引力模式分析

許多教學者在教學之前，都會在自己心中設定好該單元的上下位概念 關係，就像很多人的刻版印象中總是認為小數沒學好，是因為分數概念不 足而造成的。但對兒童來說，並非絕對如此。對大部分的人來說，數學就 是計算、套公式，所以在教學的過程中，常常可以發現兒童是以記憶的方 式在學數學，教學者教授內容，之後出練習題給學生練習，這個單元的教 學就算完成了。

Davis（1984）認為若以機械式、記憶性的方式教學，會遺漏掉意義 和理解這二個部分。其實並非每個題目在解題程序上，都能用單一方法或 概念就能完成，在解題的過程當中，雖有其步驟性，但卻是相當具彈性。

在解題的過程裡，兒童通常會先記憶起所學過的各種概念，再將這些片段 的記憶加以組合，再予解題，但若是無法從記憶中找到這些概念，也就無 法解出正確答案了。這也就是教學者所說的上下位概念。

既然解一個題目須要用到許多不同的概念，那麼兒童在解不同的試題 時，就會有許多不同的解題想法，有時兒童雖然能解出正確答案，但是卻 不見得能理解試題當中所涵蓋的所有概念。兒童答對該題試題有可能是完 全了解題目包涵的所有概念，但也有可能是在似懂非懂的情形下作猜測，

在答對試題的過程中，兒童到底了解多少，是教學者亟欲得知的訊息，因 此如何從試題去分析兒童的概念形成程度，就成了一門大課題了。

引力模式對試題的分析是將兩個題目之間的順序性係數計算出來，以 此順序性係數看出不同概念層次的高低情形，再繪製成引力模式結構圖。

（一） 引力模式順序性係數

在萬有引力公式_{F = G ×} ¹₂ ²

R

M

M

對受測者施測試題 j 和試題 k 兩個試題，將受測者受測的結果分成四 個部分：

A：同時答對試題 j 和試題 k B：答對試題 j 但答錯試題 k C：答錯試題 j 但答對試題 k D：同時答錯試題 j 和試題 k

答對試題 j 答錯試題 j 答對試題 k A C 答錯試題 k B D

在答對試題j的這一群受測者中，也有人答對試題k；在答對試題k的 這一群受測者中，也有人答對試題j，同時答對試題j和試題k的受測者雖 位在二個不同的位置，但這股同時存在量，就如萬有引力公式中兩物體之 間的吸引力一樣，因此將分子設成P¹¹。

因二點之間的距離，計算方式為 d ＝

( x

− x

)

+ ( y

− y

)

所以以曲線長度觀念來看，分母的部分選擇為e^{（P10＋P01）}，P¹⁰+P⁰¹是扣除 掉同時答對兩題的受測者，將只答對試題j和只答對試題k的受測者視為兩

答對 試題 j

答對 試題 k

個不同的物體，來研究其間的差距，視為萬有引力中兩物體間的距離。只

答對第 2 題的受試者佔全體受試者的比率是 1

（1）在引力模式結構圖中，緃軸代表答對率，答對率愈高的試題，

位在愈下方，反之，答對率愈低的試題，位在愈上方。

（2）順序性係數大於等於 0.5，則表示二題之間有引力存在，順序性 在可研究範圍內，則會有指向箭頭從答對率高的題號指向答對 率低的題號。

（3）若試題 a 指向試題 b，試題 b 指向試題 c，試題 a 指向試題 c 時，

則可將試題 a 指向試題 c 的指向箭頭刪除。

c c

b b

a a

圖 3-3 引力模式結構圖簡化指向箭頭

（4）若試題 a 指向試題 b，試題 c 指向試題 b，則試題 a 和試題 c 等價 時，則可將試題 a 和試題 c 之間以雙向箭頭表示。即可得到引力模 式結構圖。

b b

a c a c

圖 3-4 引力模式結構圖等價試題合併