質性比較

本節將針對試題內容的質性部分做進一步的比較。第一部分先利用表 3-10 之架構，

整理各題所涉及之概念；第二部分則針對本卷命題數最多的多重積分單元做進一步的分 析比較。

1. 綜合比較

由個別試題分析，可將各題所用到的概念或程序整理如表 3-12。

表3-12、九十六學年度第二學期微積分會考試題內容概念分布表 Clairaut＇s theorem 難易

從此表可以發現本份試卷大部分的題目都為課本內容與共同習題，或其類似與

極座標 V V V

表面積 V V

計算迭代積分 V V V V V V

積分順序 （V） V V

單變數的 變數變換

V V V V

空間概念 V

步驟數 3 2 2 1（2） 3 3 1

資料來源：本研究整理

在相似題部分，考古題係指前一年度完全相同的會考試題，計有單選第 6、10 兩題；單選第 9、

10 與填充第 5 這三題，在其他習題均有幾乎相同的題目。其餘有勾選之各題則表示在共同習題、

或其他習題、或課本例題，具有相似度不等的類似題目，詳細說明請見附錄八。

表3-14、多重積分單元的各組各題答對率總表暨難易度與鑑別度等級

答對率 P Ph Pl Pa Pb Pc Pd Pe

難易度 等級

鑑別度 等級 第 5 題 48.38 78.59 21.60 83.33 61.90 45.24 31.90 19.52 難易適中 非常優良 第 6 題 82.38 95.21 62.72 95.71 91.90 88.57 78.10 57.62 極容易 優良 第 7 題 74.29 91.37 58.19 92.38 86.67 70.95 64.76 56.67 容易 優良 第 8 題 88.76 98.08 74.56 98.57 94.29 92.38 87.14 71.43 極容易 尚可 第 9 題 83.24 99.04 56.79 99.05 98.10 90.48 79.52 49.05 極容易 非常優良 單選題

第 10 題 84.19 98.08 63.07 99.52 95.71 89.52 79.05 57.14 極容易 優良 填充題 第 5 題 53.81 86.26 16.03 90.95 75.24 54.76 37.14 10.95 難易適中 非常優良 資料來源：教育測驗與評量：成就測驗與教學評量，余民寧，民 91，臺北市：心理、本研究整理

研究者根據個別試題分析結果，針對有相同概念或程序的題目，做主觀地進一 步分析如下：

1.觀察單選第5、6、7、9、10，五題均需要由給定數學式大致畫出圖形，以寫出迭 代積分區域進行積分的運算或寫出對應的極座標轉換。其中，第6、7、9、10四題 均為平面上的圖形，答對率均達百分之八十以上；第5題則為空間中的圖形，答對 的學生不到總人數的一半。可見在幾何方面，學生較為熟悉平面中常見的圓等圖 形，而較缺乏抽象的空間概念。

2.單選第8題的積分區域為三角柱，不論是計算其迭代積分或畫圖改變積分次序都非 常簡單。就選項來看是四個獨立的單選題，但由於其被積分函數 ( , , )f x y z 為1，

使得多重積分之計算更加容易，學生即使不會改變積分次序的程序，仍可利用計 算迭代積分得到答案。雖然在課本例題或習題中，沒有出現完全相同的題型，但 其僅評量的改變積分順序（或計算迭代積分）之程序，其實在非常多習題中均有 出現且較本題更為困難。由答對率來看，單選第8題為整份試卷答對率最高的題 目，各組學生的答對率均達七成以上為非常合理之現象。

3. 單選第9與第10題均為評量曲面表面積，且步驟數相同，亦均有幾乎相同的課本 習題，是同質性非常接近的題目。

4.第 6、7、9 三題為多重積分單元中，涉及極座標轉換的題目，其積分區域幾乎相 同，為圓心在原點的圓或半圓。第 6、9 兩題都有給定積分函數，還須求出 Jacobian 及計算多重積分，計算過程並用到單變數的變數變換之積分技巧，第 9 題並多加 了表面積公式的程序；第 7 題的被積分函數為不定元之型式，題目已給定

Jacobian，不必（也不能）計算積分，該題僅評量學生是否能寫出直角座標轉換到 極座標後的迭代積分。在步驟數方面，第 6、7 題的步驟數為 2，第 9 題的步驟數 為 3，整理如表 3-15

表 3-15、九十六學年度第二學期會考試題單選第 6、7、9 題的步驟數比較

令人訝異的是，照上述質性分析來看，以第7題內容最為簡單，但卻與學生測 驗出的答對率結果不一致。進一步比較學生的答題情況，第7題與第6、9兩題的答 對率均相差了約八個百分點，第a、b、c三組學生在第6、9兩題均有約百分之九十 以上的答對率，但在第7題的答對率不但下降且有明顯落差，以第c組差距將近百分 之二十之差距為最大，僅第e組學生在第7題的答對率高於第9題。根據上述質性分 析可觀察第7題主要的差異在於被積分函數為不定元，且較第6、9題多了將迭代積 分轉為二重積分的步驟。是否此為答對率下降之因素或造成複雜度較高的題目答對 率卻較高的不合理現象，值得教學工作者特別留意，以探究學生是否能執行解題程 序，但卻未確實釐清數學概念。

此外，觀察上述質性分析與答對率，這三題的積分區域雖然都是圓，但半圓的 答對率比較低。而由單選第6題與第7題的個別試題分析中可發現這兩題均有約百分 之十四的學生選答圖形為整個圓盤的誘答選項（分別為第6題的（C）選項與第7題 的（C）選項），顯示這些學生在極座標轉換的程序上產生問題，無法畫出正確的 圖形，或無法由圖形寫出正確的迭代積分區域。但若把答半圓的百分之十四加回 去，則第7、9兩題差不多。由這百分之十四的學生選擇來看，不確定是不定元在中 間造成學生的困難，還是整個圓在中間對學生的影響。

而由單選第6題與第9題，兩題均用到極座標計算多重積分且有相似的課本習 題，唯第9題多評量了表面積公式的程序。由第9題有稍高的答對率（第e組例外）

來看，求表面積的程序對學生來說影響並不大。

綜合上述，積分的應用在體積與表面積，體積似乎不需要記公式，而表面積需 要記得公式，但由這幾題的答對率來看，表面積公式似乎影響不大，不會對學生造 成困難，反而是空間概念會對學生造成困難，是值得教學者注意的現象。