國小一至三年級學童幾何概念階層之模糊詮釋結構模式分析

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(1)國立台中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文. 指導教授：林原宏博士. 國小一至三年級學童幾何概念階層之模糊詮釋結構模式分析. 研究生：陳敏彥撰. 中華民國九十七年六月.

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(3) 謝辭雖然我在大學所讀的是相差十萬八千里的「畜牧系」，而且也沒有任何數理的背景，但就是單純的喜歡「統計」這門學科，就促成了我想要讀測統所的原始發心，動機雖然單純但是卻很美麗，符合了發現數學定理的原則：「Simple is Be a u t y 」。回首這兩年的點點滴滴，大部分的回憶都是很愉快的，因為所讀的是我的興趣，這讓我能悠遊其中並如魚得水。雖然我仍在職，也有一個家庭要照顧，讀起書來份外辛苦，但我卻甘之如飴，正所謂：「歡喜做、甘願受」嘛！首先要先感謝我的父母，是他(她)們從一開始就支持我再進修，也給我不管是精神上或是「金錢上」的大力支持，我是真的由衷地感謝你們。另外，也感謝我家裡的頂頭上司—親愛的老婆，謝謝妳的大力支持，讓我能有無後顧之憂地去進修，我想我只有雙手奉上我晉級後的薪水才能報答妳了。也要感謝我的兩位學姊，一位是關主任，一位是維倩老師，謝謝妳們持續對我的幫助與祝福，讓我能順利走入和走出測統所。也要感謝我的兩位學校頂頭上司：呂主任和施校長，謝謝你們一路上的關心和包容，讓我能在工作之餘，還能抽空去進修。最後，我要好好感謝我的指導教授—林博士原宏，是您的殷殷指導，打開了我對測驗與統計學門的視野，讓我看到了這個學門的美麗境界，但讓我覺得最有收穫的，是讓我能真正了解什麼是做學問的態度，就如同您所說的：「態度決定高度」，做學問沒有捷徑，只有一步一腳印紥實地走，才能獲得真正屬於自己的學術專業，弟子將謹記在心中。要畢業了，在這鳳凰花開的季節裡，我要努力抓住這最甜美夢境的每一片花瓣，就做為我告別青春的美麗書籤吧！.

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(5) 中文摘要本研究旨在根據察覺的模糊邏輯模式(fuzzy logic model of perception, FLMP) 和試題反應理論(IRT)，以模糊截矩陣(alpha cut)之ISM演算，分析概念或解題元素的個人化階層結構圖，而元素之間並不受二元關係所限制。本研究以國小一、二、三年級學生共計2633名為對象，應用模糊取向的詮釋結構模式分析法，分析學生幾何的模糊取向的概念ISM 圖，以及探討不同能力值學生的概念結構圖與專家的概念結構圖之差異。研究結果臚列於下數點：一、藉由模糊取向詮釋結構分析法，可繪製出受試者個人化的ISM 圖，了解個別受試者的概念階層結構，並可用於不同群、不同能力值或不同反應組型的受試者的ISM 圖之比較與分析。二、不同群、不同能力值或不同反應組型受試者的幾何概念ISM 圖，其概念階層數、階層內的概念屬性、概念間的連結指向皆有明顯的差異。三、藉由個人化概念ISM 圖，可了解不同群、不同能力值或不同反應組型的受試者在學習幾何概念時，知識結構的差異，將會有助於教師找出學生學習困難或迷思概念，並藉以實施補救教學。四、從概念結構階層圖中的概念所在的階層位置可得知，受試者較易精熟及最難的概念屬性，從兩兩概念的指向可得知，受試者要精熟的概念之上下位概念有哪些。五、答對題數相同但反應組型不同的受試者，其整體概念結構圖有所差異。六、低、中、高能力值的受試者與專家的幾何概念結構圖有顯著差異，顯示國小數學領域學習之第一階段的學生，仍未能全部精熟幾何概念之學習。根據本研究之結果與建議，可做為教學者對於課程設計、教學和補救教學之參考。關鍵字：幾何概念、詮釋結構模式、試題反應理論、模糊理論、知識結構. I.

(6) A Study on Geometrical Concepts for Pupils by Using the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model Abstract The purpose of this study was to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model (FAISM), based on Fuzzy Logic Model of Perception (FLMP), Item Response Theory (IRT) and the algorithm of Interpretive Structural Model (ISM) of fuzzy alpha-cut, to the analysis of the individualized concept structure. In order to investigate the individualized structure of geometrical concepts, the sample include 2263 students from first grade to third grade of elementary schools by using self-designed geometrical concepts test. Secondly, the researcher analyzed the ISM graphs of the examinees. Finally, the researcher explored the differences of ISM graphs among examinees with different IRT theta value and those of experts. Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found. 1 . It is helpful to apply the Fuzzy Approach of Interpretive Structural Model to draw individual ISM graph and to understand individual’s conceptual structure. It was feasible to compare and analyze the ISM graphs between the examinees among different groups, IRT theta values and response patterns. 2 . There were significant differences on the number of conceptual ranks, conceptual attributes and links between the ISM graphs of the examinees from different groups, IRT theta values and response patterns. 3 . It was helpful to find out the learning difficulties or conceptual confuses of students and to apply the remedial instruction by using the fuzzy approach of Interpretive Structural Model. 4 . We could understand the most difficult concepts and easiest concepts for examinee and the precondition relationship between concepts. 5 . There were differences on conceptual structure among examinees of same total score but different response pattern. 6 . The similarity indices of ISM graphs between different abilities level and experts were significantly different. The results and recommendations of this study can be the reference of design of curriculum, instruction and remedial instruction. Keyword: geometrical concept, interpretive structural model, item response theory, fuzzy theory, knowledge structure.. II.

(7) 目錄第一章緒論 ………………………………………………………1 第一節研究動機. …………………………………………………1. 第二節研究目的. …………………………………………………3. 第三節名辭解釋. …………………………………………………3. 第二章文獻探討 …………………………………………………5 第一節模糊理論. …………………………………………………5. 第二節試題反應理論. ……………………………………………9. 第三節詮釋結構模式分析法第四節知識結構分析法. ……………………………………11. …………………………………………17. 第五節幾何概念之相關研究. ……………………………………29. 第三章研究方法 …………………………………………………35 第一節研究架構. ………………………………………………35. 第二節研究對象. ………………………………………………36. 第三節研究工具. ………………………………………………36. 第四節研究流程. ………………………………………………42. 第五節資料分析. ………………………………………………44. 第四章研究結果與討論 …………………………………………47. III.

(8) 第一節以模糊集群分群並比較不同群之幾何概念 ISM 圖第二節比較不同能力值受試者的幾何概念 ISM 圖. …………4 7. ………………5 6. 第三節比較總分相同但反應組型不同的幾何概念 ISM 圖. …………6 7. 第四節比較不同能力值受試者與專家的幾何概念 ISM 圖. …………7 3. 第五章結論與建議 ………………………………………………77 第一節結論. …………………………………………………77. 第二節研究限制第三節建議. 參考文獻. ……………………………………………78. …………………………………………………79. …………………………………………………………8 1. 壹、中文部份. …………………………………………………81. 貳、日文部份. …………………………………………………82. 參、英文部分. …………………………………………………83. 附錄一模糊關係矩陣 ……………………………………………89 附錄二幾何概念測驗卷 …………………………………………95 附錄三計算模糊關係矩陣之 SAS/IML 原始碼 ………………10 7 附錄四計算概念 ISM 圖相似性係數之 SAS/IML 原始碼 ……11 1. IV.

