實數平方大於等於0 閉區間的極值
5. 幾何變換
研究者針對幾何變換除了探討學生會或不會進行平移、伸縮、鏡射等幾何變換外，
也考慮了學生進行幾何變換時的思維，或者說是學生如何理解經過幾何變換後函數式子 的改變。這三類的幾何變換，伸縮是在我國教科書並未提及之內容，因此掌握難度上相 較於其他兩者較高；關於進行幾何變換時的思維，研究者考慮了逐點操作、口訣、利用 頂點與係數意義將圖形視為整體、利用兩函數式子間的關係、利用坐標軸的線性變換，
參考了學生對於這些思維的學習先後順序排列。在「幾何變換」這個進程變因的理解層 次如表 伍-9 所示：
表 伍-9 「幾何變換」的理解層次（由高到低）
學生在處理幾何變換的問題時，利用坐標軸的線性變換對代數式子進行處理。
學生利用兩個函數式子（f(x)和af(bx + c) + d）的關係處理幾何變換的問題。
學生在處理幾何變換時，將圖形視為整體，利用圖形的某點（頂點）經過幾何 變換後，求出新的二次函數。
學生在處理平移時，利用「左減右加、上加下減」口訣求出新的二次函數，但 不理解其原因。
學生在處理幾何變換時，利用「逐點操作」後求出新的二次函數。
學生知道平移、鏡射是如何操作，但不知道伸縮是如何操作。
學生不知道平移、鏡射是如何操作。
6. 極值判斷
極值判斷的最高理解層次為掌握二次函數具有極值的關鍵原因：平方項，此外研究 者還考量定義域的改變對於極值判斷的影響，其可能有的學習表現由低等級到高等級包 含(1)不知道二次函數具有極值、(2)知道二次函數的極值發生在頂點，但不會解釋、（3）
定義域為閉區間時，仍認為二次函數僅具有一個極值、(4)能處理閉區間極值的問題，但 是認為頂點一定是其中一個極值發生的點。除了最高理解層次外，研究者依據學習內容 的先後順序排序，在「極值判斷」這個進程變因的理解層次如表 伍-10 所示：
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表 伍-10 「極值判斷」的理解層次（由高到低）
學生知道二次函數具有極值，且能夠利用「任意實數平方大於等於 0」的性質 進行解釋。
學生能正確求出閉區間的極值。
學生在閉區間求極值時，未注意到頂點的 x 坐標是否在閉區間內。
學生知道二次函數具有極值，且發生在頂點，但僅能以圖形解釋原因。
學生不知道二次函數具有極值。
研究者在將各進程變因下的學習表現排序後，再將各進程變因間難度較相近的學習 表現併在同一個等級，並將學習表現分成「能力」以及「尚未習得知識或錯誤類型」，而 發展出表 伍-11 的初步學習進程架構，共六個等級，下錨為第 0 等級、上錨為第 5 等 級。而後研究者根據此調整後的學習進程內容，發展出二次函數概念測驗試題，作為驗 證期之研究工具。
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學生不知道平移、鏡射是如何操作。
0 尚未習得知識或錯誤類型
學生不知道明確的二次函數定義，且無法分辨二次函數與一元二次方程式 的不同。
（例如：學生認為 2x2+ 𝑥 − 2 = 0 是二次函數。）
學生知道二次函數須具有二次項，但認為只要有二次項即為二次函數。
（例如：學生認為 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2x2+ 𝑥3 是二次函數。）
學生具備描點作圖的能力，但兩點之間以直線連接。
學生不認為二次函數具有對稱軸。
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