第五章 結論與建議
第三節 建議
針對課程設計、教學和補救教學與未來研究的方向，可建議以下數點供教學 者或未來研究者參考：
一、根據van Hiele的理論，學童的幾何層次表現是經由「學習的過程」，使得較低 層次的學生可以藉由學習而達到較高的層次，所以第一階段的幾何概念學習 對往後階段的學習至關重要，教學者不可因教學對象是低年級而忽略其重要 性。
二、藉由應用模糊取向的詮釋結構分析法，所繪出之個別化ISM概念結構圖，可 以了解學生於學習幾何概念之間的上下從屬關係，從而得到學生的概念學習 困難處，並能應用於實際的課程編排、教學或補救教學。
三、配合各種分群的方法可以幫助了解不同群組的學生之不同教學需要，並藉以 編製個別別化、適性化的課程或教材。
四、教學者面對學童在數學評量後之補救教學，往往有不知該教何人、如何教及 教甚麼的困境，因而導致無法落實補救教學之課程，最後更因此使得學習低 落的學生無法得到有效的教學救助。因此，本研究以模糊集群分析法分群及 以不同能力值來分組，並配合模糊取向的詮釋結構分析法來分析各群學生之 知識結構特徵，並提供教學者在進行補救教學時課程及教材內容編排之參考。
五、未來研究者可針對其他階段的幾何概念作後續的研究，或者可搭配其他的分 群方法，諸如概念從屬關係、S-P表等其他方法，並可比較不同分群方法之間 的利弊。
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附錄一 模糊關係矩陣
一、以模糊集群分群法之受試者概念模糊關係矩陣
一年級 A、B 兩生之概念糢糊關係矩陣
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.526159 0.563466 0.588696 0.508467 A2 0.473841 0 0.537557 0.563123 0.482293 A3 0.436534 0.462443 0 0.525811 0.444883 A4 0.411304 0.436877 0.474189 0 0.41953 A
生 第 1
群 A5 0.491533 0.517707 0.555117 0.58047 0
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.232022 0.365273 0.435624 0.457699 A2 0.767978 0 0.655742 0.718693 0.736395 A3 0.634727 0.344258 0 0.57288 0.594582 A4 0.564376 0.281307 0.42712 0 0.522317 B
生 第 2 群
A5 0.542301 0.263605 0.405418 0.477683 0
二年級 A、B 兩生之概念糢糊關係矩陣
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.615471 0.353263 0.353263 0.268458 0.658173
A2 0.384529 0 0.254435 0.254435 0.186513 0.546068
A3 0.646737 0.745565 0 0.5 0.401858 0.779007
A4 0.646737 0.745565 0.5 0 0.401858 0.779007
A5 0.731542 0.813487 0.598142 0.598142 0 0.839918 A
生 第 1 群
A6 0.341827 0.453932 0.220993 0.220993 0.160082 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.676277 0.252788 0.252788 0.092489 0.701068
A2 0.323723 0 0.139373 0.139373 0.046516 0.528887
A3 0.747212 0.860627 0 0.5 0.231508 0.873933
A4 0.747212 0.860627 0.5 0 0.231508 0.873933
B 生 第 2 群
A5 0.907511 0.953484 0.768492 0.768492 0 0.958354
A6 0.298932 0.471113 0.126067 0.126067 0.041646 0
三年級 A、B 兩生之概念糢糊關係矩陣
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.675747 0.871626 0.803366 0.341746 0.880565
A2 0.324253 0 0.765149 0.662214 0.199437 0.779627 A3 0.128374 0.234851 0 0.375675 0.071033 0.520582
A4 0.196634 0.337786 0.624325 0 0.112746 0.643439
A5 0.658254 0.800563 0.928967 0.887254 0 0.934215
A 生 第 1 群
