DFPM-HWT 的評價介紹

本文以實際例子介紹DFPM-HWT 評價模型，假設有一到期日為一年的零息 公司債，其面額為3000 元 (L=3000)，且此公司在簽定這項交易時給予債權人申 請此公司破產的權力，此權力是依據已明確規定的違約門檻為基礎。假設現在公 司資產價值為5000 元，市場上的零息利率 (zero rate) 為表(3.1)給定。

表(3.1)市場上的零息利率

到期日 零息利率

0.5(年) 0.0343 1(年) 0.03824 1.5(年) 0.04183 2(年) 0.04512 2.5(年) 0.04815 3(年) 0.05086

此資料來自 Options, Futures and Other Derivatives-sixth edition 一書第 665 頁 Table28.1。

將期初已知的外生變數帶入DFPM-HWT 評價模型中，

σ

=0.2、a=0.1、

η

=0.01

和

ρ

=-0.25，違約門檻為

v t

^~( )= ⋅ ⋅

ξ L B t T

( , )，

ξ

=0.9。當公司資產價值小於此門檻，債 權人即能申請此公司破產，此時可拿回80%的資產價值 (

f

₁= =0.8)。

f

₂

確立了其初的外生變數後，接著運用第三章第二節的建構方法產生DFPM-HWT 立體樹狀結構。

經由第三章第二節的 (3.2.6) 式可了解正交化後新變數的型態。先造出 dt=0.5 年的 Hull-White 利率樹，再轉換成 Y 變數的三元樹。下『圖 3.5』可了解 每個節點所包含的訊息

節點 A B C D E F G H I

R

(%) 3.4300 5.4440 4.2193 2.9945 7.3553 6.1305 4.9058 3.681 2.4563

P

u 0.1670 0.1432 0.1670 0.1932 0.1220 0.1432 0.1670 0.1932 0.2220

P

m 0.6660 0.6635 0.6660 0.6635 0.6560 0.6635 0.6660 0.6635 0.6560

P

d 0.167 0.1932 0.1670 0.1432 0.2220 0.1932 0.1670 0.1432 0.1220

節點 A’ B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’ I’

Y 0 2.0139 0.7892 -0.4354 3.9252 2.7005 1.4757 0.2510 -0.9737

P

Yu 0.1670 0.1432 0.1670 0.1932 0.1220 0.1432 0.1670 0.1932 0.2220

P

Ym 0.6660 0.6635 0.6660 0.6635 0.6560 0.6635 0.6660 0.6635 0.6560

P

Yd 0.1670 0.1932 0.1670 0.1432 0.2220 0.1932 0.1670 0.1432 0.1220

『圖3.5』列出利率樹和 Y 變數三元樹的機率和節點值

註:此為 John Hull 的 Options, Futures, and Other Derivatives 一書 Figure 28.9 的修改。

由利率樹的節點可求出每一個節點所應對應的無風險零息債券價值

B t T ，

( , )

表(3.2)違約門檻值

節點 A’ B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’ I’

~( )

v t

_{2598.701 2627.497 2643.636 2659.875 3000 3000 3000 3000 3000}

~( )

X t

_{-3.3794 -2.8025 -3.0871 -3.3717 -1.6244 -1.9406 -2.2568 -2.5730 -2.8893}

另外，由 (3.2.7) 式可以求出

θ

^{^}(0)＝0.0200043、

θ

^{^}(1)＝0.018636，和

^(2)

θ

=0.017578。經由 BTT 建樹方法和(3.2.8)、 (3.2.9)、 (3.2.10)式可建構出 X

變數的三元樹。其中每一節點所對應的

u 整理於表(3.3)：

_X 表(3.3)給定 Y 節點下對應的平均值

節點 A’ B’ C’ D’ E’ F’ G’ H’ I’

u

X 0.2508 0.259231 0.2434 0.2276 0.2702 0.2544 0.2386 0.2228 0.2069

參考『圖3.4』的示意圖，經由 BTT 建構方法的核心想法，可從 t=0 的原點 建構出同一時間、不同違約門檻值的不同面向的 X 變數三元樹，依照同樣的方 法就可以產生出立體的DFPM-HWT 樹狀結構。

當期的每一個節點在下一期都可以移動至9 個節點，經由標準的後推法將下 一期9 個節點的債券價值與其節點移動的機率作結合，再運用這一期節點所對應 的利率值做折現，照這個步驟不斷的往後推算，即可求出此零息的公司債價值為 2887.416454 元。

第四章 模型數值分析結果與討論

Briys and Varenne (1997) 評價模型雖然運用無套利 Hull and White 利率模型 與FPM 基礎性質解釋利率隨機性與公司違約的狀況，但是其模型只能探討零息 的公司債券。當公司債券具有可贖回的性質時，此評價模型就無法順利運作。另 外，當資產價值具有離散跳躍性質時，此模型仍然是無法順利評價。本文所提出 的DFPM-HWT 可以解決以下所面臨的情況，並且可以考慮到現實社會上離散的 公司資訊對公司價值的影響。第一節是DFPM-HWT 與 Briys and Varenne 評價模 型的比較；第二節考慮離散跳躍因子；第三節可贖回債 (callable bond) 的評價。

第一節 評價模型的比較

此節將DFPM-HWT和Briys and Varenne (1997) 的評價模型做比較，可發現 當DFPM-HWT模型切割期數越大時，其評價的價值越接近Briys and Varenne (1997) 評價模型的封閉解。下表4.1為模型的比較整理:

表4.1模型比較整理

DFPM-HWT 具有非線性誤差的評價模型 切割期數

N 債券價值 相對誤差(%) 債券價值 相對誤差(%)

1 2887.445753 0.1076 3000 4.009824

45 2885.416007 0.037204 2886.78963 0.084827

90 2885.214342 0.030212 2886.74343 0.083225

180 2885.061554 0.024915 2886.69979 0.081712

360 2884.946165 0.0209 2908.91887 0.852047

註:到期日為1年，公司資產5000，債券面額3000，

σ

=0.2，

η

=0.01，

ρ

=-0.25, a=0.1,

f

₁=

f

₂=0.8,

ξ

=0.9;相對誤差分別為不同的評價方法與Briys and Varenne(1997)評價模型的封閉解 (2884.342922)比較求得。

從表4.1可顯示出解決非線性誤差的重要性，當數值樹狀結構不具有解決非線

在文檔中 在Hull-White 隨機利率下信用風險之衡量-運用創新的數值方法DFPM-HWT (頁 33-36)