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中學生二次函數學習進程之探究

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Academic year: 2021

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授:譚克平、楊凱琳 博士. 中學生二次函數學習進程之探究 The Study of Secondary Students’ Learning Progression for Quadratic Functions. 研 究 生:張閔翔. 中 華 民 國. 一百零八. 年. 七 月.

(2) 摘要 本研究旨在建立二次函數的學習進程,協助學習進程的使用者瞭解學習者對於二次 函數相關概念的掌握順序,提供使用者一個參考去設計合適的教學活動,使學習者更能 掌握二次函數的概念。基於此目的,本研究主要的研究問題為: 「我國中學生對於二次函 數的學習進程內容為何?」 為了回答研究問題,本研究採用文獻分析法、質性訪談以及問卷調查法,並經歷探 索期、調整期以及驗證期三個階段得到研究結果。 探索期之研究的目的在於熟悉學習進程的建立方法,以及蒐集學生在學習二次函數 時可能有的學習表現。此時期利用文獻分析法瞭解過去相關研究中學生有的學習表現, 設計訪談稿後,藉由質性訪談,訪談了 6 位台北市十年級的學生以及 2 位台中市十一年 級的學生,而後建立了初步的學習進程。根據學習進程,研究者開發評量試卷,蒐集了 台中市 42 位十年級的學生以及 38 位十一年級的學生的學習表現資料,由於此試卷未做 信效度的檢驗,且學生填答情形不如預期,僅作為蒐集學生的學習表現用。 調整期之研究的目的在於解決探索期所遇到的困難,並調整二次函數學習進程的內 容。此時期增加了對學習進程理論文獻的探討量,也利用文獻分析法瞭解更多學生在學 習二次函數時可能有的學習表現,並提出一個新的初步的學習進程。 驗證期之研究的目的在於驗證研究者所開發的學習進程之有效性,並嘗試提出更能 描述學生在學習二次函數時的學習進程。此時期利用問卷調查法,根據調整期所提出的 學習進程設計評量試卷,針對北北基八到十二年級的學生進行施測,蒐集了共 604 位學 生的資料,由於試卷設計的緣故僅分析了 399 位高中學生的資料。另外,利用質性訪談 的方式,邀請五位有經驗的現場教師進行排序活動,作為效化的證據之一。 本研究所建立之初步的二次函數學習進程共有六個等級(等級 0~等級 5) ,內容包 含二次函數的定義、作圖、係數意義、幾何變換、極值、對稱。利用蒐集到的學生資料 僅能將 13.67%的學生歸到對應的等級,利用教師所排序的資料,在完全一致率僅達到 24.3%~48.8%,若考慮差一個等級的一致率可達 68.3%~87.8%,本研究所建立之初步的 學習進程仍有調整的空間。研究者根據學生資料,將等級 4 與等級 5 合併,並刪除了學 生進行幾何變換時的思維的相關描述後,能將 63.04%的學生歸到對應的等級。研究者並 根據教師資料,將幾何變換時的思維的相關描述放回調整後的學習進程之中。由於研究 i.

(3) 者對於教師資料的處理尚未釐出頭緒,因此,以學生資料為主、教師資料為輔調整二次 函數的學習進程,教師資料的使用有待研究者日後做更進一步的分析。 本研究所建立之二次函數學習進程仍有很大改善的空間,但已能供使用者做一個參 考,在教學上更去注意學生認知的發展。此外,本研究有別於過往的學習進程研究,利 用現場教師的資料進行效化,雖然在教師資料的使用上還不夠好,但已是一個突破,可 供未來建立學習進程的研究者作為一個參考。. 關鍵字:學習進程、二次函數。. ii.

(4) Abstract The purpose of this study is to depict the learning progression for quadratic functions of secondary students in Taiwan. Through this learning progression, we hope to assist the users to understand the sequence how the learners grasp the concepts of quadratic functions, and to offer the users a reference for designing appropriate learning activities; thus, the learners can learn the concepts of quadratic functions more efficiently and better. Based on this purpose, our main research question is “what the content of the learning progression for quadratic functions of secondary students in Taiwan?” In order to answer the research question, we used literature analysis, qualitative interview and questionnaire, and went through three periods to obtain the results. First period is exploration period. The purpose of exploration period is to make us familiar with the method of depicting a learning progression, and to collect the probable learning performance when secondary students learn the concepts of quadratic functions. We used literature analysis to understand what the mathematicians and the educators expected students to learn, what content students really contacted with, and what kind of error students had through the past study. Then, we designed a draft for interview, and interviewed 8 students in total. Finally, we depicted an initial learning progression for quadratic functions. To validate the learning progression, we developed an assessment and collected the data of forty-two 16year-old students and thirty-eight 17-year-old students. Since we didn’t test the validity and reliability of this assessment, we only collected the data in qualitative analysis rather than quantitative analysis. Second period is adjustment period. The purpose of adjustment period is to solve the challenge we faced in exploration period, and to adjust the content of the learning progression for quadratic functions. We reviewed more literature to understand the learning progression theory and to understand what kind of learning performance students had in the past research. Finally, we depicted a new initial learning progression for quadratic functions. To validate this new initial learning progression, we came to the third period, validation period. We used questionnaire and developed a new assessment based on the new initial learning progression. After testing the validity and reliability of this assessment, we collected iii.

(5) the data of 604 students, through 14-year-old to 18-year-old, and finally analyzed the data of 399 senior high school students because of bad design of assessment for junior high school students. In addition, we used qualitative interview and invited five veterans of mathematics teachers to arrange 41 descriptions in our learning progression as one of evidence for validation. There are six levels, from 0 to 5, in our new initial learning progression for quadratic functions with the concepts including definition, graphing, the meaning of coefficients, transformations, extreme values and symmetry of quadratic functions. However, we could only depict 13.67% students in our data with this learning progression, and had 24.3 to 48.8 percent exact agreement and 68.3 to 87.8 percent adjacent agreement with five veterans of mathematics teachers. This informs us of the room of improvement of our learning progression. Based on students’ data, we combined the contents of level 4 and 5, and deleted the descriptions about the thoughts of transformations. We could finally depict 63.04% students in our data after the adjustment. And, we put the descriptions about the thoughts of transformations back into the learning progression by teachers’ data. Since we had no idea to use the teachers’ data, we mainly relied on students’ data supplemented by teachers’ data to adjust our learning progression. Keywords: learning progression, quadratic function. iv.

(6) 目 錄 第壹章. 緒論 ........................................................................................................................ 1. 第一節、. 研究動機 .................................................................................................... 1. 第二節、. 研究目的與研究問題 ................................................................................ 4. 第三節、. 名詞界定 .................................................................................................... 5. (一). 學習進程 ........................................................................................................ 5. (二). 二次函數學習內容 ........................................................................................ 5. (三). 課程綱要 ........................................................................................................ 5. 第四節、. 第貳章. (一). 研究範圍 ........................................................................................................ 6. (二). 研究限制 ........................................................................................................ 6. 文獻探討 ................................................................................................................ 7. 第一節、. 學習進程理論 ............................................................................................ 7. (一). 學習進程之意涵與特徵 ................................................................................ 7. (二). 學習進程之研究方法 .................................................................................... 9. 第二節、. 第參章. 研究範圍與限制 ........................................................................................ 6. 學習進程與學習軌跡之比較 .................................................................. 12. (一). 學習軌跡之意涵 .......................................................................................... 12. (二). 學習軌跡與學習進程之異同 ...................................................................... 13. 研究方法 .............................................................................................................. 15. 第一節、. 研究設計與架構 ...................................................................................... 15. 第二節、. 研究流程 .................................................................................................. 18. 第肆章. 探索期之研究 ...................................................................................................... 20. 第一節、. 研究流程 .................................................................................................. 20. 第二節、. 研究對象與分析的文件 .......................................................................... 22. (一). 文獻分析階段 .......................................................................................... 22. (二). 質性訪談階段 .......................................................................................... 22. (三). 資料蒐集階段 .......................................................................................... 23. 第三節、. 研究工具 .................................................................................................. 24 v.

