引力模式在數學科試題結構分析上的應用-以國小時間單元分析-

摘 要

本研究是以牛頓的「萬有引力」理論，及經濟學中的「引力模式」概 念來作為基礎，導出適合應用在試題結構應用分析的「引力模式」順序性 係數公式，並以國民小學六年級學生為研究對象，以「時間」概念為內容 編製試題進行施測，將施測結果代入公式後，予以繪圖並分析，得到以下 幾個結論： 一、以引力模式求出其答對率及順序性係數之後，從繪出的結構圖中，可 明顯得知試題上、下位的關係，依萬有引力的觀點來看，距離愈近者， 引力愈大。這個優點可刪掉題目間距離較大的題目關係，省略掉引力 過小的相關題目分析。 二、繪出的結構圖可明顯區分出相同概念的試題群：相同概念的試題，會 出現在同一個試題結構圖裡，並從第四章的圖看出，同一群的能力指 標幾乎皆相同。引力模式可在求出順序性係數時，利用公式的特性， 將同一概念的試題歸類於同一組結構圖中。 三、因一般小學的試題出題較為簡單，所以各題的答對率普遍偏高，若以 IRS 來作分析，各題可能都會集中在高答對率區，不易看出結構圖的 差異和比較；當學生同時答對下位試題和高位試題，但中間部分試題 卻全部答錯時，此時若以 IRS 來分析，結構圖上因未考慮二題間的距 離，因此即使二題之間距離相當大，仍會出現指向箭頭。而引力模式 因加入了二題間的距離做為參考值，所以當二題之間的距離過大，即 代表二題之間的吸引力不大，缺乏中間概念的連繫，表示二題間的關 聯性過小，所以不列入研究討論的範圍。因此就這一方面可解決 IRS 的盲點。

ABSTRACT

This research is based on both Newton's “Gravitation Theory" and the “Gravity Model” in Economics; leading out and applying to a suitable structure of the examination questions by utilizing the “Gravity Model” order coefficient formula analysis. To target on the sixth grade primary school student as the research object, this research comes out the examination questions which are drafted along with the “Time” concept. In the end, after constructing the result of examination by entering formulae, the report concludes below items when the drawing and analyzing procedures have been inputted.

1. Deduced by “Gravity Model” from the rates of numbers of those tested students who answer questions correctly and from the order coefficient, we could obviously understand (the conclusions are collated from the drawn structure chart) the relationship among those questions located at high positions and low positions. From the Gravitation’s point of view, the shorter the object distance, the stronger the gravity effect. The advantages of this method is that we could delete examination questions which are long distances among others(Lower gravity power)。

2. The same structural chart group can obviously be distinguished out the same concept. In other words, the examination questions from the same concepts will archived in the same structural chart. And based on chart in Chapter 4th

, we can find out that those questions gathered in the same the same group, the index function are nearly the same. We conclude that while asking for coefficient order, the Gravity Model can utilize the characteristic of the formula to divide the same concept of questions into the same structural organization chart.

3. In general, the examination question for primary school students are simpler so that the rate of students answering questions correctly is comparatively high. Therefore it is difficult to find out the structure chart’s function by using IRS analysis: If students answer the questions (which belong to high and low

positions in the chart) correctly, meanwhile, other questions in middle of the chart are all answered wrongly, here come some problems. The main problems are if we only utilize IRS analysis, the distance between two questions might be far away so there are still index arrowheads appearing. But once we refer to the “Gravity Model” theory, we will take the distance of two questions’ distance in the chart into consideration, so that whenever the two questions are too far away from each other, it means that the attraction(gravity) is not strong enough to reach the concept connection. Therefore, we could judge that the two questions are little-related and the result won’t be included in this research. By this way, we could solve the blind spot caused by IRS analysis.

目 錄

第一章 緒論

第一節 研究動機………1

第二節 研究目的………3

第二章 文獻探討

第一節 引力模式的基本原理………5

第二節 引力模式在經濟學上的應用………9

第三節 試題分析上之試題關聯結構分析法 ………11

第四節 研究假說 ………14

第三章 研究方法

第一節 研究架構 ………15

第二節 時間單元 ………16

第三節 試題編製 ………22

第四節 研究對象 ………28

第五節 信度與效度 ………29

第六節 引力模式分析 ………30

第四章 研究結果與討論

第一節 試題分析 ………35

第二節 引力模式及其結構圖 ………41

第三節 引力模式試題分析 ………46

第五章 結論與建議

第一節 結論 ………57

第二節 建議 ………58

參考文獻

中文部分 ………59

英文部分 ………61

附錄

附錄一 國小學童時間概念測驗試題 ………62

附錄二 各試題間的答對率之差 ………69

附錄三 符合引力模式條件的題號表 ………73

附錄四 引力模式順序性係數表 ………75

圖 目 次

圖 2-1 試題關聯結構圖………13

圖 3-1 研究架構圖………15

圖 3-2 實施步驟流程圖………26

圖 3-3 引力模式結構圖簡化指向箭頭………34

圖 3-3 引力模式結構圖等價試題合併………34

圖 4-1 引力模式關係結構圖………45

圖 4-2-a 引力模式概念關係圖………50

圖 4-2-b 引力模式概念關係圖………50

圖 4-2-c 引力模式概念關係圖………51

圖 4-2-d 引力模式概念關係圖………51

表 目 次

表 2-1 學生得分狀況表 ………12

表 3-1 九年一貫數學領域「量與實測－時間」之能力指標與

教材架構表 ………19

表 3-2 時間單元試題雙向細目表………22

表 3-2 時間單元試題雙向細目表………22

表 4-1 信度係數（Cronbach’s α係數） ………35

表 4-2-a 試題答對率及難易度指數 ……… 38

表 4-2-b 鑑別度指數 ……… 39

表 4-3 試題答對率一覽表 ……… 41

表 4-3 試題答對率一覽表 ……… 41

表 4-6 符合引力模式公式條件的題號一覽表 ……… 43

表 4-7 試卷題目分析 ……… 46

第一章 緒論

自從牛頓發現萬有引力以來，除了人們更加了解宇宙天體運行外，在 不斷延伸運用理論的結果，生活週遭許許多多的事物似乎都互有不同形式 的「引力」存在，除了已印證的想法理論外，也提醒我們其實有更多的引 力存在於萬物之間。

第一節 研究動機

自從牛頓發現了萬有引力，這一股無所不在的超距力，說明了宇宙萬 物相互間都受到重力場的束縛。而在牛頓還未發現萬有引力之前，其實人 類的生活早也已經受到萬有引力的深遠影響，例如：一日間太陽的東升西 落；而月亮的週期性質,其實也影響了海潮的漲潮和退潮，即當月亮的引 力消失，潮水又會受地心引力的影響逐漸拉回地面。宇宙中存在著如此有 規律的自然法則，而生活週遭的環境中，好多也都是具有規律的。而這些 規律，透過觀察與推演，加以探討這些現象形成的原因，再經由不斷的分 析資料到形成臆測，進而驗證與判斷的能力培養，才能夠不斷提昇或改善 我們的生活品質與環境。Ausubel認為能有意識的將新知識與已經知道的 舊概念或是原有的認知結構相聯結時，有意義的學習便會產生，並認為個 體對某種特殊訊息所持有組織、穩定、清晰的認知，經由不斷的運作，整 合各種雜亂的次級概念和訊息，便會成為有系統的組織結構（余民寧， 1997）。 近年來，由於電腦技術及資訊科學不斷的進步，「量化研究」 （quantitative inquiry）的優異功能因而更加突顯，造成了測驗評量方 法上產生了相當大的變化，因此具有診斷性質的試題分析法理論發展速度 十分快速，也逐漸形成研究風潮，試題分析法理論相關研究對傳統的學習

