第二章 文獻探討
第二節 微積分的錯誤類型
診斷測驗的任務在於分析學生的迷思概念，從解題歷程了解學生的內在想法，
使教師更清楚的掌握學生的心理運作（林孟君、張雅玲、郭伯臣，2010）；進而 了解學生的學習狀況，提供教師做適時的補救教學或者調整授課內容編排。過去 有研究關於微積分的錯誤類型或迷思概念，整理如下表 2-3：
13
表 2-3 與微積分相關的錯誤類型或迷思概念的整理
研究者 錯誤類型或迷思概念
廖振能
（2009）
學生在多項式（含微積分）階段最容易混淆的概念包含：
一、圖形與函數無法轉換。
（註 1：圖形轉寫成函數或函數轉畫成圖形有困難）
二、多項式的除法、餘式次數小於除式次數的觀念不足。
三、牛頓法只能用於整係數多項式。
四、僅會使用十字交乘法進行因式分解。
五、方程式的根分為實根與虛根，實根的幾何解釋必須用多 項式函數圖形配合。
六、易弄混負根與虛根。
（註 2：負根是負數，如−5；而虛根是虛數，如3𝑖。）
（註 3：𝑖 = √−1。）
七、不等式要在實數範圍討論才有意義。
八、等比數列與級數收斂時的區分不清。
（註 4：將等比數列與等級級數的收斂條件混為一談）
九、黎曼和的極限與面積之間的差別。
（註 5：分不清黎曼和和圖形面積的差異）
十、切線的定義是由割線逼近切線的概念，所以函數圖形與 切線除切點外可能有其它交點。
十一、學生對三次函數的圖形概念不清，亦無法有效判斷三 次方程式的實根個數。
十二、學生在處理實際應用問題時，常發生因閱讀能力有限 或觀念不清而無法將文字轉換成數學式。
14
表 2-3 與微積分相關的錯誤類型或迷思概念的整理 （續）
研究者 錯誤類型或迷思概念
M.Özkana,
& Ünala. (2009)
在函數與極限的課程中，學生的誤解分為五類：
一、對於定義域和值域的定義範圍不清楚。
二、學生使用導數函數求切線斜率。
（註：此處希望學生利用極限的方式求切線斜率，而非 使用導數的方式）
三、函數本來應該使用定義域的交集，但卻用成函數的聯集。
（註：要取兩個函數定義域之交集，而非聯集）
四、無法應用ε-δ 的極限概念。
五、對於有理函數之分母的定義域範圍不清。
葉明達
（2000）
高中生主要的函數迷思概念為：
一、認為函數關係是一種一定可以列成方程式的對應關係。
（註 1：認為不能列出關係式就不是函數）
二、認為函數一定要有規律。
（註 2：認為無規則的點函數不是函數）
三、對應域是值域的一部份。
（註 3：對應域與值域混為一談）
四、認為函數圖形是平滑的、連續的，有缺口的圖形不是函 數圖形。
（註 4：不常見或不熟悉的圖形無法判斷是否為函數）
五、高中生對合成函數中之函數值因誤認自變數一定是 x，
或因代表變數符號混淆不清而發生錯誤。
（註 5：合成函數中的自變數可能是函數，未必是 x）
15
表 2-3 與微積分相關的錯誤類型或迷思概念的整理 （續）
研究者 錯誤類型或迷思概念
Tall (1992)
無論哪一種微積分的切入方式，「極限」似乎都含有內在的困 難概念，不管老師如何教導，都會造成學生認知上的困難，
包括：
一、 “界限”、“傾向於”、“接近”、“隨意地小”這些詞語具有 強烈的通俗含義，但卻與正式的數學概念衝突。
二、由於極限過程無法用算數或代數簡單地表現出來，所以 當無窮的概念出現的時候，整個事情就像陷在“謎團”之 中。
三、過程中的“一個可以趨近於任意小的變數”經常被解釋為
“一個任意小的變量”，即使這些概念沒有明確教導，仍 是在暗示無窮的概念。
四、“N 趨近於任意大”，蘊含無限多個數的概念。
五、學生經常對是否真能達到極限感到疑惑。
六、利用有限去理解無限的方式，使得學生對於“什麼事情發 生在無窮大”感到困惑。
Janvier (1987)
認為函數迷思概念常會造成學習微積分的障礙，學生雖然能正 確陳述函數定義，但我們仍然很難確定學生是否真正了解函數 的概念；另外，他指出學生無法對函數的不同表徵做適當的聯 結，常造成函數學習的障礙。
16
表 2-3 與微積分相關的錯誤類型或迷思概念的整理 （續）
研究者 錯誤類型或迷思概念
Markovits, Eylon, ＆ Bruckcheim
er (1986)
發現中學生對於函數相關術語感到困惑，包含定義域、值域、
對應域等，學生常無法迅速了解書面意義（定義域、值域、
對應規則）與圖形表徵各部分的聯結，關於常數函數、不連 續圖形所表徵的函數以及分段定義的函數也經常混淆不清。
Vinner (1983)
學生建立的函數概念心像與其概念定義有相當大的出入，例 如：學生認為函數是一種規則的表示法，若不規則的對應就 不被認為是函數。
從文獻中可以看出，與微積分相關之錯誤類型與迷思概念的研究，大部份偏 重於函數與極限的探討，即使有提到切線的概念，也僅在於討論切點與交點個數。
沒有研究能夠明確的指出，學生具有哪一種錯誤類型，會產生甚麼樣的結果或是 表現，因此本研究將以「微分基本公式」為範圍，收集作答反應資料，歸納並定 義出學生在該範圍的錯誤類型以及相對應之表現。
本研究進一步將「微分基本公式」的錯誤類型分為兩類：一類是迷思概念的 錯誤類型、一類是非迷思概念的錯誤類型；所謂迷思概念的錯誤類型是指學生以 舊有經驗來處理新知識所發生的錯誤；而非迷思概念的錯誤類型是指隨機發生或 是領域型的錯誤類型。
17