A6 0.119435 0.220373 0.479418 0.356561 0.065785 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.44884 0.92065 0.847643 0.045902 0.815743
A2 0.55116 0 0.934415 0.872315 0.055782 0.844635
A3 0.07935 0.065585 0 0.324102 0.004129 0.276188
A4 0.152357 0.127685 0.675898 0 0.008573 0.443131
A5 0.954098 0.944218 0.995871 0.991427 0 0.98925
B 生 第 2 群
A6 0.184257 0.155365 0.723812 0.556869 0.01075 0
二、不同能力值受試者之概念模糊關係矩陣
一年級 A、B、C 三生之概念糢糊關係矩陣
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.526159 0.563466 0.588696 0.508467 A2 0.473841 0 0.537557 0.563123 0.482293 A3 0.436534 0.462443 0 0.525811 0.444883 A4 0.411304 0.436877 0.474189 0 0.41953 A
生 低 能 力
組 A5 0.491533 0.517707 0.555117 0.58047 0
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.264138 0.385665 0.451849 0.463889
A2 0.735862 0 0.63622 0.696644 0.706796
A3 0.614335 0.36378 0 0.567674 0.579538
A4 0.548151 0.303356 0.432326 0 0.512124
B
A5 0.536111 0.293204 0.420462 0.487876 0
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.176874 0.32897 0.405753 0.445541
A2 0.823126 0 0.695259 0.760627 0.78901
A3 0.67103 0.304741 0 0.582075 0.621082
A4 0.594247 0.239373 0.417925 0 0.540623
C
A5 0.554459 0.21099 0.378918 0.459377 0
二年級 A、B、C 三生之概念糢糊關係矩陣
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.602955 0.355077 0.355077 0.290548 0.652227
A2 0.397045 0 0.266082 0.266082 0.212401 0.552568
A3 0.644923 0.733918 0 0.5 0.426554 0.773055
A4 0.644923 0.733918 0.5 0 0.426554 0.773055
A5 0.709452 0.787599 0.573446 0.573446 0 0.820769 A
A6 0.347773 0.447432 0.226945 0.226945 0.179231 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.648303 0.340077 0.340077 0.206272 0.676237
A2 0.351697 0 0.218481 0.218481 0.123561 0.531195
A3 0.659923 0.781519 0 0.5 0.335236 0.802101
A4 0.659923 0.781519 0.5 0 0.335236 0.802101
A5 0.793728 0.876439 0.664764 0.664764 0 0.889346
B
A6 0.323763 0.468805 0.197899 0.197899 0.110654 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.601857 0.092736 0.092736 0.018148 0.68732
A2 0.398143 0 0.063335 0.063335 0.01208 0.592524
A3 0.907264 0.936665 0 0.5 0.153141 0.955566
A4 0.907264 0.936665 0.5 0 0.153141 0.955566
A5 0.981852 0.98792 0.846859 0.846859 0 0.991661
C
A6 0.31268 0.407476 0.044434 0.044434 0.008339 0