理論與評量理論，不斷地提出修正，以使能更了解學生內心的概念和想 法，也用以理解學生心理程序的進行過程以及其學習訊息。其中試題反應 理論（item response theory;簡稱 IRT）、試題層次分析法（item rating level;簡稱 IRL）、試題關聯結構分析法（item relational structure analysis;簡稱 IRS）等三種方法是已被公認為有效的分析分法， 一般來說，在試題分析法中，繪製「試題關聯結構圖」最常用的方法 之一是日本學者竹谷 誠（1991）的試題關聯結構分析法，因試題關聯結 構分析法能呈現出學生學習概念形成性的結構圖，而根據此結構圖除了可 和授課教師授課前建構的學習結構圖互做比較之外，也可與教科書提到的 教材地位分析圖互做比較，而比較後的結果可以對教學者在教學上有所回 饋，使教學者能依據此結果發現問題所在，進而改善教學的方法；而在教 材的設計上，也有相當價值的幫助，使得試題關聯結構分析法成為一股主 流，也吸引許多優異學者投入相關研究，期能發展出更精進、更實用的理 論及應用方法。 如以上所述，試題關聯結構分析法除了對於結構上下位概念非常有用 之外，同時其結構圖也提供給教學者訊息，作為教學決定的參考及補救教 學的擬定，價值性相當高。但試題關聯結構分析法對於非上下位概念間的 聯結則無法給予說明，此乃試題關聯結構分析法之美中不足處，如果能夠 在這方面有更進一步的補強，相信試題關聯結構分析法會更具完整性。 源自於物理學概念的「引力模式」，在日常生活中有許多適用的例子， 此種「引力模式」大部分應用在經濟學上，並有著許多的優點與印證，而 應用在教育上，尤其是數學教育上，卻是付之闕如。本研究即是採用「引 力模式」的概念，試圖挑選一個單元作為例子，來驗證國小數學試題間的 關聯性質，使相關單元間的關係具體化，以利教師參考使用，並能對於非

第二節 研究目的

由於引力模式對於概念間的連結具有很好的功能，且對於非上下位概 念間的連結亦同樣有效，因此本研究試圖使用此優點來進行探討。質言 之，其主要目的為： 一、 探討引力模式在試題分析上的算則？ 二、 探討引力模式在試題分析上的功能？

第二章 文獻探討

引力模式在經濟學上應用很廣，其構成的原因及使用的方法，值得當 作試題分析上的借鏡與參考。因此，在本章中，首先將透過文獻的資料來 說明引力模式的基本原理及在經濟學上的應用現況，其次透過試題分析中 之試題關聯結構分析法文獻，說明此法的主要工作及功能，從而汲取引力 模式可以在試題分析上揮灑的空間，最後則說明引力模式的建置，以及提 出本研究的算則。

第一節 『引力模式』的基本原理

三百多年前，英國科學家牛頓（1642--1727）發現宇宙中任何兩個物 體間都存有相互吸引之力，這個吸引力就叫做萬有引力。此力與兩個物體 質量之乘積成正比，與兩物體之距離平方成反比。因此兩個物體的質量愈 大，兩物體間的引力就愈大；距離愈大時，引力反而愈小。在萬有引力理 論基礎下，陸陸續續有許多學者應用此種想法及概念，來探究發現兩物體 或兩地之間許多不同形式的流動現象，也因此在不同的領域中，對引力模 式就有不同的定義，在測定節點之間交互作用的大小，有著以下的定義（高 級中學 經濟地理）： (1) 節點與節點之間，如果要產生交互作用，必須具備下列條件： A. 二節點之間具有互補性。 B. 二節點之間缺乏中間障礙的干擾(即缺乏可以提供類似貨物或服務的 其他節點) C. 節點間互相需求的貨物或服務必須具有高度的可運性。 (運輸成本高，可運性就低；運輸成本低，可運性就高)

(2) 引力模式的公式→任何兩地之間的運輸流量，與兩地人口數乘積成正 比。與兩地的距離成反比。即 Iij= ij j i D P P Iij=i地和j地之間的運輸流量 Pi=i地的人口數 Pj=j地的人口數 Dij=i地到j地之間的距離。 表 2-1 和表 2-2，是台灣汽車客運公司在四個都市的每日平均汽車班 次。從這些資料可以發現下列事實： （1）都市的人口愈多，班次也愈多；反之則愈少。 （2）規模相當的都市，距離較近的班次較多；如台北到新竹比台北到嘉 義的多出很多。 （3）除距離外，人口規模亦影響班次，如高雄距台北雖比距嘉義更遠， 但因人口較多，故班次也較多。 表 2-1 都市人口數和都市間每日平均公車班次表 都市名 台北 新竹 嘉義 高雄 人口數（人） 每日平均出入班次 2,449,702 5,026 297,324 1,078 253,016 1,052 1,285,132 3,952

表 2-2 都市間距離和每日平均公車班次表 區間 距離和班次 台北 新竹 台北 嘉義 台北 高雄 直線距離（公里） 63 196 294 每日平均往來班次 584 82 216 根據以上的事實，可得到如下結論：任意兩地的交通流量，和兩地的 人口數乘積成正比，和其間的距離成反比，即： j i j i j i D P P I = I_ij：i 地和 j 地之間的交通流量 P_i：i 地的人口數 Pj：j 地的人口數 Dij：i 地和 j 地之間的距離 因為此一結論是由物理學上萬有引力定律概念得出，故稱為『引力模 式』。 而首先藉用『引力模式』來分析雙邊貿易流量現象的學者，就是 Tinbergen，而 Tinbergen 的引力模式指的是：兩國之間的貿易和兩國的產 出成正向關係，但與兩國之間的距離成反比關係。引力模式之直覺概念與

物理學上說明兩物質之間吸引力的萬有引力公式相類似。自 Tinbergen 最 先使用引力模型分析雙邊易流量以來，引力方程式應用在雙邊貿易影響因 素之探討已有 30 年以上的歷史，其實證上的成功已廣受經濟學界的支持。 （郭錦婷，1999）

第二節 引力模式在經濟學上的應用

應用引力模式的分析方式，來成功探索影響雙邊貿易流量之決定因素 的國外學者相當多，如 Bergstrand, Frankel, Mccallum etal.，國內研究生 探討引力模式的應用者也很多，如陳榮琪、廖育信、郭錦婷等人，茲將其 主要研究內容，簡單說明如下： 一、Bergstrand Bergstrand（1985）指出，除了兩國的所得水準、彼此間的距離長短、 優惠性的貿易安排外，影響雙邊貿易的因素還有出口物價指數、進口物價 指數等價格變數。而他除了發展引力模式應用在雙邊貿易分析的總體經濟 理論基礎外，還推導出包含價格變數在內的引力方程式。 二、Frankel Frankel（1993）應用『引力模式』來說明兩國彼此之間的貿易和兩國 的 GNP 成正向關係，但卻與兩國之間的距離成反比關係，此種關係存在 的事項和物理學上的萬有引力公式相當類似。Frankel 說明解釋了『引力模 式』的名稱，他認為，在解釋雙邊貿易現象時，有兩種解釋變數最為重要， 那就是兩地的經濟大小（economic size）和兩地之間的地理距離，這就是 稱呼為『引力模式』的主要緣由。 三、Mccallum Mccallum（1995）用加拿大「省」對「省」之間和加拿大「省」對美 國「洲」之進出口貿易資料，探究美加兩國於 1988 年簽訂自由貿易協定 之後，兩國間的疆界對兩國貿易活動仍會有持續性的影響，並以美加產業 結構異差來探討影響美加地區貿易流量的決定因素。其發現屬於正相關的 有省／洲之 GDP、加拿大「省」對「省」、美加產業結構異差。而屬於負 相關的則是距離因素。 四、陳榮琪 陳榮琪（1992）採用「引力模式」的觀念建立公共設施服務評估指標

與數學式，依此數學式做為人口分派的依據，再由人口分派求得容積率， 最後由群落分析法將各分區之容積率加以整合，便於容積率之訂定。由其 結果顯示：公共設施服務距離與容積率之分布呈負相關。公共設施服務水 準所求之容積率與該區之法定容積率有明顯差異。 五、廖育信 廖育信（1998）根據其實證結果顯示，民航業需求的決定性因素有三 項：第三級產業人口、所得以及每公里票價；人口與所得以及每公里票價 都可用引力模式(Gravity Mode)解釋。當地三級產業人口增加、所得增加或 每公里票價下降，都會使均衡載客量增加。 六、郭錦婷 郭錦婷（1999）的研究中證實亞太國家雙邊貿易現象符合「引力模式」 之基本意涵，即兩國間之貿易量與兩國的國內生產毛額成正比，而與兩國 間的地理距離成反比。因此可以推論「引力模式」適用於分析亞太國家之 雙邊貿易現象。 以上這些理論或結果都是各學者及研究生應用引力模式的分析方式 來成功探索影響雙邊貿易流量之決定因素；或都市計畫容積率之訂定；或 台灣民航業供需決定因素，亦即引力模式在經濟學上的應用。

