第三章 研究方法
第二節 DFPM-HWT 的建構
約，回收率為
f
1(0≤ ≤ ；在到期日違約，其回收率為f
1 1)f
2(0≤ ≤ 。f
2 1)f 和
1f 的多寡
2 可由市場上不同的保護條款做調整，此項條件放寬將使得定價模型更符合真實市 場。七、當公司需償還負債時，公司股東並不會挪用自身的資金去償付本金，而是以 變買公司資產的方式來償還。
第二節 DFPM-HWT 的建構
根據第一節的第二和第三個假設，可了解資產與利率這兩個隨機過程具有相 依性，運用樹狀結構模型進行評價時，需要明確了解這兩個隨機過程的變動聯合 機率才能運算，然而在現實的狀態下，並不容易建構這兩個隨機過程的聯合機 率，因此，本文採用正交化的方法，將利率和資產此兩個變數轉換成兩個互相獨 立的變數，簡化聯合機率的計算。再運用Hull and White (1990) 所提出三元利率 樹的特性產生具有利率特質的新變數Y(t)，並引用 Dai and Lyuu(2006)所提出的 BTT (Bino-trinomial tree) 建樹方法建立具有違約門檻性質的新變數 X(t)，結合這 兩個三元樹創造出二維度的立體格子樹，最後經由後推法 (Backward induction) 評價出公司負債的價值。
接下來將介紹建構DFPM-HWT 的步驟:
一、正交化
本文期望引用Briys and Varenne (1997) 的評價模型，運用正交化的方法將資 產價值與利率變動轉換成兩獨立隨機過程，再運用樹狀結構模型對公司負債價值
做合理的評價。
2
節點變動到下一期的機率都於其對應的 r(t)節點的變動機率相等。因此，建構出
『圖3.2』運用 backward induction 求 B(t,T)
註:假定債券在第三期到期，面值為 1，則 E 節點的零息債券價格為
P (E)rm 為利率從E 節點移至 K 節點的機率；P (E)rd 為利率從E 節點下降至 L 節點的機率。
『圖3.3』建構 X(t)的示意圖
DFPM-HWT 的 X(t)三元樹運用上述的想法建構出整個三元樹的節點與移動 機率值，此項建樹方法可使得每一期X(t)三元樹的節點與當期的變動門檻值之間 的距離都為2
σ
X Δ 的倍數，所以僅管每一期的違約門檻值都不盡相同，但是t
DFPM-HWT 的 X(t)三元樹每一期的節點仍然有與違約門檻值重合的機會。
『圖3.4』建構 DFPM-HWT 的示意圖
『圖3.4』為結合彼此獨立的 Y(t)三元樹和 X(t)三元樹所建構出的
DFPM-HWT。根據第二章的 (2.1.11) 式可知此債券於到期日的所有可能價值，
再運用 (2.1.12) 式的離散型標準後推法(backward induction)求出今日的公司負 債價值，其中所使用的聯合變動機率可由X(t) 和 Y(t)的邊際機率相乘得知。
X Y
t=2
t=1
: t=0 和 t=1 時的節點 :t=2 時的節點 :門檻值
第三節 DFPM-HWT 的評價介紹
本文以實際例子介紹DFPM-HWT 評價模型，假設有一到期日為一年的零息 公司債，其面額為3000 元 (L=3000)，且此公司在簽定這項交易時給予債權人申 請此公司破產的權力，此權力是依據已明確規定的違約門檻為基礎。假設現在公 司資產價值為5000 元，市場上的零息利率 (zero rate) 為表(3.1)給定。
表(3.1)市場上的零息利率
到期日 零息利率
0.5(年) 0.0343 1(年) 0.03824 1.5(年) 0.04183 2(年) 0.04512 2.5(年) 0.04815 3(年) 0.05086
此資料來自 Options, Futures and Other Derivatives-sixth edition 一書第 665 頁 Table28.1。
將期初已知的外生變數帶入DFPM-HWT 評價模型中，
σ
=0.2、a=0.1、η
=0.01和
ρ
=-0.25，違約門檻為v t
~( )= ⋅ ⋅ξ L B t T
( , )，ξ
=0.9。當公司資產價值小於此門檻，債 權人即能申請此公司破產，此時可拿回80%的資產價值 (f
1= =0.8)。f
2確立了其初的外生變數後，接著運用第三章第二節的建構方法產生DFPM-HWT 立體樹狀結構。
經由第三章第二節的 (3.2.6) 式可了解正交化後新變數的型態。先造出 dt=0.5 年的 Hull-White 利率樹，再轉換成 Y 變數的三元樹。下『圖 3.5』可了解 每個節點所包含的訊息