三年級 A、B、C 三生之概念糢糊關係矩陣
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.684506 0.720179 0.593648 0.713407 0.85515 A
生
A2 0.315494 0 0.542595 0.402396 0.534304 0.731259
A3 0.279821 0.457405 0 0.362095 0.49166 0.696403 A4 0.406352 0.597604 0.637905 0 0.630164 0.801629 A5 0.286593 0.465696 0.50834 0.369836 0 0.70341 低
能 力 組
A6 0.14485 0.268741 0.303597 0.198371 0.29659 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.624016 0.885769 0.823454 0.253465 0.875893 A2 0.375984 0 0.823698 0.737554 0.169828 0.809609 A3 0.114231 0.176302 0 0.37559 0.041949 0.476484 A4 0.176546 0.262446 0.62441 0 0.067854 0.602088 A5 0.746535 0.830172 0.958051 0.932146 0 0.9541 B
A6 0.124107 0.190391 0.523516 0.397912 0.0459 0
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A1 0 0.44884 0.92065 0.847643 0.045902 0.815743
A2 0.55116 0 0.934415 0.872315 0.055782 0.844635
A3 0.07935 0.065585 0 0.324102 0.004129 0.276188
A4 0.152357 0.127685 0.675898 0 0.008573 0.443131
A5 0.954098 0.944218 0.995871 0.991427 0 0.98925 C
A6 0.184257 0.155365 0.723812 0.556869 0.01075 0
三、總分相同但反應組型不同受試者之概念模糊關係矩陣
一年級 A、B、C、D、E、E 六生之概念糢糊關係矩陣
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.581124 0.602614 0.617201 0.517597
A2 0.418876 0 0.52223 0.537503 0.436108
A3 0.397386 0.47777 0 0.515325 0.414364
A4 0.382799 0.462497 0.484675 0 0.399567
A 生 低 能 力
組 A5 0.482403 0.563892 0.585636 0.600433 0
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.526159 0.563466 0.588696 0.508467
A2 0.473841 0 0.537557 0.563123 0.482293
A3 0.436534 0.462443 0 0.525811 0.444883
A4 0.411304 0.436877 0.474189 0 0.41953
B 生 低 能 力
組 A5 0.491533 0.517707 0.555117 0.58047 0
A1 A2 A3 A4 A5 A1 0 0.264138 0.385665 0.451849 0.463889 A2 0.735862 0 0.63622 0.696644 0.706796 A3 0.614335 0.36378 0 0.567674 0.579538 A4 0.548151 0.303356 0.432326 0 0.512124 C
生 中 能 力
組 A5 0.536111 0.293204 0.420462 0.487876 0
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.317533 0.419574 0.478341 0.473435 A2 0.682467 0 0.608404 0.663391 0.658984 A3 0.580426 0.391596 0 0.559179 0.554325 A4 0.521659 0.336609 0.440821 0 0.495082 D
生 中 能 力
組 A5 0.526565 0.341016 0.445675 0.504918 0