第三節 試題分析上之試題關聯結構分析法

本文前有提及試題分析的方法主要為 IRS，本節就試題分析上之試題 關聯結構分析法（IRS）作介紹。

壹、試題關聯結構理論來由

教師在經過實施完一個單元教學活動之後，學童的概念能力會在結構 上產生出一些的變化，而這些變化應是教學者所最想得知的訊息之一，在 美國兩位學者Ｐ.Ｗ. Airasian 及 W.M. Bart 首先研究並發表了次序理論 （ordering theory）在教育工學上的應用後，日本學者竹谷 誠研究並改良 次序理論裡頭未盡完備之處，於 1979 年發表「試題關聯結構分析法」，並 於 1980 年，將試題關聯結構分析法的理論完成問世。在此理論中，竹谷 誠 教授是以測驗試題後所得出來的結果，計算題目彼此之間反應所得的順序 性係數，將此作為不同概念層次高低的依據，並依此製成具有指向性的圖 形結構，來分析試題的特性，此種方法稱之為「試題關聯結構分析法」（Item relational structure analysis），簡稱 IRS 分析法（引自許天維，1995）。而學 童概念的學習情況透過此理論的分析終獲得解決。

貳、試題關聯結構分析法功能

郭伯臣（1995）的研究中指出，藉由 IRS 的分析結果，可以了解學生 能力由低到高以及試題間結構變化的情形，並進一步了解學生學習的發展 過程。盧銘法（1996）的研究中發現，利用試題關聯結構分析法可以把原 來的幾何認知發展階段再細分出結構發展層次。許天維（1995）認為試題 關聯結構分析法有教學設計、形成性評量、認知學習構造、概念形成過程、 課程教材構造等五種功能。陳敏華（1998）的研究中指出，利用 IRS 分析 法，就可以獲得受測學生的學習結構圖，也能從試題關聯結構圖獲得相關 的訊息，對先提出的概念模型作局部修正。 以上這些研究已將試題關聯結構分析法的功能道出，也讓試題關聯結

構分析法的實際用途呈現。有了試題關聯結構分析法，使學習情況的分析 與教學成果的分析獲得了解決。

參、試題關聯結構理論流程簡論

一般而言，試題關聯結構理論在直觀上的意義，假設有十位受試的學 生，都參加六道試題的同一測驗，若答對者得 1 分，答錯者得 0 分，則其 得分狀況如表 2-3 所示： 表 2-3 學生得分狀況表

試 題 3 5 6 2 4 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 對 人 數 7 6 6 5 4 2 在表中，學生 1 號及 2 號答對了試題 1，他們也同時答對了試題 4，答對試題 1 的學生亦答對試題 4，此時就有試題 4 到試題 1 的箭頭， 記作 4→1；同理，答對試題 4 的學生是 1 號、2 號、7 號及 8 號，他 們亦同時答對了試題 5、6，所以分別有 5→4、 6→4；另一方面，答 對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 2，答對試題 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

所以分別有 2→1、 3→2；此外，答對試題 4 的學生有 7 號沒答對試 題 2，故沒有試題 2 到試題 4 的箭頭，其餘均依此類推。 如果定義答對率為下列式子： 試題答對率＝受試學生答對人數/受試全體學生的人數 則以答對率為縱座標，將相關指向箭頭標示出來，成為完整的試題關 聯結構圖，如下所示： 圖 2-1 試題關聯結構圖 20 30 40 50 60 70

_③

⑤

⑥

②

④

①

正答率

第四節 研究假說

基於第一節引力模式的介紹及第二節引力模式相關文獻的探討後，對 於引力模式應用在單元概念的想法，主要取決於兩節點間的答對率、變異 量等各項因素，針對這些因素，本研究建立下列各項假說並予以驗證。 假說 1：每兩題之間的順序性係數愈小，表示兩題之間的引力愈小，愈不 具討論的價值。 假說 2：運用引力模式計算出來的數值所畫出的結構圖，同概念的題目會 在同一個結構圖內。 假說 3：引力模式在國小數學時間單元的分析中，將引力數值小的概念可 去除之，避免試題分析理論中將所有概念全概括的缺點。

第三章 研究方法

本研究由文獻分析建置了試題分析的引力模式，對試題結構分析上具 有能保留試題彼此間反應所得到的順序性關係，以及將試題依出題概念加 以區分的效果。因此在本章中，擬以國小課程中「時間」單元作為測試的 素材，並以國小六年級學童為研究對象進行測驗，將測驗的結果，進行引 力模式分析，最後針對試題的特性，描述其擁有的表徵成效。

第一節 研究架構

本研究以國小學童的時間概念為基礎，根據研究目的及研究文獻，提 出以下的研究架構圖。（如圖 3-1） 圖 3-1 研究架構圖 時間單元教材 國小學童時間概念 試題檢核表 雙向細目表 時間試題測驗 引力模式試題關聯結構分析。

第二節 時間單元

研究者從事教學已近五年，發現學生在時間單元的學習上，容易受到 舊有學習經驗的干擾，造成概念上不甚清楚，而在學生熟悉十進位制的計 算之後，對於二十四時制及六十進位的時間化聚，常會和十進位的計算相 混淆，因而無法流暢的演算。所以在此次研究引力模式在數學科試題結構 分析的應用時，決定採用國小課程中的「時間」概念作為出題的單元。以 下將針對國小「時間」單元作詳細的說明。

（一）國小數學課程「時間」單元的特性

時間是流動的，連續的勻速進行而又不可逆的，在實際生活中，是以 事物的勻速變化，如鐘錶上時針的移動作為信號，再由別的知覺識別這種 信號而感知時間(丁祖蔭，1996)。而 Leushina(1991)則是認為：時間雖然 真實的在我們生活中佔相當重要的地位，且生活中提到時間的機會相當 多，但在日常生活中，我們只可透過外在的事物或事件的變動，來察覺到 它的存在，和實體物質比較起來，其實時間是抽象的，且不是具體存在的。 因「時間」單元具有以上所述之特性，所以「時間」不像長度、重量、 面積、體積等單元，可以實際看得到，摸得到，所以在概念發展上，必須 要能對抽象概念的處理勝於對物理現象的掌握，因此對國小學童來說，「時 間」這個單元常會造成學生在學習完此單元課程後，只具備模糊的概念。 國民中小學九年一貫課程綱要(教育部，1999)中，數學領域「數與量」主 題之下的「量與實測」部分，包含長度、重量、容量、角度、面積、時間 等生活中常用的七種量，前六種量可稱為感官量，時間則可稱為工具量(鍾 靜，1998)。

82 年課程標準(教育部，1993)在教學方法部分即強調：數學的概念與 技能，必須由兒童自行建構，數學教學應以兒童的直觀經驗為素材，經過 逐步數學化的過程，來促進兒童建構有關的知識。在量與實測的教材綱要 下有一但書，指出對於量感建基在「刻度上的變化的相對性質」的量，其 在教材上的架構理念是先由工具的使用入門的，先以工具上的不同刻度作 為不同情境的指標之後，再比較記錄上的差異引入刻度上的變化概念，而 建立所謂的「相對量感」，然後再由等「相對量感」的不同階刻度變化， 而引出以及應用不同刻度間的關係。 在八十二年版教育部頒布的課程標準「量與實測─時間」教材架構中 將時間分為四個層次，此四個層次的說明如下： 層次一：比對刻度觀點。例如：以時針、分針二針所指刻度，直接報讀 出幾點幾分。 層次二：建立相對量感。例如：9 點到 10 點的刻度變化，配合生活事件， 認識 1 時的量感。 層次三：建立等相對量感。例如：經歷相同事件，都是從 9 點到 10 點， 用小時計算是 1 小時，用分鐘計算是 60 分鐘，進而引發二階單位 間 1 小時等於 60 分鐘的關係。 層次四：時間的計算與應用。例如：時間(量)的加、減、乘、除法問題， 二時刻與時間(量)的問題。 將時間的量感和長度、重量這種絕對量感作比較，因而稱其為相對量 感；這裡所提到的等相對量感指的其實是二個相等的相對量感，如 6 分 8 秒和 368 秒。學生在低年級時是層次一，所以只在於學習鐘面刻度的報讀，

到中年級進入到層次二時，才學習到藉二個時刻間的變化來建立相對於該 刻度的量感。而從四年級下學期開始，進入到層次三的階段，在這個階段 中，學生必須建立時間的等量關係，但如果等量關係牽涉到分數、小數的 部分，則是要到六年級才能處理；所以層次四的進行會配合層次三的發展。 從以上所述的理論基礎可以清楚的知道：在學生學習「時間」單元的 過程中，要先以不涉及量感的教學活動從工具─鐘錶、月曆來認識時間， 接著再配合生活事件從時刻變化中建立時間量感，進而才能做時間的化 聚。