(7) (一). 訪談工具的設計 ...................................................................................... 24. (二). 評量試卷之編製與設計 .......................................................................... 25. 第四節、. 研究結果與討論 ...................................................................................... 28. (一). 文獻分析結果 .......................................................................................... 28. (二). 質性訪談結果 .......................................................................................... 32. (三). 初步的學習進程 ...................................................................................... 34. (四). 研究結果的討論 ...................................................................................... 37. 第伍章. 調整期之研究 ...................................................................................................... 39. 第一節、. 研究流程 .................................................................................................. 39. 第二節、. 研究對象 .................................................................................................. 40. 第三節、. 研究結果 .................................................................................................. 41. 第陸章. (一). 文獻分析結果 .............................................................................................. 41. (二). 調整後的學習進程 ...................................................................................... 46. 驗證期之研究 ...................................................................................................... 54. 第一節、. 研究流程 .................................................................................................. 54. 第二節、. 研究對象 .................................................................................................. 56. (一). 學生資料 ...................................................................................................... 56. (二). 教師資料 ...................................................................................................... 58. 第三節、. 研究工具 .................................................................................................. 60. (一). 評量試卷之編製與設計 .............................................................................. 60. (二). 教師資料訪談工具的設計 .......................................................................... 70. 第四節、. 學生資料的處理與分析 .......................................................................... 72. (一). 學生資料的處理 .......................................................................................... 72. (二). 量化資料的分析結果 .................................................................................. 74. (三). 學生能力等級的分析結果 .......................................................................... 76. 第五節、. 教師資料的處理與分析 .......................................................................... 78. (一). 教師資料的處理 .......................................................................................... 78. (二). 排序前訪談內容的整理與分析 .................................................................. 78. (三). 排序活動資料的整理與分析 ...................................................................... 79. (四). 排序後訪談內容的整理與分析 .................................................................. 85. 第六節、. 研究結果 .................................................................................................. 87 vi.

(8) 第柒章. 討論與建議 .......................................................................................................... 91. 第一節、. 討論 .......................................................................................................... 91. (一). 教師資料與學生資料的參考程度 .............................................................. 91. (二). 二次函數學習進程內容 .............................................................................. 92. 第二節、. 建議 .......................................................................................................... 94. (一). 對後續研究者探討學生學習進程的建議 .................................................. 94. (二). 對使用本研究所建立之二次函數學習進程的建議 .................................. 95. 參考文獻 .................................................................................................................................. 97 附錄 ........................................................................................................................................ 101. vii.

(9) 表 次 表 肆-1 探索期質性訪談之研究對象 ................................................................................... 22 表 肆-2 探索期資料蒐集之研究對象 ................................................................................... 23 表 肆-3 訪談重點整理 ........................................................................................................... 24 表 肆-4 二次函數概念評量試卷(探索期)第一部分之單項細目表 ............................... 26 表 肆-5 二次函數概念評量試卷(探索期)第二部份之單項細目表 ............................... 26 表 肆-6 學生在二次函數概念上的迷思概念或錯誤類型 ................................................... 30 表 肆-7 訪談學生依照能力分等 ........................................................................................... 32 表 肆-8 二次函數學習進程(探索期) ............................................................................... 35 表 伍-1 十二年國民基本教育課程綱要數學領域二次函數相關學習內容條目及說明 ... 42 表 伍-2 學生在二次函數定義理解的錯誤類型 ................................................................... 43 表 伍-3 學生在二次函數圖形判斷的錯誤類型 ................................................................... 44 表 伍-4 學生在二次函數幾何轉換的錯誤類型 ................................................................... 45 表 伍-5 「定義理解」的理解層次(由高到低) ............................................................... 47 表 伍-6 「圖形判斷─作圖」的理解層次(由高到低) ................................................... 47 表 伍-7 「圖形判斷─係數意義」的理解層次(由高到低) ........................................... 48 表 伍-8 「圖形判斷─對稱」的理解層次(由高到低) ................................................... 48 表 伍-9 「幾何變換」的理解層次(由高到低) ............................................................... 49 表 伍-10 「極值判斷」的理解層次(由高到低) ............................................................. 50 表 伍-11 初步的學習進程架構 ............................................................................................. 51 表 陸-1 驗證期之研究對象(學生) ................................................................................... 57 表 陸-2 教師背景資料 ........................................................................................................... 59 表 陸-3 專家審查結果 ........................................................................................................... 61 表 陸-4 試題修改建議類型及對應之試題 ........................................................................... 63 表 陸-5 各試題之難度及鑑別度 ........................................................................................... 65 表 陸-6 試題之難度、鑑別度二維表格 ............................................................................... 65 表 陸-7 試題修改結果與理由 ............................................................................................... 67 表 陸-8 二次函數概念測驗試題(第四版本)之單項細目表 ........................................... 69 表 陸-9 教師資料訪談大綱 ................................................................................................... 71 表 陸-10 學生能力等級分析之範例 ..................................................................................... 73 viii.

(10) 表 陸-11 等級 0→等級 1 之試題的平均數、標準差、難度及鑑別度 .............................. 74 表 陸-12 等級 1→等級 2 之試題的平均數、標準差、難度及鑑別度 .............................. 75 表 陸-13 等級 2→等級 3 之試題的平均數、標準差、難度及鑑別度 .............................. 75 表 陸-14 等級 3→等級 4 之試題的平均數、標準差、難度及鑑別度 .............................. 76 表 陸-15 教師排序活動的結果 ............................................................................................. 79 表 陸-16 研究者與五位教師以及教師間排序的完全一致率 ............................................. 81 表 陸-17 研究者與五位教師以及教師間排序的差一個等級一致率 ................................. 81 表 陸-18 統計資料及調整後的等級 ..................................................................................... 82 表 陸-19 標準差大於 1.1 之試題 ......................................................................................... 84 表 陸-20 修改後之學習進程 ................................................................................................. 88. ix.

(11) 圖 次 圖 貳-1 思維雲層 ...................................................................................................................... 8 圖 貳-2 心智山坡 ...................................................................................................................... 8 圖 貳-3 強迫將資料擬合到理論架構 ...................................................................................... 9 圖 貳-4 一般學習進程架構的結構 ........................................................................................ 10 圖 參-1 研究架構 ................................................................................................................... 17 圖 肆-1 探索期研究之研究流程 ............................................................................................ 21 圖 伍-1 二次函數子概念架構圖 ........................................................................................... 43 圖 陸-1 驗證期研究之研究流程 ............................................................................................ 55. x.

(12) 緒論 本章分為四節,第一節說明本研究之研究動機,第二節提出本研究之研究目的及研 究問題,第三節針對本研究所提及之部分名詞作出一些界定,第四節說明本研究之研究 範圍與限制。. 研究動機 數學的結構層層累積,學習者若未能充分理解前一階段的概念,必然影響後續階段 的學習(國家教育研究院,2016) 。然而,在教學現場,由於學習者的數學能力及數學認 知發展有著個別差異,再加上有教學進度的壓力,教師往往無法等到所有學習者充分理 解所教授之概念後才繼續進行教學,因此,教師如何在顧及教學進度的同時,幫助每位 學習者獲得適性的學習、做到有效的差異化教學就顯得格外重要。於是,研究者思考是 否能有些工具協助教師去理解學生在某個數學概念上的認知發展,以利教師設計合適的 教學,幫助學生學習數學概念。 大學修課的過程中,在譚克平教授的課堂上首次接觸到了「學習進程(learning progression)」的理論及一些相關的研究。學習進程理論興起於美國科學教育界,針對科 學領域的大概念(big ideas),描述學生對這個大概念的理解或思考逐漸精緻、複雜化的 過程。幾篇研究(e.g. Alonzo & Steedle,2009;Plummer & Krajcik,2010;Smith,Wiser, Anderson, & Krajcik,2006) 認為大部份學習者在學習某個概念時有相同的學習路徑, 教學者如果沿著這條路徑進行教學,學習者會有更好的學習效果。我們不難想像「大部 分人有著相同的學習路徑」這件事,例如:小嬰兒從躺著到會爬,再到會走,這個發展 順序幾乎是所有人共有的;學習數學上,我們也是先從數數、到加法,再到乘法,有著 一個合理的先後發展順序。如果我們可以了解大部分學習者在學習某個概念時的先後發 展順序,對於教師在設計教材、安排教學上會有很大的助益,對於課程綱要之編寫、測 驗題目之設計也能更符合學習者的認知發展,甚至有助於統合課程綱要、課程、測驗、 教學以及專業發展(Confrey, Maloney, & Nguyen, 2014; Daro, Mosher, & Corcoran, 2011; Duncan & Hmelo-Silver, 2009; National Research Concil [NRC], 2007)。 再看學習進程理論的研究方法,是透過「由上而下(top-down)」的設計方法選取一 些為了瞭解社會科學或是有助於提升科學(數學)素養的主要知識,符合科學(數學) 1.

