應用

1.當題庫中的試題數不夠時，學生較能因練習過相似題目而提升試題的通過率，但若學 生能全數練習題庫中之題目，倒也樂觀其成。但若題庫中之試題未能涵蓋學生該具備 之學習目標，則恐考試領導教學造成學習之偏漏。本研究建立之雙向細目表即提供教 師作為檢核之依據，冀能將試題涵蓋所有學生應具備之基本能力，與搭配試題類型激 盪出更多樣的命題題型。

2.配合電子題庫為未來之趨勢，試題分析後所得各題的難度、鑑別度、學習目標、試題 類型等資訊，均能利用資料庫的建立與關鍵字之搜尋使題庫之功能達到事半功倍之 效。雙向細目表之功效，在題庫的試題數越多時越能看出成效。建議在題庫發展過程 中，一方面利用仿照本研究從質與量的分析穩定試題品質，另一方面持續增加試題量 使試題的分析數據能更精準。

3.評量對教學工作者來說，最重要的目的就是暸解學生學習狀況以回歸教學，提升教學 品質與學生的學習成效。本研究從試題的檢核為起點，建立穩定之評量以確實反應學 生的學習狀況；建議可由逐年累積題庫之命題量，以建立穩定之定錨題比較不同年度 學生的學習差異。

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附錄一、交通大學微積分課程大綱（下學期）暨建議授課時數 資料來源：交通大學微積分教學小組網站

微積分（二）A、B 班

(^★ 標示之章節，由老師決定是否講授，不列入微積分會考範圍) 11 Infinite Sequences and Series -- 14 hours

11.1 Sequences 11.2 Series

11.3 The Integral Test and Estimates of Sums 11.4 The Comparison Tests

11.5 Alternating Series

11.6 Absolute Convergence and the Ratio and Root Tests 11.8 Power Series

11.9 Representations of Functions as Power Series 11.10 Taylor and Maclaurin Series

11.11 Applications of Taylor Polynomials

12 Vectors and the Geometry of Space -- 4 hours 12.1 Three-Dimensional Coordinate Systems 12.2 Vectors

12.3 The Dot Product

(12.1 12.2 與 12.3 為複習課程)

12.4 The Cross Product

12.5 Equations of Lines and Planes 12.6 Cylinders and Quadric Surface

13 Vector Functions -- 5 hours

13.1 Vector Functions and Space Curves

13.2 Derivatives and Integrals of Vector Functions 13.3 Arc Length And Curvature

★13.4 Motion in Space: Velocity and Acceleration

14 Partial Derivatives -- 16 hours 14.1 Functions of Several Variables 14.2 Limits and Continuity

14.3 Partial Derivatives

14.4 Tangent Plans and Differentials 14.5 The Chain Rule

14.6 Directional Derivatives and the Gradient Vector 14.7 Maximum and Minimum Values

14.8 Lagrange Multipliers

15 Multiple Integrals -- 11 hours 15.1 Double Integrals over Rectangles

15.2 Iterated Integrals

15.3 Double Integrals over General Regions 15.4 Double Integrals in Polar Coordinates 15.5 Application of Double Integrals 15.6 Triple Integrals

15.7 Triple Integrals in Cylindrical Coordinates 15.8 Triple Integrals in Spherical Coordinates 15.9 Change of Variables in Multiple Integrals

說明：

1. 第二學期課程規劃 50 小時，其餘時間由任課老師運用：演習課，考試，

進度調整。

2. 向量分析與常微分方程因時間因素省略，在二年級需有其他課程搭配。

3. 課程內之定理與性質，強調其說明與講述其內容。

4. 每學期各有一次期末會考，題型為選擇及填充題；以鑑別基本觀念與計 算能力為準。另有挑戰題由學生自由選擇作答與否，與會考成績合併後，

作為於微積分獎學金之依據。

附錄二、九十六學年度第二學期微積分會考各組各題答對率總表

答對率 P Ph Pl Pa Pb Pc Pd Pe T 第 1 題 81.52 98.08 54.70 99.05 93.33 90.00 75.71 49.52 第 2 題 41.24 66.45 21.25 72.86 50.95 33.81 30.00 18.57 第 3 題 86.00 94.57 74.22 95.71 91.43 88.10 82.86 71.90 第 4 題 85.90 96.81 72.82 98.57 89.52 88.57 81.43 71.43 第 5 題 48.38 78.59 21.60 83.33 61.90 45.24 31.90 19.52 第 6 題 82.38 95.21 62.72 95.71 91.90 88.57 78.10 57.62 第 7 題 74.29 91.37 58.19 92.38 86.67 70.95 64.76 56.67 第 8 題 88.76 98.08 74.56 98.57 94.29 92.38 87.14 71.43 第 9 題 83.24 99.04 56.79 99.05 98.10 90.48 79.52 49.05 單選題