（二）

「時間」概念的認知結構

其實時間是兒童在生活上經常會遇到且使用到的量，不過雖然它經常 出現，但是對兒童來說，它的認知結構卻是相當複雜，不易釐清。根據鍾 靜在 1998 提出的時間單元之認知結構，有以下的敍述。 1.以比對刻度的觀點報讀時刻 給兒童一面時鐘，當兒童能看到時鐘實際運行時，就能清楚地明白 當鐘面上的時針走 1 大格時，分針會走 1 圈，但是如果兒童在日常生活 中沒有實際經歷這樣的真實事件，只想從二針的轉動來看，是沒有辦法 了解時針和分針之間代表意義的。不過學生在學習時間單元時，不能完 全只靠實際的鐘面學習，必須還要能明白時刻的變化及對時間具有量 感，才能將整個單元作了解。 2.數字鐘的表示只當做時刻的一種記錄 如果我們要以數字鐘來引導兒童認識時間，其實是一件非常困難的

意義的數字而已，但是對時刻的變化，兒童可能就很難明白其間代表的 意思了。時、分、秒之間的關係是六十進位，對兒童來說原本就不易理 解，若是透過一般的鐘面來作做學習，尚可利用時鐘上長、短針的轉動 現象，配合事件的發生，來說明時刻的連續變化情形，兒童也較易接受 六十進位的概念。 3.配合生活經驗 誠如前面所述，時間是兒童生活經驗中，每天必須遇到的問題。能 實際體驗生活中大刻度時間(例如「天」)的流逝，也是培養時間量感上 重要的經驗。若能配合每天發生的事件，來給兒童天、時、分、秒的概 念，則學童則能容易了解。 4. 化聚活動宜先聚再化 從低階單位(例如：分)累成高階單位(例如：時)為「聚」，由高階 單位(例如：日)分成低階單位(例如：時)則為「化」，大部分兒童是先 有很多累進的經驗之後，才逐漸產生分的概念。而時間的化聚在整個時 間單元中佔有相當大的比例，在時間單元的測驗中，常可見到大量的時 間化聚題目，兒童的一日 24 時制，時、分、秒之間是六十進位的概念， 必須相當清楚，在解時間化聚的題目時，才能正確解題。

（三）國小數學課程「時間」單元的教材內容

表 3-1 九年一貫數學領域「量與實測－時間」之能力指標與教材架構

能力指標(時間教材) 教材架構 八十二年版 第一階段： 具體操作/視 覺 (1~3 年級) N-1-11 能區分幾個事件發 生的先後順序。 層次一、比對刻度觀點 N-1-12 能報讀鐘面上的幾 點、幾點半以及數字鐘 上的時刻，以便溝通。 層次一、比對刻度觀點 N-1-13 能透過查月曆報讀 幾月幾日星期幾，並知 道一年有 12 個月及各月 之日數。 層次一、比對刻度觀點 第二階段： 具體表徵/察 覺樣式 (4~5 年級) N-2-08 能報讀（鐘面上的） 時刻以及點算兩時刻間 的時間；能理解 24 時制 並應用在生活中。 層次一、比對刻度觀點 層次二、建立量感階段 N-2-10 能認識各種量的普 遍單位，應用在生活中 的實測和估測活動，並 培養出量感（普遍單 位：千米、毫米、公升、 毫公升、時、分、秒）。 層次二、建立量感階段

N-2-12 能知道同類量中二 階單位之間的關係及使 用二階單位作描述，並 利用此關係作整數化 聚。 層次三、建立等量感階段 第三階段： 類化具體表徵 /辨識樣式間 的關係 (6~7 年級) N-3-09 能理解同類量中不 同單位間的關係（註）， 並作化聚活動（可以有 分數、小數）。 層次三、建立等量感階段 層次四、計算與應用 由表 3-1（鍾靜，1998）可明白知道九年一貫數學領域「量與實測－ 時間」的能力指標與教材架構之間的關係。而本研究之施測試題也是依 據九年一貫數學課程時間單元的能力指標來設計測驗題目。 綜合以上所述，可發現「時間」雖然存在於一般日常生活中，但是 因為看不見、摸不到，無法藉由實體表徵出來，而且不易掌握量感，因 此在學生學習本單元時，常會遇到很大的困擾。因此選擇「時間」單元 作為出題的單元，期盼經由引力模式分析出試題結構後，明白兒童在此 單元中各個概念相關性，能對往後的「時間」單元教學有所助益。

第三節 試題編製

本項研究是一份自編試卷，茲說明如下：

一、

自編試卷

（一）試題概念架構

這份試卷是以教學手冊內的能力指標為主要架構，配合學生的學習發 展，再參酌和「時間」概念相關的文獻，編製出此份試卷。試卷有 25 題 選擇題。（如附錄一） 以下為時間單元（表 3-2）的試題雙向細目表： 表 3-2 時間單元試題雙向細目表 雙向細目表 教學目標 課程內容 知識 理解 應用 合計 24 時制概念 報讀鐘面 代表的時間 8 1 24 3 點算兩時刻間 的時間 7 14,15, 17 18, 21,23 7 時間二階單 位的關係 日和時的關係 2,10,13, 3 時和分的關係 5,11 2 分和秒的關係 12,22 16 3 日、時、分、秒 的關係 25 20 2 時間量感 確認量的單位 4,9 2 生活實測和估 3,6,19 3

小計 6 10 9 25

（二）測驗試題的編製與施測

在出試題時，針對不同類型的試題就會有不同的命題原則，本研究的 測驗是以選擇題作為出題類型。選擇題作答方式是從多個選項中，選出一 項正確選項的試題類型，而選擇題也是目前測驗中，最常見的的試題出題 方式。 選擇題是由題幹和選項組合而成，本研究的這份測驗一共有 25 題選 擇題，每題有四個選項，選用選擇題為作測驗的原因是因選擇題具有以下 優點： 1.選擇題雖可猜測，但和是非題比較起來，受猜測的影響較小。 2.就題意上來看，選擇題的題意能比是非題或填充題來得明確。 3.在設計選擇題時，若能設計誘答選項，對學習診斷將能有所幫助。 4.選擇題的評分比填充題或應用題來得省時、簡單。 所以本測驗依據「數學科試題編製」（許天維,2004）的題幹要項、選 項要項及題本要項，且依所查的文獻加以分析探討，經由具有專長的專家 提供意見後，再實施預試後編製而成。 此份測驗之命題符合下列「數學科試題編製」原則（許天維，2004）:

（1）選幹要項

1.題幹的第 1 個字不可為數字或數學符號。 2.題幹的數學名詞應是國小數學常用且唯一，不可模稜兩可。 3.題幹的數學名詞若非國小數學常用且唯一，應有所敍述。 4.題幹的標點符號遇中文用全型，英文用半型加半型空白。

5.題幹的數學符號應為半型。 6.雙條件的前提語句應先寫「設」後「若」，不可先「若」再「設」。 7.圖形應置於題幹之後且數學符號應一致。 8.問句的提出應在顯著的位置，不可隱約在題幹之中。 9.題幹的內容應簡潔扼要，不可累贅。 10.題幹用法應合乎中文語法，不可倒裝敍述用句。 11.題幹敍述應完整，不可看到選項才知問了什麼。 12.題幹敍述應符合數學邏輯發生程序，不可顛倒層次。 13.題幹數式宜有專有名詞說明，以免發生意義混淆。 14.題幹設計數字宜簡，以免失去測驗目的。

（2）選項要項

1.選項號碼應與選項敍述相差半型空白。 2.選項間次序應為垂直排列。 3.選項間內容次序應為邏輯排列。 4.選項間內容敍述宜為等長。 5.選項間內容敍述應指涉單一面向。 6.選項內容應有誘答力。 7.選項內容應為簡潔語句，不可冗長。 8.選項內容應與題幹內容互相呼應，不可南轅北轍。 9.若選項內容為敍述，則應符合數學邏輯發生程序，不可顛倒層次。 10.圖形應置於選項之前。

（3）題本要項

2.題本的試題應均勻分配於雙向細目表上。 3.題本不可超過大部分學生閱讀反應時間。 4.題本的試題難易應由淺入深平均分布。 5.題本的試題取樣應注意公平性。 6.題本的排版應避免學生視覺的誤導。 7.題本的試題間應避免提示線索。 8.題本應依測驗目的選擇特性的試題而組成。 本測驗根據以上的試題編製原則，完成試卷編製後，以研究者任職學 校一個六年級班級學生 36 位學生接受正式施測。