(9) 表目錄表 2-1 三種常用的試題反應對數模式. …………………………………10. 表 2-2 三個網路中部分結點的圖形理論距離值. …………………………22. 表 23網路一和網路二的 PFC指數之計算………………………………2 2 表 2-4 國中小九年一貫課程綱要數學領域幾何階段學習表表 3-1 各地區各學校各年級受試者人數統計表表 3-2 第一階段幾何概念屬性內容表 3-3 預試測驗工具之分析. …………………………36. …………………………………37. …………………………………………38 …………………………………4 0. 表 3-4 試題與概念屬性之關係矩陣表 3-5 正式施測工具之分析. ………………30. …………………………………………41. 表 4-1 一年級不同群的受試者代表之答題情形. …………………………48. 表 4-2 A、B 兩生之概念屬性截矩陣(α=.55). …………………………48. 表 4-3 二年級不同群的受試者代表之答題情形. …………………………50. 表 4-4 A、B 兩生之概念屬性截矩陣(α=.60). …………………………51. 表 4-5 三年級不同群的受試者代表之答題情形. …………………………53. 表 4-6 A、B 兩生之概念屬性截矩陣(α=.60). …………………………54. 表 4-7 一年級不同群的受試者代表之答題情形. …………………………57. 表 4-8 A、B、C 三生之概念屬性截矩陣(α=.55). V. ……………………57.

(10) 表 4-9 二年級不同群的受試者代表之答題情形表 4-10. A、B、C 三生之概念屬性截矩陣(α=.55). 表 4-11 三年級不同群的受試者代表之答題情形表 4-12. …………………………60 ………………………60. …………………………6 4. A、B、C 三生之概念屬性截矩陣(α=.60). ………………………64. 表 4-13 答對題數相同但反應組型不同的受試者之答題情形. ………………6 7. 表 4-14 答對題數相同但反應組型不同的受試者之概念屬性截矩陣(α=.55) …6 8 表 4-15 一年級不同能力組的相似性係數之單一樣本 t 檢定摘要表. …………73. 表 4-16 二年級不同能力組的相似性係數之單一樣本 t 檢定摘要表. …………74. 表 4-17 三年級不同能力組的相似性係數之單一樣本 t 檢定摘要表. …………74. 表 4-18 一年級不同能力值受試者間之單因子變異數分析摘要表. …………7 5. 表 4-19 一年級不同能力值受試者之事後比較摘要表. ……………………7 5. 表 4-20 二年級不同能力值受試者間之單因子變異數分析摘要表表 4-21 二年級不同能力值受試者之事後比較摘要表. ……………………7 5. 表 4-22 三年級不同能力值受試者間之單因子變異數分析摘要表表 4-23 三年級不同能力值受試者之事後比較摘要表. VI. …………7 5. …………7 6. ……………………7 6.

(11) 圖目錄 …………………………………………………1 4. 圖 2-1. ISM 圖的繪製. 圖 2-2. 概念圖計分例子. 圖 2-3. 接近性矩陣與徑路搜尋法. 圖 2-4. 網路一和網路二、網路三之 PFC 和 GTD 指數. ………………………………………………1 9 ………………………………………2 1 ……………………2 1. 圖 3-1 研究架構圖. ……………………………………………………3 5. 圖 3-2 研究流程圖. ……………………………………………………4 3. 圖 4-1 一年級受試者的概念精熟度及人數統計……………………………4 7 圖 4-2 一年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(第 1 群，α=.55) ………………………4 8 圖 4-3 一年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(第 2 群，α=.55) ………………………4 9 圖 4-4 二年級受試者的概念精熟度及人數統計……………………………5 0 圖 4-5 二年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(第 1 群，α=.60) ………………………5 1 圖 4-6 二年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(第 2 群，α=.60) ………………………5 2 圖 4-7 三年級受試者的概念精熟度及人數統計……………………………5 3 圖 4-8 三年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(第 1 群，α=.60) ………………………5 4 圖 4-9 三年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(第 2 群，α=.60) ………………………5 5 圖 4-10 一年級受試者的概念精熟度及人數統計. …………………………5 6. 圖 4-11 一年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(低能力組，α=.55) …………………5 8. VII.

(12) 圖 4-12 一年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(中能力組，α=.55). …………………5 8. 圖 4-13 一年級 C 生之幾何概念 ISM 圖(高能力組，α=.55). …………………5 8. 圖 4-14 二年級受試者的概念精熟度及人數統計. …………………………6 0. 圖 4-15 二年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(低能力組，α=.55). …………………6 1. 圖 4-16 二年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(中能力組，α=.55). …………………6 2. 圖 4-17 二年級 C 生之幾何概念 ISM 圖(高能力組，α=.55). …………………6 2. 圖 4-18 三年級受試者的概念精熟度及人數統計. …………………………6 3. 圖 4-19 三年級 A 生之幾何概念 ISM 圖(低能力組，α=.60). …………………6 5. 圖 4-20 三年級 B 生之幾何概念 ISM 圖(中能力組，α=.60). …………………6 5. 圖 4-21 三年級 C 生之幾何概念 ISM 圖(高能力組，α=.60). …………………6 6. 圖 4-22. A 生之幾何概念 ISM 圖(低能力組，α=.55). ………………………6 9. 圖 4-23. B 生之幾何概念 ISM 圖(低能力組，α=.55). ………………………6 9. 圖 4-24. C 生之幾何概念 ISM 圖(中能力組，α=.55). ………………………7 0. 圖 4-25. D 生之幾何概念 ISM 圖(中能力組，α=.55). ………………………7 0. 圖 4-26. E 生之幾何概念 ISM 圖(高能力組，α=.55). ………………………7 1. 圖 4-27. F 生之幾何概念 ISM 圖(高能力組，α=.55). ………………………7 2. VIII.

(13) 第一章緒論在數學學習的特徵之探討，大部分是以敘述性分析為主，而其在數學學習的知識結構分析相關議題是較少人探討的。若教學者能於評量之後，將學生的作答反應轉化為可供分析之知識結構圖，則能更進一步掌握學生的學習狀態與結果。因此，本研究以詮釋結構模式來建構學生的個別化知識結構圖，提供教學者在進行補救教學時課程及教材內容編排之參考。. 第一節研究動機在國民中小學九年一貫課程綱要中的數學領域將內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。其中的幾何部分規定學生在小學畢業前，能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體積公式。另外九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。而第一階段(一至三年級)是為認識幾何的起步，雖然此階段較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義 (教育部，2003) ，但是此階段的幾何概念學習對往後階段的學習至關重要，因為根據學者的研究，學童的幾何層次表現是經由「學習的過程」，使得較低層次的學生可以藉由學習而達到較高的層次 (薛建成，2003；van Hiele, 1957) ，所以針對第一階段學生的幾何概念結構的分析是必要且有價值的。大部分針對學生知識結構的研究，主要是在評量後，針對特殊少數的受試者進行個別的晤談，這是屬於偏向質性的研究，而且需要花費大量的時間和成本，這對研究者是一種很大的負擔，尤其研究者本身就是教學者本身，實在無法投入如此大量的時間，若仍要進行，則就會影響到正常教學的進度，因此傳統的研究方式較不適用在教學現場中。另外，大部分的研究都是偏向大團體的知識結構分析，針對個人化的分析是較少的。根據因材施教的觀念，個人化的知識結構分析. 1.

(14) 是有其必要性且更能符合尊重個別差異教學的精神。在量化的研究中，針對知識結構的分析方法相當多，例如：次序理論 (ordering theory) 、試題關聯結構 (item relational structure, 簡稱 IRS) 、詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱ISM)、概念構圖 (concept mapping)、徑路搜尋法 (pathfinder) 和規則空間 (rule space) 等。這些都是嘗試定位概念與概念之間的從屬關係，再藉由繪圖的方式來呈現學生的概念階層結構。其中ISM方法受到學者的重視，為 J. N. Warfield 提出的一種社會系統工學 (social system engineering) 之彙整訊息的建模方法 (Warfield, 1976) 。其分析是就一個集合內元素之間的從屬 (subordinate) 關係矩陣，根據離散數學和圖形理論，呈現出元素間的階層圖形 (許天維、林原宏，1994) 。ISM用於教育中的學生知識結構，已被證實有其實用的價值 (廖信德，1998；鍾靜蓉，2002) ，可以將學生的知識結構以概念階層關係來具體呈現。但是ISM分析法亦有其限制，只能處理二元 (Dichotomous) 的資料且只能繪出全體受試者的概念結構圖，不能繪出個人化的概念結構圖，因此在運用上大為不便。因此，林原宏 (2005) 提出模糊取向詮釋結構模式分析法，是擴展自原有的詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM) ，根據察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP) 和試題反應理論 (IRT) ，以模糊截矩陣 (alpha cut) 之ISM演算，分析概念或解題元素的個人化階層結構圖，而元素之間並不受二元關係所限制。在實徵的教育研究中，此方法也被證實是可行的 (祝淑梅，2007；紀順雄，2007)。另外國小教師面對學童在數學評量後之補救教學，往往有不知該教何人、如何教及教甚麼的困境，其中尤以該以何種方式教何種人最為迫切問題，因而導致無法落實補救教學之課程，最後更因此使得學習低落的學生無法得到有效的教學救助。所以本研究提出模糊集群分析法來當成分群的方法，嘗試以受試者的作答反應組型來當成分群的依據，藉此將屬於同一類的受試者形成同一群 (Lin, Yu, &. 2.

