建構 DFPM-HWT 方法的參考文獻

延伸，但是仍具有違約門檻為外生給定常數和利率期限結構為均衡模型的缺點。

第三節 建構 DFPM-HWT 方法的參考文獻

DFPM-HWT 評價模型建立在無套利利率期限結構模型和 FPM 評價模型基 礎下所延伸出的數值樹狀模型。建構此樹狀模型，需先解決資產價值與利率變動 具有相依性的特性，若直接運用利率與資產做二維度的立體樹評價，即會發生在 backward induction 時，其聯合機率無法求得的問題；另外，Figlewski and Gao (1999) 提出運用數值方法評價具有門檻性質的衍生性商品價值時，會因非線性 誤差而造成評價結果跳動的問題。以下介紹三個建構DFPM-HWT 的立基文獻。

‧Acharya and Carpenter (2002)：提出引用 Kim, Ramaswamy and Sundaresan (1993) 的評價模型，假設公司資產價值服從幾何布朗運動，利率為 CIR 利率期 間結構，採用正交化的方法和樹狀結構模型，評價出具有違約風險的公司債價值 並探討其避險方法。經由正交化的過程，可將原來具有相關性的兩個隨機過程轉 換成彼此互相獨立的新變數，根據獨立性的特質，即可運用彼此的邊際機率相乘 求出其聯合機率。首先，建立二維度節點重合的立體格子樹，運用變數變換將格 子點所對應的原資產價值與利率求出，再搭配聯合機率即能評價具有違約風險的 公司債價值。

‧Hull and White (1994)： 提出兩階段建立利率三元樹的方法，將連續型的 Hull and White 短期模型改為離散時間型(discrete time)的隨機過程，也就是將瞬間短 期利率r(t)轉換成模擬距到期日為△t 的零息利率 R(t,t+△t)，其中△t 為利率樹每 期時間的間隔，此零息利率的隨機過程為:

( , ) ( ( ) ( , )) 2

L’

‧Dai and Lyuu (2006)：提出的 Bino-trinomial tree (BTT) 可解決數值樹狀模型評 價障礙選擇權 (Barrier option) 所產生的非線性誤差。非線性誤差主要因違約門

BTT 結合 CRR 二元樹和一階段的三元樹結構。本文將引用 Dai and Lyuu (2006) 所提出解決 single-barrier options 的 BTT 建構方法，建構能與違約門檻重 合的樹狀結構。

建構評價障礙選擇權的樹狀結構方法，首先需考慮其樹狀節點是否能與真實 門檻值重合，在已知有固定門檻值的情況下，BTT 立足於建構一個能與門檻值 重合的二元CRR 樹，在原時間點到第一期，建立出比二元樹多一自由度的三元 樹，以解決已碰觸到門檻的CRR 樹無法與原時間點股價重合的問題。

參考圖(2.3)，假設

β

≡ − ，

u u

^{^}

α

≡ +

u

^{^} 2

σ

Δ − = +

t u β σ

2 Δ ，

t

^ 2 2

u t u t

γ

≡ −

σ

Δ − = −

β σ

Δ 。 (2.3.5)

其中

u

= −(

r σ

²/2)Δ ，

t u

^{^}=ln( / ) ln( / ) ln( / )

S S

_{B 0} −

S S

_{0 0} =

S S

_{B 0} ，

β

∈ − Δ[

σ t

,

σ

Δ 。

t

) 再根據以下三個等式以Cramer’s rule 求出股價變動的機率，

P

_su⋅ + ⋅ + ⋅ = ， (2.3.6)

α P

_sm

β P

_sd

γ

0

P

_su⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅Δ ， (2.3.7)

α

²

P

_sm

β

²

P

_sd

γ σ

^{2 2}

t

P

_su+ + = 。 (2.3.8)

P

_sm

P

_sd 1 而CRR 樹的股價變動機率為

( ^{r t t})/( ^{t t})

P

CRRu=

e

^Δ−

e

^{− Δσ}

e

^{σ Δ} −

e

^{− Δσ} ， (2.3.9)

P

_CRRd= −1

P

_CRRu 。 (2.3.10) 所有節點變動的機率和到期日的選擇權價值出現之後，運用標準的後推法 (backward induction) 即能求出此障礙選擇權的期初價值。

( )

r t

s su A sm B sd C

u

=

e

^{− Δ}

P u

+

P u

+

P u

， (2.3.11) 其中

u 為在

_s S 節點的障礙選擇權價值。

『圖2.3』BTT 示意圖

圖中

L

^~≡ln(

Barrier S

/ )₀ ，縱軸的單位為ln(S( )/ )

t S ，其中

₀ S(t)為 t 時股價價格。

S

A

B

C

~

L

0 T

P

su

P

sm

P

sd

Δt Δt Δt

Δt

第三章 研究方法

本文提出的DFPM-HWT 數值方法為 Briys and Varenne (1997) 評價模型的延 伸。此新式的樹狀評價模型是以無套利利率結構模型為基礎，運用正交化的轉換 過程，將利率與資產價值變動此兩相依的隨機過程轉變成彼此獨立的新變數，並 且運用 BTT 造樹方法的理念，解決違約門檻可能造成的非線性誤差和資產價值 發生離散跳躍的評價衡量。DFPM-HWT 不僅能評價具有利率隨機性和違約風險 的公司負債價值，還能處理資產價值具有離散跳躍情形的負債評價。

第一節是提出此數值模基的基礎假設。第二節介紹如何建構DFPM-HWT。

第三節示範DFPM-HWT 樹狀結構的評價過程。

第一節 模型的基礎假設

此數值模型的基礎假設前六點主要是引用Briys and Varenne (1997) 所提出 的論點，第七點則是處理資產價值具離散跳躍時所應用的前提假設。

一、 資本市場是一個完全市場 (perfect market) 且證券的交易具連續性。

Harrison and Kreps (1979) 提出在這個假設存在唯一的風險中立機率測度 Q，任何證券的折現價格在此測度下，皆遵循 Martingale 的性質。

二、 隨機利率r(t)為 Hull and White (1990) 的 extended Vasicek model ( ) ( ( ) ( )) 2( )

dr t

=

a b t

−

r t dt

+

η dW t

(3.1.1) 或

dr t

( ) ( ( )=

θ t

− ⋅

a r t dt

( )) +

η

( )

t dW t

₂( ) (3.1.2) 其中，a 為均數復迴歸率，η為利率的波動度，此二參數皆為固定常數;b(t)為利 率的長期水準，

θ

( )

t

= ⋅

a b t

( )，此二變數會隨時間改變而變動。

在文檔中 在Hull-White 隨機利率下信用風險之衡量-運用創新的數值方法DFPM-HWT (頁 19-24)