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.176874 0.32897 0.405753 0.445541 A2 0.823126 0 0.695259 0.760627 0.78901 A3 0.67103 0.304741 0 0.582075 0.621082 A4 0.594247 0.239373 0.417925 0 0.540623
E 生 高 能 力
組 A5 0.554459 0.21099 0.378918 0.459377 0
A1 A2 A3 A4 A5
A1 0 0.232022 0.365273 0.435624 0.457699 A2 0.767978 0 0.655742 0.718693 0.736395 A3 0.634727 0.344258 0 0.57288 0.594582
A4 0.564376 0.281307 0.42712 0 0.522317
F 生 高 能 力
組 A5 0.542301 0.263605 0.405418 0.477683 0
附錄二 幾何概念測驗卷 (一)一年級幾何概念測驗卷
__ _ __ _ _ 國民小學 一 年_ __ _ _ 班 座號__ _ _姓名_ _ _ __ _ __ __ _ __ _ 性別：
選擇題( 四選一) ： ( )1. 數數看：
直線有幾條？ 3 條 4 條 5 條 6 條。
( )2. 數數看：
曲線有幾條？ 3 條 4 條 5 條 6 條。
( )3. 小明要從學校回家，請你幫他選選看：
● ●
上面哪一條路線是小明回家最快的路？
ㄅ ㄆ ㄇ 以上皆是。
( )4. 數數看下面的戰車圖形，再回答問題：
ㄅ
學校 家
ㄇ ㄆ
□ 男
□ 女
請選出正確的選項？ 三角形有 4 個 長方 形有 5 個 正方形有 5 個 圓型有 6 個。
( )5. 數數看下面的火車圖形，再回答問題：
請選出正確的選項？ 三角形有 2 個 長 方形 有 5 個 正方形有 2 個 圓型有 9 個。
( )6. 須要幾個 來拼成？ 0 個 1 個 2 個 3 個。
( )7. 須要幾個 來拼成？ 1 個 2 個 3 個 4 個。
( )8. 須要幾個 來拼成？ 4 個 6 個 8 個 10 個。
( )9.數數看：
從 數起， 排在第幾個？ 第 4 個第 5 個 第 6 個第 7 個。
( )10.數數看：
由右往左數， 排在第幾個？ 第 6 個第 7
個 第 8 個第 9 個。
(二)二年級幾何概念測驗卷
__ _ __ _ _ 國民小學 二 年_ __ _ _ 班 座號__ _ _姓名_ _ _ __ _ __ __ _ __ _ 性別：
選擇題( 四選一) ： ( )1. 數數看：
共有幾個邊和幾個頂點？ 16 個邊、16 個 頂點 18 個邊、18 個頂點 16 個邊、18 個頂點 18 個邊、16 個頂點。
( )2. 數數看：
共有幾個三角形、幾個正方形、幾個長方形？
3 個 三角形 、1 個 正方形、1 個長方形 2 個 三角形 、2 個 正方形、1 個長方形 2 個 三 角形 、1 個 正方形、2 個長方形 1 個 三角形 、 2 個 正方形、2 個長方形 。
( )3. 數數看：
共有幾個角？ 11 個角 12 個角 13 個角
14 個角。
( )4.看下面圖形，再回答問題：
ㄈ ㄅ
ㄆ
□ 男
□ 女
與ㄅ邊垂直的邊是？ ㄆ、ㄇ ㄆ、ㄈ ㄈ、ㄇ 只有ㄇ邊。
( )5. 看下面圖形，再回答問題：
與ㄆ邊平行的邊是？ ㄅ ㄇ ㄈㄅ、
ㄇ。
( )6. 量量看(請用直尺量測後再回答)：
上面的直線有多長：？ 2 公分 3 公分 4 公分 5 公分。
( )7. 量量看(請用直尺量測後再回答)：
上面的直線有多長：？ 9 公分 10 公分
11 公分 12 公分。
( )8. 比比看：
上面的圖型中，誰的面積最大：？ ㄅ ㄆ
ㄇ ㄈ。
ㄇ
ㄈ ㄅ
ㄆ
ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ
( )9. 比比看：
上面的圖型中，誰的面積最小：？ ㄅ ㄆ
ㄇ ㄈ。
( )10. 數數看：
邊長全部相等的圖形有幾個？ 2 個 3 個
4 個 5 個。
( )11. 數數看：
屬於平面的和立體的圖形各有幾個？ 平面 的有 4 個、立體的有 4 個 平面的有 6 個、立體的有 2 個 平面的有 3 個、立體 的有 5 個 平面的有 5 個、立體的有 3 個。
ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ
( )12. 數數看：
邊長全部相等的圖形有幾個？ 2 個 3 個
4 個 5 個。
(三)三年級幾何概念測驗卷
__ _ __ _ _ 國民小學 三 年_ __ _ _ 班 座號__ _ _姓名_ _ _ __ _ __ __ _ __ _ 性別：
選擇題( 四選一) ： ( )1. 數數看：
在上面的圖形中，共有幾個四邊形？ 0 個
1 個 2 個3 個。
( )2. 看下面的圖作答：
選出正確的選項？ 甲和乙都在圖形外 部 甲和乙都在圖形內部 甲在外
部、乙在內部 乙在外部、甲在內部。
( )3. 量量看(請用直尺量測後再回答)：
在上面的長方形中，周長為多少公分？ 9 公 分 10 公分 11 公分12 公分。
( )4. 量量看(請用直尺量測後再回答)：
甲 乙
□ 男
□ 女