(13) 家與科學(數學)教育家的期待;同時,也透過「由下而上(bottom-up)」的設計方法, 將知識的內容安排由直觀到複雜,符合學生的學習狀況,可以說是首次將學生的想法納 入教育架構中(Gotwals & Alonzo,2012) 。此理論整合過去的相關研究以及現有的學生 表現,描述學生「掌握了哪些子概念、對哪些子概念有什麼樣的誤解」的先後順序,因 此可以作為了解學生在學習過程中想法如何發展的基礎(Lobato & Walters, 2017)。研 究者認為學習進程具有順序性,並且將學生想法納入架構中,有助於教學者了解學生在 某個數學概念上的認知發展,並根據學生現在的學習情況,給予學生適性的教學。因此, 研究者決定研究某個數學概念的學習進程,藉由實作的方式更了解學習進程理論,並期 許自己未來可以發展更多的學習進程研究。 在選擇大概念的過程中,研究者回想過去的學習經驗,從國中、高中到大學,「函 數」概念一直是學習重點之一。函數本身在數學亦佔有一舉足輕重的地位,舉凡對規律 的討論、變數與變數間的關係,都需要仰賴函數的概念。在日常生活中,函數也十分常 見,例如:住址的一一對應關係以減少郵差送錯信的可能性、投籃的軌跡是一個二次函 數、移動距離是速度與時間的函數、費率的計算等等;在科學應用上,科學家利用大量 的數據假設合理的函數模型,並利用此適當的模型解釋現象。可見函數概念的掌握對人 類生活有很大的助益。美國國家數學教師委員會(National Council of Teachers of Mathematics [NCTM], 2009)也指出函數作為協助學生了解周遭世界重要的數學工具 之一,而且其概念為數學許多分支之基礎,因此「協助學生發展函數概念的使用與瞭解」 為數學教育的主要目標之一。 從課綱安排的角度來看,不論是九年一貫課程綱要及高中 99 課綱或是十二年國教 數學課綱,函數都佔了很大的篇幅:學生在國中階段首次接觸函數概念,以一次函數及 二次函數作為具體例子,並將函數放至直角坐標系統,探討其圖形的特徵與變化;高中 階段,除了複習國中所學的一次函數及二次函數,更進一步地介紹多項式函數、指對數 函數、三角函數,甚至延伸到微積分的基本概念,函數概念之學習貫穿整個中學階段的 數學學習內容。而十二年國教數學課綱更是將「函數」從「代數」領域中獨立成一個數 學學習內容類別(國家教育研究院,2016) ,可見函數概念的學習對於學生而言是非常重 要的。 然而,Mohan & Plummer(2012)指出根據學習進程的用途有所不同會需要不同尺寸 大小,可以想成學習進程所描述學生表現的內容量與精細程度,例如:課程標準或測驗 需要較粗糙的尺寸(coarse-grained);教師或課程開發者則需要較細緻的(fine-grained)。 函數概念之大,橫跨數個年級,站在教學者的立場,對於設計教學上有過多不必要的資 2.

(14) 訊,或是對於學生的學習表現描述不夠精細,在使用此學習進程上可能無法達到預期的 效用,因此,研究者希望將大概念從函數更聚焦到函數底下的子概念,以達到研究者預 期協助教學者設計合適的教學,幫助學生學習數學概念之目的。 在眾多函數的子概念中,學習者若對於一次函數、二次函數概念的掌握,有助於學 習多項式函數以及其他更複雜的函數。相較於一次函數,二次函數更需要掌握曲線、頂 點、對稱、極值、不同的代數式表徵等概念,故研究者認為二次函數在函數概念學習上 具有承先啟後的重要地位,是以希望鎖定「二次函數」作為學習進程建立的概念,期許 能協助更多教學者了解學生的學習狀況、給予適性教學,讓更多的學生在未來的函數概 念能更加掌握。. 3.

(15) 研究目的與研究問題 基於上述之研究動機,本研究之目的為建立二次函數的學習進程,協助學習進程的 使用者了解學習者對於二次函數子概念的掌握順序,提供使用者一個參考去設計合適的 教學,使學習者更能掌握二次函數的概念,甚至函數的概念。. 基於此研究目的,本研究主要的研究問題為:「我國中學生對於二次函數的學習進 程內容為何?」為了回答此研究問題,研究者更進一步提出以下幾點問題: 1. 我國課綱預期中學生掌握二次函數的哪些相關概念? 2. 我國中學課程所教授的二次函數包含哪些相關概念? 3. 學生對於二次函數有哪些學習表現? 4. 這些學習表現在學生學習二次函數的過程中出現的先後順序為何?. 4.

(16) 名詞界定. (一) 學習進程. 綜合 Smith et al.(2006) 、美國國家研究委員會(2007) 、Alonzo & Steedle(2009) 、 Plummer & Krajcik(2010)、Alonzo, Neidorf, & Anderson(2012)、林哲民(2013)的 文獻,本研究將學習進程定義為: 「學習進程是描述,學生對於一個主題概念,一序列由 簡單逐漸精緻化的理解程度,包含掌握的概念與可能擁有的想法。」其詳細內容將在第 二章第一節「學習進程理論」進行介紹。. (二) 二次函數學習內容. 由於二次函數的相關概念範疇甚廣,本研究所謂之二次函數學習內容,係根據我國 課綱所描述的二次函數學習內容,以及我國教科書所整理而成。包含「定義及其他形式 (一般式、頂點式、因式式)」 、 「相關名詞(對稱軸、頂點、開口方向、開口大小、最大 值、最小值)」 、 「繪圖」 、 「係數意義」 、 「幾何變換(平移、鏡射、伸縮)」 、 「極值(全域、 閉區間)」。. (三) 課程綱要. 本研究進行的時間適逢我國課程綱要的修更,為了簡化課程綱要之名稱與版本以利 讀者閱讀,本文之「舊課綱」指的是九年一貫課程綱要及高中 99 課綱, 「新課綱」指的 是十二年國民基本教育課程綱要數學領域。. 5.

(17) 研究範圍與限制. (一) 研究範圍. 1. 研究內容:由於二次函數所牽涉到的概念甚多,本研究以我國中學所教授之二次函 數概念為主,不宜過度推論到相關概念或不同的學科內容。 2. 研究對象:本研究之在驗證階段的研究對象為臺北市及新北市共三所高中之學生, 因此研究結果未必能直接使用到其他區域的學生身上。. (二) 研究限制. 本研究考量人力與時間的限制,未對學生的學習表現進行縱貫性的追蹤研究,僅以 橫斷性的研究方式來了解學生在二次函數上的學習進程。. 6.

(18) 文獻探討 本章分為兩節進行探討:第一節探討學習進程理論之文獻,了解其意涵、特徵及研 究方法;第二節針對學習進程與學習軌跡進行比較,討論兩者之異同及研究者選擇學習 進程之考量。. 學習進程理論. (一) 學習進程之意涵與特徵 Gotwals & Alonzo(2012)指出大多數的研究者對於學習進程尚未擁有一個一致性 的定義以及須具備哪些關鍵的特徵。然而,回顧過去的相關研究,大部分對於學習進程 意涵之描述都極其相近,例如:Smith et al.(2006)定義學習進程為一序列對於某個概 念的想法越來越複雜的過程,這些想法在學生的學習過程中合理地一個接續一個;美國 國家研究委員會(2007)定義學習進程在於描述學生學習某個主題時,對於其想法逐漸 精緻化的過程;Alonzo & Steedle(2009)認為學習進程對於學生理解某個概念有順序性 的描述;Plummer & Krajcik(2010)認為學習進程是一條介於學生的初始知識與大概念 間的潛在路徑,沿著這條路徑,學生可以更精熟地展現在某個內容領域中逐漸精緻的理 解方式。從這些文獻中,可以釐出不同研究者對於學習進程的一些共同的想法:「一序 列」、「對於某個概念」、「學生的想法」、「精緻化」、「過程」。 Wilson(2009)利用「思維雲層(thought clouds)」(如下頁圖 貳-1 所示)對學習 進程進行類比,一層層相繼的雲朵用來描述學生的想法有不同的複雜程度,且彼此相繼; 而雲朵逐漸增大代表學生在這序列中的想法越來越豐富,例如:學生具有更廣的應用能 力。Battista(2011)將學習的過程比擬為學生在爬一座「心智山坡(mental mountain slope)」 (如下頁圖 貳-2 所示) ,藉由向上攀爬更掌握特定的數學知識,而學習進程就是在描述 學生攀爬的路徑;從課程發展與教學設計的角度來看,研究者必須嘗試判斷對大部分學 生來說最有效的攀爬路徑,即對於大部分學生而言是容易成功的,但為了滿足個別學生 的需求,研究者偶爾也需要拉進觀察的焦點,更精確地判斷學生的下一步使得他們成功。. 7.

