第 3 章、 研究方法
3.3 研究方法及設計
3.3.3 層級分析法(Analytical Hierarchy Process)介紹
層級分析法是於1971年由美國匹茲堡保大學教授 Thomas L.Saaty 在規 劃美國國防部之工程時，所發展出來的一套決策分析系統，主要適用於不確定性 的情況及具有多個評估準則之決策問題。最大的特色為利用層級結構將影響因素 間複雜關係有系統的連結，且兩兩因素成對比較方式，可以減輕決策者負擔，使
t j jt X R Xjht
Sjt
t j R Xjt
jt
R
h R
h
, , ) 1 (
1
, 1 ,
2 1
1
∀
− −
=
∀
= Χ
∑
∑
=
=
決策者意向能更清楚地被反應，再則其集體決策特性，可以將個別學者意見，進 行層次分明的層級系統整合分析，增加評估的有效性與可靠性，且結果以數值單 位產出，除易於了解因素間相對重要性排序外，還可以建立權重體系，將之應用 於資源分配、投資組合及政策選擇等方面（吳彥輝，1999）。
AHP主要的目的是將複雜的問題，以系統化方式建立層級並於以分解，
分析專家的問卷資料，建立相對的權重關係提供給決策者參考，這類的分析法多 屬專案性的研究，例如資源的分配、影響某些現象的因素、產業對社會的貢獻程 度、績效衡量、風險評估、衝突解決、最佳方案或替代方案衡量……等分析。
採用層級分析法具有以下優點：
1. 層級分析法理論簡單，操作容易，有效擷取多數專家及決策者有共識的 意見。
2. 層級分析法對於影響研究目標的相關因素，皆能納入模型中，配合研究 目的，考慮各種不同層面。
3. 相關影響因素，在經過專家學者評估及數學方法處理後，皆能以具體的數 值顯示各個因素的優先順序。
4. 將複雜的評估因素，以簡單的層級架構呈現，易為決策者所接受。
層級分析法的相關步驟及流程如下 1.確認需要評估的問題
2.將問題建立層級式的架構 3.建立成對比較矩陣
4.計算最大特徵值及特徵向量 5.一致性的檢定
6. 整體權重的計算
7. 提供決策者參考之資訊
3.3.4 層級分析法 (Analytical Hierarchy Process) 實施步驟
按 Saaty(1980) AHP 方法在進行評估上，主要可以分為兩個階段，第 一是層級的建立，第二是層級評估，AHP 首先是將複雜之系統，匯集專家學者 及決策者之意見評估，以簡明之要素層級結構加以表示，本研究此階段承接德菲 法之調查結果套入此層級架構中，並藉著比率尺度(Ratio Scales)及名目尺度 (Norminal Scales)來做成要素的成對比較且建立矩陣，據以求得特徵向量，代表 層級要素的優先順位；並衍生最大特性根（特徵值），用以評定成對比較矩陣一 致性的強弱，供作決策資訊取捨與否或再評估之參考指標。圖 3.4 是 AHP 進行 的流程圖，並將各步驟說明如下：
圖 3.4 層級分析法實施流程 (本研究整理)
3.3.4.1 層級的種類
層級的主要目的，是為了建立系統分解後的架構，所建立的層 級架構包含了兩種：一是完整層級(complete heirachy)，另一為不完整層級 (incomplete heirachy)。
(1) 完整層級如圖 3.5 左方所示，顯示了第 a 層與第 a+1 層內的要素均有關 連，也就是說完整的連線不會影響對整個系統的有效性。
(2) 不完整層級如圖 3.5 右方所示，顯示了第 a 層與第 a+1 層內的要素並不是 都有關連，即沒有完整的連線。
(3) 本研究採用之層級架構因具獨立性的關連架構，故採完整層級架構。
圖 3.5 層級示意圖 (Saaty,1990)
3.3.4.2 評估尺度
層級架構建立完成後，開始建立評估的架構，層級評估是進行每一層的 上一層要素，做為對下一層要素評估的依據，換句話說，就是將某一層級內的任 兩個要素，以上一層的要素為基準，分別評估該兩個要素對基準的相對貢獻度或 重要性，如圖 3.5 中所示要比較 x1,….,xr，間每兩個要素的相對重要性時，分別 做(x1,x2)，(x1,x3)，(x2,x3)等要素之成對間比較，這種過程就是把複雜的問題，
分解為成對的比較，減輕評估者的思考負擔，而能專注在兩個要素間的關係。
AHP 在處理認知上的反應的評估點時，採取比例尺度的方式，評估尺 度的基本劃分包括五項，即同等重要、稍重要、頗重要、極重要及絕對重要等並 賦予 1、3、5、7、9 的衡量值，另有四項介於五個基本尺度之間，並賦予 2、4、
6、8 的衡量值，其各個尺度的代表意義如表 3.2 所示，
表 3.2 AHP 評估尺度定義及說明 (Saaty,1980)
評估尺度 定 義 說 明 1 同等重要
(equal importanace)
兩項計畫的貢獻程度具相同重要性
☉等強 (equally) 3 稍微重要
(weak importanace)
經驗與判斷稍微傾向喜好某一計畫
☉稍強 (moderately) 5 頗為重要
(essential importanace)
經驗與判斷稍微傾向喜好某一計畫
☉頗強 (strongly) 7 極為重要
(very strong importanace) 實際顯示非常強烈傾向某一喜好某一計畫 9 絕對重要
(absolute importanace)
有足夠證據肯定絕對喜好某計畫
☉絕強 (extreamly) 2,4,6,8 相鄰尺度之中間值
(intermediate values) 需要折衷值時
3.3.4.3 建立成對比較矩陣
當層級結構建立後，上下層級之間要素隸屬關係就已被確定，按圖 3.5 的層級結構關係，第二層 O1 要素對下一層的次要數 X1,X2,X3,,,,,Xr 有支配關 係，AHP 法的目的，即在要素 O1 下按 r 個次要素的相對重要性給予權重，原因 是因為對於大多數人而言，需要由人進行判斷重要性的問題而言，要直接得到 r 個次要素的權重並不容易，往往需要透過適當的方法以導出權重，而 AHP 所使 用的方法，係透過每兩個要素相互比較的成對比較法(Pairwise comparison method)，或稱為兩兩比較法。
