本章分為兩節，第一節依據研究中的發現及想法進行討論，第二節依據本研究之研 究結果給出研究者的建議。
討論
雖然本研究已經建立一個二次函數的學習進程，但由於時間的限制還有很多不足之 處，本節針對研究者在驗證其對教師資料與學生資料的使用，以及研究者建立的二次函 數學習進程進行一個討論，記錄研究者在研究過程中所遇到的困難與挑戰，以期日後這 些困難與挑戰能被解決。
(一) 教師資料與學生資料的參考程度
根據第二章第一節文獻探討所整理的學習進程的研究方法，大部分的學習進程研究 在驗證階段都是蒐集學生的實徵資料來效化學習進程。本研究有別於這些研究，另外蒐 集了教學現場有經驗的教師，根據研究者所建立的學習進程的描述重新進行排序的資料 進行效化。然而，學生資料與教師資料所效化的結果，在研究者的處理下有著不一致的 現象產生。
本研究採用「以學生資料為主，教師資料為輔」的方式，主要原因有二：
第一、教師對於研究者所撰寫的描述有不清楚的情形，例如：教師甲：「那個什麼『處理 平移的變換操作』，我不太懂他是指說我請他把圖往右畫兩格，他會畫，還是什麼意思？」、 教師丁提到：「選項敘述不知是啥？像是知道其『係數範圍』。」、教師己也有像教師丁的 疑問。沒有提出疑問的教師不確定是否瞭解研究者撰寫的描述的本意。
第二、利用眾數作為調整描述所在等級的依據是否合理有待商榷，因為每一位教師在排 序時有自己的脈絡，當利用投票法的方式統一大家的想法時，可能忽略了脈絡，有時候 也會因為兩個人的意見就能成為眾數，代表性稍嫌不足。雖然利用眾數有這些問題存在，
但由於研究者無法評斷該依據哪位教師的資料為主，因此，暫時以眾數的方式作為調整 的依據。
雖然教師資料的處理還有許多挑戰需要被克服，但不可否認教師在進行排序活動時的投
92 球的另一個地方，Graf, Fife, Howell, & Marquez （2018）根據美國的各州共同核心標準
（數學）（Common Core State Standards for Mathematics, CCSSM）也開發了一套二次函 數的學習進程及相關的任務，此研究選擇了七個進程變因：「比較二次函數與其他函數」、
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時候，研究者發現教師們嘗試對每個等級給出一個說明，合理化他這樣排序的理由，因 此，研究者認為若可以給出每個等級的定義，或許可以降低建立學習進程的困難度，甚 至在教師認同每個等級定義的前提下，提高教師資料間的一致性。教師對於他們所排序 的等級說明詳見附錄四。
這樣對每個等級給出定義的想法，其實在許多的學習進程可以看到，像是Graf et al.
（2018）將所建立的學習進程分成六個階段，依序為：「Preinstruction, Familiarization, Making connections, Synthesis, Thorogh conceptualization, Drawing extensions」，這六個階 段建立好學習進程後，在根據每個階段的本質所命名的。然而，研究者當時只是憑藉著 自己的邏輯、對於描述難易度的判斷以及學生的資料而建立，尚未能釐出各個等級的本 質，這是本研究可再改進之處。
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讓學生有更好的學習。
對於教科書的編者，本研究所建立之二次函數學習進程可以提供教科書的編者們檢 視教科書內容的脈絡是否合乎學生的發展，並在學生有困難的地方，提供更多的學習機 會或是更詳細的說明，對於現場教師及學生能有更大的幫助。
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