二、

研究使用軟體介紹

由於這項研究須求出試卷的信度以及各項資料分析，所以必須用到許 多軟體，介紹如下： （一）EXCEL 套裝軟體：求出此份試卷的各題答對率、平均答對率及 變異數，以完成試卷答對率的矩陣製作。 （二）SPSS/PC（10.0 for windows）統計套裝軟體：進行此份試卷 的信度分析以及相關分析。 （三）IRSP 軟體（郭伯臣、田聖才，1995）軟體：用以求出各試題間 的關聯順序性係數，繪出試題關聯結構圖。 （四）VISIO 軟體：為繪製流程圖的軟體，用以繪出試題關聯結構圖。

三、實施步驟流程圖

本研究首先是先探討引力模式在經濟學中的應用，從中發現引力模式 的優點，及對教育方面可能有所助益，特別是在試題結構分析上有其發展 的空間。接下來再從國小數學科中選擇「時間」單元教材作為出題單元。

在選定好教材範圍之後，針對引力模式的特性，擬定欲研究的主題，再根 據能力指標及教學指引來編製試題，經過預試及修正之後正式施測。在得 到受測結果之後，經過整理，針對此結果運用軟體來做分析，再對引力模 式的公式加以驗證，最後完成這一份研究報告。 本項研究的實施步驟流程圖（圖 3-2）如下： 探討引力模式相關文獻 探討時間單元數學教材 擬定研究主題 根據能力指標及教學指引編製試題 實施預試、修正試卷內容，並請 教授及現職數學教師檢核試題。 正式施測 資料整理分析 公式驗證 撰寫研究報告

四、研究限制

此項研究是以國民小學六年級學生作為研究對象，探討引力模式在教 學上的使用。以下是針對這項研究的研究對象及研究工具限制部分予以說 明。

（一） 研究對象

由於此項研究主要在探討引力模式在教學上的運用，因受限於時 間與人力等因素，故僅以彰化縣採用翰林版數學教科書之其中一所學 校，採用一班級 36 名學生做為研究對象，因此樣本有地域性限制。

（二） 研究工具

本項研究是以引力模式求出「時間」單元試題與試題之間相關的 程度，如果時間上允許，應可將研究範圍擴大到其他的數學科單元， 或是國小課程的其它科目，來加以探討和分析，以更加驗證引力模式 在教學上的運用性。

第四節 研究對象

本研究的目的是以數學領域中的時間單元作為研究單元，運用引力模 式來找尋一個新的關聯性質，探討出學童對時間觀念的舊有經驗和新觀念 的上下位關係。由於出版數學領域教科書的各種版本進度皆不相同，為配 合教師教學的進度進行研究施測，故以彰化縣內採用翰林版教科書之學校 六年級學生為施測對象，施測人數 36 人。 施測時研究者採用九十三學年度翰林版國民小學有關時間之教材架 構，以自編的「時間」測驗試題做為研究工具，並請取樣班級的數學任課 教師協助施測，施測前向協助施測的教師說明注意事項，同時也向受測學 生說明測驗的方式，施測所得的資料僅供研究使用，不會予以公開，以紓 緩教師和學童的情緒和壓力，提高施測的效度和信度。

第五節 信度與效度

（一）信度

信度（reliability）又稱可靠性，係指測驗結果的穩定性而言（郭生 玉，1989）。本篇研究是以Cronbach’s α係數來求出試題內部的一致性。 α＝ _n-1 n （1－Σ ₂ 2 x i S S ），其中n指的是為測驗之題數，而Si2則是每一個題 目分數之變異數，Sx2則為測驗總分的變異數（陳英豪、吳裕益，1998）。

（二）效度

一份測驗要能夠準確的測到施測者編製目的的程度高低，以及所想測 量到的能力或是潛在程度，即稱為效度（validity），也就是正確性。 本研究施測時所使用的這份測驗工具，是以教學手冊上的教學目標和 教材內容作為主體，並配合雙向細目表來命題，再根據題本檢核表來加以 檢視試題內容，因此具有相當的內容效度。且此份測驗工具是經由師院對 數學專精的教授，及數學研究所畢業的現職教師審查後，提供意見予以修 改，亦使試卷內容更加具有專家效度。

第六節 引力模式分析

許多教學者在教學之前，都會在自己心中設定好該單元的上下位概念 關係，就像很多人的刻版印象中總是認為小數沒學好，是因為分數概念不 足而造成的。但對兒童來說，並非絕對如此。對大部分的人來說，數學就 是計算、套公式，所以在教學的過程中，常常可以發現兒童是以記憶的方 式在學數學，教學者教授內容，之後出練習題給學生練習，這個單元的教 學就算完成了。 Davis（1984）認為若以機械式、記憶性的方式教學，會遺漏掉意義 和理解這二個部分。其實並非每個題目在解題程序上，都能用單一方法或 概念就能完成，在解題的過程當中，雖有其步驟性，但卻是相當具彈性。 在解題的過程裡，兒童通常會先記憶起所學過的各種概念，再將這些片段 的記憶加以組合，再予解題，但若是無法從記憶中找到這些概念，也就無 法解出正確答案了。這也就是教學者所說的上下位概念。 既然解一個題目須要用到許多不同的概念，那麼兒童在解不同的試題 時，就會有許多不同的解題想法，有時兒童雖然能解出正確答案，但是卻 不見得能理解試題當中所涵蓋的所有概念。兒童答對該題試題有可能是完 全了解題目包涵的所有概念，但也有可能是在似懂非懂的情形下作猜測， 在答對試題的過程中，兒童到底了解多少，是教學者亟欲得知的訊息，因 此如何從試題去分析兒童的概念形成程度，就成了一門大課題了。 引力模式對試題的分析是將兩個題目之間的順序性係數計算出來，以 此順序性係數看出不同概念層次的高低情形，再繪製成引力模式結構圖。 （一） 引力模式順序性係數 在萬有引力公式F = G × 1₂ 2 R M M 中，G為一常數，M1M2代表兩不同 物體的質量乘積，而R2 則代表二物體間距離的平方。利用上述萬有引力的

對受測者施測試題 j 和試題 k 兩個試題，將受測者受測的結果分成四 個部分： A：同時答對試題 j 和試題 k B：答對試題 j 但答錯試題 k C：答錯試題 j 但答對試題 k D：同時答錯試題 j 和試題 k 答對試題 j 答錯試題 j 答對試題 k A C 答錯試題 k B D 在答對試題j的這一群受測者中，也有人答對試題k；在答對試題k的 這一群受測者中，也有人答對試題j，同時答對試題j和試題k的受測者雖 位在二個不同的位置，但這股同時存在量，就如萬有引力公式中兩物體之 間的吸引力一樣，因此將分子設成P11。 因二點之間的距離，計算方式為 d ＝

(

)

2

(

)

2 1 2 1 2 x y y x − + − 所以以曲線長度觀念來看，分母的部分選擇為e（P10＋P01） ，P10+P01是扣除 掉同時答對兩題的受測者，將只答對試題j和只答對試題k的受測者視為兩 答對 試題 j 答對 試題 k

個不同的物體，來研究其間的差距，視為萬有引力中兩物體間的距離。只 答對試題j和只答對試題k二個群的距離為d= P₁₀+P₀₁，所以d2＝P10+P01， 為避免出現距離為 0 的情形且，在國小階段，兒童的試題答對率通常偏高， 因此選擇函數e＝2.71。以下，將舉一個例子，實際代入引力模式順序性 公式。 假設有一個 n 個試題的測驗，共 m 位受試者。若答對得一分，答錯得 0 分，且第 j 題的答對率高於第 k 題，則依引力模式的觀點，其第 j 題到 第 k 題的順序性係數為 r*jk = } exp{ 10 01 11 P P P + P11 ：同時答對第j題和第k題的受試者佔全體受試者的比率 P10 ：答對第j題而答錯第k題的受試者佔全體受試者的比率 P01 ：答錯第j題而答對第k題的受試者佔全體受試者的比率 exp ：係數 2.71 舉例來說，以下是 12 位受試者參加測驗的結果，1 表示答對，0 表示 答錯。 1 號 2 號 3 號 4 號 5 號 6 號 7 號 8 號 9 號 10 號 11 號 12 號 題 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 題 2 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 同時答對第 1 題和第 2 題的受試者佔全體受試者的比率是 1 ₃ ，答對 第 1 題而答錯第 2 題的受試者佔全體受試者的比率是 1 ，答錯第 1 題而