(15) Wu, 2007)，以方便教學者針對不同類型的受試者實施適性教學，從而達成因材施教或不放棄任何一位學生的目的。. 第二節研究目的本研究的目的是：一、探討國小一至三年級學生在幾何概念的模糊取向概念結構。二、利用模糊集群方法來分群，並比較各年級不同群的學生之幾何概念結構之異同。三、分析各年級高、中、低之不同能力值的學生之間，其幾何概念結構之異同。四、分析各年級總分相同但反應組型不同之學生之間，其幾何概念結構之異同。五、分析各年級不同能力值的學生與專家之間，其幾何概念結構之異同。. 第三節名辭解釋一、模糊理論 (fuzzy theory) L. A. Zadeh於1965年提出模糊理論，此思維可解釋許多實務現象，其將元素和集合之間的關係，以介於 0,1 之間的隸屬度(membership)描述。也就是說在實務問題上，二元邏輯是不足以處理的。並定義模糊集合：  A：  0,1 ，其中  為全集，  A 為隸屬度，0,1 是表示由0到1的區間內的所有實數值，以上是在描述  的任意元素屬於  的程度。二、試題反應理論 (item response theory, 簡稱IRT) 是將受試者的能力值與試題答對機率，以一條連續且遞增的曲線來描繪，為分析試題的特性(難度、鑑別度、猜測度)與受試者的潛在特質(能力值)之間關係的心理計量模式。三、詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱ISM) 為J. N. Warfield於1976年提出的一種社會系統工學 (social system engineering). 3.

(16) 之彙整訊息的建模方法。其分析是就一個集合內元素之間的從屬 (subordinate) 關係矩陣，根據離散數學和圖形理論，呈現出元素間的階層圖形。四、模糊取向的詮釋結構模式 (fuzzy approach of interpretive structural modeling) 為林原宏於2005年所提出模糊取向詮釋結構模式分析法，是擴展自原有的詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM)，根據察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP) 和試題反應理論 (IRT)，以模糊截矩陣 (alpha cut) 之ISM演算，分析概念或解題元素的個人化階層結構圖，而元素之間並不受二元關係所限制。五、模糊集群分析 (fuzzy clustering) 結合模糊理論與傳統集群分析兩種概念，即為模糊集群分析。在模糊集群中，隸屬度為決定元素之間距離的重要因素，模糊集群的方法有很多，本研究選取目標函數法 (objective function)。六、幾何概念 (geometric concepts) 本研究採自國民中小學九年一貫課程綱要數學領域中，第一階段幾何部分的分年細目當成本研究之幾何概念，並藉以形成試題進行測驗。七、專家概念結構圖本研究是以全部答對的受試者之概念結構圖，當作對照用之專家概念結構圖。八、高、中、低三組能力值以全體受試者的能力值以上下一個標準差作為分界的標準點，將全體受試者分成高、中、低能力三組，以進行概念結構圖之比較。. 4.

(17) 第二章文獻探討第一節模糊理論壹、模糊理論的意義模糊理論 (fuzzy theory) 係由 Zadeh (1965) 首先發展出來的，「模糊」一詞，是指「不分明」、「不明確」、「界限不清」之意。相對於古典數學的二元邏輯 (即 0 或 1) 集合論，模糊理論將元素和集合之間用隸屬度來描述，其值介於 0,1 之間。【定義 1】令 U 表示全域， f 為一函數，即 f : U  [0,1] ，則 U 之模糊子集 A 的隸屬函數記為  A ( x) ，表示元素 x 隸屬於模糊集合 A 的程度，在離散的情形下，可表示成： A(.  A ( x1)  A ( x 2). x1. ,. x2. ,...,.  A ( xn ). xn. )(.  A ( x). x. x U ). 亦可表示成： A.  A ( x1). .  A ( x 2).  ... .  A ( xn ). x1 x2 xn 【定義 2】模糊子集 A 的α截集定義為：. A  x.  A ( x).  . , 0   1 . A 的α截集的隸屬度函數 uA (x) 為： . A. 1 , ( x)   0 ,.   A ( x)    A ( x). 本質上，模糊理論和機率理論都是研究不確定性的問題（楊敏生，1994；楊敏生、劉曼君，1996；Zimmermann, 1991），在 Manton, Woodbury, and Tolley（1994）合著的一書中，說明許多有關以模糊理論進行統計分析的方法和概念。. 貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 用以描述兩集合元素的關係，設集合 A. 5.

(18) 有 I 個元素且集合 B 有 J 個元素，則兩集合元素 a i 和 b j 之間的關係程度可用模糊關係矩陣 R  (rij ) I  J 表示。論域 X 有 m 個元素，論域 Y 有 n 個元素，則由 X 至 Y 的模糊矩陣為：.  r11  . R  .  rm1. . . r1n  . . .   (rij ) m  n . . .   . . rmn . 其中 rij  fR ( x, y ) : X  Y  [0,1] 在給定  值之情形下，可進行模糊關係矩陣之截矩陣運算。亦即：. 1 , rij   R   (rij ) I  J 且 rij   0 , rij  . ，. 其中. 0  1. 參、模糊集群分析 Zadeh (1965) 提出模糊集合理論，使元素和集合的關係不再是傳統的二分法，而是以隸屬度表示之。隸屬度為介於 0,1 之間的連續函數，用明確的數字，描述元素屬於模糊集合的程度。集群分析又稱聚類分析，是一種數值分析方法，它與傳統方法不同之處，在於傳統分類法的分類準則是事先決定的，而群集分析是按照自然類別 (nature grouping)，將分佈於某一計量空間的點予以分類 (黃俊英，1995)，其目的是希望集群內元素同質性高，而集群間的元素異質性高 (林邦傑，1981；Lin, & Hung, 2007)。結合兩概念，即為模糊集群分析 (Kaufman & Rousseeuw, 1990)。在模糊集群中，隸屬度為決定元素之間距離的重要因素，模糊集群的方法有很多，本研究選目標函數法，說明如下 (Bezdek, 1981)。令有 N 位分析個體，每位受試者有 M 個變項，以 m  1,2,3,..., M 表示，資料矩陣呈現如：. 6.

(19)  x11 x X   21     x N1. xiM  ... x 2 M   ( x nm ) N M     ... x NM . x12. .... x 22  xN 2. 在 C 個類別 ( C  2 ) 下，個體隸屬度矩陣為：  u11 u12 u u 22 U   21      u c1 u c 2. ... u1n  ... u 2 n   (u cn ) C N     ... u cN .  v11 v12 v v V   21 22      vc1 vc 2. ... v1M  ... v 2 M   (vcm ) CM     ... vcM . 各類別之中心為：. 定義一個目標函數，求該函數的最小值，目標函數定義為 (Bezdek, 1981)： N. C. J q (U , V )   (u cn ) q d 2 (c , n) n 1 c 1. 其中 d 2 (c , n) . M.  ( x nm  vcm ) 2. m 1. 由上可知 q 值影響隸屬度， q 值越大分割越模糊， q 值越小則分割越明確 (Zimmermann, 1991)。經驗上 q 值取 1.25 , 5 較佳。以 Lagrange’s multipliers 方法，求 J q (U , V ) 的極小值，得 u cn 、 v cm 的關係式如：. 7.