(19) 圖 貳-1 思維雲層. 圖 貳-2 心智山坡. (引自 Wilson,2009). (引自 Battista,2011). 研究者林哲民整合了這些學者的詮釋,將學習進程定義為「學習進程是指學習者在 學習一個主題的過程中,從尚未接受教學,到開始學習,最後至完成此學習階段,學習 者對於該主題概念的想法與理解程度,逐漸精緻化並且趨於成熟的發展程序。」(林哲 民,2013,頁 15)Alonzo, Neidorf, & Anderson(2012)認為學習進程不只是將需要學 習的內容進行排序,還包含了對於學生想法的描述,包含了正確完整的知識以及發展中、 可能不那麼精確的想法。 小結:綜合上述文獻,本研究將學習進程定義為: 「學習進程是描述,學生對於一個主題 概念,一序列由簡單逐漸精緻化的理解程度,包含掌握的概念與可能擁有的想法。」更 去強調學習進程包含了對「學生可能擁有的想法」的描述。 學習進程環繞著一個核心主題,將相關的概念知識進行組織及分析,推測概念可能 的發展情形,並根據現有的研究作為發展的基礎,將學生學習的實徵研究結果進行綜合 性的整理,歸納出這些學習表現可能出現的先後順序,來預測學生的學習過程(NRC, 2007;Smith et al., 2006)。針對這個核心主題,將專家或社會對學生的期望目標定為 最高理解層次(上錨) ,將學生的先前知識或初始想法定為最低理解層次(下錨) ,並同 時利用「由上而下」及「由下而上」的設計方法將學科概念或想法與學生的理解表現結 合在一起(Gotwals & Alonzo, 2012; Lobato & Walters, 2017)。然而,學生的學習表 現通常並非線性的,而是如生態般錯綜複雜(Smith et al., 2006),因此學習進程研究 的重點在於描述這些「雜亂的中間層(messy middle)」(Gotwals & Alonzo, 2012; Gotwals & Songer, 2010)。值得注意的是,學習進程的描述結果仍不表示單一正確的學習過程, 8.

(20) 因為缺乏縱向的實徵資料,學習進程只是對學生的學習過程進行假設的推論,僅能描述 大部分學生對於此核心主題的發展情形(Smith et al.,2006; Battista,2012)。. (二) 學習進程之研究方法 對於學習進程的研究方法,文獻上並未有一套制式的規準與說明,且鼓勵方法的多 樣性(Gotwals & Alonzo,2012) ,Shavelson & Kurpius(2012)提醒我們在資料擬合(data fitting)上要特別小心,避免成了「普洛克路斯厄斯的床(Procrustean bed)1」 ,或像 Non Sequitur 圖中的數學方法(如圖 貳-3 所示)。. 圖 貳-3 強迫將資料擬合到理論架構(引自 Velson & Kurpius, 2012). 1. 普洛克路斯厄斯的床(Procrustean bed) :源於希臘神話的典故,講述一名強盜設立一長一短的兩張鐵. 床,並將路人依據身高改變他們的身長來完全符合床的長短。用以表達將某些計畫或工作以暴力的方式 調整成想要的一致性。 9.

(21) 雖然各個學習進程研究的研究方法有所不同,林哲民(2013)仍在其研究中參考數 篇文獻歸納出建立學習進程的主要三個流程供後人依循(頁 20): 第一階段:設定學習進程架構,提出假設性學習進程 一個學習進程的架構包含了三個主要部分:進程變因(progression variables) 、達成 的等級(level of achievement),以及學習表現的描述(learning performance),如圖 貳 -4 所示(Mohan & Anderson, 2009;Gunckel, Mohan, Covitt, & Anderson, 2012)。 研究者針對其所關注的核心主題,參考國家的課程標準綱要、認知科學的相關研究訂定 學習進程的上錨;在上錨的內容決定後,研究者需要參考核心主題的相關研究,尤其是 過去對於學生學習的實徵研究,透過文獻回顧的方式,整理出學生在學習過程中可能有 的想法以及學習表現,並依照研究者的想法,對所整理出的內容進行合理的分類與排序 (Alonzo & Steedle, 2009),由於過去的研究可能聚焦於學生對某些特定概念的想法, 而非探討這些想法間的關聯,在此階段所發展出的學習進程架構僅是研究者對於學生想 法逐漸精緻化過程的假設。. 圖 貳-4 一般學習進程架構的結構 (引自 Gunckel, Mohan, Covitt, & Anderson, 2012) 第二階段:進行資料蒐集;第三階段:以所蒐集的資料驗證學習進程 由於第一階段所提出來的僅是研究者對於學生想法逐漸精緻化過程的假設,因此研 10.

(22) 究者必須蒐集現階段學生的實徵資料以驗證學習進程的有效性,並精緻化學習進程的內 容。在第二、三階段,通常會有反覆修正的過程:在蒐集資料、驗證、精緻化間不斷循 環(e.g., Gunckel, Mohan, Covitt, & Anderson, 2012)。 資料蒐集的方式,各個研究者有所不同,Battista(2011)整理出三種方法進行資料 蒐集,其中最精確的方法是依據研究者所開發的學習進程架構對學習者進行訪談,此方 法的缺點在於非常耗時,但是鼓勵教師可以採用這種方法,不論是個人訪談或是藉由課 堂上的討論蒐集資料;第二個方法(e.g., Steven et al., 2009;Alonzo & Steedle, 2009; Mohan et al., 2009)是使用開放式問題來蒐集學生質性的資料,然而,學生的回答往 往不夠詳盡造成研究者難以分析,建議教師能夠事前幫助學生學習如何精確地描述他們 的想法;第三個方法(eg., Alonzo & Steedle, 2009;劉昆夏,2012)是藉由訪談或其 他研究設計選擇題(又可稱為次序性選擇題,ordered multiple-choice item),其不同選 項對應到不同學習進程等級的學習表現,此種方法不僅能在短時間內蒐集大量學生資料, 也提高了其評量的豐富程度,即使如此,學生仍可能無法將他的想法或理解方式對應到 任何一個選項。Battista(2011)同時也指出不論是質性或量性的蒐集資料方式,都牽涉 到:(1)對核心主題先前相關的研究整合與延伸,發展出一套假設性的學習進程架構; (2)發展了測驗工具或任務,並不斷試驗與修改; (3)對學生進行數次的訪談來支持所 發展出的進程架構或測驗工具; (4)不斷反覆地調整學習進程架構,精緻化其內容,因 此兩類的研究方式是同等謹慎與科學的。. 11.

(23) 學習進程與學習軌跡之比較 回顧數學教育的文獻,Simon(1995)早已提出類似的「描繪學生學習路徑」的概 念:假設性學習軌跡(hypothetical learning trajectory),但為何研究者選擇使用科學教 育界所提的學習進程,而非學習軌跡?本節將簡單介紹學習軌跡之意涵、比較學習軌跡 與學習進程之異同,以及說明研究者選擇學習進程之考量。. (一) 學習軌跡之意涵 Simon(1995)提出假設性學習軌跡之概念,來描述教師對於學習所經之路的預測, 有別於真實性學習軌跡,無法事先得知。此外,Simon 亦提出假設性學習軌跡由三件事 所組成,包含學習目標(learning goal) 、學習活動(learning activity) ,以及假設的學習 過程(the hypothetical learning process),其中學習目標指的是教師所預期學生學習後 能達到的能力水平,學習活動是指教師為學生所安排的學習情境或任務以達到學習目標, 而假設的學習過程則是指教師對於學習活動中學生的思考與理解如何發展所做的預測 (林哲民,2013)。 Steffe(2004)指出真實性學習軌跡包含了:描述學生原始概念以及操作的模型;說 明數學活動如何改變這些概念及操作;以及說明這些改變中所牽涉到的數學交互作用。 在學生經歷這些數學活動的過程中或有了這些經驗後,才能建構出這樣的學習軌跡。 Clements 與 Sarama(2004)將學習軌跡概念化,定義學習軌跡在於描述當學生經歷 一系列的教學任務(instructional task)以學習某個特定的數學領域時,對其思考及學習 可能產生的路徑所做的預測。這些教學任務設計用來引發可使學生思考等級有所成長的 心智過程或心智行動,以協助學生達到在此數學領域中的特定目標。值得注意的是, Clements 與 Sarama 提出學習軌跡是可以也應該由一些小群體或教師個人重新概念化或 創造,如此,這些人可以根據特定的學生所擁有的知識來做設計,考量這些特定學生的 現有知識、學習喜好、以及進行的任務類型或內容。當教師利用這些教學任務與學生互 動之後,必須建構新的模型來描述學生的數學以改變未來的教學策略及路徑。 Battista(2011)定義學習軌跡為學生在學習一個主題時,對其思考順序、理解方式、 使用策略的詳盡描述,其中還包括對於學生如何處理所有的教學任務以及在這過程中的 社會互動之記錄。某種程度上來說,學習軌跡為一群學生真實軌跡的平均樣貌,因此它 12.