答對第 2 題的受試者佔全體受試者的比率是 1 6 ，則第 1 題到第 2 題的順 序性係數為 P11 ： 4 12 ＝ 1 3 P10 ： 3 12 ＝ 1 4 P01 ： 2 12 ＝ 1 6 r* ＝ } exp{ 10 01 11 P P P + ＝ ) 6 1 3 1 ( 4 1 + e ＝ 2 1 4 1 e ≒ 0.15 由以上的引力模式公式可求出每二題試題之間的順序性係數。若順序 性係數小於 0.5，則表示二題之間引力過小，順序性即不在討論範圍內， 不予繪出圖形。若順序性係數大於等於 0.5，則表示二題之間有引力存在， 順序性在可研究範圍內，繪出圖形後，再尋找二題目間相關性。 （二） 引力模式結構圖 引力模式結構圖的製過程如下：

（1）在引力模式結構圖中，緃軸代表答對率，答對率愈高的試題， 位在愈下方，反之，答對率愈低的試題，位在愈上方。 （2）順序性係數大於等於 0.5，則表示二題之間有引力存在，順序性 在可研究範圍內，則會有指向箭頭從答對率高的題號指向答對 率低的題號。 （3）若試題 a 指向試題 b，試題 b 指向試題 c，試題 a 指向試題 c 時， 則可將試題 a 指向試題 c 的指向箭頭刪除。 c c b b a a 圖 3-3 引力模式結構圖簡化指向箭頭 （4）若試題 a 指向試題 b，試題 c 指向試題 b，則試題 a 和試題 c 等價 時，則可將試題 a 和試題 c 之間以雙向箭頭表示。即可得到引力模 式結構圖。 b b a c a c 圖 3-4 引力模式結構圖等價試題合併

第四章 研究結果與討論

這一章是就此項研究所編製的試題以及施測後所得的資料，並就引力 模式公式的定義，來做探討與分析。

第一節 試題分析

壹、

信度分析

本研究採用 Cronbach’s α係數做為信度的考驗依據，以判斷出試題的 可靠性與內部的一致性。經過 SPSS/PC 分析可得知本測驗整體的α係數 為 .7122，顯示出本測驗具有相當的信度。本測驗的信度分析情形如下 表（表 4-1）： 表 4-1 信度係數 （Cronbach’s α係數） 題 號 刪除此題後 之α值 題 號 刪除此題後 之α值 題 號 刪除此題後 之α值 1 .7060 11 .6782 21 .7132 2 .6969 12 .6699 22 .7263 3 .7200 13 .7000 23 .7110 4 .7101 14 .7101 24 .6836 5 .6764 15 .7050 25 .7458 6 .7159 16 .6982 7 .6880 17 .7093 8 .7040 18 .6992 _{此份測驗之整體α係數} α＝.7122 9 .7043 19 .7240 10 .6978 20 .6757 由以上的表 4-1 可看出此份測驗之整體α係數為 .7122，但若各題 被刪除後，其實對整份試卷的信度影響並不大，由此可知各個試題的信

度，都在可接受的範圍之內。Cuieford（1965）曾提出如果 Cronbach’s α 係數的值小於.35 的話，則為低信度，若大於.35 且小於.75 則尚可，如果 Cronbach’s α係數的值大於.75 則屬於高信度。而由上表可得知本份測驗 之整體α係數為 .7122，雖未達到.75 的高信度值，但十分接近，可知本 試題內部一致性還是很高，且具有可靠性。

貳、效度分析

一個測驗必須先有具有相當的信度，才能具有效度。當測驗的結果趨 於穩定，測驗成績可靠時，才有辦法進而討論其正確性。信度僅需要測驗 分數的一致性即可，但效度需要測驗分數的一致性和正確性（郭生玉， 1989）。所以一份好的測驗工具，必須具有好的效度。 而本測驗為了能將教學目標、教材內容包含於內，所以採用雙向細目 表（表 3-1）來命題，主要是以國小數學課程中的「時間」單元之能力指 標做為命題方向，再依據試題檢核表來檢視試題，修正不良試題，以免影 響試題施測的結果，而造成施測效果不佳。除此之外，在施測前，本測驗 還經過師院對數學教材教法專精的教授以及對國小數學課程教學經歷豐 富的教師，給予建議及修改，使試卷的試題出題方向更明確，用詞更清晰， 使整份試卷的施測更有效度，能更明白的測出學童對「時間」單元的概念。

參、難易度分析

難易度是以數字的方式來呈現每題試題難易程度，本研究採用的是答 對百分比法（number correct ratio）。答對百分比法計算方式是以全

Pi ＝ N Ri _{× 100} Pi ： 第i個試題的難易指標 Ri ： 答對第i個試題的人數 N ： 受試總人數 答對百分比法所表示出的試題難易度指標，是次序量尺指標，也就是 當 P 值接近 0.5 時，即表示此試題的難易度適中，學生答對與答錯各佔一 半；計算出來的 P 值愈大，就表示試題愈簡單，學生愈容易答對；相反地， 若 P 值愈小就表示試題愈難，學生也愈不容易答對。表 4-2 就是此研究測 試試題的整體答對率。 除了答對百分比法之外，本研究還根據此份試卷的施測結果，求出每 一題的難易度指數（Pi）。難易度指數計算公式為 Pi ＝ 2 iL iH P P + PiH：是高分組在第i個試題上的答對率。 PiH的計算方式係將高分組學生答對第i題的人數（RiH）除以高 分組學生的總人數（NiH）。 亦即PiH＝ iH iH N R 。 PiL：是高分組在第i個試題上的答對率。 PiL的計算方式係將高分組學生答對第i題的人數（RiL）除以高 分組學生的總人數（NiL）。 亦即PiL＝ iL iL N R 。

難易度指數若超過 0.8，則表示題目較為簡單；若難易度指數小於 0.3，則表示題目較為困難。 經由以上的答對百分比法以及難易度指數計算公式，得到以下表 4-2： 表 4-2-a 試題答對率及難易度指數 題號 整體答對率 難易度指數 題號 整體答對率 難易度指數 1 0.92 0.85 16 0.69 0.65 2 0.94 0.90 17 0.58 0.55 3 0.86 0.85 18 0.58 0.40 4 0.92 0.95 19 0.94 0.95 5 0.53 0.55 20 0.58 0.50 6 0.92 0.95 21 0.97 0.95 7 0.53 0.60 22 0.75 0.65 8 0.83 0.75 23 0.69 0.80 9 0.75 0.70 24 0.58 0.60 10 0.67 0.80 25 0.61 0.70 11 0.86 0.75 12 0.58 0.45 13 0.89 0.90 14 0.94 0.95 此份測驗之整體答對率 0.76 15 0.83 0.80 由以上的表 4-2-a 可看出：答對率大致上分布於 0.5 到 0.97 之間， 整體來說，整份試卷中沒有偏難的題目。而在難易度指數方面，除了

所以亦可得知此份試卷的難易度中等偏簡單。

肆、鑑別度分析

鑑別度分析是將參加受試的學生依總分由高到低排列，由最高分開始 向下取全體受試學生總人數的 27％為高分組，再從最低分開始向上取全體 受試學生總人數的 27％為低分組，接著分別求出高分組和低分組在各個試 題的答對率。計算公式如下： Di ＝ PiH － PiL Di：鑑別度指數 PiH：高分組的答對率 PiL：低分組的答對率 表 4-2-b 鑑別度指數 由以上的表格可知，題 2,3,4,6,13,14,19,21,22,23,25 的鑑別度指 數都小於 0.3，所以以下將針對上述幾題題目做分析與改進。 題號 鑑別度指數 題號 鑑別度指數 1 0.30 16 0.50 2 0.20 17 0.30 3 0.10 18 0.60 4 0.10 19 -0.10 5 0.90 20 0.80 6 0.10 21 0.10 7 0.60 22 0.10 8 0.30 23 0.20 9 0.30 24 0.80 10 0.40 25 0.00 11 0.50 12 0.90 13 0.20 14 0.10 15 0.40