(20) 1  q 1.    1   M  2   ( x nm  vcm )   m1 . u cn . 1  q 1.   C  1    M  2 l 1   ( x nm  vlm )   m1  且 N. vcm .  (ucn ) q ( xnm ) n 1. N.  (ucn ) q n 1. 決定起始值和收斂標準後，經過疊代法疊代至 u cn 、 v cm 收斂，得到的隸屬度矩陣 U 和類別中心矩陣 V 即為所求，但目標函數得到的極小值可能是局部極小值，因此可考慮不同的起始值來估計參數。以上是在知道類別數為 C 的情況進行，本研究則根據「分割係數」、「分割亂度」這兩個指標決定類別數 (Bezdek, 1981)，兩個指標分割係數 F (U ; C ) 和分割亂度 H (U ; C ) 之公式如下：. F (U ; C ) . 1 N C (u cn ) 2  N n 1 c 1. H (U ; C ) . 1 N C  ucn ln(ucn ), ucn  0 N n 1 c 1. 在實際應用時，分割係數越大分割亂度越小，表所選的類別數較佳 (Bezdek, 1981)。本研究選取收斂標準為 10 5 、 q  2 ，以「分割係數」、「分割亂度」這兩個指標決定類別數。. 8.

(21) 第二節試題反應理論試題反應理論 (item response theory, IRT) 亦稱為潛在特質理論 (latent trait theory)，試題反應理論是在「描述潛在特質和題目反應機率之間數學函數關係的一種心理計量理論」。 Lord (1952) 年首先提出了雙參數的常態肩形模式 (two-parameter normal ogive model)，被視為第一個提出數學函數的模型，此模式被應用於成就及性向測驗。另外Rasch (1960) 年也提出了題目與受試者反應的數學模式，即所謂的Rasch模式。自此試題反應理論在此後的年代被廣泛地研究、討論與應用。它可以改正古典測驗理論 (classical test theory, CTT) 對於只偏總分，不重作答反應及題庫建立、試題等化等等缺失，目前已有取而代之的趨勢，試題反應理論已是現代測驗理論 (modern test theory) 最重要的一派。. 壹、基本概念試題反應理論是將受試者的能力值與試題答對機率，以一條連續且遞增的曲線來描繪，藉以分析與估算試題的特性 (難度、鑑別度、猜測度) 與受試者的潛在特質 (能力值) 之間的關係。此一數學函數若加以描繪成圖形，便是所謂的試題特徵曲線 (item characteristic curve, ICC)。但若是把不同能力的受試者對同一試題的ICC全部加總起來，即是所謂的測驗特徵曲線 (test characteristic curve, TCC)。試題反應理論具有兩種「不變性」 (invariant) 的特色，一種是試題獨立的能力估計值：由不同的試題所估計得到的受試者能力值，不因測驗的種類不同而不同；另外一種是樣本獨立的試題參數：由不同群組的受試者所估機得到的試題參數，不因不同群組的受試者而不同。. 貳、試題反應理論模式目前所發展出來最常用的試題反應模式有三種：單參數對數模式 (one-parameter logistic model)、雙參數對數模式 (two-parameter logistic model)、三參數對數模式 (three-parameter logistic model)，其數學函數的呈現與說明如表. 9.

(22) 2-1。其中 Pi ( ) 表示能力值為  的受試者在第 i 題上答對的機率， e 為自然對數的底數，其值近似 2.71828 的無窮小數， n 為測驗的試題數。表 2-1 三種常用的試題反應對數模式模式單參數對數. 數學函數. Pi (θ ) . 模式. 雙參數對數. Pi (θ ) . 模式. 三參數對數. 1. 1. 僅有試題難度 (item difficult. 1  e -(θ -bi ). parameter)之參數 bi，難度是與能力值同一個量尺單位， bi 愈大，表示其試題愈難。 2. 當受試者能力值小於試題難度時，則其答對該試題的機率小於.5(即 θ - bi  0 )；反之，當受試者能力值大於試題難度時，則其答對該提的答對機率大於.5(即 θ - bi  0 )。 3. 此模式有Rasch模式之稱。 1. 將單參數模式中加入一個試題鑑別參數 (item discrimination parameter) ai 。 2. 鑑別度參數 ai 愈大，表示試題鑑別度愈大，愈能區辨不同能力值受試者的答對機率，且其試題特徵曲線愈陡； ai 愈小，表示試題鑑別度愈小，較無法區辨不同能力值受試者的答對機率，且其試題特徵曲線愈平坦。 1. 將雙參數模式中加入因猜測而答對試題的猜測參數 (guessing parameter) ci 。 2. ci 值是表示題目完全不會的受試者其猜題答對的機率。. 1 1 e. - ai (θ -bi ). Pi (θ )  ci  (1 - ci ). 模式. 意義. 1 1 e. - ai (θ -bi ). 資料來源：修改自林原宏 (2004：272). 參、基本假設試題反應理論必須具備以下四項的假設，且在這些假設都成立的時候，才能被運用於分析測驗的資料 (余民寧，1993)。. 10.

(23) 一、單維度 (unidimensionality) 同一份測驗中的各試題皆在測量同一種屬性的能力或潛在特質，而此潛在特質是一種單向度的數值，但在實際的測驗中，此點是很難達到的，例如受試者的語文能力會影響數學文字題的解題表現。因此，單維度只是一種假設，至於影響測驗表現的其他因素，則歸為測量誤差。二、局部獨立性 (local independence) 指受試者在測驗上某一試題的作答情形，不會受到其他試題的影響。一及受試者在測驗上的反應組型機率，等於在單獨試題上反應機率的連乘積(余民寧， 1993)。三、非速度測驗 (nonspeedness) 時間不能做為影響受試者答題表現的因素，否則所估計出來的就不是受試者的實際估計值。四、「知道-正確」假設 (know-correct assumption) 也就是說受試者一但知道正確答案，就必定能答對該題，受試者必須誠實作答，不能有作弊、不寫、故意答錯或粗心答錯的情形。. 第三節詮釋結構模式分析法壹、詮釋結構模式詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱 ISM) 為 J. N. Warfield 於 1976 年提出的一種社會系統工學 (social system engineering) 之彙整訊息的建模方法。其分析是就一個集合內元素之間的從屬 (subordinate) 關係矩陣，根據離散數學和圖形理論，呈現出元素間的階層圖形。傳統的 ISM 分析法可系統化地表示整體元素之間的階層結構關係。一、ISM 分析方法的要點 (林原宏，2005)：. 11.

(24) 若欲分析的系統內有 K 個元素，且已知其中任意兩元素 Ai 與 A j 的二元關.  K K 表示。若 aij  1 ，表示 Ai 從屬於 A j ，即 Ai 為 A j 的下階元素；. 係，以 A  aij. 若 aij  0 ，表示 Ai 不為 A j 之下階元素。 1.矩陣的運算. A. 2. 矩陣內的元素 aij( 2). K.   aik a kj  ai1  a1 j  ai 2  a 2 j    aiK  a Kj k 1. 上式中  和  的運算，定義如下：. 0 x y   1. 0 x y   1. else if x = 1 and y = 1. if x = 0 and y = 0 else. 2.可到達矩陣(reachability matrix) 定義 Aˆ  I  A  A 2  A3   A P  I  ( A  I ) P，其中 I 表示 K  K 階的單位矩陣。把如下的矩陣 R ，稱為可到達矩陣。. R  Aˆ  I  ( A  I ) P  A  A 2  A 3   A P  I  ( A  I ) P 1  A  A 2  A 3   A P  A P 1  I 3. ISM 圖的繪製以 A1 至 A5 元素為例 (佐籐隆博，1987) 。這五個元素之關係，假設可用矩陣 A 表示；經過上述的傳遞閉包運算後，則相對應的可到達矩陣為 R ，分別為：. 0 0  A  1  0 1. 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0  0 1 0 1 0 0 0 0. 1 1  R=1  1 1. 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1  0 1 1 1 0 0 0 1. 為便於繪製 ISM 圖，將矩陣整理如下：. 12.