(24) 是對於目標群體的預測,所以它是假設性的。Battista 還有提到研究者在建立學習軌跡時 所遇到最大困難之一為,決定教學變項(instructional variation)如何影響軌跡,也就是 說,對於學習軌跡所包含的教學任務其特定性如何?如果這學習軌跡的順序已經被用來 測試某課程,那它應用到另一個課程時會有多好? 林文川(2014)對學習軌跡做文獻整理,其翻譯為「學習軌道」 ,實為同樣的意涵。 林文川總結了學習軌跡由三個元素所組成,包含假定性的學生認知發展、特定教學目標 的數學課程內容,以及意圖性的數學任務與教學活動。其認為: 學習軌道包含課程標準與能力指標、課程教材、學生數學思維歷程、教學活動、評量 工具以及教師專業發展等多重為杜的實踐取向概念架構。其重要核心主張是整合教師、 學生與課程之間的互動關聯,以全面理解(holistic)的方式來探究課室數學教學歷程 裡,學生在數學認知發展的不同層次發展,以及教學順序的組織和課程教材的選用等 不同面向在課室教學實務的交互作用。(林文川,2014,頁 181) 學習軌跡的目的在於作為課程教材的發展工具,以支持教師的教學與促進學生的學習; 亦可用來檢視學生的學習表現。 綜觀上述幾位學者對於學習軌跡的看法,我們可以知道學習軌跡主要由三個部分組 成,包含了學習目標、學習活動(或稱作是教學任務) ,以及在這個學習活動中學生的學 習過程,並對這三個部分做詳盡的描述。而學習軌跡又可以分為假設性及真實性,前者 為研究者或教師對於學生的學習過程所做的預測,後者為學生在這個學習過程中真實的 行為或反應。. (二) 學習軌跡與學習進程之異同 實際比較學習軌跡與學習進程,我們可以發現這兩者大體上是相同的,其內容皆為 描述學生在特定數學學習領域中一序列的理解過程。在教學方面,皆能協助教師設計教 學課程,使教師能根據學生的理解程度進行調整;在評量方面,皆可做為形成性評量或 總結性評量;而在課程方面,皆能作為課程發展的參考(Battista,2011)。 有部分學者甚至認為學習軌跡與學習進程沒有什麼不同,同樣作為對學生學習過程 的描述,僅在其學科領域的名詞使用上有所不同:數學教育常用學習軌跡,而科學教育 常用學習進程(Daro, Mosher, & Corcoran, 2011; Empson, 2011; Labato & Walters, 2017)。 13.

(25) 然而,學習軌跡所提的學習活動是學習進程沒有含括的。Battista(2011)指出學習 軌跡與學習進程最大的差別在於前者涉及教學內容的描述,而後者沒有,其在於使用的 意圖及後續的發展也有所不同。Battista(2011)認為如果研究者是要設計或測試一套課 程,那麼他傾向發展學習軌跡,基於一連串固定的學習任務;相反地,如果研究者是想 發展可用於任意課程的形成性評量系統,那麼他傾向發展學習進程,基於數個沒有特定 順序的測驗任務。我們可以將其解讀為學習軌跡與學習進程的適用範圍有所不同,前者 針對特定的單一課程進行詳盡的描述,包含課程的內容以及學生的表現與思考;而後者 針對選定的數學學習內容,即使學生經歷不同的課程,大部分學生仍有相似的理解順序。 此外,就學習範圍的角度來看,Stevens, Delgado, & Krajcik(2010)認為學習軌 跡用來描述學生的理解從學習進程的一個等級精緻化到下一個等級的過程,其所牽涉的 範圍較小而聚焦。Delgado 與 Morton(2012)同樣指出學習軌跡所牽涉的時間範圍,相 較於學習進程來得短,可能是一節課或是一個單元的學習內容;而學習進程牽涉較廣的 學習內容,通常為一個宏觀的學習主題,但其內容僅對學生在學習時的幾個重要階段有 所描述(引自林哲民,2013)。 綜合以上,研究者認為,學習軌跡與學習進程皆用來描述學生學習與理解的過程, 然而後者針對選定的數學學習內容,在學生學習時幾個重要階段進行描述,與前者相較 之下較為籠統,但所涵蓋的知識範圍較廣;前者可視為後者的子集合,更細膩描述了從 一個等級到下一個等級,在某序列的教學任務設計下學生的學習過程。 小結:經由學習軌跡與學習進程之比較後,研究者認為本研究應該選擇建立學習進程而 非學習軌跡,其原因主要有二: 第一、研究者鎖定的二次函數概念,在我國學習安排上橫跨九年級到十年級,甚至 可以向下延伸至七年級的函數或向上延伸至十二年級的微積分。這樣的學習範圍較適合 宏觀的去描述幾個重要階段,而非聚焦在某個特定數學內容細膩描述。 第二、由於研究者背景的限制,本研究並不涉及學習活動,而是傾向發展評量,且 研究者並不只想針對某個特定的學習課程,而想讓此研究適用於一般的課堂,根據 Battista(2011)的觀點,研究者較適合發展學習進程。. 14.

(26) 研究方法 由於本研究之進行主要分為三個時期,分別為探索期、調整期及驗證期,因此, 本章旨在介紹本研究整體之研究設計與架構,以及三個時期出現之原因,至於詳細的 研究流程、研究對象及研究工具將至第肆至陸章分時期進行說明。本章分為兩節:第 一節說明本研究之研究設計與架構,第二節介紹本研究之研究流程。. 研究設計與架構 本研究旨在建立二次函數之學習進程,首先,研究者須先瞭解二次函數的學習目標、 學習內容、學生在學習二次函數的過程中會有哪些可能的學習表現,以及這些學習表現 可能的發展順序,因此,研究者採用文獻分析法,分析我國課程綱要以了解數學家或教 育學者希望學生掌握哪些二次函數的相關概念,並以此作為學生在學習二次函數後預期 達到的最理想程度。由於課程綱要對於概念的敘述較為抽象,研究者進一步分析包含二 次函數學習內容的教科書,以了解教科書的編輯者(通常為數學家、數學教育家或中學 數學教師)對於二次函數相關概念的具體描述、這些概念學習的編排順序。為了瞭解學 生在學習的過程中可能有的學習表現,研究者以「二次函數」 、 「迷思概念」 、 「錯誤類型」 、 「quadratic functions」、「learning」作為關鍵字,利用「Google 學術搜尋引擎」及 「臺灣博碩士論文知識加值系統」進行搜尋,蒐集二次函數相關的期刊資料以及博碩士 論文,並整理出過去學生在學習二次函數表現上的資料。 由於過去學生資料具有其時空背景,為了更瞭解現階段學生對於二次函數的想法、 學生常使用的語言,研究者根據所整理出來的學生表現,透過質性訪談的方式,瞭解現 階段學生是否仍有相同的學習表現,或是有其他過去研究未發現的學習表現。為了深入 瞭解學生對於二次函數概念的理解,訪談採半結構性的方式進行,研究者根據文獻所分 析出來的資料設計訪談大綱,並依照訪談大綱進行訪談,研究者視學生的回答狀況調整 問題或進行追問,不完全侷限於訪談大綱的內容。訪談過程所蒐集的資料包含學生的紙 筆作答情形及訪談錄音內容,訪談事後由研究者將錄音內容謄打成逐字稿。研究對象的 選擇以立意取樣挑選已完成二次函數內容學習的學生,及方便取樣的方式,總共訪談了 八名學生。接著,研究者根據文獻分析及質性訪談的資料整理出學習進程內容的描述, 並根據學習表現在教科書所編排的順序、其發展的邏輯性及難易度、受訪學生的數學程 度及其表現之關聯,初步開發二次函數的學習進程。 15.