題 2：學生對一日有 24 小時的觀念想當清楚，所以 0.5 日是半日， 也就是 12 小時也能清楚算出，因此鑑別度不高。 題 3：就本題四個選項而言，除了沙漏本身不具刻度之外，其它的三 個選項，都有明確的計時功能。因此可明白判斷出答案，所以 鑑別度不高。 題 4：考試時，黑板上方即有一個大時鐘，學生答題時，只要觀察時 鐘，即可知道答案，因此鑑別度不高。 題 6：本份試卷測試時間，恰為受試者運動會結束後的隔週，學生知 道自己的 100 公尺成績，大約是 20 秒左右，因此鑑別度不高。 題 13：一天 24 小時，且 120 恰好時 24 的整數倍數，對學生而言，較 為簡單，因此鑑別度不高。 題 14：題目的數字比較簡單，不需進位，只要概念懂就可以求出答案， 因此鑑別度不高。 題 19：選項的時間差異性過大，學生可明顯知道之間的差別，因此鑑 別度不高。 題 21：同題四，本題的數字比較簡單，再加上教室就有時鐘可觀察， 因此鑑別度不高。 題 22：本題考的是概念，數字上較為簡單，因此鑑別度不高。 題 23：題目的設計，數字較為簡單，因此鑑別度不高。 題 25：計算上並不繁複，尤其前三個選項，其實可明顯判別，因此鑑 別度不高。 整體來說，因為「時間」單元對六年級學生來說，在概念上其實都有 相當程度的了解，所以在答題上會遇到的問題並不大，再加上出題時數字 較容易計算，所以就某些題目而言，鑑別度並不高。而題 19 的鑑別度為

第二節 引力模式及其結構圖

在本研究的第二章，已將經濟學上的引力模式作了詳細的說明，而在 這一節當中，是將引力模式在教育統計方面的應用所推導出來的公式予以 說明，並將本研究的試卷施測成績，代入引力模式後所求得的結果及依其 結果繪出的結構圖。 本研究的施測試卷為一份 25 個試題的測驗，共 36 位受試者。首先先 求出各試題的答對率如下表 4-3： 表 4-3 試題答對率一覽表 試題 答對率 試題 答對率 1 0.92 14 0.94 2 0.94 15 0.83 3 0.86 16 0.69 4 0.92 17 0.58 5 0.53 18 0.58 6 0.92 19 0.94 7 0.53 20 0.58 8 0.83 21 0.97 9 0.75 22 0.75 10 0.67 23 0.69 11 0.86 24 0.58 12 0.58 25 0.61 13 0.89

依表 4-3 的答對率，再利用矩陣排列的方式，可求出每個試題和試題 之間的差。例如：題 1 的答對率為 0.92，所以和本身的答對率之差為 0.00， 以（0.00）表示；題 1 的答對率為 0.92，而題 2 的答對率為 0.94，所以 將題 1 的答對率減掉題 2 的答對率之差為-0.02，以（0.02）表示；題 1 的答對率為 0.92，而題 3 的答對率為 0.86，所以將題 1 的答對率減掉題 3 的答對率之差為 0.06，以 0.06 表示，依此類推。 計算後結果如附錄二所示。在附錄二的表格中，小於等於 0.00 的數字， 都以（數字）表示，而大於 0.00 的數字，則以原來的數字呈現，不加任 何符號。 在前述的引力模式中提到，我們在求順序性係數時，已有預先假設第 j 題的答對率必須高於第 k 題，所以將附錄二的四個矩陣中，試題間的差 小於等於 0.00 的格子刪掉，留下須計算順序性係數的部分。附錄三即為 符合引力模式條件的題號表。 接下來將須求出順序性係數的題目篩選出來之後，在 Excel 軟體設定 引力模式的公式，求出其順序性係數。以題 1 和題 3 為例：在 36 位受試 學生當中，同時答對題 1 和題 3 的學生有 28 位，所以 P11 ＝ 28 36 ＝ 0.778 而只答對題 1 或題 3 的學生有 8 位，所以 （P10＋P01）＝ 8 36 ＝ 0.222 則 e（P10＋P01） ＝ e0.222 ＝ 1.249

數 0.62。 運用以上所述的公式計算方式，可得到表 4-5-a 及表 4-5-b，即符合 引力模式條件的題號表。再以表 4-5-a 及表 4-5-b 中符合引力模式條件的 試題代入引力模式，求出各題之間的順序性係數，得到如附錄四的各題間 順序性係數表。因為在本節的引力模式公式中提到每二題之間的順序性係 數若小於 0.5，則表示二題之間引力過小，順序性即不在討論範圍內，不 予繪出圖形；若順序性係數大於等於 0.5，則表示二題之間有引力存在， 順序性在可研究範圍內。因此再將以上的各題間的順序性係數小於 0.5 的 題號刪除後，即可得到符合引力模式公式條件的題號，如表 4-6: 表 4-6 符合引力模式公式條件的題號一覽表 題 1 題 3 題 8 題 11 題 13 題 15 題 22 題 23 .62 .64 .64 .66 .66 .53 .53 題 2 題 1 題 3 題 4 題 6 題 8 題 9 題 11 題 13 題 15 題 22 .75 .73 .80 .75 .68 .54 .75 .84 .58 .56 題 23 .56 題 3 題 8 題 22 .62 .50 題 4 題 3 題 8 題 11 題 13 題 15 題 22 題 23 .66 .62 .68 .71 .64 .51 .56 題 6 題 3 題 8 題 11 題 13 題 15 題 23 .62 .64 .64 .66 .60 .53 題 8 題 9 .55 題 11

題 8 題 9 題 15 .58 .50 .54 題 13 題 3 題 8 題 11 題 15 題 16 題 23 .64 .60 .66 .51 .50 .54 題 14 題 1 題 3 題 4 題 6 題 8 題 11 題 13 題 15 題 22 題 23 .75 .66 .80 .75 .62 .62 .71 .70 .56 .62 題 15 題 23 .53 題 19 題 1 題 3 題 4 題 6 題 8 題 11 題 13 題 15 題 23 .71 .62 .75 .71 .70 .58 .66 .55 .58 題 21 題 1 題 2 題 3 題 4 題 6 題 8 題 11 題 13 題 14 題 15 .71 .75 .68 .75 .71 .58 .58 .66 .82 .60 題 19 題 22 題 23 .77 .53 .58 以上表的符合引力模式公式條件的題號一覽表，以縱座標來表示答對 率高低，將答對率愈高的試題，置於結構圖的愈下層；相對地，答對率愈 低的試題，則置於結構圖的愈上層，再配合表 4-6 的符合引力模式公式條 件的題號一覽表，以 VISIO 軟體畫出試題間的相關的指向箭頭，得到下頁 的圖 4-1。由圖 4-1 的關係結構圖可知，下位概念試題是試題 21，而試題 16,18,22,23 則是屬於上位概念試題，其中的試題 5,7,10,12,17,20,24,25 則與其它試題沒有順序性關係存在。在第三節中，將針對圖 4-1 作更詳細 的說明。

第三節 引力模式試題分析

由於本單元是以時間單元做為試題的出題範圍，所以以下先針對本份試 卷的 25 題試題在認知部分的重點及能力指標來加以分析，如表 4-7。 表 4-7 試卷題目分析 題 目 正確選項 認知重點 1.（ ）如果將時鐘鐘面平分成 60小格，那麼分針走了 6 小格，等於秒針走了 多少小格？  60 小格  120 小格  240 小格 ＊ 360 小格 認識分針轉 1 小格是 1 分鐘，秒針轉 1 小格是 1 秒鐘。 1 分鐘是 60 秒鐘。 N-2-8, N-2-10 2.（ ）請問：「2.5 日」等於多 少小時？  25 小時  40 小時 ＊ 60 小時  90 小時 能知道 1 日＝24 時之 日、時關係及此二階單位 的化聚。 N-2-12 3.（ ）用下列哪個物品測量時 間最不具準確性？ 掛鐘 馬錶 ＊沙漏 手錶 理解生活中時間量的測 量工具。 N-2-10 4.（ ）在相同的時間內，下列 哪一個走的刻度最多？ ＊秒針 分針 時針 都一樣少 理解時間量的測量工具 上刻度間的結構。 N-2-10 5. （ ）請問：「8 小時 24 分 鐘」是幾小時？  8.24小時 ＊ 8.4小時  8.65小時  8.75小時 能知道 1 時＝60 分之 時、分關係及此二階單位 的化聚。 N-2-12 6.（ ）跑 5 公里大約要多少 時間？  50 秒鐘 ＊ 50 分鐘  50 小時 對日常活動時間的量感。 N-2-10