第 10 題 84.19 98.08 63.07 99.52 95.71 89.52 79.05 57.14 第 1 題 24.65 35.14 20.56 40.29 21.90 19.81 20.76 20.48 4.48 第 2 題 67.09 90.67 37.28 92.38 85.71 68.86 57.62 30.86 52.86 第 3 題 52.99 68.69 38.19 72.76 59.05 53.33 43.90 35.90 26.76 第 4 題 64.10 86.96 36.79 88.67 78.95 71.52 48.67 32.67 45.81 複選題

第 5 題 72.17 87.86 54.36 87.90 81.62 73.71 66.76 50.86 62.57 第 1 題 69.24 88.50 38.68 89.05 85.71 77.62 57.14 36.67 第 2 題 13.81 31.95 1.39 41.90 14.76 7.62 3.33 1.43 第 3 題 37.24 69.97 10.80 78.10 47.62 26.19 26.19 8.10 第 4 題 24.00 50.16 5.57 59.05 30.00 16.67 8.57 5.71 填充題

第 5 題 53.81 86.26 16.03 90.95 75.24 54.76 37.14 10.95 資料來源：本研究整理

P、Ph、Pl、Pa~ Pe－答對率、高分組答對率、低分組答對率、第a~e組各組答對率 T－複選題的全對率

附錄三、九十六學年度第二學期微積分會考各組各題鑑別度總表

鑑別度 D D1 D2 D3 D4

第 1 題 0.4338 0.0571 0.0333 0.1429 0.2619 第 2 題 0.4520 0.2190 0.1714 0.0381 0.1143 第 3 題 0.2035 0.0429 0.0333 0.0524 0.1095 第 4 題 0.2399 0.0905 0.0095 0.0714 0.1000 第 5 題 0.5699 0.2143 0.1667 0.1333 0.1238 第 6 題 0.3249 0.0381 0.0333 0.1048 0.2048 第 7 題 0.3318 0.0571 0.1571 0.0619 0.0810 第 8 題 0.2352 0.0429 0.0190 0.0524 0.1571 第 9 題 0.4225 0.0095 0.0762 0.1095 0.3048 單選題

第 10 題 0.3501 0.0381 0.0619 0.1048 0.2190 第 1 題 0.1458 0.1839 0.0209 (0.0095) 0.0028 第 2 題 0.5339 0.0667 0.1685 0.1124 0.2676 第 3 題 0.3050 0.1371 0.0572 0.0943 0.0800 第 4 題 0.5017 0.0972 0.0743 0.2285 0.1600 複選題

第 5 題 0.3350 0.0628 0.0791 0.0695 0.1590 第 1 題 0.4982 0.0333 0.0810 0.2048 0.2048 第 2 題 0.3056 0.2714 0.0714 0.0429 0.0190 第 3 題 0.5917 0.3048 0.2143 0.0000 0.1810 第 4 題 0.4459 0.2905 0.1333 0.0810 0.0286 填充題

第 5 題 0.7023 0.1571 0.2048 0.1762 0.2619 資料來源：本研究整理

D－鑑別度，其值為高、低分組答對率之差

D1＝第a組答對率減第b組答對率；D2＝第b組答對率減第c組答對率；D3＝第c組答對率減第d 組答對率；D4＝第d組答對率減第e組答對率

附錄四、九十六學年度第二學期微積分會考各選項選答情形

（以下各值均為選答人數比例（%））

單選題

單選題 A B C D 未作答

所有考生 1.05 9.81 *81.52 7.62 0.00 高分組 0.00 0.64 *98.08 1.28 0.00 第 1 題

低分組 1.74 25.78 *54.70 17.77 0.00 所有考生 27.14 *41.24 12.67 18.67 0.29 高分組 19.17 *66.45 6.71 7.67 0.00 第 2 題

低分組 29.97 *21.25 19.51 28.22 1.05 所有考生 0.67 *86.00 4.67 8.67 0.00 高分組 0.32 *94.57 1.92 3.19 0.00 第 3 題

低分組 2.09 *74.22 8.36 15.33 0.00 所有考生 *85.9 6.48 1.43 6.19 0.00 高分組 *96.81 1.60 0.32 1.28 0.00 第 4 題

低分組 *72.82 10.80 3.83 12.54 0.00 所有考生 *48.38 21.14 20.19 9.90 0.38 高分組 *78.59 8.63 8.63 4.15 0.00 第 5 題

低分組 *21.60 31.36 30.66 15.68 0.70 所有考生 *82.38 2.29 13.62 1.62 0.10 高分組 *95.21 0.64 4.15 0.00 0.00 第 6 題

