第五章 獨立董事社會網路
第三節 我國之獨立董事社會網路研究
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director)，則稱此二節點有連結。這些文獻都發現小世界網路出現董事社會網路 和董事會社會網路當中，和物理學家 Watts 與 Strogatz 表示實際生活中的許多 真實網路都應當都是小世界網路的說法相符。
這些研究顯示，不論從時間的尺度來觀察，還是國家的分野來觀察，小世 界網路都普遍出現。有文獻認為，從 1980 年到二十一世紀，歷經各公司的興 衰、美國董事會機能的變更及公司治理法制的更迭，董事社會網路都呈現小世 界網路的現象值得注意，這樣的強固性(robustness)可能是在表示：除非完全禁 止兼任董事的存在，否則董事社會網路將維持小世界網路的態樣57。
第三節 我國之獨立董事社會網路研究
第一項 本研究使用矩陣表示網路
本研究取材自 2017 年 2 月 5 日公開資訊觀測站之上市櫃公司獨立董事兼任 總表，藉以建造獨立董事社會網路以及公司社會網路。觀察獨立董事兼任總 表，公司係按照股票代碼由小到大排列，台泥公司位在表格最前方，接著列出 台泥公司之四名獨立董事，亞泥公司在台泥公司之後，並列出其三名獨立董 事，以此類推。
此種列表方式和圖論中的二分圖不謀而合，是以，本研究嘗試以二分圖呈 現獨立董事兼任總表。首先將公司依照股票代碼依序編號，台泥公司為編號 1，亞泥公司為編號 2，……最後的上市公司世紀鋼構為編號 790。然後同樣按 照股票代碼排序上櫃公司，以其祥-KY 為編號 791，直到最後的有益鋼鐵編號為 1478。獨立董事兼任總表共有 790 家的上市公司及 688 家上櫃公司。
接著將獨立董事兼任總表上出現的獨立董事名單編號，依照其姓名在總表 出現的頻率排序，頻率高者編號較小，而頻率相同者按其任職公司之編碼從小 優先排列，最後得到獨立董事編號 1 號至 3111 號。
做完編碼後，可以看到 1 號公司(台泥)共有 507 號、1 號、159 號、160 號 獨立董事四人；2 號公司(亞泥)有 161 號、33 號、508 號獨立董事，一直到 1478 號公司都有對應之獨立董事編號。至此，本研究得以開始建造網路。
接著究使用矩陣儲存此二分圖，首先建造 1478 列、3111 行的矩陣，以列
57 同註 55。
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代表公司，以行代表獨立董事。由於 1 號公司共有 507 號、1 號、159 號、160 號獨立董事四人，因此矩陣的第 1 列第 507 行為 1、第 1 列第 1 行為 1、第 1 列 第 159 行為 1、第 1 列第 160 行為 1，第一列其餘行之元素為 0。由於 2 號公司 有 161 號、33 號、508 號獨立董事，因此矩陣的第 2 列第 161 行為 1、第 2 列 第 33 行為 1、第 2 列第 508 行為 1，第 2 列其餘行之元素為 0。以此類推，完 成 1478 家公司獨立董事的儲存。
第二項 使用矩陣乘法獲得獨立董事社會網路及公司
社會網路
可以藉由矩陣乘法的特性，由二分圖矩陣獲得獨立董事社會網路以及公司 社會網路。
圖五：假想一個簡單的二分圖，公司 1、2、3、4 有獨立董事 ABCDEFGHIJK，可 以從二分圖得到獨立董事社會網路以及公司社會網路
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若以 M 稱呼二分圖矩陣，該 M 則有 1478 列、3111 行。在數學上，若將 M 矩陣的行列互換可以得到其轉置矩陣，通常寫成 M’， M’則有 3111 行、
1478 列。
將轉置矩陣 M’乘上 M，可以得到獨立董事社會網路(本研究命名為 P)，此 P 矩陣共 3111 行、3111 列，而該 P 矩陣對角線(第 X 列第 X 行，本研究中 X 為 1 到 3111 的任意整數)之元素則表示該行及該列的獨立董事兼任之家數，而非對 角線的元素則表示獨立董事彼此間同時任職時同一家董事會的同事關係，例如 實際上 P 矩陣的第 4 列第 16 行為 1，表示 4 號獨立董事和 16 號獨立董事任職 於同一家公司，當然，P 矩陣的第 16 列第 4 行也會是 1。