(25) R ( Ak ). Ak. R ( Ak )  M ( Ak ). M ( Ak ). A1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. A2. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. A3. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. A4. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 1. 1. 0. A5. 1. 0. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. R( Ak ) ：是 A 的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指向的. 元素代號；在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 M ( Ak ) ：就 R( Ak ) 矩陣中， M ( Ak ) 的每一列，表示指向該列元素的所有其它元素。 R ( Ak )  M ( Ak ) ：是 R( Ak ) 和 M ( Ak ) 兩矩陣的交集，兩矩陣相對應位置若同時存在該. 元素，則填出該元素；否則填上 0。而製作圖 2-1 的 ISM 的方法步驟為：【步驟一】針對 R( Ak ) 和 R ( Ak )  M ( Ak ) 的每一列，找出列相等的元素。在上表中，先找到相對應的第 1 列 A1 ，則在 R( Ak ) 、 R ( Ak )  M ( Ak ) 中 A1 所在的行 (column) 與列 (row) 全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和尋找。【步驟二】以相同方法再找到第 5 列 A5 ，以此類推，我們再次得到 A3 、 A4 一組元素和 A2 元素。【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依 A 中的元素關係，劃上箭頭，如圖 2-1 所示，圖 2-1 中 A3 、 A4 是對等元素。在此，完成 ISM 圖的繪製。若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行圖形簡化。. 13.

(26) A1. A1. A5. A5. A4. A3. A4. A3 A2. A2. 圖 2-1 ISM 圖的繪製二、詮釋結構模式在教育與心理方面的實證研究吳信義 (1998) 利用 ISM 方法，應用於職業教育的「基本電學」科目教學單元中要素組織關係，根據所建立的教學單元，以電腦化進行分析據以達到課程設計的負擔。蔡曉信 (1993) 利用 ISM 方法，請在職進修老師開放性地表達對於清潔劑的觀點，此研究結果顯示 ISM 方法能有效提升有關 STS (Science-Technology Society) 教學的看法和觀念。鍾靜蓉 (2002) 就經濟學中「需求與供給」單元為實例，以 ISM 方法進行學習單元的結構化分析，渠以電腦軟體快速建立學習單元的「學習地圖」 (learning map) 與「學習路徑」 (learning path)；唐復 (2003) 應用 ISM 於推動教育視導網路化之專家意見整合，據以獲得問題的階層關係和改善方案的結構關係。 Tatsuoka (1995) 應用 ISM 分析出具階層性的知識狀態結構，此分析方法認為概念和認知具有關聯性，因此屬性之間具有先前需要 (prerequisite relationship) 的關係。 Hawthorme and Sage (1975) 應用 ISM 方法於高等教育課程計畫的意見整合，就五種不同團體成員於討論過程中，提出對於高等教育的意見。Yamashita (1997) 根據模糊推理 (fuzzy reasoning) 與模糊結構模式 (fuzzy structural modeling)，此模式係以模糊理論為基礎的 ISM 分析，發展一套有關高中畢業生. 14.

(27) 的升學與就業輔導的生涯決定模式 (career decision-making model) 量表。 Fontela (2003) 認為 ISM 方法是整合連結質性和量性資料的適合方法， Nussbaum and Smith (1983) 對於職前教師的 TAPE (Teacher and Practicum Elementary Program) 訓練課程，採用電腦輔助式的ISM (computer-aided ISM) 課程設計，用以協助群體中，討論與分析複雜的教學情境問題，在此過程中電腦對於問題提供解決層級的不同要點。研究結果顯示，使用ISM的訓練課程有多項優點，包括有效且快速地促進小組團體形成課程要點、能促進創造性的問題解決方案、減少時間浪費且促進要素的形成。. 貳、模糊取向的詮釋結構模式林原宏於 2005 年所提出模糊取向詮釋結構模式分析法，是擴展自原有的詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM)，根據察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, FLMP) 和試題反應理論 (IRT)，以模糊截矩陣 (alpha cut) 之 ISM 演算，分析概念或解題元素的個人化階層結構圖，而元素之間並不受二元關係所限制。基於以上觀點，可針對模糊關係元素，計算其為上下從屬關係 (subordination relation) 機率計算，進行模糊取向的 ISM 分析。本研究試圖提出結合試題反應理論以及察覺的模糊邏輯模式的元素關係計算方法，提出個人化 (individualized) 及模糊取向的 ISM 分析方法，以擴展該分析方法的應用。整合分析步驟如下：【步驟一】確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有 M 個試題或所有試題所測量的概念總數為 L 個。【步驟二】在選定的試題反應理論模式下，能力值  k 受試者在第 m 題的答對機率為 Pm ( k )，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關係矩陣如下： 1. 若所分析的元素單位為試題，則能力值  k 受試者的模糊關係矩陣為 D ( k )  [ pij ( k )] M M ， pij ( k ) 為符合試題 i 指向試題 j 的機率。依察覺的模糊邏輯. 15.

(28) 模式意義，令 ci  Pi ( k ) 且 o j  1  Pj ( k ) ，所以可得： pij ( k )  p (ci , o j ) . ci o j ci o j  (1  ci )(1  o j ). Pi ( k ) [1  Pj ( k )]. . Pi ( k )[1  Pj ( k )]  [1  Pi ( k )]Pj ( k ). 2. 若所分析的元素單位為概念，則能力值  k 受試者的模糊關係矩陣為 D ( k )  [ pij ( k )] LL ， pij ( k ) 為符合概念 i 指向概念 j 的機率。依每一試題測得該. 概念與否的關係，設概念個數為 L 個，可形成一個二元關係的概念屬性矩陣 (attribute matrix) A  (a ml ) M  L ， a ml  1 表示第 m 題包含概念 l ，亦即有測到概念 l ； a ml  0 表示第 m 題沒有包含概念 l ，亦即沒有測到概念 l 。令 M. SA  (  a ml )1 L  ( a l )1 L 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因此，能力 m 1. 值. k. 之. 受. 試. MA( k )  [ Pm ( k )]1M [. a ml. 者 a l. 在. 每. 個. 概. 念. 精. 熟. 的. 機. 率. 為. ]M L  [ma l ( k )]1L 。依察覺的模糊邏輯模式意義，令. ci  mai ( k ) 且 o j  1  ma j ( k ) ，所以可得： pij ( k )  p ( ci , o j ) . ci o j ci o j  (1  ci )(1  o j ). . ma i ( k ) [1  ma j ( k )] ma i ( k )[1  ma j ( k )]  [1  ma i ( k )]ma j ( k ). 【步驟三】選定  值且 0    1 ，將模糊關係矩陣為 D ( k )  [ pij ( k )] M M 或. D( k )  [ pij ( k )] LL 進行截矩陣分析。例如分析的單位為試題，則： 1 , D  ( k )  [ pij ( k )] M M 且 pij ( k )   0 ,. pij ( k )   pij ( k )  . ，其中 0    1. 【步驟四】將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可讀性，可進行 ISM 圖簡化，假設元節素 Ai 指向 A j 有多條路徑 (path)，則去除直接指向並保留間接指向的路徑。例如：. 16.

(29) Aj. Am. Aj. Am 簡化. Al. Ak. Al. Ai. Ak. Ai. 【步驟五】在給定  值，可獲得能力值  k 之受試者的ISM圖。因此，可獲得不同能力值之個人化試題或概念的ISM圖。林原宏 (2005) 以網路化分數減法施測系統所取得之825名國小高年級學生的施測資料顯示，發現不同能力值的學生其概念結構圖有所相異。祝淑梅 (2007) 以小數概念施測於高年級1367名學生亦有同樣的發現。所以可知模糊取向的詮釋結構模式，是一種可加以運用於分析學生個別化概念結構的方法。. 第四節知識結構分析法知識是概念結構所建立的，當個體在進行學習時，腦部會透過一系列的認知歷程，將數個概念加以整合，以形成個體的知識架構。在教育領域上，教學者若能掌握學生的知識結構，則可以瞭解學生思考的過程以及找出學生的迷思概念。近年來由於認知心理學和心理計量學的蓬勃發展，使得在教育與心理研究領域上對知識結構分析方法的探究迅速發展，各家學派均有發展出自己獨特的一套研究工具。可依其分析法的特點可約略分為三類：圖形理論取向的知識結構分析法、 IRT 理論取向的知識結構分析法及知識空間理論。. 壹、圖形理論取向的知識結構分析法一、概念構圖 (concept mapping) Novak and Gowin (1984) 為了設計更好的教學和學習活動，以Ausubel (1963). 17.

