩陣以α=.55 進行截矩陣後，其概念屬性截矩 陣如表 4-8 所示。最後再根據 A、B、C 三生之概念屬性截矩陣，繪製其概念 ISM 圖，如圖 4-11、圖 4-12 和圖 4-13 所示。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 2 3 4 5 概念
精熟度
一年級低能力組 (129人)
一年級中能力組 (472人)
一年級高能力組 (282人)
圖 4-10 一年級受試者的概念精熟度及人數統計
表 4-7 一年級不同群的受試者代表之答題情形
圖 4-11 一年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(低能力組，α=.55)
圖 4-12 一年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(中能力組，α=.55)
圖 4-13 一年級 C 生之幾何概念 ISM 圖(高能力組，α=.55)
根據圖 4-11、圖 4-12 和圖 4-13，低能力組的 A 生、中能力組的 B 生和高能 概念精熟度 ----.36～.38
----.42～.44
概念精熟度 ----.82～.84
----.88
----.93 概念精熟度 ----.90
----.92～.93
----.95
----.98
力組的 C 生，其幾何概念 ISM 圖之異同可臚列於下：
一、試題的概念階層數隨學生的答對題數之不同而相異(A 生 4 題，B 生 8 題，C 生 9 題)，答對題數愈多者，其概念 ISM 圖的階層數愈多(A 生 2 層，B 生 3 層，C 生 4 層)，而每一階層中的概念屬性及概念間的指向，亦有所差異。
二、對 A、B、C 三生來說，概念 2 (能辨認、描述與分類簡單平面圖形與立體形 體) 都是最易精熟的概念；對 A 生來說，概念 3 (能描繪或仿製簡單平面圖 形) 和概念 4 (能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設與立體堆疊) 是較難精 熟的概念，對 B 生來說，概念 1 (能認識直線與曲線)、概念 4 和概念 5 (能描 述某物在觀察者的前後、左右、上下及兩個物體的遠近位置) 是較難精熟的 概念，但對 C 生來說，則是概念 1 才是最難精熟的概念。
三、不管是 A 生、B 生或 C 生，概念 2 均指向概念 4，也就是說對三生而言，概 念 2 都是概念 4 的上位概念。
四、從概念的指向性來看，B 生和 C 生較相近，而 A 生則相差較大，例如不管 B 生或 C 生，概念 3 皆是概念 1、概念 4 和概念 5 的上位概念，但對 A 生來說，
概念 3 則是最下位的概念。
貳、二年級受試者
本研究另以二年級全體受試者能力值的平均數之上下一個標準差作為分界 點，將受試者依其能力值區分成低、中、高三組，這三組受試者的概念精熟度及 人數統計如圖 4-14。並在三組中隨機抽取一名受試者，即 A、B、C 三生，並以 三生作為比較不同分組之學生的幾何概念 ISM 圖之例子，其作答情形如表 4-9 所 示。根據 SAS/IML 矩陣運算結果，算出 A、B、C 三生的模糊關係矩陣(如附錄一)。
再根據 A、B、C 三生的模糊關係矩陣以α=.55 進行截矩陣後，其概念屬性截矩 陣如表 4-10 所示。最後再根據 A、B、C 三生之概念屬性截矩陣，繪製其概念 ISM 圖，如圖 4-15、圖 4-16 和圖 4-17 所示。
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1 2 3 4 5 6 概念
精熟度
二年級低能力組 (104人)
二年級中能力組 (589人)
二年級高能力組 (122人)
圖 4-14 二年級受試者的概念精熟度及人數統計
表 4-9 二年級不同群的受試者代表之答題情形
受試者代號 組別 能力值 相似性係數 答對題數
A 低能力值組 -1.424 .728 4
B 中能力值組 -.917 .806 7
C 高能力值組 .733 .861 11
表 4-10 A、B、C 三生之概念屬性截矩陣(α=.55)
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 1 0 0 0 1
A2 0 0 0 0 0 0
A3 1 1 0 0 0 1
A4 1 1 0 0 0 1
A5 1 1 0 0 0 1
A 生 低 能 力 組
A6 0 0 0 0 0 0
表 4-10 A、B、C 三生之概念屬性截矩陣(α=.55)(續)
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 1 0 0 0 1
A2 0 0 0 0 0 0
A3 1 1 0 0 0 1
A4 1 1 0 0 0 1
A5 1 1 1 1 0 1
B 生 中 能 力 組
A6 0 0 0 0 0 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 1 0 0 0 1
A2 0 0 0 0 0 1
A3 1 1 0 0 0 1
A4 1 1 0 0 0 1
A5 1 1 1 1 0 1
C 生 高 能 力 組
A6 0 0 0 0 0 0
圖 4-15 二年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(低能力組，α=.55)
概念精熟度 ----.28～.33
----.43
----.57～.64
圖 4-16 二年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(中能力組，α=.55)
圖 4-17 二年級 C 生之幾何概念 ISM 圖(高能力組，α=.55)
根據圖 4-15、圖 4-16 和圖 4-17，低能力組的 A 生、中能力組的 B 生和高能
根據圖 4-15、圖 4-16 和圖 4-17，低能力組的 A 生、中能力組的 B 生和高能