當進行上位要素所支配的的 n 個次要素重要程度的判斷時，分別對次要 素 Ai 與 Aj(i,j=1,2,…..,n;i≠j)加以兩兩比較，此時決策者或專家要反覆詢問：Ai 與 Aj 哪一個比較重要？重要多少？同時賦予一定的數值。AHP 法使用 1-9 的比 例尺值，意義如表 3.2 所示。對於 n 個重要程度的成對比較，可以得到一個成對 比較矩陣(Pairwise comparison matrix) A：
其中
當進行層級結構要素的成對比較時，一般需藉由電腦系統設計或是採用 問卷的協助，不論利用哪一種方式，均可以利用以下的格式以協助兩兩比較的進 行，以下表 3.3 成對比較表為例：
表 3.3 成對比較表 (Saaty,1990) 絕
對 重 要
～ 非 常 重 要
～ 頗 重 要 ～
稍 微 重 要
～ 同 等 重 要
～ 稍 微 重 要
～ 頗 重 要 ～
非 常 重 要
～ 絕 對 重 要 9 8 7 6 5 4 3 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
A1 ☉ A2
A1 ☉ A3
A2 ☉ A3
說明：例如上述住宅交通對於就學的便利性，有 A1,A2,A3 三個區域，就學越方 便優勢就越強，反之則越弱。每兩項計畫互相比較其優勢，、並將適當的優勢強 度值圈起來。
如表 3.3 假如張先生的判斷如上圖，則就會得到[就學方便]準則，三個區域的就 學交通便利性的成對比較矩陣 A 如下：
AHP 法中，決策者或專家的判斷偏好要具有遞移性，以滿足以下的關係：
n i
aij
n aij ij
aij
n ij
aij
nxn aij A
,...
2 , 1 , 1
,...
2 , 1 1 ,
,...
2 , 1 , 0
] [
=
=
=
=
=
>
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
1 3 1 1
1 3 1
1 3 3 1
A
k j i aik ajk
aji
= ,∀, ,如果滿足了上式的關係，則成對比較矩陣 A 屬於判斷一致性的(consistency)矩陣。
3.3.4.4 計算特徵向量(Eigenvector) & 最大特徵值 (Eigenvalue)λmax
在層級節構圖中，某一層級要素所支配次一層級的 n 個次要素，可完全 由決策者或專家進行主觀的判斷，並且賦予重要程度的比例尺度值。由於判斷矩 陣 A 具有互倒值的關係，因此決策者或是問卷專家只要進行 n(n-2)/2 的兩兩比 較即可。將 n(n-1)/2 個要素相對重要程度的成對比較結果，用比例值
(1/9,1/8…,1/2,1,2…,8,9 當中的一值 ) 至於判斷矩陣 A 的上三角形(upper – triangular ) 部分即可，至於下三角形(lower-triangular)部分的數值，則為上三角形 部分相對位置判斷值的倒數，對角線部分數值均為 1(因均為要數字身相對重要程 度的比較)。
本研究採行向量平均值常態化，又稱 ANC 法(Average of Normalized Columns)。首先將各行元素常態化，再將常態化後之各列元素加總，最後再除以 各列元素之個數。
1 1
1 n ij
i n
j
ij i
W a
n
=a
=
=
∑
∑ i, j = 1,2,…, n
例如另外最大特徵值(λmax)的計算說明如下：
首先將成對比較矩陣 A 乘以已求得之特徵向量 W，得到一個新的向量 W＇，
而 W＇之每一向量值分別對應除以原向量 W 之每一向量值，最後將所得之所有 數值，求其算數平均數，即可求得λmax。
3.3.4.5
一致性的檢定在上述的評估及建立成對矩陣過程中，為了確認評估者在成對比較時，
能盡量達到前後一致性，因此建議進行一致性的檢定，以便能對受調查者進行不 合理的評估值做出檢定並修正之，以防止造成不良的決策。
AHP 法利用 C.R.值來衡量成對比較矩陣的一致性，主要是採用一致性 指標(Consistency Index, C.I.)及一致性比率(Consistency Ratio, C.R.)為基礎，
Saaty(1980)建議一致性比率(C.R.)應該要小於等於 0.1，則一致性的程度才是可以 接受的。
一致性指標(C.I.)定義如下：
按 Wharton School 及 Dak Ridge National Laboratory 的研究理論，從評 估尺度所產生的正倒值矩陣，在不同階數下，產生不同的 C.I.值，被稱為隨機指 標(Random Index，R.I.)，其值隨矩陣階數之增加而增加，階數 n 及其相對應的隨 機指標 R.I.值，如表 3.4，1 至 11 階的 R.I.值係以樣本 500 個所求得的平均值，
12 至 15 階的 R.I.值，以樣本 100 個所求得的平均值 (Saaty，1990)。
表 3.4 隨機指標 R.I.數值表 (Saaty，1990)
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
R.I. 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59
在相同階層數的矩陣下，C.I.值與R.I.值的比率，成為一致性比率(C.R.)，
若C.R. ≤ 0.1，則一致性程度視為滿意，如果C.R.值大於0.1，即表示專家判斷具有 隨機性，必須考慮重新評估或修正。