(30) 的認知同化論的核心觀點「有意義的學習」 (meaningful learning) 為基礎，發展出概念構圖 (concept mapping)。其目的探討學生的知識結構，做為改進和促進學生學習效率的方式。所謂有意義的學習是指學生主動調整或重新建構新概念間，或新概念與先前已學會的認知結構之間所產生的混淆或衝突的過程。概念構圖是建構概念的歷程，它乃要求學生將所要學習內容的概念，先做階層性的分類與分群，並以連結線將兩兩概念的關係連結起來，且在連結線上標記連結語，以說明概念間的連結關係，完成之後的概念構圖有如一幅網狀結構圖 (Novak & Gowin, 1984)。因此，概念構圖是一種有意義的結構化學習法。概念構圖的計分方式大多根據Novak and Gowin (1984) 所發展出來的計分方式為藍本，即將學生的概念構圖分成四個結構成份：(一)關係 (relationships)：一個有效且有意義的連結關係給一分；(二)階層 (hierarchies)：每一個有效的階層給五分；(三)交叉聯結 (cross-links)：每一個重要且有效的交叉連結給十分，每一個有效但不能指出相關概念之組成的交叉連結給二分；(四)舉例 (examples)：每一個特定所舉出的事件或物件例子給一分。然而研究者可依其研究目的來調整概念構圖的加權計分方式 (余民寧、陳嘉成、潘雅芳，1996；Stuart, 1985; Markham, Mintzes & Jones, 1994; Ruiz-Primo & Shavelson, 1996)。其計分方式例子說明如圖 2-2所示。 Novak (1990) 認為概念構圖除了是一種學習方法、教學策略、評量工具，亦是設計課程的依據。例如張俊峰 (2001) 應用概念構圖教導國中生學習排球的快攻概念，結果發現概念構圖的教學優於傳統講授式的教學。時德平 (2001) 應用概念構圖進行自然科「電與磁」單元的教學，發現學生在記憶保留上，概念構圖式的學習方式優於傳統純文字敘述的方式。邱垂昌、官月緞 (2003) 探討概念構圖學習策略對大學會計系學生學習高等會計學之影響，結果發現概念構圖是有效的評量工具、補救教學的指導工具；有80﹪的學生認為概念構圖是一個良好的複習工具；合作式學習概念構圖的學習成就顯著高於個別學習概念構圖的學習成. 18.

(31) 就；此外學生對以概念構圖學習高等會計學之態度對其學習成就有顯著的影響。階層. 重要概念聯結. 第一階. 聯結. 一般化概念. 聯結. 一般化概念. 聯結. 一般化概念. 聯結聯結. 第二階. 第三階. 聯結. 概念. 聯結. 概念. 概念. 概念. 聯結. 聯結. 例子. 例子. 事件. 事件. 聯結. 較不一般化概念. 較不一般化概念. 聯結聯結聯結. 交叉聯結. 第四階. 例子. 例子. 物件. 物件. 特殊化概念. 交叉. 特殊化概念. 特殊化概念. 聯結. 計分：(僅計算有效且重要者) (分數) (個數) 關係： 1 × 14 ＝14 階層： 5 × 4 ＝20 交叉聯結：10 × 2 ＝20 舉例： 1 × 4 ＝ 4 總計： 58 分. 圖2-2 概念圖計分例子 (資料來源：修改自余民寧 (1997：486) ). 19.

(32) 但陳嘉成 (1996) 以概念構圖做為學習策略，進行國小學生自然科學習成效之研究，結果顯示概念構圖的學習策略並未達顯著的效果。在Jay (1995) 的研究中，發現概念構圖的學習策略對大學生在學習細胞生物的知識上，和其理解、學習態度及成就並無顯著的相關。綜上所述可知，概念構圖對教學者而言，可做為課程規劃、評量、診斷與實施補救教學的工具；對學生而言，它亦是一種結構化的學習及組織化的複習的學習方式。概念構圖雖然有其許多優點，但從一些相關研究當中亦可發現其應用效果不顯著之處，如難以將不同概念構圖作比較。不過概念構圖不失為一種將抽象概念予以具體化又淺顯易懂的知識結構分析法。二、徑路搜尋法 (pathfinder) 徑路搜尋法是由Schvaneveldt 的研究小組根據理論圖形 (graph-theoretic) 和網路模式所發展而成 (Schvaneveldt & Durso, 1981; Schvaneveldt, Durso & Dearholt, 1985)。發展之初大多應用在實驗室研究，爾後才逐漸運用教育心理學領域。徑路搜尋法是透過一組以節點 (node) 和連結 (linking) 相互連接的概念群所構成的知識網路結構，藉由量尺化程序來分析專家的知識結構，以專家知識結構做為學習者學習的鷹架，亦可透過客觀數學的公式計算出生手的知識結構與專家的知識結構的相似性係數，進而更精確指出各個知識結構圖之間的差異所在 (Jonassen, Beissner, & Yacci, 1993)。徑路搜尋法的主要重點除了知識結構之測量，更重要的是比較不同受試者的知識結構之差異。它通常是將受試者的知識結構圖和參照的知識結構圖進行比較，而參照知識結構圖的選取可以依據研究目的以個人或團體平均的知識結構為參照點。Goldsmith and Davenport (1990) 認為比較兩種不同知識結構圖的相似程度之方法有二：(一)以集合理論 (set theory) 為基礎，計算相鄰節點的交集與聯集關係，可得到相似性指數 (closeness index, 簡稱PFC 或C 指數)；(二)以圖形理論為基礎，計算節點之間距離的相關程度，可得到圖形理論距離指數. 20.

(33) (graph-theoretic distance, 簡稱GTD) 和接近性指數 (proximity index, 簡稱PRX)，藉由這三種指數來判斷受試者知識結構和參照知識結構的相似程度。茲以Goldsmith, Jonson, and Acton (1991) 所舉的例子，如圖2-3 和圖2-4 所示。分別說明這三種相似指數。 PFNET 接近性矩陣 (dissimilarity) A B C D A 0 1 3 2 B 1 0 1 4 C 3 1 0 5 D 2 4 5 0 E 3 6 5 4. A E 3 6 5 4 0. B. E. C. D. 圖 2-3 接近性矩陣與徑路搜尋法 (Goldsmith et al., 1991). A B D. C. E. F. G. 網路一 PFC=.43 GTD=.79 網路二. A B D. E. PFC=.74 GTD=.42. C F. 網路三. A B G. D. E. C F. G. 圖 2-4 網路一和網路二、網路三之 PFC 和 GTD 指數 (Goldsmith et al., 1991). 21.

(34) GTD的指數範圍由0至1，數值愈大表示兩個網路愈相近。GTD指數是以徑路連結鍊的數目作為計算的單位如表2-2所示，表2-2清楚呈現圖2-4中的PFNET之三個網路節點之間距離值得計算方式。表2-2 三個網路中部分結點的圖形理論距離值徑路 A-B A-E A-F. 網路一 1 2 2. 網路二 1 1 3. 網路三 1 2 3. 將表2-2中網路一和網路二各節點的距離值計算其相關係數，就可得到GTD 指數值.79。 PRX指數是直接計算兩個網路相鄰矩陣 (接近性矩陣) 的相關程度，以相關係數表示兩個網路的相似程度。即求受試者的接近性矩陣與參照的接近性矩陣相互對應元素的積差相關係數，就可得到PRX指數，其值介於0至1之間，指數愈大，表示兩個網路結構愈相似。 PFC指數的計算要先求出兩個網路各節點的鄰近節點，將鄰近節點的交集除以聯集，總合其商數加以平均即可獲得PFC 指數，其計算公式如下：. PFC(A, B) . Ai  Bi 1  n iI Ai  Bi. 其中A、B 表示徑路搜尋網路，為共有節點數，I 代表網路所有節點的集合、 i 為網路節點。PFC 的指數計算方式如表2-3 所示。表 2-3 網路一和網路二的 PFC 指數之計算節點 A B C D E. 鄰近節點網路一網路二 B,C B, D, E A, D, E A,C A, F,G B, F,G B A B A. 交集集合大小 B 1 A 1 F,G 2  0  0. 22. 聯集集合 B,C, D, E A,C, D, E A, B, F,G A, B A, B. 大小 4 4 4 2 2. 商數 1÷4 1÷4 2÷4 0÷4 0÷4.