在上面的長方形中，周長為多少公分？ 14 公 分 15 公分 16 公分17 公分。
( )5. 看下面圖形，再回答問題：
上面圓形中甲、乙、丙的名稱分別是？甲圓 心、乙直徑、丙圓周甲圓周、乙圓心、丙直 徑甲圓周、乙直徑、丙圓心甲圓心、乙圓 周、丙直徑。
( )6. 若圓周上兩點連線通過圓心，則此兩點的距 離稱為？ 半徑 直徑 圓周 圓心。
( )7. 數數看：
在上面的圖形中，有角的圖形有幾個？ 1 個 2 個 3 個4 個。
( )8. 比比看：
丙
●
乙
甲
ㄇ
ㄅ ㄆ ㄈ
上面的圖型中，誰的角最小：？ ㄅ ㄆ
ㄇ ㄈ。
( )9. 使用 1 平方公分的正方形來排出下列甲 和乙兩個圖形，請先計算他們的面積後，再 比較誰的面積較大：
甲 乙
請選出正確的選項？ 甲是 4 平方公分、
乙是 5 平方公分，乙較大 甲是 5 平方 公分、乙是 6 平方公分，乙較大 甲是 5 平方公分、乙是 8 平方公分，乙較大 甲是 6 平方公分、乙是 6 平方公分，一 樣大。
( )10. 使用 1 平方公分的正方形來排出下列甲 和乙兩個圖形，請先計算他們的面積後，再 比較誰的面積較大：
甲 乙
請選出正確的選項？ 甲是 6 平方公分、
乙是 6 平方公分，一樣大 甲是 6 平方
公分、乙是 8 平方公分，乙較大 甲是 9 平方公分、乙是 8 平方公分，甲較大 甲是 9 平方公分、乙是 10 平方公分，乙 較大。
( )11. 將正方形 切開後重新組合：
可以變成上面哪一個圖形？ ㄅ ㄆ
ㄇ ㄈ。
( )12. 將長方形 切開後重新組合：
可以變成上面哪一些圖形？ ㄅ、ㄇ
ㄆ、ㄇ ㄅ、ㄆ、ㄇ ㄅ、ㄆ、ㄈ。
ㄇ
ㄅ ㄆ ㄈ
ㄅ ㄆ ㄇ ㄈ
附錄三 計算模糊關係矩陣之 SAS/IML 原始碼
Title 'Calculate 2PL subordinate matrix for AISM ';
DATA PARA;
infile 'c:\SASAnalysis\1grade\1parameter.prn';
input a b;
*PROC PRINT DATA=PARA;
RUN;
DATA ATTRI;
infile 'c:\SASAnalysis\1grade\1concept.dat';
input A1 A2 A3 A4 A5;
*PROC PRINT DATA=theta;
RUN;
DATA THETA;
infile 'c:\SASAnalysis\1grade\1ability.dat';
input the1 ;
*PROC PRINT DATA=theta;
RUN;
***** CHANGE DATASET INTO MATRIX *****;
PROC IML;
USE PARA;
* LIST ALL;
READ ALL INTO PA;
* PRINT PA;
* R=NROW(PA);
* C=NCOL(PA);
* PRINT R C;
USE ATTRI;
* LIST ALL;
READ ALL INTO AT;
* PRINT AT;
* R=NROW(AT);
* C=NCOL(AT);
* PRINT R C;
USE THETA;
READ ALL INTO ABI;
PRINT ABI;
*R=NROW(ABI);
*C=NCOL(ABI);
*PRINT R C;
P=20;
TH=ABI[P,1];
**** Begin computing response probability *****;
* PRINT PA TH;
N=1 ; /* numbr of task-takers */
M=NROW(PA) ; /* numbr of items */
A=NCOL(AT) ; /* numbr of attrubutes */
NI=I(N)-I(N); MI=I(M)-I(M); AI=I(A)-I(A);
NZ=NI[*,+]; /* N*1 zero matrix */
MZ=MI[*,+]; /* M*1 zero matrix */
NM=NZ*MZ` ; /* N*M zero matrix */
AZ=AI[*,+]; /* A*1 zero matrix */
SA=AT[+,*]; /* 1*A total number of attribute matrix */
* print SA;
*PRINT NM MM;
do i=1 to N;
do j=1 to M;
NM[i,j]=(1/(1+exp(-PA[j,1]*(TH-PA[j,2]))));
end;
end;
* print NM;
***** Begin computing response probability *****;
NMA=NM*AT; /* 1*A matrix */
NMA=NMA/SA; /* 1*A average matrix */
* PRINT NMA;
NMAZ=AZ*AZ`; /* A*A matrix */
do i=1 to A;
do j=1 to A;
tij=((NMA[1,i])*(1-NMA[1,j]))/(((NMA[1,i])*(1-NMA[1,j]))+((1-NMA[1,i])*(NMA[
1,j])));
NMAZ[i,j]=tij;