(27) 然而,初步開發的學習進程只是一個理論假設,其內容的安排是否合理仍須經由學 生的資料進行驗證。為了蒐集大量的學生資料,研究者採用問卷調查法,根據初步的學 習進程架構、以及二次函數相關研究的研究工具發展試題,為了兼顧蒐集學生的質性資 料以及達到短時間蒐集大量的效果,試題的形式混合了開放性試題及次序性選擇題的使 用。在試題發展完畢後,研究者首先進行小規模試寫及學生訪談,根據試寫及訪談結果, 重新調整試題,再一次進行班級規模的試寫,最後才進行正式施測,以提高本研究之研 究工具的效度。研究對象的選擇以立意取樣挑選八至十二年級的學生,以瞭解學習二次 函數前、後以及一段時間後學生的學習表現,以及方便取樣的方式,總共收取了 604 位 學生的資料。問卷回收後,研究者根據學生每一題的填答內容進行編碼,並綜合各題的 填答結果將學生歸到相對應的階層,並計算研究者所開發的學習進程可以描述多少個百 分比的學生,作為此學習進程效度的依據。 另一方面,由於研究者本身教學經驗尚淺,為了提高學習進程之效度,研究者邀請 經驗豐富的數學教師,針對研究者所整理出來的學習表現進行排序,並透過質性訪談的 方式,瞭解這些教師排序時的依據與策略。訪談過程由一位數學教育專家所主導,在訪 問完教師的教學背景後,將研究者所整理出來的學習表現提供給教師排序,排序的過程 教師若有疑問皆可提出,在教師排完後,由此位數學教育專家訪談教師排序時的感受、 依據、策略,訪談採半結構性的方式進行。訪談過程所蒐集的資料包含教師針對學習表 現的排序結果以及訪談錄音內容,訪談事後由研究者將錄音內容謄打成逐字稿。研究對 象的選擇以立意取樣挑選高中職教學現場的數學教師,且對學生的數學學習困難有一定 的瞭解,及方便取樣的方式,總共訪談了四位教師。 最後,研究者根據學生資料及教師資料,提出一個修訂版的學習進程。本研究之研 究架構如下頁圖 參-1 所示:. 16.

(28) 圖 參-1 研究架構. 17.

(29) 研究流程 本研究之前身為課程的學期報告,由於研究者在此之前未有正式的研究經驗,且國 內數學教育領域的學習進程尚屬於起步的階段,研究者僅參考林哲民(2013)針對國小 學生的因、倍數概念之學習進程研究,仿照其流程嘗試開發二次函數之學習進程。藉由 實際開發學習進程,研究者更加深入理解學習進程理論,認為此理論的研究方法、階層 性的特徵、納入學生想法的特色對於數學教育有所貢獻,並且對研究者本身的教師專業 發展也有所助益,因此,研究者以這份學期報告作為基礎,決定以「二次函數之學習進 程」作為碩士論文研究的主題。雖然學期報告之研究參考文獻甚少、研究工具缺乏信效 度,但所蒐集之學生資料仍可作為學習進程內容之參考,因此,研究者將此期間所作之 研究納入正式研究中,並將此時期命名為「探索期」 ,一來協助研究者熟悉學習進程之建 立方法,二來協助研究者瞭解學生在學習二次函數時可能有的學習表現。此時期詳細的 研究流程留待第肆章第一節進行說明。 為了提升此研究之嚴謹性,研究者重新對學習進程理論進行文獻探討,以免誤用學 習進程之意涵。同時,研究者檢視探索期所遇到的困難,最大的挑戰是二次函數相關概 念甚多,為了涵括所有的相關概念,導致學習進程內容繁多且複雜,為了能瞭解學生們 是否具有這些學習表現,進而導致研究工具試題過多、設計不良的問題,因此,研究者 決定調整進程變因及學習進程內容,建立一個適合我國二次函數學習範疇的學習進程。 此時,適逢我國推行新課綱,對於課程綱要內容有些調整,為了讓研究者所開發的學習 進程在未來仍可適用,因此,研究者在分析課程綱要時,同時考量舊課綱及新課綱的內 容。教科書方面,由於根據新課綱的教科書仍在編寫,因此,研究者僅重新分析舊課綱 的教科書。研究者將此時期命名為「調整期」,主要增加學習進程及二次函數的文獻資 料,並對初步的二次函數學習進程的內容重新思索及調整。此時期詳細的研究流程留待 第伍章第一節進行說明。 在調整期之後,研究者得到一個新的初步的二次函數學習進程,為了驗證此學習進 程的有效性,研究者同時蒐集學生及教師資料。學生資料方面,有鑑於探索期回收之學 生問卷填答情形不慎理想,可能源於試題形式為開放式問題,研究者根據探索期部分學 生填答情形將部分試題改為次序性選擇題,部分試題仍保留開放性問題,並經過多次學 生試寫及多位專家審查,以提高此份研究工具之效度。教師資料方面,相較於教學經驗 尚淺的研究者而言,現場教師更能瞭解學生在學習二次函數的困難以及學生在二次函學 學習上發展的先後順序,因此,研究者邀請數位數學教師針對研究者所整理出的學習進 18.

(30) 程內容進行發展先後的排序。最後,研究者再根據學生資料及教師資料重新修改所開發 之學習進程。研究者將此時期命名為「驗證期」 ,目的是為了驗證研究者所開發的學習進 程之有效性,並嘗試提出更能描述學生在學習二次函數時的學習進程。此時期詳細的研 究流程留待第陸章第一節進行說明。 林哲民(2013)歸納出建立學習進程的主要三個流程:第一階段為設定學習進程架 構,提出假設性學習進程;第二階段進行資料蒐集;第三階段以所蒐集的資料驗證學習 進程。在探索期,研究者完整經歷這三個階段,雖然在第三階段驗證的過程中沒有釐出 個所以然,但鑑於此研究的可發展性,研究者進入調整期,希望可以成功建立有效的二 次函數學習進程。在調整期,研究者僅設定學習進程架構,提出假設性學習進程,而資 料蒐集以及驗證學習進程的階段在驗證期完成。. 19.

(31) 探索期之研究 探索期之目的一來協助研究者熟悉學習進程之建立方法,二來協助研究者瞭解學生 在學習二次函數時可能有的學習表現。本章將分為四節進行說明:第一節說明探索期之 研究流程,第二節介紹探索期之研究對象與分析的文件,第三節說明探索期所使用之研 究工具,第四節說明探索期之研究結果與討論。. 研究流程 研究者根據林哲民(2013)因數與倍數之學習進程研究的研究流程,在選定以二次 函數作為研究主題後,首先對二次函數的相關文獻進行分析,包含我國舊課綱、九年級 及十年級的數學教科書,以及與二次函數相關的國內博碩士論文,並整理出二次函數的 學習目標、學習內容,以及學生在學習二次函數的過程中會有哪些可能的學習表現。 根據這些文獻整理的結果,研究者發展出一套訪談大綱,針對台北市某高中一年級 的六位學生以及台中市某高職電機科二年級的兩位學生進行訪談,並於訪談事後,將錄 音內容謄打成逐字稿,分析這八位學生的學習表現。每位訪談的時間約為半小時至一小 時。 研究者根據文獻分析及質性訪談的資料整理出學習進程內容的描述,並根據學習表 現在教科書所編排的順序、其發展的邏輯性及難易度、受訪學生的數學程度及其表現之 關聯,初步開發二次函數的學習進程。 接著,研究者根據初步的學習進程,針對每個學習目標及學習表現設計相對應的試 題,並針對臺中市某高中一年級的一個班級、二年級自然組的一個班級進行施測,蒐集 更大量的學生資料,施測時間為 45 分鐘。試卷回收後,研究者將學生的作答情形編碼, 由於分析上出現困難,因此僅將學生的作答情形作為質性資料蒐集,並未實際對初步的 學習進程進行驗證。 整個探索期研究的研究流程如圖 肆-1 所示:. 20.