8.（ ）如果將時鐘鐘面平分成 12小格，那麼時鐘內的 時針走5小格是代表多 少時間？  5 秒  5 分鐘 ＊ 5 小時  5 天 能知道時針走 1 小格，代 表 1 小時。 N-2-8, N-2-12 9.（ ）秒針、分針、時針走相 同刻度，何者代表時間 最短？ ＊秒針 分針 時針 都一樣 能明白秒針、分針、時針 走相同刻度所代表的時 間。 N-2-10 10.（ ）請問：3日18時 ÷ 2.5 日 ＝  1.3  1.4 ＊ 1.5  1.6 能知道 1 日＝24 時之 日、時關係及此二階單位 的化聚。 N-2-12 11.（ ） 阿文開始考試時，鐘 面上的時針在6和7之間， 分針指向5，等他考完試， 時針在10和11之間，分針 指向9，則阿文的考試時間 一共是幾小時幾分鐘？ ＊ 4小時 20分鐘  4小時30 分鐘  4小時40 分鐘  4小時50 分鐘 能理解時間量的測量工 具上刻度間的結構。 能知道 1 時＝60 分之 時、分關係及此二階單位 的化聚。 N-2-8, N-2-12 12.（ ）請問：「3.6分鐘」是幾 分鐘幾秒鐘？  3分鐘6 秒鐘  3分鐘16 秒鐘  3分鐘26 秒鐘 ＊ 3分鐘36 秒鐘 能知道 1 分＝60 秒之 分、秒關係及此二階單位 的化聚。 N-2-12 7.（ ）從10月25日上午7時， 到10月29日下午7時 ，共有幾小時?  96 小時  107 小時 ＊ 108 小時  109 小時 能知道 1 日＝24 時之 日、時關係。 跨越日數的時間運算。 N-2-8

13.（ ）請問：「120」小時是 幾日？  2日 ＊ 5日  8日  12日 能知道 1 日＝24 時之 日、時關係及此二階單位 的化聚。 N-2-12 14.（ ）美語課要上2小時40分 ，上課當中不下課，從 早上9點10分開始上， 則下課時間是：  早上6時 30分 ＊ 早上11時 50分  上午12時 10分  上午12時 20分 能運算時間複名數加減 法。 N-2-8 15.（ ）阿寶從早上 10 點 50 分 睡到下午 2 點 20 分， 共睡了多少時間？ ＊ 3 小時 30 分 鐘  4 小時 30 分 鐘  6 小時 50 分 鐘  8小時30分 鐘 能運算時間複名數加減 法。 N-2-8 16.（ ）阿榮寫8行字要花16分 鐘，若每行有10個字 ，則阿榮寫一個字要 花多少時間？  10秒 ＊ 12秒  20秒  2 分鐘 時間複名數乘除法。 N-2-12 17.（ ）一節課40分鐘，小力 從下午1時20分開始 上三節課，每節下課 十分鐘，則第三節下 課是下午幾時幾分？  2時40分  2時50分  3時10分 ＊ 3時40分 能運算時間複名數加減 法。 N-2-8 18.（ ）食品包裝上記著 910903 ~ 910914，問 ：這個食品的保存期  9天  10天  11天 能運算時間加減法。 N-2-8

19.（ ）從一樓直接乘坐電梯 到5樓，過程不停留， 大約需要多少時間？ ＊ 6秒鐘  6分鐘  6小時  6日 對日常生活時間的量感。 N-2-10 20.（ ）哥哥花 90.3分鐘寫作 業，也就是多少時間 ？  1 時30分 3 秒 ＊ 1 時30分18 秒  9 時 3 分 0 秒  9 時 0 分 3 秒 能明白時、分、秒之間的 關係，並能做單位間的運 算。 N-2-12 21.（ ）美美從家裡走到超市 大約要 7分鐘，若她到 超市的時間是10點12 分，則她出門的時間是 ：  3點12分 ＊ 10點 5分  10 點 19 分  17 點 12 分 能運算時間複名數加減 法。 N-2-8 22.（ ）甲、乙二手錶，甲手 錶每天快2分鐘，乙手 錶每天慢8秒鐘，三天 後甲、乙二個手錶相差 多少時間？  10秒  30秒  6分4秒 ＊ 6分24秒 時間複名數乘除法。 N-2-12 23.（ ）餐廳賣宵夜的時間， 是從晚上10時開始，一 直到隔天早上7點，問 餐廳每天營業的時間 ？  7小時  8小時 ＊ 9小時  10小時 能知道 1 日＝24 時之 日、時關係。 跨越日數的時間運算。 N-2-8 24.（ ）現在時間7點16分，如 果將時鐘鐘面平分成 12小格，經過 2.4小時 後，分針的位置會指在 哪一個數字上？  6 ＊ 8  14  18 能理解時間量的測量工 具上刻度間的結構。 時間複名數乘除法。 N-2-8,N-2-12

25.（ ）以下四個選項，哪一 個選項的時間最短？ ＊ 1日  25小時  1800分  98100 秒 能明白日、時、分、秒之 間的關係，並能做單位間 的運算。 N-2-12 根據圖 4-1 的引力模式結構圖及表 4-7 的試卷題目分析，可發展出下 列四個概念關係圖。如圖 4-2-a，圖 4-2-b，圖 4-2-c 及圖 4-2-d。 22 （二階） 23（24 時制） 3 （量感） 15（24 時制） 13 （二階） 11（二階） 1 （24 時制） 13（二階） （二階） 2 14（24 時制） 1（24 時制） （二階） 2 14（24 時制） 21 （24 時制） 21（24 時制） 圖 4-2-a 圖 4-2-b

（24 時制）16 18（二階） 22 （二階） 9（量感） 3 （量感） 8（24 時制） 13 （二階） （二階）11 3（量感） （量感）4 6 （量感） 13（二階） 1（24 時制） 19 （量感） （二階）2 14（24 時制） 21（24 時制） 21（24 時制） 圖 4-2-c 圖 4-2-d 就圖 4-2-a 的結構圖中可看出，第 21 試題是這個結構圖中的基礎，若 答錯第 21 試題，則表示此學生的能力分數值較低。試題 2 和試題 14 有等 價關係，試題 2 在雙向細目表中，雖然歸類在時間二階單位的關係，但是 就其認知部分來看，是能知道 1 日＝24 時之日、時關係及此二階單位的化 聚，因此也具有 24 時制的概念。而試題 14 在雙向細目表中將其歸類於 24 時制的部分，由以上敍述可知試題 2 和試題 14 具有同質性，可將其視為 同類型的能力。 試題 13：試題 13 和試題 2 相同，在本研究雙向細目表中，雖然歸類

在時間二階單位的關係，但是就其認知部分來看，是能知道 1 日 ＝24 時之日、時關係及此二階單 位的化聚，因此也具有 24 時制的概念。 試題 3：就試題 3 的認知部分來看是理解生活中時間量的測量工具。 學生必須知道掛鐘、馬錶、沙漏及手錶，在日常生活中的應用， 並明白其刻度或電子數字的顯示所代表的意義，也符合 24 時制 概念中的報讀鐘面代表的時間的課程部分。 試題 22：就試題 22 的認知部分來看是時間複名數乘除法。學生必須 明白快 2 分鐘和慢 8 秒鐘所代表的意義，才有辦法明白其間的差 異，接著再以複名數乘法的概念作計算，其間的概念也包含了 24 時制中的點算兩時刻之間關係的部分。 就圖 4-2-a 來看，21 題是能運算時間複名數加減法，由這個結構圖中 試題 21，試題 2，試題 14 這三題可知當遇到數字較繁複時，答對率就會 下降，且如前述分析，試題 21，2，14 之間具有相關性，再依箭頭推到試 題 1，其題之認知重點為認識分針轉 1 小格是 1 分鐘，秒針轉 1 小格是 1 秒鐘，1 分鐘是 60 秒，除了能點算出分和秒之間的關係之外，還要能對鐘 面的時間，具有報讀的能力。按常理來說，試題 3 應該是較基本的題目， 但根據實際施測的結果，卻位於結構圖的上方，根據實際研究學生的試卷 後發現，答錯的學生是誤將題意的「最不具準確性」，視為「最具準確性」， 所以造成本題在結構圖中的位置居於較上位。 總結以上的分析，由此一結構圖發現，學生就「時間」單元的概念發 展，是由簡單的日、時、分、秒的定義及了解，到對測量工具的理解，再 發展到二個不同單位的計算，最後再到時間複名數乘除法。