低分組 *62.72 6.27 25.78 4.88 0.35 所有考生 9.43 *74.29 13.81 2.48 0.00 高分組 3.51 *91.37 4.79 0.32 0.00 第 7 題

低分組 13.94 *58.19 23.00 4.88 0.00

所有考生 1.52 *88.76 4.67 4.95 0.10 高分組 0.32 *98.08 0.64 0.96 0.00 第 8 題

低分組 4.18 *74.56 11.50 9.76 0.00 所有考生 *83.24 2.86 8.10 5.71 0.10 高分組 *99.04 0.00 0.64 0.32 0.00 第 9 題

低分組 *56.79 8.71 21.95 12.20 0.35 所有考生 4.00 4.38 *84.19 7.14 0.29 高分組 1.28 0.32 *98.08 0.32 0.00 第 10 題

低分組 9.76 8.71 *63.07 17.77 0.70 資料來源：本研究整理

複選題

複選題 A B C D 答對 全對 全錯 部份分 未作答

所有考生 *68.57 32.48 65.14 54.48 24.65 4.48 61.90 33.62 0.00 高分組 *80.19 22.36 61.02 50.48 35.14 10.22 48.24 41.53 0.00 第 1 題

低分組 *60.98 41.81 65.51 51.57 20.56 1.74 66.90 31.36 0.00 所有考生 30.38 *88.00 21.05 *85.71 67.09 52.86 23.43 23.71 0.00 高分組 7.99 *96.49 5.43 *95.21 90.67 82.43 3.83 13.74 0.00 第 2 題

低分組 58.89 *75.96 38.68 *72.82 37.28 21.60 52.26 26.13 0.00 所有考生 37.81 *64.86 *75.14 *88.57 52.99 26.76 29.52 43.71 0.00 高分組 22.04 *76.04 *83.07 *89.78 68.69 44.73 15.34 39.94 0.00 第 3 題

低分組 55.75 *58.54 *65.85 *86.41 38.19 12.89 44.95 42.16 0.00 所有考生 14.67 *90.10 42.10 18.00 64.10 45.81 23.71 30.48 0.00 高分組 3.51 *98.72 21.41 4.79 86.96 75.08 5.11 19.81 0.00 第 4 題

低分組 31.01 *80.14 61.67 35.54 36.79 16.72 49.83 33.45 0.00

所有考生 16.29 *80.00 18.10 *89.62 72.17 62.57 21.43 16.00 0.00 高分組 4.15 *89.46 8.95 *96.49 87.86 83.07 8.95 7.99 0.00 第 5 題

低分組 34.15 *67.60 28.22 *85.37 54.36 38.68 35.19 26.13 0.00 資料來源：本研究整理

填充題

填充題 答對 答錯 未作答

所有考生 69.24 26.29 4.48 高分組 88.50 11.18 0.32 第 1 題

低分組 38.68 48.78 12.54 所有考生 13.81 55.33 30.86 高分組 31.95 56.87 11.18 第 2 題

低分組 1.39 48.08 50.52 所有考生 37.24 52.10 10.67

高分組 69.97 28.75 1.28 第 3 題

低分組 10.80 62.72 26.48 所有考生 24.00 47.33 28.67 高分組 50.16 38.98 10.86 第 4 題

低分組 5.57 50.17 44.25 所有考生 53.81 31.90 14.29

高分組 86.26 11.82 1.92 第 5 題

低分組 16.03 51.92 32.06 資料來源：本研究整理

附錄五、九十六學年度第二學期微積分會考考題

1. The interval of convergence of the series

1

Which of the following is not true

(A) F tG'( )= +ˆj 2tkˆ

8. Which of the following is wrong.

(A) ^{1 1 2 1 1 2}

(B) ^{1 1 2 1 2 1}

2. Which of the following series are convergent ?

(A) ₂ 5. Consider the following function f x y( , ) = x³+6xy- 3y²+ 2.

Which of the following statements are TRUE ? (A) f has 3 critical points;

(B) f has a local maximum at (−2,−2);

(C) f has a local minimum at (−2,−2);

(D) f has a saddle point at (0, 0).

◎ 填空題

(五題，每題五分，共二十五分，答錯不倒扣)

1. Find the limit ^{1 - 4t}

ln lim(tan , e , )

t

t t

t

→∞

− = ___(1)____.

2. Find the first four terms ___(2)____ of the Maclaurin series of ( ) cos

1 f x x

= x

− .

3. Let

1 3

-

-2 2 2 2 2 2

, sin( ), (1 )(1 ) , ( ) .

x

w= zey x= t s y= +st +t z=t t +s Then, ∂w/∂s|( , ) (0,1)_{s t=} = ____(3)____.