若將矩陣 M 乘上轉置矩陣 M’，則可以得到公司的社會網路，本研究命名 為 C。此 C 矩陣共 1478 行、1478 列，而該 C 矩陣對角線之元素則表示該行(列) 的公司共有幾位獨立董事，而非對角線的元素則表示公司和其他公司有共同的 獨立董事。實際上 C 矩陣的第 144 列第 1 行為 1，表示 144 號公司和 1 號公司 有一個共同的獨立董事，當然，C 矩陣的第 144 列第 1 行也會是 1。
經過電腦計算後，本研究繪製獨立董事社會網路及公司社會網路之繪製如 圖六及圖七。
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圖六：我國上市櫃公司獨立董事社會網路
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圖七：我國上市櫃公司社會網路
第三項 我國獨立董事社會網路沒有巨大成分
本研究首先認為獨立董事社會網路不可能是隨機網路。設想：甲乙丙三人 皆為獨立董事，若甲乙間有連線且甲丙間也有連線，若甲乙連線和甲丙連線是 由任職同一董事會所造成，則乙丙必然會出現連線。這和隨機圖的特徵矛盾，
因為隨機圖任意兩節點(乙丙)是否連線只與連線密度有關，與是否擁有共同相鄰 節點(甲)無關。
再者，獨立董事社會網路也不可能是正則網路，因為正則網路要求所有節 點都有相同的度數，也就是每個獨董都擁有相同數量的獨董同事，但我國並未 強制要求公司設置特定數量的獨立董事名額。
物理學者定義小世界網路是群聚係數高且平均距離短的網路型態。若思考
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獨立董事社會網路的定義，本研究認為其呈現小世界網路並不足以為奇。觀察 我國上市櫃公司所有獨立董事共 3111 人，其中有 83.7%(2605 人)不是兼任獨 董，也就是說這 2605 人只在單一董事會任職獨立董事。根據群聚係數的定義，
這 2605 個節點的相鄰節點必然彼此連接(所有同事都任職於同一董事會)，所以 群聚係數都是理論最大值 1，所以 3111 個節點的平均群聚係數為 0.832。應注 意的是，若某公司只有兩名以下獨立董事，則其非兼任獨董的群聚係數無法定 義，不過這樣的非兼任獨董很少，而且未來強制成立審計委員會後，美間公司 的獨立董事應有三人以上。
以簡單的圖八說明，可以發現非兼任獨董 A、C、E、H、J、K 的群聚係數皆 為 1，而現實生活中非兼任獨董非常地多，將會大大提升整體獨立董事社會網 路的群聚係數。
圖八：假想的獨立董事社會網路
另一方面，占少數的兼任獨董(506 人，佔全體的 16.2%)則扮演著拉近獨董 距離的橋樑，使獨董社會網路和公司社會網路之同一成分的節點數目增加。
事實上，已經有學者證明利用二分圖建造出來的網路，都應當是小世界網 路58，所以美國董事社會網路數十年來都是小世界網路並不令人意外59。 此外，本研究認為，我國上市櫃公司獨立董事社會網路並不符合物理學者 Watts 和 Strogatz 的 n>>k>>ln(k)>>1 要件，根本尚未出現最大成分節點數幾乎是 所有節點數之網路。也就是說，我國上市櫃公司獨立董事社會網路，是一個有 很多彼此不能連通的成分的社會網路。在這樣的情況下，討論節點之間平均距 離是沒有意義的，因為很難定義不同成分中無法連通的節點彼此距離究竟為 何，而小世界網路討論的就是群聚係數和平均距離，所以我國上市公司獨立董 事社會網路並不適合討論是否屬於小世界網路。
58 Duncan J. Watts, Six Degrees: The Science of a Connected Age Reprint Edition, #1732, W. W. Norton
& Company(2004), Kindle Edition.