(32) 決定研究主題. 二次函數相關文獻分析. 設計訪談稿. 學生訪談. 擬定初步學習進程. 開發研究工具. 資料蒐集. 資料分析 圖 肆-1 探索期研究之研究流程. 21.

(33) 研究對象與分析的文件 探索期所牽涉到的研究對象可分為三個階段:文獻分析階段、質性訪談階段、資料 蒐集階段。本節針對這三個階段分別進行說明:. (一). 文獻分析階段 本階段研究對象包含課程綱要、教科書及二次函數的相關研究。課程綱要部分包含. 我國九年一貫數學學習領域課程綱要及普通高級中學必修科目「數學」課程綱要;教科 書部分包含九年級南一版、翰林版、康軒版及十年級龍騰版的數學課本;相關研究部份, 研究者利用「臺灣博碩士論文知識加值系統」針對「二次函數」所搜尋到的相關文獻進 行分析。. (二). 質性訪談階段 在我國舊課綱的安排下,學生分別在九年級下學期與十年級上學期接觸二次函數的. 學習內容,由於研究進行當下適逢上學期,九年級學生尚未接觸二次函數的內容,因此, 研究者僅挑選十年級學生作為此階段的研究對象。 研究者以方便取樣的方式商請台北市某高中的數學教師提供數學表現位於高、中、 低程度的學生各兩位,訪談事後此位教師表示這六名學生皆為其任教班的小老師,並未 完全遵照當初研究者希望的程度挑選,然而,研究者在訪談過程及事後的分析都能感覺 到仍有些許程度上的差異。由於此高中屬於台北市前段的學校,這六名學生在部分文獻 的學習表現上並無差異,研究者再以方便取樣的方式訪談台中市某前段高職十一年級電 機科的兩名學生,其在班上的數學表現分別為高、中程度,希望可以訪談到較低層次的 學習表現。 研究對象之來源及人數列於表 肆-1: 表 肆-1 探索期質性訪談之研究對象 對象來源 學校(類型). 縣市. 年級 22. 男. 女. 總計.

(34) (三). A(高中). 台北市. 十年級. 0. 6. 6. B(高職). 台中市. 十一年級. 2. 0. 2. 8. 資料蒐集階段 同樣受到時間因素的影響,研究者在此階段缺乏九年級且已學習二次函數概念的學. 生資料,改以十年級且尚未接觸高中二次函數課程的學生,以及十一年級的學生作為此 階段的研究對象。研究者以方便取樣的方式針對台中市某前段高中一年級一個班 42 位 學生及二年級自然組一個班 38 位學生進行施測。在此假設十年級學生僅學習了九年級 的二次函數概念,但尚未接觸高中的內容,而十一年級學生則是完整學習了舊課綱所安 排的所有二次函數內容。 研究對象之來源及人數列於表 肆-2: 表 肆-2 探索期資料蒐集之研究對象 對象來源 學校(類型). 縣市. C(高中). 台中市. 年級. 男. 女. 總計. 十年級. 22. 20. 42. 十一年級. 13. 25. 38. 23. 80.

(35) 研究工具 探索期使用到兩項研究工具,包含質性訪談時所使用的訪談大綱,以及大量資料蒐 集時所使用的評量試卷。本節針對這兩項研究工具進行說明:. (一). 訪談工具的設計 訪談目的在於瞭解學生對於二次函數相關概念的理解為何,以及瞭解學生是否具有. 文獻上的學習表現。研究者根據舊課綱、教科書及二次函數相關文獻的分析結果,整理 出表 肆-3 的訪談重點,再根據這些訪談重點撰寫訪談大綱,並與指導教授討論訪談大 綱內容進行增修,訪談大綱之內容詳見附錄一: 表 肆-3 訪談重點整理 二次函數. 細項. 概念 ‧對二次函數的描述 定義. ‧正例、反例 ‧判斷何者為二次函數. 作圖 性質. ‧描點作圖 ‧平移、對稱、伸縮 ‧分辨二次函數與一元二次方程式 ‧二式函數的根 ‧交點個數 ‧定義域與值域. 圖形判讀. ‧係數正負 ‧極值 ‧對稱性. 圖形與代 數式轉換 極值問題. ‧給部分資訊,求二次函數 ‧兩二次函數間的幾何轉換關係(平移、對稱、伸縮) ‧求交點問題 ‧實數上的極值 24.

(36) (代數式) 正定性. (二). ‧閉區間上的極值 ‧調整常數項使得給定二次函數恆正(二次項係數為正) ‧調整常數項使得給定二次函數恆負(二次項係數為負). 評量試卷之編製與設計 評量試卷之目的在於蒐集學生資料以驗證研究者所開發的學習進程之有效性,因此,. 此試卷之內容為研究者根據初步的學習進程的每個條目所研擬之試題,包含了二次函數 的「定義」 、 「作圖」 、 「解」 、 「係數意義」 、 「幾何轉換」 、 「極值」 、 「恆正負」 、 「交點問題」 等相關概念。試題類型包含是非題、作圖題、填充題、配對題以及計算證明題,是非題 及填充題除了要求學生給出答案外,也要求學生給出判斷的依據,用以判斷學生是否真 的理解;作圖題及計算證明題除了要求學生給出答案外,也要求學生寫下他的作法,用 以瞭解學生的思維模式;配對題僅要求學生給出相應的答案,希望藉由學生選的選項來 瞭解學生的思維模式。 為避免學生利用其他試題之內容作為回答試題之依據,導致無法確實測到學生的想 法,因此,研究者將試卷分為第一部分與第二部分分開進行施測。第一部分主要瞭解學 生對於二次函數定義理解,以及學生作二次函數圖形的方式,此部分會牽涉到一些非二 次函數的內容;第二部分則是二次函數的相關概念,包含係數在圖形上的意義、求焦點 問題、幾何變換、極值問題以及恆正負的問題。 由於試題數量甚多,考量到商借的施測時間不宜過長,因此,研究者將試題又分成 A、B 兩個版本,並交錯擺放,類似隨機抽樣的方式發給研究對象。分卷原則以「兩版本 試題量均等、內容難度均等、顧及所有二次函數不同表徵」為主,因此,A、B 兩個版本 皆包含了研究者所整理出的所有相關概念,其中「定義」 、 「作圖」 、 「解」 、 「恆正負」的 問題完全相同。在「係數意義」方面,A 版本為定義域為全域的、代數式為頂點式的試 題,B 版本為定義域為閉區間的、代數式為一般式的試題。在「幾何轉換」方面,A 版本 為上下平移、鏡射的試題,B 版本為左右平移、伸縮的試題,另外 B 版本也多了從代數 表徵到圖像表徵的試題。在「交點問題」方面,A、B 版本皆有與兩軸交點的試題,而 A 版本多了與水平線、鉛直線、斜直線交點的試題。在「極值」方面,A 版本的試題為全 域的圖像表徵,搭配閉區間的代數表徵,B 版本的試題為閉區間的圖像表徵,搭配全域 的代數表徵。 此次使用的試卷之單項細目表如表 肆-4、表 肆-5 所示: 25.

(37) 表 肆-4 二次函數概念評量試卷(探索期)第一部分之單項細目表 二次函數概念 定義 作圖 解. 細項. 第一部分. 二次函數的定義. 一-1、2. 二次函數作圖的方式. 二-1. 對稱軸. 二-1. 一元二次方程式與二次函數的關係. 三-1~3. 表 肆-5 二次函數概念評量試卷(探索期)第二部份之單項細目表 二次函數. 細項. 概念. A版. 二次項係數 a 的意義. 係數意義. 二-3. 二-4. 常數項係數 c 的意義. 二-5. 頂點式 h 的意義. 二-4. 頂點式 k 的意義. 二-5 二-6. 平移:從圖像表徵到代數表徵. 一-1. 伸縮:從圖像表徵到代數表徵. 一-2. 鏡射:從圖像表徵到代數表徵. 一-1. 一-2. 平移:從文字表徵到代數表徵. 五-2~3. 五-2~3. 伸縮:從文字表徵到代數表徵. 五-1. 五-1. 鏡射:從文字表徵到代數表徵. 五-4. 五-4. 平移:從代數表徵到圖像表徵. 三-2-1. 伸縮:從代數表徵到圖像表徵. 三-2-3. 鏡射:從代數表徵到圖像表徵. 三-2-2. 實數上的極值:圖形閱讀 極值. 二-3. 一次項係數 b 的正負. 判別式的意義. 幾何轉換. B版. 二-0. 閉區間上的極值:圖形閱讀. 二-0. 實數上的極值:代數證明. 六-1~2. 閉區間上的極值:代數證明. 六-1~2. 26.