4. ____(4)____ is the highest point on the plane curve that is given by the intersection of x+ + =y z 0,x²+y²+z² = .. 1

5. ^{4 2 3}

0 1

x +y dydx

∫ ∫

= ___(5)____.

附錄六、學習目標

若lim ( )

能夠利用夾擠定理（the squeeze theorem）判斷數 列收斂並求出其極限值。

11－1－5

能夠利用單調數列定理（monotonic sequence theorem）判斷數列收歛並求出其極限值。

能利用積分檢驗法（Integral test），來判斷級數的

歛散性。

11－2－5

能瞭解 p －級數的斂散性，即 當 p > 時，1

1

1

p

n n

∞

∑

= ^收斂；

當 p ≤ 時，1

1

1

p

n n

∞

∑

= ^發散。

11－2－6

能利用比較檢驗法（Comparison test）來判斷級 數的歛散性。

11－2－7

能利用極限比較檢驗法（Limit Comparison test），來判斷級數的歛散性。

11－2－8

能利用交錯級數檢驗法（Alternating Series test）

判斷級數收歛。

11－2－9

能利用比值檢驗法（Ratio test），來判斷級數的歛 散性。

11－2－10

能利用根值檢驗法（Root test），來判斷級數的歛 散性。

11－2－11

能瞭解絕對收斂（absolutely convergent）與條件 收斂（conditionally convergent）的蘊涵關係 (implication)。

11－2－12

能利用適當的檢驗法判斷級數是否絕對收斂、條

已知 f x( )=

∑

c x a_n( - ) ,ⁿ ∀ − <x a R^，能利用

( )( )

!

n n

f a

c = n 的關係式求出 f^{( )n} ( )a 。 11－4－3

能夠寫出 1 ¹

, ,sin ,cos , tan 1

ex x x x

x

−

− 的馬克勞林

級數。

11－4－4

令a b k 為任意實數，能利用二項式定理（The , , Binomial Series）求出

(

^{a bx+}

)

^{k的馬克勞林級數及}

其收斂半徑。

11－4－5

令a b k 為任意實數，給定一正整數, , n，能利用 二項式定理求出

(

^{a bx+}

)

^{k的馬克勞林級數中xn}

的係數。

11－4－6

已知函數 f g 的馬克勞林級數，給定一正整數, n，能寫出 f g⋅ 或 f

g 的馬克勞林級數的前n項。

11－4－7

設a為實數，n為一正整數，設 f 為一個n次可 微的函數，能寫出 f 在a點的n次泰勒多項式。

11－4－8

已知冪級數 f x( )=

∑

a x_n ^{n ，能求出 f cx 的冪級( )} 數表示法及其收斂半徑。

on

（expansion

）

11－4－9

已知冪級數

∑

c x a_n( - )ⁿ之收斂半徑為 R，若對所

estimation） 11－5－2

給定一用比較檢驗法及

p

－級數性質的收斂級

暫 定

數，能在給定誤差範圍內求出其估計值及所須的 項數。

11－5－3 已知

1

( 1)ⁿ _n

n

b

∞

=

∑

− ^{，其中b 遞減至n 0，給定誤差，能} 利用交錯級數估計定理（Alternating Series Estimation Theorem）求出其估計值。

11－5－4

設a為實數，n為一正整數，給定一函數 f x ，( ) 令P x 為 ( )_n( ) f x 在a點的n次泰勒多項式，給定誤 差範圍d，能夠利用泰勒不等式求出若以P x 估_n( ) 計 f x 時，誤差小於( ) d的x範圍。

11－5－5

設a d, , ,

α β

為實數，給定一函數 f x ，給定一誤( ) 差範圍d，令P 為 ( )_n f x 在a點的n次泰勒多項 式，能夠利用泰勒不等式決定n，使得以P 估計_n

( )

f x 時的誤差會小於d，其中

α

≤ ≤ 。 x

β

11－5－6

設a s t, , 為實數，n為一正整數，給定一函數 ( )

f x ，令P 為 ( )_n f x 在a點的n次泰勒多項式，給 定 s≤ ≤ ，若以x t P 估計 ( )_n f x ，能夠利用泰勒不 等式求出誤差上限（maximum error）。

微積分學習目標（／測驗目標）細目表

projection）與純量投影（scalar projection）。

* 式（vector equation）、參數方程式（parametric equation）、對稱方程式（symmetric equation），

並能寫出通過給定點及以給定向量為法向量

並能寫出通過給定點及以給定向量為法向量

在文檔中 微積分試題分析之實徵性研究－以交通大學九十六學年度第二學期會考為例 (頁 61-200)