59 同註 55。
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我國上市櫃公司獨立董事社會網路共有 3111 個節點，最大成分只有 383 個 節點；公司社會網路共有 1478 個節點，最大成分也只有 219 個節點。而文獻上 的董事社會網路和董事會社會網路的最大成分的節點數約占總節點數八成以 上。
本研究甚至可以說：我國上市櫃公司社會獨立董事社會網路和上市櫃公司 社會網路根本尚未形成網路科學中的網路，因為網路科學所討論的網路都應該 有巨大成分，網路科學注重討論節點之間的連通與訊息的交流。單純從同事關 係所產生的獨立董事社會網路及公司社會網路觀之，不同之間的成分之節點無 法溝通，而我國獨立董事社會網路和公司社會網路都缺乏巨大成分的存在，實 不適宜討論是否屬於網路科學中的小世界網路。
第四項 我國獨立董事社會網路及公司社會網路符合
Zipf's Law
觀察獨立董事社會網路和公司社會網路，將成分依照內含節點數目從大到 小排序如表三，本研究發現其全對數圖(x 軸之排序數取對數，y 軸之節點數亦 取對數)，隨著漸次剔除成員數較少的成分，其全對數圖越來越接近一直線，符 合語言學上的 Zipf's Law，參見圖十及圖十一。
上段所說的「漸次剔除成員數較少的成分」，其實暗示獨立社會網路之成分 的成長依循著 Zipf's Law，因為最先被剔除的是節點數少、沒有機會長大的成 分。又兼任獨立董事則是社會網路成分成長的因素，也就是說因為獨立董事的 兼任行為，讓我國上市櫃公司獨立董事社會網路和公司社會網路湧現了 Zipf's Law。
Zipf's Law 定理聲稱，任何語言，將單字按照出現或使用頻率排序，則排序 數和使用頻率的全對數圖為斜率接近-1 的一直線。如表二及圖九為莎翁名作
「to be or not to be」的計算。
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表二：單字頻率排序表
圖九：to be or not to be 之全對數圖之斜率接近-1
有學者指出，英文自古到今都適用 Zipf's Law，而中文在秦朝以前適用 Zipf's Law，在漢朝以後就不能適用 Zipf's Law。這是因為英文一直有新的單字出現，
而中文在秦始皇推行書同文車同軌，統一文字後以後就失去了造字的能力。所 以單字的成長是 Zipf's Law 適用與否的關鍵60。若把這種說法套用在獨立董事社
60 Wang Dahui, Li Menghui and Di Zengru , True reason for Zipf's law in language, Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 358(2-4):545-550(2005).
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會網路：在主管機關的要求下，近幾年有越來越多公司新增設置獨立董事，可 能是出現 Zipf's Law 因素之一。另外，人口增長而可自由移動住居的國家，其城 市人口排序也會有 Zipf's Law 的出現。
物理學家還在很多領域都發現 Zipf’s Law 的適用，如公司營收和公司數目、
網站的連結數、地震的規模與次數、河流的流量與數目，甚至是樹枝、雲彩和 材料表面的裂痕。詳細的起因眾說紛紜。
現行規定獨立董事最多兼任四家公司，有學者認為應限制獨立董事兼任的 公司數，以要求獨立董事花更多時間精力在其獨董業務上。為此，本研究嘗試
現行規定獨立董事最多兼任四家公司，有學者認為應限制獨立董事兼任的 公司數，以要求獨立董事花更多時間精力在其獨董業務上。為此，本研究嘗試