結構式評價模型

本文以信用風險中的結構式模型為基礎，延伸其模型來對債券做更合理的評

價。因此，第一節將簡介信用風險的結構式模型 (structural form model) 與縮減 式模型 (reduced form model)，並討論其連續型評價模型的演進過程。第二節則 探討DFPM 的延伸文獻。第三節介紹 DFPM-HWT 建構模型的方法的參考文獻。

財務上，一般習慣將風險劃分為信用風險、市場風險、作業風險。信用風險 的定義是指交易對手未能履行約定契約中所規定的義務，而造成損失的風險；市 場風險的定義為市場上商品價格波動，所造成的損失風險；作業風險的定義為因 不恰當的外部程序、人為與系統因素，以及內部事件所導致的損害風險。本文主 要以市場風險中的利率風險與信用風險來設計其評價的模型。

信用風險的評價模型主要分為兩類。一為結構式模型，其明確定義公司資產 價值隨機，並定義公司資產於到期日前低於違約門檻或在到期日無法償付為違約 事件。二為縮減式模型，此模型將公司破產與否定義為外生變數，且不考慮將公 司資產價值作為參數，而是利用市場價格、信用評等轉換等市場訊息為模型變 數，經由統計方法求出其債券價格。

在實證的文獻方面，皆顯示出縮減式模型的評價比結構式模型更符合真實市 場的實證價格，然而將其公司的違約可能性視為已知的隨機過程，並且忽略公司 資產對其破產的影響頗受爭議。故本文選擇運用結構式評價模型為基礎，在放寬 其模型假設條件後，期望其評價價值能更符合市場實際價格。

第一節 結構式評價模型

以下介紹結構式評價模型的演進過程，簡述各模型的特色與缺點，並統整比 較。

‧Merton (1974)：運用信用風險結構式模型為基礎，發展出一種評價公開發行 公司債的評價模型。此模型是利用Black and Scholes (1973)選擇權定價理論為架 構，假設整個公司的資產結構是由股東權益價值與一到期日為T，面額為 L 的零 息債券所組合而成。換句話說，可將股東權益價值視為到期日為T、履約價格為 L，以公司資產價值為標的物的歐式買權，此時公司的負債價值就等於公司資產 價值減去其股東權益價值，於是就評價出此零息債券的價值。

Merton 的模型只考慮在負債到期日時是否發生違約，並不能處理公司在到 期日前就發生違約的情況。此缺點在 Black and Cox(1976)提出的首次通過模型 (First passage models)獲得解決。

‧Black and Cox (1976)：提出的 FPM 模型放寬了 Merton 設定公司只有在到期 日才能違約的限制，設定負債面額的折現值為違約門檻，並定義公司違約的觸發 條件為公司資產第一次觸碰到違約門檻。所以公司發生二種違約狀況，一是在到 期日前，公司資產價值觸碰到違約門檻;二是到期日時，公司償還不出負債面額。

FPM 模型雖然解決 Merton 模型只考慮公司到期日時違約的缺點，但仍然無 法放寬利率是固定常數的限制，這樣使得FPM 評價模型只能考慮信用風險，而 無法含括利率風險的影響。後續的評價模型解決了此項缺點，讓其評定的價格更 合理。

‧Kim, Ramaswamy and Sundaresan (1993)：假設股東無法變賣公司資產來支付

股息，且公司必須支付債權人連續債息 C。定義公司的違約條件為在到期日裡

(0 t T≤ ≤ ) 公司無足夠資金支付債權人債息，所以當公司的支出金額小於債息

(κ⋅V t( )≤C) 時就會產生違約的情況。違約門檻設為 ^~_{( )} ^{/ ,}

, C if t T v t L if t T

κ <

= ⎨⎧⎩ = ， (2.1.1)

其中C 表示債券利息，κ 表示公司的現金支出，L 為債券面額。

並引用Cox, Ingersoll, and Ross (1985) 之利率期間結構模型，視利率隨機過程為

‧Longstaff and Schwartz (1995)：引用 Black and Cox (1976) 的 FPM 模型，並 加以延伸。假定資產價值與短期利率彼此之間不獨立，其短期利率是以 Vasicek

( , , ) ( , )(1 { | }) ( , ) ( , ) ( , , )

t t T t t t t

D X r T =LB r T − ΡW τ ≤T F =LB r T −WLB r T Q X r T (2.1.7) 其中為L 零息債券的本金，B r T_t( , )為到期日為T 的無風險零息債券在 t 時的價值。