if i=j then NMAZ[i,j]=0;
end;
end;
PRINT TH;
print NMAZ;
****** Write tom output file ******;
create FOUT var{r1 r2 r3 r4 r5};
r1=NMAZ[,1];
r2=NMAZ[,2];
r3=NMAZ[,3];
r4=NMAZ[,4];
r5=NMAZ[,5];
append;
close FOUT;
PROC PRINT DATA=FOUT ; RUN;
DATA _NULL_;
SET FOUT;
FILE 'c:\SASAnalysis\1grade\20test.TXT';
PUT r1 r2 r3 r4 r5;
run;
附錄四 計算概念 ISM 圖相似性係數之 SAS/IML 原始碼
options ps=1500;
options ls=80;
Title 'Calculate 1PL subordinate matrix for AISM ';
DATA PARA;
infile 'c:\SASAnalysis\1grade\1parameter.prn';
input a b;
*PROC PRINT DATA=PARA;
RUN;
DATA ATTRI;
infile 'c:\SASAnalysis\1grade\1concept.dat';
input A1 A2 A3 A4 A5;
*PROC PRINT DATA=theta;
RUN;
DATA THETA;
infile 'c:\SASAnalysis\1grade\1ability.dat';
input the1 ; RUN;
***** CHANGE DATASET INTO MATRIX *****;
PROC IML;
USE PARA;
READ ALL INTO PA;
USE ATTRI;
READ ALL INTO AT;
USE THETA;
READ ALL INTO ABI;
**** Begin computing response probability *****;
* PRINT PA TH;
N= 883; /* numbr of task-takers */
M=NROW(PA) ; /* numbr of items */
A=NCOL(AT) ; /* numbr of attrubutes */
NI=I(N)-I(N); MI=I(M)-I(M); AI=I(A)-I(A);
NZ=NI[*,+]; /* N*1 zero matrix */
MZ=MI[*,+]; /* M*1 zero matrix */
NM=NZ*MZ` ; /* N*M zero matrix */
AZ=AI[*,+]; /* A*1 zero matrix */
SA=AT[+,*]; /* 1*A total number of attribute matrix */
*print SA;
******* compute expert *******;
alpha=0.60;
PT=1 ; /* ID of expert */
TH=ABI[PT,1];
PTM=MZ`; /* 1*M zero matrix */
do j=1 to M;
PTM[1,j]=(1/(1+exp(-PA[j,1]*(TH-PA[j,2]))));
end;
*print PTM;
***** Begin computing response probability *****;
PNMA=PTM*AT; /* 1*A matrix */
*PRINT PNMA;
PPNMA=PNMA/SA; /* 1*A average matrix */
*PRINT PPNMA;
PNMAZ=AZ*AZ`; /* A*A zero matrix */
do i=1 to A;
do j=1 to A;
tij=((PPNMA[1,i])*(1-PPNMA[1,j]))/(((PPNMA[1,i])*(1-PPNMA[1,j]))+((1-PPNMA [1,i])*(PPNMA[1,j])));
PNMAZ[i,j]=tij;
if i=j then PNMAZ[i,j]=1;
end;
end;
*PRINT PNMAZ; /* expert subordinate matrix A*A */
******** Compare with expert ********;
do i=1 to N;
TH=ABI[i,1];
do j=1 to M;
NM[i,j]=(1/(1+exp(-PA[j,1]*(TH-PA[j,2]))));
end;
end;
*PRINT NM; /* N*M response probability */
SNZ=NI[*,+]; /* N*1 zero matrix */
*PRINT SNZ;
do k=1 to N;
TI=NM[k,*];
NMA=TI*AT; /* 1*A matrix */
TNMA=NMA/SA; /* 1*A average matrix */
TMAZ=AZ*AZ`; /* A*A matrix */
TMAZ=AZ*AZ`; /* A*A matrix */