(35) 表2-3 網路一和網路二的PFC指數之計算(續). C C. F G. C C. C C. 1 1. C C. 1 1. 1÷1 1÷1. 商數總和為3.0，C值=3.0/7=.43，  表示空集合。(改寫自Goldsmith et al., 1991) 徑路搜尋法近年來常被運用在教育和訓練上，用來評估學生的學習成效與訓練的有效性 (Goldsmith & Davenport, 1991; Rowe & Cooke, 1995; Choo & Curtis,2000; Curtis & Davis, 2003)。江淑卿 (1997) 應用徑路搜尋法探討國小六年級學生和國小自然科教師對「地球的多重屏障」一文的知識結構和文章理解能力，結果顯示知識結構和科學文章的理解能力有顯著的相關，且知識結構指數對科學性文章理解能力具有顯著的預測力。宋德忠、林世華、陳淑芬、張國恩 (1998) 應用徑路搜尋法針對大學生對學習理論的知識結構進行研究，結果發現PFC指數對學生的學習成效有不錯的預測力，且能有效的區別不同學習成就的學生。Gomez and Housner (1992) 應用徑路搜尋法對物理準教師的知識結構和教授的知識結構進行比較，研究發現PFC指數、GTD指數、PRX指數皆和準教師的學期成績有顯著的相關。綜上所述可知，徑路搜尋法以量化的方式測量受試者的知識結構的方法，不但可以分析知識結構與學習表現的關係，比較不同能力學習者的知識結構，亦能根據受試者知識結構圖的特徵，給予學習策略的指導或提供補教教學。. 貳、IRT 理論取向的知識結構分析法一、規則空間規則空間 (rule space) 是由Tatsuoka (1983) 所發展出的。它是結合S-P表分析法與試題反應理論 (IRT) 的一種認知診斷評量系統。規則空間藉由受試者在評量中的試題反應組型 (item response pattern)，進而推論受試者的潛在知識狀態 (latent knowledge stage)。所以規則空間大多被應用在教育統計領域方面，它可以在大型測驗中，藉由類型分析 (pattern analysis)，將受試者的試題反應組型做分. 23.

(36) 類，並分析受試者的知識結構，以及診斷受試者解題時所犯的錯誤之處。進行規則空間分析時，通常包括五步驟：(一)定義試題的認知屬性；(二)將認知屬性組合成試題；(三)確定各種知識狀態；(四)形成分類的空間；(五)對受試者的反應進行分類 (Katz, Martinez, Sheehan, & Tatsuoka, 1998)。茲將五步驟分別說明於下： (一)定義試題的認知屬性 (defining attributes) 試題的認知屬性是指構成認知診斷評量的基礎，它包含陳述性知識、程序性知識或解題策略等。通常以工作分析法來決定並選出該領域的重要概念做為試題的認知屬性。 (二)將認知屬性組合成試題 (assigning attributes to items) 試題編製過程中，每道試題至少要包含一個認知屬性，且必須考量試題間認知屬性的相關程度與難易程度。而試題與認知屬性的關係，可藉由關聯矩陣 (incidence matrix, 通常以Q表示) 加以呈現。例如有三道試題，分別為 j1、 j2、 j3 ，有兩個認知屬性 k1、 k 2 ，其中試題 j1 和試題 j3 各含有認知屬性 k1，試題 j2 則包含認知屬性 k 2 。受試者若想答對試題 j1 或試題 j3 ，必須具備認知屬性 k1 ，若想答對試題 j2 ，則須具備認知屬性 k 2 的知識。其關聯矩陣Q (2×3) 矩陣，矩陣表示如下。. k1 k2. j1. j2. j3. 1 0 . 0. 1 0. 1. (三)確定各種知識狀態 (determining identifiable knowledge stage) 知識狀態的類型是透過試題與認知屬性的關聯矩陣Q來決定的。以上述例子之矩陣為例，受試者在 j1、 j2 、 j3 這三道試題中，可能會有八種不同的反應組型： (0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)。其中1代表答. 24.

(37) 對，0代表答錯。其三道試題和二個認知屬性構呈了四種可能的知識狀態，茲簡述於下： 1.知識狀態一：受試者具備認知屬性 k1 的知識，而不具備認知屬性 k 2 的知識，其知識狀態為 (1,0,1)。 2.知識狀態二：受試者具備認知屬性 k 2 的知識，而不具備認知屬性 k1 的知識，其知識狀態為 (0,1,0)。 3.知識狀態三：受試者同時不具備認知屬性 k1 和 k 2 的知識，則其知識狀態為 (0,0,0)。 4.知識狀態四：受試者同時具備認知屬性 k1 和 k 2 的知識，則其知識狀態為 (1,1,1)。上述四種知識狀態是屬於典型的試題反應組型，若受試者的反應組型是屬於另外四種類型：(1,0,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)，則屬於非典型的試題反應組型。施測者可以透過典型的反應組型，清楚掌握受試者的具有或缺乏哪些認知屬性的知識。但是當受試者可能因猜題或不小心等因素產生非典型的反應組型時，施測者則不易推估其具有或缺乏哪些認知屬性的知識。 (四)形成分類的空間 (formulating the classification space) 規則空間是以二維的笛卡兒座標來呈現，即以IRT中的能力參數值  做為橫座標，以非典型的反應組型(ξ )為縱座標，而規則空間中的每個座標點代表一種反應組型，也就是一種知識狀態。 (五)對受試者的反應組型進行分類 (classifying examinees’ responses) 當所有可能的反應型都標示到規則空間的笛卡兒座標上，就可根據受試者的座標值大小來決定其可能的知識狀態。而受試者反應組型的分類是採馬氏距離 (Mahalanobis distance) 法，找出距離受試者的座標值最近的知識狀態的座標值，並以此決定與受試者的反應組型較為類似的知識狀態。施測者即能根據此類似之. 25.

(38) 知識狀態瞭解受試者的學習狀況，進行個別的學習指導。 Tatsuoka (1990) 應用規則空間進行學生在數學四則算術問題之研究，結果發現學生解題時所使用的錯誤規則 (erroneous rules)，會形成系統化的規律錯誤，且答錯學生其反應組型亦有所不同。余嘉元 (1995) 以規則空間偵測664名學生在30 個數學試題中其認知錯誤類型，研究發現規則空間能將86％的學生之認知錯誤類型歸納成18 種。趙育倫 (1996) 結合無參數試題反應理論及規則空間，對臺灣地區4465位五年級學生的分數加法能力進行研究，並據以分析學生的錯誤類型。日本學者Kuramoto, Scott, and Kasai (2003) 應用規則空間證實由Taira, Ono, and Hayashi 在1992 年所發展出的日本語字彙測驗 (Japanese vocabulary test) 是一份有效度的測驗。Hayashi (2002) 針對規則空間方法 (rule space method) 和神經網路模式 (neural network model) 在區別個體間知識結構差異時，比較兩種方法所得結果的差異。Menucha, Curtis, and Tomoko (2004) 應用規則空間，針對美國、日本和以色列三國的八年級學生在1999年TIMSS-R 數學測驗的表現，進行研究，結果顯示：日本八年級學生在數學知識 (mathematics knowledge) 和思考技巧上 (thinking skills) 優於其他二國，而以色列境內猶太裔學生在所有項目的成績都顯著高於阿拉伯裔學生。由此可知，規則空間在認知診斷評量上可以提供豐富且準確的訊息。二、線性邏輯測驗模式線性邏輯測驗模式 (linear logistic test model, LLTM) 是由Fischer (1973) 所發展出來的，他根據Scheiblechner 於1972 所提出的試題難度(  i )理論為基礎，將Rasch 模式中的試題難度參數(  i )，分解成許多認知操作 (cognitive operations) 的線性組合，此認知操作亦即是解題的規則。其答對機率及試題難度參數的估算公式如下：. 26.