(38) 表 肆-5 二次函數概念評量試卷(探索期)第二部份之單項細目表(續) 二次函數 概念. 恆正負. 交點問題. 細項. A版. B版. 求二次項係數的範圍. 四. 四. 求一次項係數的範圍. 四. 四. 求常數項係數的範圍. 四. 四. 給定二次函數部分資訊求完整的二次函數. 三-1. 三-1. 求水平、鉛直線與二次函數的交點. 三-2-1~2. 求斜直線與二次函數的交點. 三-2-3. 27.

(39) 研究結果與討論 探索期之研究結果包含文獻分析的結果、質性訪談的結果、建立的初步學習進程, 而大量資料蒐集的結果,由於研究工具缺乏信效度、試題量過多及不當的拆卷、學生作 答情形不如預期,導致資料處理與分析上出現困難,僅將部份學生的作答情形作為調整 期學生表現的參考資料。本節針對文獻分析的結果、質性訪談的結果、建立的初步學習 進程進行說明,並對探索期的研究作一個討論:. (一). 文獻分析結果. 1. 二次函數課程綱要 我國教育部所公布之九年一貫數學學習領域課程綱要(教育部,2008),包含三條與 二次函數相關的能力指標: A-4-04 能理解生活中常用的數量關係(例如:比例關係、函數關係),恰當運用於 理解題意,並將問題列成算式。 A-4-17. 能利用配方法,計算二次函數的最大值或最小值。. A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性,求出其線對稱軸以及最高點或最低點, 並應用來畫出坐標平面上二次函數的圖形。 以及四條分年細目: 9-a-01. 能理解二次函數的意義。(對應能力指標 A-4-04). 9-a-02. 能描繪二次函數的圖形。(對應能力指標 A-4-18). 9-a-03. 能計算二次函數的最大值或最小值。(對應能力指標 A-4-17). 9-a-04. 能解決二次函數的相關應用問題。(對應能力指標 A-4-17、A-4-18). 另外,十年級的多項式函數課程中亦有提到二次函數的內容,主要用來複習學生函 數概念的掌握,利用國中所學的一次函數與二次函數作為基礎,為發展多項式函數、指 對數函數之相關概念。故研究者參考《普通高級中學必修科目「數學」課程綱要》 ,其中 與二次函數相關的學習重點為(教育部,2009): 1.2 二次函數:配方法、圖形、極值、判別式、正定性(恆正性)、應用實例 ․極值問題的應用,例如: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 2 + 3𝑥 + 2, − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2 的極值。 28.

(40) ․正定性:所謂二次式的正定性是指其函數值的恆正性,譬如判斷𝑥 2 − 𝑥 + 4恆 為正。 ․能繪出各種不同型式(一般形式、頂點形式、因式形式)的二次函數的圖形, 並能進行二次函數不同型式的轉換。 藉由分析我國課綱可以知道數學家與教育學者預期我國學生在國中階段需要掌握 二次函數的「意義、圖形、極值、應用」 ,在高中階段需要多掌握二次函數「判別式、正 定性(恆正性)、對稱性」。 2. 二次函數教科書 (1)九年級教科書 九年級教科書方面,二次函數佔了一整章的篇幅,三個版本皆以二次函數的「意義」 →「圖形」→「極值」→「應用」的順序介紹。 在意義方面,南一版及康軒版皆以「y = f(x) = ax 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,𝑎 ≠ 0」作為其定義, 而翰林版的另有強調「自變數 x 的最高次數為 2」。 圖形的部分皆以「y = x 2 」→「y = ax 2 ,𝑎 > 0」→「y = ax 2 ,𝑎 < 0」→「討論開 口方向、大小、最低點或最高點、對稱軸」的順序,然而,南一版及翰林版另外還有探 索「二次函數圖形的上下翻轉」,此與幾何轉換中的鏡射概念有關;在作圖方面,皆以 「首先描點,接著以平滑曲線連接」的步驟說明;接著,三個版本繼續討論「y = ax 2 + 𝑘,𝑎 ≠ 0,𝑘 ≠ 0」的圖形,由圖形能看出其最高點或最低點坐標、對稱軸及開口方向, 並說明「上下平移」的概念;在此,康軒版及翰林版多加討論了「y = a(x − h)2 ,𝑎 ≠ 0,ℎ ≠ 0」的圖形,以及說明「左右平移」的概念;最後,三個版本討論「y = a(x − h)2 + 𝑘,𝑎 ≠ 0」的圖形,而南一版在此才介紹「左右平移」的概念。關於二次函數的圖形為 一拋物線,翰林版在圖形介紹之初就有說明,而另外兩版則是到圖形介紹完後才告訴學 生,同時說明對稱軸及拋物線的交點為「頂點」。 極值方面,南一版與另外兩版的順序不同,在此分開說明。南一版先探討極值與頂 點的關係,說明頂點即為極值所發生的點,而頂點坐標的 y 值為此函數的最大值或最小 值,但只討論頂點式的二次函數;接著才討論一般式的二次函數該如何求極值,所利用 的方法為配方法將其整理成頂點式。另外兩版的順序剛好與南一版相反,是先介紹配方 法將一般式的二次函數整理成頂點式,再說明如何從頂點式找極值,利用了「任意完全 平方式均大於等於 0」的概念,這點是在南一版中未提到的。討論完極值後,三個版本 29.

(41) 皆繼續討論「圖形與兩軸的交點」 ,說明「與 y 軸的交點由令 x = 0而來」 、 「與 x 軸的相 交情形,則要討論 ax 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 的解」,並說明判別式 b2 − 4𝑎𝑐 與 x 軸交點個數 的關係。 應用方面由於不是本研究所討論的內容,故不在此多提。 (2)十年級教科書 十年級教科書方面,二次函數僅為多項式函數中的一個內容,佔不到一小節,約 11 頁的篇幅。內容以二次函數的「定義」→「圖形」→「平移」→「極值」→「與 x 軸的相 交情形」→「恆正、負」的順序編排。 在定義方面,與九年級教科書無異: 「y = f(x) = ax 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,𝑎 ≠ 0」 。圖形部分也 是以描點方式,首先考慮「y = ax 2 」的圖形,介紹「頂點」及「對稱軸」 ,並討論「a 與 開口方向及大小的關係」,另外也有提到「對稱(鏡射)」的概念,接著直接討論「y = a(x − h)2 + 𝑘,𝑎 ≠ 0」,龍騰版以變數變換的方式引進另外一個函數與原函數做比較, 說明「水平平移」以及「垂直平移」的概念,並討論拋物線「對稱軸的方程式」及「頂 點坐標」 。利用頂點為圖形的最高點或最低點切入極值的主題,說明有代數觀點「任意完 全平方式均大於等於 0」的概念以及幾何觀點「頂點」的兩種解釋,在高中的部份另外 討論當定義域改為一閉區間時,極值的改變。最後,說明由二次項係數 a 及判別式 D = b2 − 4𝑎𝑐 來判斷二次函數與 x 軸的相交狀況,並分項討論後得到二次函數值「恆正與恆 負的條件」。 3. 二次函數國內相關博碩士論文 研究者根據徐敏媛(2012) 、柯慶安(2013)之文獻探討及研究結果,整理出學生在 學習二次函數時容易產生的迷思概念或錯誤類型,主要可以分為「一元二次方程式與二 次函數關係的錯誤類推」 、 「線型函數與二次函數關係的錯誤類推」 、 「對於未知數的認知 錯誤」 、 「誤會坐標與函數值」 、 「二次函數各形式間的轉換問題」 、 「在二次函數的代數和 圖形表徵的概念缺乏連結」 、 「代數與幾何間的轉換問題」 、 「學生無法理解代數表徵的係 數對數學結構的意義」 、 「未完全了解二次函數的定義」 、 「平移的問題」 、 「二次函數幾何 的認知錯誤」這幾類,各類詳細內容整理如表 肆-6: 表 肆-6 學生在二次函數概念上的迷思概念或錯誤類型 一元二次方程式. 無法辨別一元二次方程式與二次函數的不. 徐敏媛(2012);柯. 與二次函數關係. 同(特定點與集合點變動). 慶安(2013). 30.

參考文獻

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