在數學學習的特徵之探討，大部分是以敘述性分析為主，而其在數學學習的 知識結構分析相關議題是較少人探討的。若教學者能於評量之後，將學生的作答 反應轉化為可供分析之知識結構圖，則能更進一步掌握學生的學習狀態與結果。
因此，本研究以詮釋結構模式來建構學生的個別化知識結構圖，提供教學者在進 行補救教學時課程及教材內容編排之參考。
第一節 研究動機
在國民中小學九年一貫課程綱要中的數學領域將內容分為數與量、幾何、代 數、統計與機率、連結等五大主題。其中的幾何部分規定學生在小學畢業前，能 認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式。另外九年國民教育區 分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年 級，階段四為八、九年級。而第一階段(一至三年級)是為認識幾何的起步，雖然 此階段較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也 許能指認，但尚不清楚其結構意義 (教育部，2003) ，但是此階段的幾何概念學 習對往後階段的學習至關重要，因為根據學者的研究，學童的幾何層次表現是經 由「學習的過程」，使得較低層次的學生可以藉由學習而達到較高的層次 (薛建 成，2003；van Hiele, 1957) ，所以針對第一階段學生的幾何概念結構的分析是必 要且有價值的。
大部分針對學生知識結構的研究，主要是在評量後，針對特殊少數的受試者 進行個別的晤談，這是屬於偏向質性的研究，而且需要花費大量的時間和成本，
這對研究者是一種很大的負擔，尤其研究者本身就是教學者本身，實在無法投入 如此大量的時間，若仍要進行，則就會影響到正常教學的進度，因此傳統的研究 方式較不適用在教學現場中。另外，大部分的研究都是偏向大團體的知識結構分 析，針對個人化的分析是較少的。根據因材施教的觀念，個人化的知識結構分析
是有其必要性且更能符合尊重個別差異教學的精神。
在量化的研究中，針對知識結構的分析方法相當多，例如：次序理論 (ordering theory) 、 試 題 關 聯 結 構 (item relational structure, 簡 稱 IRS) 、 詮 釋 結 構 模 式 (interpretive structural modeling, 簡稱ISM)、概念構圖 (concept mapping)、徑路搜 尋法 (pathfinder) 和規則空間 (rule space) 等。這些都是嘗試定位概念與概念之 間的從屬關係，再藉由繪圖的方式來呈現學生的概念階層結構。其中ISM方法受 到 學 者 的 重 視 ， 為 J. N. Warfield 提 出 的 一 種 社 會 系 統 工 學 (social system engineering) 之彙整訊息的建模方法 (Warfield, 1976) 。其分析是就一個集合內元 素之間的從屬 (subordinate) 關係矩陣，根據離散數學和圖形理論，呈現出元素間 的階層圖形 (許天維、林原宏，1994) 。ISM用於教育中的學生知識結構，已被 證實有其實用的價值 (廖信德，1998；鍾靜蓉，2002) ，可以將學生的知識結構 以概念階層關係來具體呈現。
但是ISM分析法亦有其限制，只能處理二元 (Dichotomous) 的資料且只能繪 出全體受試者的概念結構圖，不能繪出個人化的概念結構圖，因此在運用上大為 不便。因此，林原宏 (2005) 提出模糊取向詮釋結構模式分析法，是擴展自原有 的詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM) ，根據察覺的模糊邏輯模 式 (fuzzy logic model of perception, FLMP) 和試題反應理論 (IRT) ，以模糊截矩 陣 (alpha cut) 之ISM演算，分析概念或解題元素的個人化階層結構圖，而元素之 間並不受二元關係所限制。在實徵的教育研究中，此方法也被證實是可行的 (祝 淑梅，2007；紀順雄，2007)。
另外國小教師面對學童在數學評量後之補救教學，往往有不知該教何人、如 何教及教甚麼的困境，其中尤以該以何種方式教何種人最為迫切問題，因而導致 無法落實補救教學之課程，最後更因此使得學習低落的學生無法得到有效的教學 救助。所以本研究提出模糊集群分析法來當成分群的方法，嘗試以受試者的作答 反應組型來當成分群的依據，藉此將屬於同一類的受試者形成同一群 (Lin, Yu, &
Wu, 2007)，以方便教學者針對不同類型的受試者實施適性教學，從而達成因材施 教或不放棄任何一位學生的目的。
第二節 研究目的
本研究的目的是：
一、探討國小一至三年級學生在幾何概念的模糊取向概念結構。
二、利用模糊集群方法來分群，並比較各年級不同群的學生之幾何概念結構之異 同。
三、分析各年級高、中、低之不同能力值的學生之間，其幾何概念結構之異同。
四、分析各年級總分相同但反應組型不同之學生之間，其幾何概念結構之異同。
五、分析各年級不同能力值的學生與專家之間，其幾何概念結構之異同。
第三節 名辭解釋
一、模糊理論 (fuzzy theory)
L. A. Zadeh於1965年提出模糊理論，此思維可解釋許多實務現象，其將元素 和集合之間的關係，以介於
0,1 之間的隸屬度(membership)描述。也就是說在實 務問題上，二元邏輯是不足以處理的。並定義模糊集合：A：
0,1 ，其中 為全集， 為隸屬度，A
0,1 是表示由0到1的區間內的所有實數值，以上是在描述的任意元素屬於的程度。
二、試題反應理論 (item response theory, 簡稱IRT)
是將受試者的能力值與試題答對機率，以一條連續且遞增的曲線來描繪，為 分析試題的特性(難度、鑑別度、猜測度)與受試者的潛在特質(能力值)之間關係的 心理計量模式。
三、詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱ISM)
為J. N. Warfield於1976年提出的一種社會系統工學 (social system engineering)
之彙整訊息的建模方法。其分析是就一個集合內元素之間的從屬 (subordinate) 關 係矩陣，根據離散數學和圖形理論，呈現出元素間的階層圖形。
四、模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structural modeling) 為林原宏於2005年所提出模糊取向詮釋結構模式分析法，是擴展自原有的詮 釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM)，根據察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP) 和試題反應理論 (IRT)，以模糊截矩陣 (alpha cut) 之ISM演算，分析概念或解題元素的個人化階層結構圖，而元素之間 並不受二元關係所限制。
五、模糊集群分析 (fuzzy clustering)
結合模糊理論與傳統集群分析兩種概念，即為模糊集群分析。在模糊集群 中，隸屬度為決定元素之間距離的重要因素，模糊集群的方法有很多，本研究選 取目標函數法 (objective function)。
六、幾何概念 (geometric concepts)
本研究採自國民中小學九年一貫課程綱要數學領域中，第一階段幾何部分的 分年細目當成本研究之幾何概念，並藉以形成試題進行測驗。
七、專家概念結構圖
本研究是以全部答對的受試者之概念結構圖，當作對照用之專家概念結構 圖。
八、高、中、低三組能力值
以全體受試者的能力值以上下一個標準差作為分界的標準點，將全體受試者 分成高、中、低能力三組，以進行概念結構圖之比較。