(39) p. exp( j   j ) 1  exp( j   j ) p.  j   il  l  c l 1.  l ( l  1,2,3........, p ) 是所謂的基本參數 (basic parameters)， il 是  l 的權重 (weights)， c 通常是正規化係數 (normalization constant)。  l 是指答對該題，所需要的認知操作，因此每道試題的難度會因其所包含的認知操作不同而有所不同。例如，任意兩道試題 I i ， I k 的難度差異 (  i   k ) 可表示成 i   k . p.  (il   kl ) l l 1. 藉由線性邏輯測驗模式，可獲得試題在不同認知操作的線性組合下其不同的試題難度，透過受試者的試題反應組型，可推估出受試者可能因沒有具備某種認知操作的知識或技能而無法答對包含該種認知操作的題目，以及同時可推估出在全部試題的所有認知操作中，受試者比較容易習得何種認知操作，而何種認知操作對受試者又是比較艱難的。線性邏輯測驗模式雖可提供豐富的診斷訊息，有助於教學者清楚掌握受試者的學習歷程，不過亦有其缺點，例如它必須使用Fischer 所開發的LpcM 套裝軟體，方能估算其各種參數；其二是此測驗模式未考慮試題的鑑別度參數和猜測參數之估計，使其在應用上有所限制。. 參、知識空間理論知識空間 (knowledge space) 是近年來備受重視的認知診斷評量方法之一。 Doignon and Falmagne (1985) 為了瞭解學習單元的知識結構和學習者的知識狀態，以便有效率的診斷學習者的知識狀態，而提出知識空間理論 (knowledge space. 27.

(40) theory, KST)。其基本假設為：任何領域的評量，就是將該領域分解成一些問題或試題的集合，而這些試題組合就構成知識結構的基本元素。學生的知識結構 (knowledge structure) 是由其知識狀態 (knowledge state) 所代表，而知識狀態 (knowledge state) 就是指學生能答對的試題所構成的集合，所有可能的知識狀態之組合就是知識空間 (knowledge space)。由於在同一領域的知識架構下，試題之間存在著前提關係 (prerequisite relation)，例如學生如果要算對異分母的分數加法，那麼他一定是已經先會求最小公倍數的技巧。所以評量者可根據學生對前面試題的反應狀況進行合理的推測，以減少學生不須受測的試題數，達到有效率的診斷學生的知識狀態的目的。此外學習路徑 (learning path) 亦是知識空間另一個重要的概念。學習路徑是從不包括任何一個知識或技能的空集合 (empty set) ，逐漸學習到全集合 (complete set) 的知識狀態。它是一種從不具任何知識的空集合狀態開始學到逐漸學會全部問題的全集合狀態之連結關係，此種學習路徑稱為順序 (gradation)。 Arasasingham, Taagepera, Potter, and Lonjers (2004) 認為知識空間理論不但是一個有效的研究工具，能檢驗不同的教學方式或學習方法間，何種的概念轉變會比較接近專家知識結構；亦是一種有效的教學方法，能追蹤和監控學生對概念理解的發展過程。不過知識空間理論在推估學生的知識結構時，除了需要使用特定的統計軟體 (PRAXIS) 外，還需運用許多複雜心理計量公式，此外進行空間知識評量時，評量者必須事先確定各概念之間的階層關係，而這階層關係尚需仰賴豐富的心理學研究成果來加以支持，然而目前心理學對教學領域的研究成果似乎無法提供充足的實質理論基礎，使得知識空間模式尚未普遍的被應用到教育評量領域 (涂金堂，2003)。. 28.

(41) 第五節幾何概念之相關研究壹、幾何概念的教學與教材之探討人是視覺的動物，為了生存，人類天賦的「形」或「幾何」直覺，遠比一般人所想像要豐富堅實。典型的視覺影像處理如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，對人類大腦輕而易舉，卻是電腦處理的重大挑戰。因此，幾何不但是數學教育中的重要課題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元。圖形與空間的了解可分為知覺性的了解、操弄性的了解、構圖性的了解、論述性的了解。小學教師在從事幾何教學時，最要避免的是來自本身歐氏公設幾何訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順序。由歷史來看，人類是先由應用、操作、實踐中，認識各種幾何要素與性質，彼此之間並沒有一定的先後關係。歐氏幾何的價值，首先是對這些先民知識的歸類與整理，其次才是作為知識典範的演繹系統。因此小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，打下良好的基礎。(教育部，2003) 在我國的國中小九年一貫課程綱要中將數學領域的幾何分成以下四個階段，如表 2-4。. 29.

(42) 表 2-4 國中小九年一貫課程綱要數學領域幾何階段學習表階段. 年級. 學習內容. 階段一. 一到三年級. 階段二. 四到五年級. 階段三. 六到七年級. 階段四. 八到九年級. 較強調幾何形體的認識、探索與操作，學生對幾何形體中的幾何要素，也許能指認，但尚不清楚其結構意義。由於數與量的發展逐漸成熟，學生開始結合「數」與「形」兩大主題，學習運用幾何形體的構成要素(如角、邊、面)及其數量性質(如角度、邊長、面積)。透過形體的分割、拼合、截補、變形及變換等操作，來了解形體的性質與幾何量的計算及非形式化推理。透過方位描述及立體模型的展開與組合以培養空間能力及視覺推理。開始由具體操作情境進入推理幾何情境中，最終目標是學會推理幾何證明，學習內容採漸進式安排，由基本幾何概念進入較深入的幾何推理領域中，學習方式最開始可由填充式推理幾何，慢慢養成完整能力，讓學生有能力及信心，快樂地學習幾何學領域的知識。教材內含有認識生活中的平面圖形，如三角形、四邊形、多邊形、圓形；認識點、線、角、符號及幾何相關名詞；使用基本性質描述某一類形體；能以最少性質對幾何圖形下定義、並熟練定義的相關操作；體會邏輯概念：包含關係、敘述及逆敘述、推理幾何；求角度問題、長度問題、面積(表面積) 問題、體積問題；推理證明、尺規作圖、全等性質、相似性質、平行性質的應用、圓的相關性質。. 資料來源：修改自教育部 (2003). 貳、幾何概念的學習發展分析在幾何概念的學習發展之研究，各家學者均有其獨到之理論發展，但是以 van Hiele 的理論最受後界的推崇與廣泛地運用於實務發展，茲將 van Hiele 的理論及. 30.

(43) 其幾何思考層次介紹如後：一、van Hiele 的理論荷蘭數學教育家P.M. van Hiele及Dina van Hiele-Geldof，根據完形心理學的結構論，以及皮亞傑 (J. Piaget) 的認知理論 (Moline, 1990; van Hiele, 1986)，歷經多年的研究與努力，在西元1957年發展出幾何思考模式。van Hiele對於兒童在幾何圖形思考模式的研究上貢獻非凡，足以提供後人在幾何教學或研究上一個重要的參考方針。皮亞傑等人認為兒童的空間概念發展主要是與年齡有關 (Piaget, Inhelder, & Szeminska, 1960)，而相對於這個論點，van Hiele 夫婦提出的兒童幾何思考發展層次主要的論點認為：幾何的思考有著一定的發展層次，經由教師或引導者適當的引導，兒童可由較低的思考層次逐步提升到較高的思考層次。van Hiele 主張兒童之幾何思考模式可以分為五個層次。這些層次是循序漸進，兒童之思考能力到達某一層次之後，才可以依序發展至下一層次。 van Hiele 的理論，很快的引起一群蘇聯數學教育家的注意，自1960 年代起，就依據van Hiele 的理論模式，來改革該國國民中小學之幾何課程 (Burger & Shaughnessy, 1986a; Fuys, Geddes, & Tischler, 1988; Hoffer, 1983; Usiskin, 1982)。除了蘇聯之外，van Hiele 的理論，在國際間並未受到太多的注意。直到1974年，美國數學教育家 Wirszup (1976) 才將van Hiele 的理論，首次引入美國，世人才開始重視該理論，進行一系列相關的研究。 van Hiele 主張，學生幾何概念的發展，是經由「學習歷程」，而非純粹來於生理的成熟。教師在整個教學過程中，需要幫助學生使其由一個思考層次提升到另一個層次。為了達到這個目的，除了教師的教學方法之外，學生努力去探索問題也是相當重要的。當學生直覺地呈現出新的幾何思考層次時，他所獲得的認知結構已經是與前幾層次完全不同了。教師的教導對於學生幾何概念的產生，扮演著相當重要的角色。例如：教師. 31.