/

X=V K，Q X r T_t( , , )為公司在無風險中立下的違約機率。

綜論上述二篇文獻的缺失有三，一是這些評價模型並無法防止公司違約時，

所付給債權人的金額超過其債券面額折現的價值等不合理的事情發生。二是 在到期日時依資產價值是否低於固定常數的違約門檻來公司是否違約，會發生公 司在到期日時未違約，但卻沒有相對應的資產價值來支付本金。以Longstaff and Schwartz(1995)評價模型為例子，假設在到期日時公司資產價值小於債券本金 (V T( )<L)，但未觸破到違約門檻 K(K<L)，依照 Longstaff and Schwartz 的假設其 狀況視為公司未違約，於是債務人在到期日時支付給債權人的金額為V T( )，但其 真實情況應視公司為違約，因為公司沒有足夠的資產去支付本金的金額(L)。三 是此二篇文獻引用的利率模型皆為均衡模型 (Equilibrium Models)，所產生的利 率是由均衡市場的模型所推導的，會產生與市場上真實利率期間結構不一致的問 題。

‧Briys and Varenne (1997)：引用 Hull and White (1990) 之利率期間結構模型來 描述利率的變動，其隨機過程為

dr t

( )=

a t b t

( )( ( ) ( ))−

r t dt

+

η

( )

t dW t

₂( ) ， (2.1.8)

假設門檻為

v t

^~( )= ⋅ ⋅

ξ L B t T

( , )，0≤ ≤ 。

ξ

1

其中

B t T 為到期日為

( , ) T 的無風險零息債券在 t 時點的價值，

ξ

為公司對債權人的 保護程度。

且將其破產條件定義為 (1) 到期日時公司價值低於債券面額的情況，(2) 在到期 日前公司價值觸碰到違約門檻。

(1) 公司於到期日時違約

到期日時有違約風險的零息債券價值為

~ 2 ~

此評價模型因為引用了無套利利率模型(No Arbitrage Models)，故可以藉由 市場上的零息利率調整其所描述的利率過程。另外，其隨機變動違約門檻保有 Black and Cox (1976) 設定的門檻特質，而不會產生債權人在公司違約時還能拿 到額外的異常收益。因此，此評價模型能更精確與合理的評價出公司債的價值，

並且從模型假設上可視Longstaff and Schwartz (1995)評價模型為此評價模型之特 例。

下表2.1 為連續型結構式評價模型的模型假設統整：

表2.1 結構式評價模型整理

Model Assets Process Interest Rate

Default

第二節 DFPM 離散型評價模型

Briys and Varenne (1997) 的評價模型並不允許公司資產有離散跳躍的情 況 ， 且 也 無 法 處 理 具 有 美 式 性 質(American-style feature) 的 金 融 商 品 如 callable/putable bonds。但在現實情況中，公司償還公司負債與發行具有可贖回或 可賣回性質的債券是非常普遍的，若無法合理將這些情況考慮進評價模型中，這 樣的評價結果也不能確切表達出其真實的價值。因此，本文運用數值樹狀結構模 型來彌補這些缺點，並依據以下文獻延伸發展出DFPM-HWT。

‧杜宛珮 (2007)：一般公司負債的結構通常是由不同到期日的負債所組合而成，

假定有一公司的負債結構是由到期日

T 的負債

₁

B 與到期日

₁

T 的負債

₂

B 所構成

₂ (

T T

₁< )，此時若要評價公司債₂

B 的價值就要考慮到在

₂

T 時間點償還負債

₁

B 所造成

₁ 資產價值離散跳躍的問題。但是Black and Cox (1976) 所提出的 FPM 卻無法處 理此種情況，因為其模型假設違約門檻為一外生給定的常數，若公司償還負債，

其負債結構也會隨之產生變動，其違約門檻也需變動作調整，否則會造成不合理 的評價結果。因此，杜宛珮 (2007) 提出 DFPM(Discrete First Passage Model )來 改善上述的問題。DFPM 運用 Bion-Trinomial Tree 消除違約門檻所產生的非線性 誤差，和償還公司債所造成的公司資產價值離散跳躍，其評價的方法比FPM 更 合理，可視為FPM 的延伸。

‧鍾明璋 (2008)：提出 EDFPM (Extension DFPM) 放寬 DFPM 利率為固定常數 的假設，討論資產價值與利率變動為兩相關隨機過程的評價方法。運用正交化將 相依的兩隨機過程轉換成兩個獨立的隨機過程，含有資產特性的新變數以DFPM 的方法算出其變動機率，含有利率特性的新變數則以二元樹的方法算出其變動機 率，再經由獨立的特性將其個別的變動機率相乘求出聯合變動機率，最後經由折

在文檔中 在Hull-White 隨機利率下信用風險之衡量-運用創新的數值方法DFPM-HWT (頁 12-18)